文档内容
故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
前言
计算对高考来说是个难题, 2022 年新高考卷的计算量特别大, 导致不少学生在计算上栽了
跟头。计算不行, 那自然是平常计算训练得少,一般是不存在“我努力了”“我真的尽力了”“我仔
细了但没办法算到底”等情况的。刚才的话语是针对那些公式不背、计算跳步骤、不演算打草稿
的人说的, 并不针对“题目不理解”“导数做不出”等情况, 因为这种情况就是真的不会。
在高中阶段通常有哪些计算会困住学生呢?其实有很多, 这里我就打个比方:①圆雉曲线当
中的化简;②空间向量当中的夹角的正余弦值计算;③三角函数当中的相关计算, 如边角互换等;
④导数当中的代数变形, 还有就是复合函数的求导;⑤数列当中的通项公式和求和公式等, 比如
错位相减法;⑥排列组合的相关计算、公式推导等都是难点。
在这本计算训练中还有不少的计算没有“嵌人其中”, 因为没有必要, 本书主要训练的是学生
的计算能力, 并不是训练学生的题型解读能力, 至于这个题目有哪几个切人点等并不是本书的主
要目标。记清楚:本书主要是训练学生的计算速度、计算能力。有的学生不清楚自己在计算上面
到底缺失什么, 老是想着往“高深”的方面提高自己, 这有什么用?这就和有的学生水平一般, 但
是一上来就问压轴题怎么做一样, 并没有什么作用! 从最基础的开始训练自己, 比如就从计算
73273×132151开始, 不要小看这类题目, 这类题目很钕炼学生的计算能力。学生们在做本书习
题时最好每次把使用了多少时间在书中做标注, 这本计算训练考查的就是限时计算能力, 最后
再强调一下:不要小看里面的部分题目, 请正视它, 用心去解决它。
现在再来介绍一下本书的大概组成:
(1)训练1∼10为初中内容, 就是让学生简单回顾一下初中的相关计算。
(2)训练11∼46是一些考试试卷中可能会遇到的计算专题的加强训练。
(3)训练47∼97是各个知识点组成的计算综合训练, 每个训练包含着不同的知识点, 记住:不要
被学校的教学进度限制住自己的学习进度。遇到不会的知识点多翻翻教材。
(4)训练98∼108较(3)中的练习难度有所上升, 适合让学生挑战自我, 提升能力。故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
计算预备知识
1.关于平方
112=121 122=144 132=169 142=196 152=225 162=256 172=289 182=324
192=361 202=400
2.关于平方根
2≈1.414 3≈1.732 5≈2.236 6≈2.450 7≈2.646 10≈3.162
3.关于立方根
32≈1.260 33≈1.442 34≈1.587 35≈1.710 36≈1.817 37≈1.913
39≈2.080 310≈2.154
4.关于π
π π π π π
π≈3.14 ≈1.57 ≈1.05 ≈0.79 ≈0.63 ≈0.52 πe≈22.46
2 3 4 5 6
5.关于e
1 1
e≈2.718 e2≈7.389 e3≈20.086 e≈1.649 ≈0.368 ≈0.135 eπ≈23.14
e e2
6.关于ln
ln2≈0.693 ln3≈1.099 ln5≈1.609 ln7≈1.946 ln10≈2.303
7.关于三角函数
π π π π π
sin ≈0.588 sin ≈0.383 cos ≈0.809 cos ≈0.924 tan ≈0.727
5 8 5 8 5
π
tan ≈0.414
8
8.关于log
lg2≈0.301lg3≈0.477lg7≈0.8459.关于阶乘
4!=24 5!=120 6!=720 7!=5040
10.关于双重根号
3±2 2= 2±1 4±2 3= 3±1 7±4 3=2± 3 8±2 7= 7±1
11.关于三角度数
6- 2 6+ 2
sin15°=cos75°= sin75°=cos15°= tan15°=2- 3tan75°=2+ 3
4 4
初中内容(简单回顾初中的相关计算)
训练 1
(建议用时:10分钟)
1.当x>2时, |x-2|=
2.若|m-n|=n-m, 且|m|=4,|n|=3, 则m+n=
3.用科学记数法表示24800000
4.若x,y为有理数, 且|x+2|+(y-2)2=0, 则x+y=
5.若|a+2|+(b-3)2=0, 则ab=
6.用科学记数法表示0.00000021
|x| |y| |xy|
7.若有理数x,y的乘积xy为正, 则 + + 的值为
x y xy
8.已知|x|=3,|y|=5, 且|y-x|=x-y, 则2x+y=
9.已知代数式x-3y2的值是5 , 则代数式 x-3y2 2-2x+6y2的值是
10.关于x,y的单项式2m3x2y的次数是
11.已知代数式 a2+2a-2b -a2+3a+mb
故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
的值与b无关, 则m的值是故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
12.若a,b互为倒数, m,n互为相反数, 则(m+n)2+2ab=
2πx3y
13.- 的系数是
5
14.已知a-3b-4=0, 则代数式4+2a-6b的值为
15.已知代数式x2+x+1的值是3 , 那么代数式5x2+5x+8的值是
16.若a,b互为相反数, m,n互为倒数, 则a+b+2mn-3=
4πx2y4
17.单项式 的系数为 , 次数为
9
训练 2
(建议用时：10分钟)
1
1.已知3a2x-3b与- a5b4y+5是同类项,则|x+5y|等于
2
2.多项式-2ab2+4a5b-1的项分别是,次数是
3.已知多项式x2-3kxy-y2+6xy-8不含xy项, 则k的值是
πx2y3
4.单项式 的系数是 , 次数是;多项式5x2y-3y2的次数是
7
5.已知(a+1)2+|b-2|=0, 则ab+1的值等于
2x+5 x+11
6.当x=时,式子 与 +x的值互为相反数.
6 4
1
7.已知代数式5x-2的值与 互为倒数, 则x=
10
8.某件商品, 按成本提高40%后标价, 又以8折优惠卖出, 结果仍可获利15元, 则这件商品的成
本价为
3
9.当x=时, x+1与x-3的值相等
2
10.当代数式1-(3m-5)2有最大值时, 关于x的方程3m-4=3x+2的解为
a-x
11.若方程4x-1=5与2- =0的解相同, 则a的值为
31
12.已知 x-2=b, 则当b=1时方程的解为
3
13.已知关于x的一元一次方程x+2m=-1的解是x=m, 则m的值是
14.已知x=1是方程3x-m=x+2n的一个解, 则整式m+2n+2020的值为
15.当x=时,式子3-2x与2+x互为相反数
16.若-4amb3与3a2-mbn-1可以合并成一项,则mn的值是
17.已知x=3是方程11-2x=ax-1的解,则a=
18.已知一元一次方程(m-4)x+m2=16的解是x=0, 则m=
19.要使关于x,y的多项式my3+3nx2y+2y3-x2y+y不含三次项, 则2m+3n的值为
训练 3
(建议用时:10分钟)
1.已知am=3,an=9, 则a3m-n=
2.当a时, (a-2)0=1
3.已知2x+5y-5=0, 则4x⋅32y的值是
4.已知2a=3,2b=5, 则22a+2a+b=
5.若3x=10,3y=5, 则32x-y=
6.已知3x÷9y=27, 则2020+2y-x的值为
7.已知x+4y=1, 则2x⋅16y=
1
8.计算:(-3)2021×
3
2020
=
9.已知2x=3,2y=5, 则22x-y=
2
10.-
3
故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
2020
×(1.5)2021=
11.若2x+y=3, 则4x⋅2y=
12.若5x=18,5y=3, 则5x-y=1
13.若(x-2)2+y+ =0, 则yx=
3
1
14.计算:(-1)0+
3
-1
=
15.计算:a2⋅a4+-3a3 2-10a6=
16.已知6m=2,6n=3, 则 6m+n 2=
17.已知2x+3-2x=112, 则x的值为
18.已知x-y=5,xy=2, 则x2+y2=
19分解因式:-xy2+4x=
20.已知m-n=3, 则m2-n2-6n=
21.已知25x2+kxy+4y2是一个完全平方式, 则k的值是
1 1
22.若m+ =3, 则m2+ =
m m2
23.若x2-(m-3)x+4是一个完全平方式, 则m的值是
训练 4
(建议用时:10分钟)
1.已知关于x的二次三项式x2+2kx+16是一个完全平方式, 则实数k的值为
2.分解因式:4x2-4y2=
3.分解因式:3xy3-27x3y=
4.分解因式:4(a+b)2-(a-b)2=
5.若 x2-ax+1
故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
(x-1)的展开式是关于x的三次二项式, 则常数a=
1 1
6.已知x+ =3, 且02,
19.不等式组 3 的解集为
5-x>3
2x-3<1,
20.不等式组
的解集为
1-x≤3
训练 5
(建议用时:10分钟)
1.已知直角三角形的两边长分别为3,5 , 且第三边是整数, 则第三边的长度为
2.若三角形的三边长分别为a,b,c, 且|a-b|+ a2+b2-c2=0, 则△ABC 的形状为
3.已知直角三角形两直角边a,b满足a+b=17,ab=60, 则此直角三角形斜边上的高为
4.在直角坐标系中, 点A(2,-2)与点B(-2,1)之间的距离AB=故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
5.在直角三角形中,其中两边的长度分别为3,4 , 则第三边的长度是
6.在直角三角形ABC 中, ∠C=90°,BC=12,CA=5,AB=
7.若a、b为实数, 且(a+ 3)2+ b-2=0, 则ab的值为
8. 11 的整数部分是小数部分是
9.已知实数 x,y 满足 3x+4+y2-6y+9=0, 则 -xy 的算术平方根的平方根的相反数等于
10.计算:|-5|+( 2-1)0=
11.计算:20+|1- 2|=
12.3-7 的相反数是 , 绝对值等于 3 的数是
1
13. 的平方根是
16
14.-8的立方根是, 16 的平方根是
15.19- 35 的整数部分为a, 小数部分为b, 则2a-b=
16.若 x-4+(y+3)2=0, 则x+y=
11
17.已知a是64的立方根, 2b-3是a的平方根,则 a-4b的算术平方根为
4
训练 6
(建议用时:10分钟)
1.在第三象限内到x轴的距离为2 , 到y轴的距离为3的点的坐标为
2.在平面直角坐标系中, 点A(-2,1)关于y轴的对称点A 的坐标是
3.点 P(-1,1) 先向左平移 2 个单位长度, 再向上平移 3 个单位长度得点 P, 则点 P 的坐标是
1 1
4.在平面直角坐标系中, 点M(a,b)与点N(5,-3)关于x轴对称, 则ab的值是
5.如果点P(m,1-2m)在第四象限,那么m的取值范围是6.点A(3,-2)关于x轴对称的点的坐标为 , 关于y轴对称的点的坐标为
7.在平面直角坐标系中, 过点P(6,8)作PA⊥x轴, 垂足为A, 则PA的长为
8.点P(-2,6)到x轴的距离是
9.若点A(m+2,-3)与点B(-4,n+5)在二、四像限的角平分线上, 则m+n=
10.已知点A(m,3)与点B(2,n)关于x轴对称, 则(m+n)2020的值为
11.已知点P(2m,m-1), 当m=时, 点P在二、四象限的角平分线上
12.点A(-7,9)关于y轴的对称点是
13.如果(3a-3b+1)(3a-3b-1)=80, 且a>b, 那么a-b的值为
14.已知1"∗" 1 2
或"=")
3.若关于x的函数y=ax2+(a+2)x+(a+1)的图象与x轴只有一个公共点, 则实数a的值为
4.把抛物线 y=x2+1 先向右平移 3 个单位长度, 再向下平移 2 个单位长度, 得到的抛物线为
5.若抛物线y=ax2+bx+c经过点(-1,10), 则a-b+c=
6.若二次函数y=ax2+bx-1(a≠0)的图象经过点(1,1), 则代数式1-a-b的值为
7.若把二次函数 y=x2-2x+3 化为 y=(x-m)2+k 的形式, 其中 m,k 为常数, 则 m+k=
8.若抛物线y=-(x-m)(x-2-n)+m-2与抛物线y=x2-4x+5关于原点对称, 则m+n
=
9.已知△ABC∼△DEF, 且相似比为3:4,S =2cm2, 则S =
△ABC △DEF
cm2
AD 3
10.在 △ABC 中, 点 D,E 分别在 AB,AC 上, 且 DE⎳BC. 如果 = ,DE=6, 那么 BC=
AB 5
1
11.在△ABC 中, 如果∠A,∠B满足|tanA-1|+cosB-
2
故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
2
=0, 那么∠C=
12.计算:sin230°+cos260°-tan245°=
13.已知等腰三角形的两边长分别为5和8 , 则底角的余弦值为
14.已知在△ABC 中, ∠B=30°,∠C=45°,AB=4, 则BC 的长为
3
15.一个不透明的袋中放有4个红球和x个黄球,从中任意摸出一个恰为黄球的概率为 , 则x
4
的值为高中内容
计算专题加强训练
训练 11 对数运算
(建议用时:5分钟)
1.log 1
3
2
2.log
2 3
3
3.lg100
4.lg0.001
1
5.lg
10000
6.log 100
1
10
7.ln e
1
8.log
327
9.log 4
1
2
10.lg0.12
11.lg3100
1
12.ln
e
1
13.log
2 4
故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
2
14.log 9
1
3
15.写出高中阶段学过的对数运算公式.故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
训练 12 指数运算
(建议用时: 13 分钟)1.化简: 5 a3 1 b-2⋅-3a- 2 1 b-1
6
2 ÷4a3⋅b-3 1 2(a>0,b>0).
a3b23ab2
2.化简:
1 1 a4b2
(a>0,b>0).
4 a- 3 1 b3 1
3.已知 x2 1 +x- 2 1 =3, 求 x
3 2+x-3
2+2 的值.
x2+x-2+3
a3x+a-3x
4.已知 a2x= 2+1, 求 的值.
ax+a-x
1
x-1 x+1 x-x3
5. + - .
2 1 1 1
x3+x3+1 x3+1 x3-1
a3+a-3
6.
a3-a-3
a4+a-4+1 a-a-1
a21+a-4
+
故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
-2
.
a-a-1
训练 13 指对运算
(建议用时: 5 分钟)这个训练考查对数的相关计算, 要记住什么是指对互换、对数恒等变形、换底公式、对数运算 公
式,还有就是幂的运算.
2
1. 83 -log 25 10 -1+4log23+ 4lg22-4lg2+1.
2022 2.
2023
0 2 +80.25⋅ 42+(32⋅ 3)6- -
3
2 4 3 ⋅
9
- 3 1
-1 .
3.4(3-π)4+(0.008)- 3 1 -(0.25)2 1 × 1
2
故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
-4 .
1 32 4
4. lg - lg 8+lg 245+21+log23.
2 49 3
训练 14 错位相减
(建议用时: 20 分钟)
1.求 b =(2n-1)2n 的前 n 项和.
n2.求 b =n22n-1 的前 n 项和.
n
3.求 c =(2n-1)4n-1 的前 n 项和.
n
1
4.求 b =(2n-1)
n 3
故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
n-1
的前 n 项和.
n+1
5.求 b = +2n 的前 n 项和.
n 4n
训练 15 求值域
(建议用时: 20 分钟)
下列题目涉及了高中阶段不少求值域的方法, 要学会看到什么式子大概清楚使用什么方法 或者故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
说哪些方法来求解, 比如看到 y= x-3+ 5-x 就知道可以使用平方法来求解.
5x-1
1.y= ,x∈[-3,-1].
4x+2
x2+2
2.y= .
x2+1
3.y=2x+ 1-2x.
4.y=x+4+ 9-x2.
2x2+4x-7
5.y= .
x2+2x+3
6.y=log x+log 3-1.
3 x
7.y= (x+3)2+16+ (x-5)2+4.
sinx+2
8.y= .
cosx-2
9.y=lnx-x.
训练 16 含参一元二次不等式
(建议用时: 20 分钟)故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
1.解不等式 ax2>1.
2.解不等式 2ax2-(a+2)x+1>0(a≠0,a≠2).
3.解不等式 ax2+(a+2)x+1>0(a≠0).
4.解不等式 x2+ax+1<0.
训练 17 解三角形周长
(建议用时: 20 分钟)故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
π
1.若 A= ,a= 3, 求 △ABC 周长的取值范围． 建议使用两种方法来解决:
3
法一: 余弦定理+不等式+三角形三边关系.
法二: 正弦定理+辅助角公式.
π
2.若 A= ,a= 3, 求锐角 △ABC 周长的取值范围.
3
π
3.在 △ABC 中, B= , 若 a+c=1, 求 b 的取值范围.
3
训练 18 解三角形面积
(建议用时: 20 分钟)故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
π
1.若A= ,a=3, 求 S 的最大值． 建议使用两种方法来解决:
3 △ABC
法一: 余弦定理+不等式.
法二: 正弦定理+辅助角公式十三角形面积公式.
π
2.若A= ,a=2, 求锐角 △ABC 面积的取值范围.
3
3.在平面四边形 ABCD 中, AD=2,CD=4,△ABC 为等边三角形, 求三角形 BCD 面积的最
大值.
训练 19 数列存在性
(建议用时 : 20 分钟)在新高考的模式下, 原本的数列压轴题被调整到了解答题的前两题,但是得分率并不乐观, 接下
来的几篇训练着重练习数列中的存在性、奇偶项、绝对值、不等式 (放缩) 等问题.
1.已知等差数列 a n =2n-1, 求 m,km,k∈N∗ 的值, 使得 a +a +a +⋯+a =65. m m+1 m+2 m+k
a a
2.已知等差数列 a =2n-7, 试求所有的正整数 m, 使得 m m+1 为数列 a
n a n
m+2
中的项.
1 1 1
3.已知数列 a = , 问: 是否存在正整数 m,k, 使 = +19 成立? 若存在, 求出
n n(n+1) a S a
k k m
m,k 的值; 若不存在, 请说明理由.
4.已知数列 a =3n,b =2n-1, 数列 b
n n n
故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
的前 n 项和为 T, 问 : 是否存在正整数 m,n,r, 使得
n
T=a +r⋅b 成立? 如果存在, 请求出 m,n,r 的关系式; 如果不存在, 请说明理由.
n m n
训练 20 数列奇偶项
(建议用时: 20 分钟)常见的奇偶项问题
(1) a +a =f(n) 或 a ⋅a =f(n) 类型;
n n+1 n n+1
(2) (-1)n 类型;
(3) a
2n
,a
2n-1
类型.
1已知数列 a
n
满足 a +a =11-n+(-1)n, 且 0m
m n
(4)若等差数列的项先正后负,则:
S , n≤m,
T n = n
2S -S , n>m.
m n
1.已知数列 a n =53-3n, 求数列 a n 的前 n 项和 T. n
2.已知数列 a
n
=2n-4n, 求数列 a
n
的前 n 项和 S .
n
nπ 3
3.已知数列 a =sin - , 记数列 a
n 6 4 n
故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
的前 n 项和为 S , 求 S .
n 2021
训练 22 数列不等式
(建议用时: 20 分钟)在学习裂项时我们遇到了数列不等式, 后来随着难度的加大, 各式各样的不等式出现, 比如:
1 1 1 1 n 1
+ + +⋯+ = 0,λ≠1) 之后为 (x-2)2+(y-2)2=10, 求 a,λ.
(x-a)2+(y-2a+2)2
2.已知直线 x=ky+m 与圆 x2+y2=1 联立得 1+k2
故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
y2+2kmy+m2-1=0, 且 k2+m=0, 若
xx +yy =0, 求 m,k.
1 2 1 2
t+R t-R
-
3 3
3.已知 R= t2+16-2, 求 y= 的最大值.
t+R t-R
1+ ⋅
3 3
4.已知直线 y=kx+1 与圆 (x-2)2+(y-3)2=1 相交, 若 xx +yy =12, 求 k.
1 2 1 2训练 28 解析计算(3)
(建议用时: 20 分钟)
(x+1)2+y2
1.当 λ≠1 时, 把 =λ 化简成圆的标准方程的形式.
(x-1)2+y2
x2+y2
2.当 k>0,k≠1 时, 把 =k 化简成圆的标准方程的形式.
(x-a)2+y2
1 4 1-3m2 6m2+1
3.已知 0b>0), 过左焦点 F 的斜率为 1 的直线与椭圆分别交于 A,B 两
3 2 1
点,求 |AB|.x2
3.已知点 A(0,-1) 在椭圆 C: +y2=1 上, 设直线 l:y=k(x-1) (其中 k≠1
3
故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
与椭圆 C 交
于 E,F 两点, 直线 AE,AF 分别交直线 x=3 于点 M,N. 当 △AMN 的面积为 3 3 时, 求 k
的值.
4.已知 F 是抛物线 x2=4y 的焦点,过点 F 的直线与曲线 C 交于 A,B 两点, Q(-2,-1), 记
1 1
直线 QA,QB 的斜率分别为 k,k , 求证: + 为定值.
1 2 k k
1 2
训练 34 解析解答
(建议用时: 25 分钟)
x2
1.已知椭圆 C: +y2=1, 直线 l:y=x+m 与椭圆 C 交于 A,B 两点, P 为椭圆的上顶点, 且
4
|PA|=|PB|, 求 m 的值.
x2 y2 8
2.已知椭圆 E: + =1, 设直线 y=kx- 2 被椭圆 C 截得的弦长为 , 求 k 的值.
4 2 3故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
x2
3.已知 F 为椭圆 +y2=1 的左焦点, 设直线 l 同时与椭圆和抛物线 y2=4x 各恰有一个公
2
共交点,求直线 l 的方程.
4.已知抛物线 x2=4y 的焦点为 F, 过点 F 的直线 l 交抛物线于 P,Q 两点, 交直线 y=-1 于
点 R, 求 RP⋅RQ 的最小值.
训练 35 解析解答 (6)
(建议用时: 25 分钟)
x2 y2
1.已知椭圆 C: + =1, 点 A(0,1), 若点 B 在椭圆 C 上, 求线段 AB 长度的最大值.
4 2
x2 y2
2.已知椭圆 C: + =1, 直线 y=x+1 与椭圆交于 A,B 两点, 求 AB 中点的坐标和 AB
6 3
的长度.
x2
3.已知椭圆 M: +y2=1, 直线 l 与椭圆 M 有两个不同的交点 A,B, 设直线 l 的方程为 y=
3
x+m, 先用 m 表示 |AB|, 再求其最大值.4.已知抛物线 y2=6x 的弦 AB 经过点 P(4,2), 且 OA⊥OB ( O 为坐标原点), 求弦 AB 的
长.
训练 36 复合求导(1)
(建议用时: 3 分钟)
本训练考查复合函数求导, 这在一些导数压轴题中可能会出现.
x-1
1.求
ex
.
3
2.求 - lnx+ 1+x2
4
.
3.求 y=ln 2x+1-1 的导数.
4.求 y=cos(-2x)+32x+1 的导数.
训练 37 复合求导(2)
(建议用时: 6 分钟)
求下列函数的导数.
1.y=lnx+ 1+x2
故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
ex+1
2.y=
ex-1故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
3.y=2xsin(2x+5)
4.y=3xex-2x+e
lnx
5.y=
x2+1
x2
6.y=
(2x+1)3
7.y=e-xsin2x
训练 38 二面角求解
(建议用时 : 10 分钟)
1.两平面的法向量为 n=(0,1,- 2),n =(-1,1,- 2), 设二面角的平面角为 α, 且为锐角, 则
1 2
求二面角的大小.
2.两平面的法向量为 n=(1,0,1),n =(1,1,1), 求两平面所成锐二面角 α 的余弦值.
1 2
2x+y-z=0,
3.一个平面的法向量 n 1 =(x,y,z) 满足方程组 另一个平面的法向量 n 2 =(0,2,
x+2y-z=0,
0), 求两平面所成锐二面角 α 的余弦值.4.一个平面的法向量 n 1 =x 1 ,y 1 ,z 1
1
-x 1 + 2 z 1 =0,
满足方程组 另一个平面的法向量 n = 1 2
-y+ z=0,
1 2 1
x 2 ,y 2 ,z 2
2x +2y -2z =0,
满足方程组 2 2 2 求两平面所成锐二面角 α 的大小.
2y -2z =0,
2 2
训练 39 卡方计算(1)
(建议用时: 6 分钟)
本训练主要考查独立性检验的计算,附表:
(1) 独立性检验统计量 K2 值的计算公式:
n(ad-bc)2
K2= ,n=a+b+c+d
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
(2) 独立性检验临界值表:
P
K2≥k 0
故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
0
1.列联表如下,计算 K2 :
成绩优良人数 成绩非优良人数 总计
男生 9 21 30
女生 11 9 20
总计 20 30 50故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
2.列联表如下,计算 K2 :
数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计
物理成绩优秀 5 2 7
物理成绩不优秀 1 12 13
合计 6 14 20
4.列联表如下,计算 K2 :
[0,150] (150,475]
[0,75] 64 16
(75,115] 10 10
训练 40 卡方计算 (2)
(建议用时:10 分钟)
1.列联表如下, 计算 K2 :
甲有机肥料 乙有机肥料 合计
质量优等 60 30 90
质量非优等 40 70 110
合计 100 100 200故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
2.列联表如下, 计算 K2 :
选择物理 不选择物理 合计
男 45 15 60
女 20 20 40
合计 65 35 100
3.列联表如下, 计算 K2 :
视力正常 视力不正常 总计
男生 60 40 100
女生 40 10 50
总计 100 50 150
4.列联表如下, 计算 K2 :
女性 男性 合计
直播电商用户 80 40 120
非直播电商用户 40 40 80
合计 120 80 2005.列联表如下, 计算 K2 :
满意 不满意 合计
工薪族 40 30 70
非工薪族 40 10 50
合计 80 40 120
训练 41 线性回归计算(1)
(建议用时 13 分钟)
本训练考查的是线性回归方程的相关计算, 参考公式:
n
x-x
i
b= i=1
y-y
i
n
x-x
i
i=1
n
xy-nxy
i i
= i=1 ,a=y-bx,y=bx+a
n
2 x2-nx2
i
i=1
n
x-x
i
r= i=1
y-y
i
n
x-x
i
i=1
n
2 y-y
i
i=1
故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
n
xy-xxy
i i
= i=1
n n
2 x2-nx2 y2-ny2
i i
i=1 i=1
1,某餐厅查阅了最近 5 次食品交易会参会人数 x (万人) 与餐厅所用原材料数量 y (袋), 得到
如下统计表:
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
参会人数x
13 9 8 10 12
/万人
原材料y/袋 32 23 18 24 28
根据所给 5 组数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程.故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
2.某连锁经营公司旗下的 5 个零售店某月的销售额和利润额如下表:
商店名称 A B C D E
销售额x/千
3 5 6 7 9
万元
利润额y/百
2 3 3 4 5
万元
用最小二乘法计算利润额 y 关于销售额 x 的线性回归方程.
3.某企业坚持以市场需求为导向, 合理配置生产资源, 不断改革、探索销售模式. 下表是该 企业
每月生产的一种核心产品的产量 x (件)与相应的生产总成本 y (万元)的五组对照数据:
产量x/件 1 2 3 4 5
生产总成本y
3 7 8 10 12
/万元
试求 y 与 x 的相关系数 r, 并利用相关系数 r 说明 y 与 x 是否具有较强的线性相关关系(若
|r|> 0.75, 则线性相关程度很高, 可用线性回归模型拟合).故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
训练 42 线性回归计算 (2)
(建议用时 13 分钟)
1某专营店统计了近五年来该店的创收利润 y (单位: 万元) 与时间 t (单位: 年) 的相关数 据,
i
列表如下:
t 1 2 3 4 5
i
y 2.4 2.7 4.1 6.4 7.9
i
依据表中给出的数据, 是否可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系? 请计算相关系数 r 并加以
说明 (计算结果精确到 0.01, 若 |r|>0. 8 , 则认为 y 与 t 高度相关, 可用线性回归模型拟合 y
与 t 的 关系).
2某部门统计了某网红景点在 2022 年 3 月至 7 月的旅游收人 y (单位:万元), 得到以下 数据:
月份x 3 4 5 6 7
旅游收人y 10 12 11 12 20
根据表中所给数据, 用相关系数 r 加以判断, 是否可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系? 若可
以,求出 y 关于 x 的线性回归方程; 若不可以,请说明理由.
3某汽车 4S 店关于某品牌汽车的使用年限 x (年) 和所支出的维修费用 y (千元) 有如下的 统
计资料:
x 2 3 4 5 6
y 2.0 3.5 6.0 6.5 7.0
试求 y 关于 x 的线性回归方程.训练 43 期望求解 (1)
(建议用时: 12 分钟)
1.求期望值.
C0C2 C1C1 C2C0
P(X=0)= 2 3 =P(X=1)= 2 3 =P(X=2)= 2 3 =
C2 C2 C2
5 5 5
2.求期望值.
C3 C2C1 C1C2 C3
P(X=0)= 6 =P(X=1)= 6 4 =P(X=2)= 6 4 =P(X=3)= 4 =
C3 C3 C3 C3
10 10 10 10
3
3.求分布列 Y 的期望值, 已知 Y=5X,X 的可能取值为 0,1,2,3,4, 且 X∼B4,
4
.
3
(1) P(X=0)=C0
4 4
0 1
4
4
=
3
(2) P(X=1)=C1
4 4
1 1
4
3
=
3
(3) P(X=2)=C2
4 4
2 1
4
2
=
3
(4) P(X=3)=C3
4 4
3 1
4
1
=
3
(5) P(X=4)=C4
4 4
4 1
4
故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
0
=训练 44 期望求解(2)
(建议用时 : 12 分钟)
1随机变量 ξ 的可能取值为 0,1,2,3,4.
3
P(ξ=0)=1-
4
2 2
1-
3
2
=
3
P(ξ=1)=C1
2 4
3
1-
4
2
1-
3
2 2
+C1
2 3
2
1-
3
3
1-
4
2
=
3
P(ξ=2)=
4
2 2
1-
3
2 3
+1-
4
2 2
3
2 2
+C1
2 3
2
1-
3
3
C1
2 4
3
1-
4
=
3
P(ξ=3)=
4
2 2
C1
2 3
2
1-
3
3
+C1
2 4
3
1-
4
2
3
2
=
3
P(ξ=4)=
4
2 2
3
故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
2
=
求随机变量 ξ 的期望值.
2随机变量 X 的可能取值为 2,3,4,5.
C1C2+C2C1
P(X=2)= 2 2 2 2 =
C3
10
C1C2+C2C1
P(X=3)= 2 4 2 4 =
C3
10
C1C2+C2C1
P(X=4)= 2 6 2 6 =
C3
10
C1C2+C2C1
P(X=5)= 2 8 2 8 =
C3
10
求随机变量 X 的期望值.训练 45 二项式计算(1)
(建议用时 : 20 分钟)
Cr⋅212-r≥Cr-1⋅213-r,
1. 12 12 为整数, 则 r=
Cr⋅212-r≥Cr+1⋅211-r,
12 12
(-2)rCr≥(-2)r+2Cr+2,
2. 8 8 为偶数, 则 r=
(-2)rCr≥(-2)-2Cr-2,
8 8
n+1
3.设 m,n∈N∗,m≤n, 求证: Cm+1= Cm.
n+1 m+1 n
4.用二项式定理证明: 3n>2n2+1n≥3,n∈N∗
故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
.训练 46 二项式计算(2)
(建议用时: 20 分钟)
Cr⋅2r≥Cr-1⋅2r-1,
1.求 r 的取值范围: 7 7 .
Cr⋅2r≥Cr+1⋅2r+1
7 7
Cr⋅2r≥Cr+1⋅2r+1,
2.求 r 的取值范围: 8 8
Cr⋅2r≥Cr-1⋅2r-1.
8 8
1 Ck 10 2
3.求 k 的取值范围:
k 1 ≥Ck-1 10 2 k-1 ,
1
Ck
10 2
k 1
≥Ck+1
10 2
k+1
.
1
4.展开: x- x
2
故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
6
=故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
综合训练一一基础篇
训练 47
(建议用时: 20 分钟)
1．1-2+3-4+⋯+99-100=
2．3.127×2.23=
1
3.化简 : =
1-i
4.分解因式.
(1) -64a2+49b2=
(2) 3ax2+18axy+27ay2=
(3) 16(x-1)2-9(x+2)2=
(4) x4+3x2-28=
2x+1
5.分离常数: =
x+1
1 1 1 1
6. + + +⋯+ =
1×2 2×3 3×4 101×102
a a
7. + =
a- ab a+ ab
8.解不等式: |x+1|>1.
9.解不等式: ax2-2ax-3a>0.
2
10. =
2-1
11.sin15°=
ex≥x+1,x∈R,
12证明
这两个函数不等式.
lnx≤x-1,x>0训练 48
(建议用时: 20 分钟)
1． 1+2+3+4+⋯+47+48=
2．2.718×3.14=
1
3.求复数 的模.
1-i
4.分解因式.
(1) 2x3-8x=
(2) a2-4b2=
(3) 6xy2-9x2y-y3=
x2-1
5.分离常数: =
2x2+1
1 1 1 1
6. + + +⋯+ =
1×3 3×5 5×7 19×21
7. x+ -x+ 4-x=
8.解不等式: |x+1|+|x-2|>5.
9.解不等式: x2-4ax+4>0.
2 2
10. =
2+1
11.cos15°=
π
12.证明 x∈0,
2
故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
,sinx0;
x2-x+1
(2) kx-k+2>0;
(3) 3x2-2x+1>x(3x-3).
1-i
5.计算:
1+i
故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
3
=
6.写出下列曲线的三角换元形式并表示 x+y:
x2
(1) +y2=1;
2
x2 y2
(2) + =1;
4 3
x2 y2
(3) + =1.
a2 4b2
x2 y2
7.椭圆 + =1 的离心率为
4 3
x2 y2
8.椭圆 + =1(k>0) 的离心率为
2k 6k
x2 y2 1
9.椭圆 + =1(k>-8) 的离心率为 e= , 则 k=
k+8 9 2
ex
10.画出 y= 的函数图象草图并标注大概信息,写出你画出草图的依据 (过程)
x
.故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
训练 50
(建议用时: 20 分钟)
1.已知 |a|+5=x, 求 y=-x2-2x 的值域.
2．1.728+3.263=
3.保留四位有效数字: 2+ 3=
4.解下列方程组:
x+2y+2=0,
(1)
7x-4y=-41;
1 2
2
x+3y=
3
,
(2)
3 29
x- y=-
4 12
-2+2 3i
5.计算: =
( 3+i)2
6.写出下列曲线的三角换元形式并表示 x+y :
(1) x2+y2-4x+2y=0;
(2) (x-3)2+(y-4)2=1;
(3) (x-1)2+(y+ 3)2=4.
x2 y2
7.双曲线 - =1 的离心率为
4 3
x2 y2
8.双曲线 - =1(a>0,b>0) 的一条渐近线方程为 y=2 2x, 则其离心率为
a2 b2
9.已知从双曲线虚轴的一个端点看两个顶点的视角为直角, 则该双曲线的离心率为lnx
10.画出 y= 的函数图象草图并标注大概信息,写出你画出草图的依据 (过程).
x
训练 51
(建议用时: 20 分钟)
1．2n-2n-1=
2．2n⋅21-n=
1
3．2n⋅
2
n-1
=
4.解方程.
(1) ax=x+1;
(2) (2a+1)x=2(x+1).
5.解不等式: |x+1|+|x-1|>3.
6.写成标准方程.
(1) x2+y2-2x+4y=0;
(2) x2+y2-4x+2y=0;
(3) x2+y2-2mx+4ny=0.
7.点 (2,3) 到 x-2y-1=0 的距离是
8.点 (1,1) 到 x+my+1=0 的距离是 2, 则 m=
9.与抛物线 x2=4y 关于直线 x+y=0 对称的抛物线的焦点坐标是
10.证明点 x 0 ,y 0
故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
到直线 l:Ax+By+C=0 的距离公式 d=
Ax
0
+By
0
+C
. A2+B2训练 52
(建议用时: 20 分钟)
1. 8-2 15=
2.解方程: x2-x 2-2x2-x -3=0.
3.分解因式: x3-x2-10x-8.
4.使用换元法分解因式: m2n4-6mn2-7.
x2-2x-3
5.解不等式: ≤0.
2x-1
6.使用穿针引线法解: (x-3)(x+1)x2+2x-3
故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
≥0.
7.画出 y=|x+3| 的大概函数图象.
8.画出 y=|x+3|+|x+1| 的大概函数图象. 9. 画出 y=x2-2x-3 的大概函数图象.
9.画出 y=x2-2x-3 的大概函数图象.
10.画出 y=x2-2|x|-3 的大概函数图象.
11.若 x2-2x-3=a 有 4 个解, 求实数 a 的取值范围.
12.第 12 题中如果是有 3 个解, 有 2 个解, 有 1 个解, 有 0 个解呢? 分别求实数 a 的取值范
围.13.分解因式: x4+2x3-7x2-8x+12.
训练 53
(建议用时: 20 分钟)
1. 8- 15=
2.解方程: x2+2x 2-2x2+2x
故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
-3=0.
x2-2x-3
3.解不等式: >0.
2x2+1
4.画出 y=|lnx| 的大概函数图象.
5.画出 y=ex-1 的大概函数图象.
6.分解因式.
(1) x4-4x+3;
(2) x8+x4+1;
(3) 1-2x-3x2;
(4) x2+3xy+2y2+5x+7y+6. 7. 解不等式: |x-1|+|x+2|>4.
7.比较大小: 11- 10 与 10- 9.
8.当 a≤x≤a+1 时, 求 y=x2-x+1 的最小值 ( a 为常数,结果可用 a 来表示).
9.当 a≤x≤a+1 时, 求 y=x2-x+1 的最大值 ( a 为常数,结果可用 a 来表示).训练 54
(建议用时: 20 分钟)
1.已知 x∈(-1,4),y∈(-3,-2), 求 x-y 的取值范围.
2.求 y=x+ 2x-1 的值域.
5
3.点 P ,-2
2
到直线 y=2x-2 的距离为
4.求下列函数的定义域.
x+1
(1) f(x)= ;
x-2
1
(2) f(x)= 1-
3
x
1
(3) f(x)= .
log (x-1)
2
5.计算.
1
(1) |- 3|-(4-π)0+2sin60°+
4
-1
;
(2) 3tan30°-2tan45°+2sin60°+4cos60°.
1
6.x-
x2
9 1
的展开式中, 的系数是
x3
1
7.已知 x>-1, 则 x+ 的最小值是
x+1
1 2
8.若点 A(-2,-1) 在直线 mx+ny+1=0 上, 其中 m,n 均大于 0 , 则 + 的最小值 为
m n
π
9.已知 sinx-
4
3 7π
= , 则 cosx-
4 4
=
x2 y2
10.已知椭圆 4 + 3 =1, 若 Px 0 ,y 0
故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
是椭圆上的一个动点, 则 x +y 的最大值是 0 0训练 55
(建议用时: 20 分钟)
π π
1.已知 x∈- ,
6 3
π π
,y∈ ,
4 2
, 则 2x-y 的取值范围是
2.求 y=x+ 1-2x 的值域.
3.直线 y=2x+3 到直线 y=2x-2 的距离为
4.求下列各式的值.
(1) log 1;
1.2
(2) log 81;
9
(3) 2log 3;
9
(4) eln8.
5.计算.
1
(1) -12018+
2
-2
-(π-3.14)0;
(2) (a+2)2-(a+1)⋅(-a-1).
6.在 (3x-2)5 的展开式中, x3 项的系数为
1 1
7.已知 x>- , 则 2x+ 的最小值是
2 2x+1
8.若 M(m,n) 为直线 l:3x+4y+2=0 上的一个动点, 则 m2+n2 的最小值为
π
9.已知 sinθ+sinθ+
3
π
=1, 则 tanθ+
6
=
x2
10.已知椭圆 2 +y2=1, 若 Px 0 ,y 0 是椭圆上的一个动点, 则 2x +y 的最大值是 0 0
训练 56
(建议用时: 20 分钟)
1.A10-89A8-8A7=
10 8 7
2.已知 C2 +A2=51, 则正整数 n=
n+1 n
3.已知 -4≤a-c≤-1,-1≤4a-c≤5, 求 9a-c 的取值范围.
1 1
4.若不等式 ax2+bx+2>0 的解集是 x∣- 0 的解集为1 1
5.已知 a>0,b>0, 且 + =1, 则 4a+2b 的最小值为
a b
6.直线 xsinθ+y+m=0(θ∈R) 的倾斜角 α 的取值范围是
7.直线 l 过点 M(-1,2), 且与以 P(-4,-1),Q(3,0) 为端点的线段相交, 则直线 l 的斜率 的取
值范围是
cos(π-α) π
8.(1)化简: sin -α
sin(α-π) 2
π
cosα+
2
;
sin47° 1
(2) 计算: - ;
sin17° 2tan17°
π
sin(2π-α)cos(π+α)+cos +α
2
(3) 已知 tanα=2, 计算
11π
cos -α
2
π
cos -α
2
9π
sin(3π-α)-sin(-π-α)sin +α
2
.
9.比较大小.
5
(1) (-2)-3,-
2
-3
;
(2)
-8-2
8,-
1
9
7
3;
1
(3)
2
3 1
4,
5
3 1
4,
2
1
4.
1
10.求证: S = acsinB.
△ABC 2
训练 57
(建议用时 : 20 分钟)
A2-A1
1. 5 10.
A3+A1
3 1
2.已知 C 1 2 7 τ=C 1 x 7 +2x∈N∗ , 求 x.
2a
3.已知 120 的解集为 x∣- a-2 可以变形为 x<1, 则 a 的取值范围为
3.f(x)=lgbx+ (bx)2+1
故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
是 函数(填“奇”或“偶”).
4.已知 (x-2019)2+(x-2021)2=48, 则 (x-2020)2=
2 1
5.比较大小: - .
k4+1 k2x-3 1
6.已知 >0, 则 - 的取值范围是
x2+1 x2
x-3 2
7.已知 >0, 则 的取值范围是
x+1 x
8.已知复数 z 满足 1+zi=z-i, 则 z=
9.已知 Cm=C2m-1, 则 m 等于
8 8
10.从班委会 5 名同学中选出 3 名同学担任劳动教育宣讲员, 不同的选法种数为
2
11.在 x-
x
6
的展开式中, 常数项为
12.已知 a=(1,0,1),b=(x,1,2), 且 a⋅b=3, 则向量 a 与 b 的夹角为
13.已知平面向量 a,b 满足 a=(1,x),b=(2,1), 若 (a-b)⊥b, 则 x=
2sinα+cosα
14.已知 tanα=-2, 则 =
cosα-sinα
15.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形, 则这个圆柱的表面积与侧面积的比是
训练 59
(建议用时: 20 分钟)
1.计算.
(1) (lg5)2+3lg2+2lg5+lg2×lg5;
(2) log 6 2 2+log 6 3
1
2+3log 2×log 318- log 2 6 6 3 6 .
2.若关于 x 的方程 x2-4x+8=m 无实根, 则 m 的取值范围是
1-bx
3.f(x)=log (b≠0) 是 函数(填“奇”或“偶”).
a1+bx
3
4.已知
4
-a 4
>
3
故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
-a
, 则实数 a 的取值范围是
2 1
5.比较大小: - (k>0).
k2+1 k
x-3 1
3已知 >0, 则 的取值范围是
x2+x+1 x2+x2x+1
6.已知 (x-1)2>4, 则 的取值范围是
x
7.计算: i+i2+i3+⋯+i2022=
8.甲、乙、丙、丁四位同学要与两位老师站成一排合影留念, 则甲同学不站两端且两位老师 必须
相邻的站法有 种.
2
9.在 x2-
x
n
的展开式中, 所有二项式系数的和是 32 , 则展开式中各项系数的和为
10.已知向量 a=(1,0,m),b=(2,0,-2 3), 若 a⎳b, 则 |a|=
11.已知向量 a,b 满足 |a|=1,|b|=2, 且 |a+b|=|a-b|, 则 |2a+b|=
12.已知 tanα=2, 则 2sinα+cosα=
13.将一个直角边长为 2 的等腰直角三角形绕其直角边所在的直线旋转一周所得圆雉的内 切球
的表面积为
训练 60
(建议用时：20 分钟)
1.若 Cx=C3x-4, 则实数 x 的值为
20 20
2.C3+C3+C3+⋯+C3+C3=
3 4 5 10 11
3.已知随机变量 X 服从两点分布, E(X)=0.7, 则其成功概率为
4.若 X∼B(10,0.5), 则 P(X=k) 取得最大值时, k=
4x
5.若 x>0, 则 的最大值为
x2+1
6.比较大小.
3 3
(1) 1.55 1.75
(2) 0.71,5 0.61.5;
(3)
(-1.2)-2
3
1.25-2
3
7.计算.
1+i
(1)
1-i
6 2+ 3i
+ ;
3- 2i
1 3
(2) + i
2 2
故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
48.分解因式.
(1) x2+(a+2)x+a+1=
(2) ax2+(2a+1)x+2=
9.求证: 等比数列 a
n
的前 n 项和为 S =
a 11-qn
n
(q≠1).
1-q
训练 61
(建议用时: 20 分钟)
1.若 3C3 =5A3, 则正整数 n=
2n n
2.在含有 3 件次品的 5 件产品中, 任取 2 件, 则至少取到 1 件次品的概率为
3.已知随机变量 ξ∼N2,σ2 , 若 P(2≤ξ<3)=0.3, 则 P(ξ<1)=
4.已知随机变量 X∼B(4,p), 且 E(X)=3, 则 P(X≤3)=
8x
5.若 x>0, 不等式 >m2-m 有解, 则实数 m 的取值范围是
x2+4
6.比较大小.
(1) log 2.5,log 2.9,log 4.6;
3.8 2.8 2.8
(2) 8-0.7,log 0.8,log 0.7;
7 0.8
(3) log 5,log 5.
2 3
7.计算.
1-i (1) (1+2i)⋅i100+
1+i
5
2 1+i -
2
20 ;
1-i
(2) ∑2021
k=1 1+i
k
=
8.分解因式.
(1) ax2+3ax+2a=
(2) ax2+a2-1
故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
x-a=故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
9.求证三角形的中线长定理(用 a,b,c 表示).
训练 62
(建议用时: 20 分钟)
1.(2- 3)2021( 3+2)2020=
2.已知 |x+3|+(y-1)2+ x+z-4=0, 求 x+yz=
3. 11 的整数部分是 x, 小数部分是 y, 则 y(x+ 11) 的值为
4.若 (x-2)x+1=1, 则 x 的值为
5.一组数据 1,3,5,5,8 的中位数是
6.若一组数据 1,x,7,7,9,10 的众数与平均数相等, 则这组数据的中位数为
7.已知一个样本 1,2,3,x,5 的平均数是 3 , 则这个样本的方差是
8.已知 x,x ,x ,x ,x 的平均数是 x, 方差是 s2, 则 x+1,x +1,x +1,x +1,x +1 的方差是
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
9.我们将 2022 年 2 月 2 日用一组数字“ 20220202 ”表示, 这组数字中“2”出现的频率是
3x ax
10.若关于 x 的方程 -1= 无解, 则 a 的值为
x-2 x-2
x-2y=-1, x+y=m,
11.已知方程组 和 的解相同, 则 2n-m=
x+2y=n x-y=2
12.计算百分位数.
(1) 1,2,2,3,4,5,6,6,7,8, 其中位数为 m, 第 60 百分位数为 a, 则 m+a=
(2) 数据 1,5,9,12,13,19,21,23,28,36 的第 25 百分位数是
(3) 数据 11,12,13,15,16,18,19,20,25,30 的第 40 百分位数是
(4) 已知一组数据 4.3,6.1,4.2,5.0,5.3,5.5, 则该组数据的第 25 百分位数是1 1 7
13.已知 - = , 求 Cm
Cm Cm 10Cm 8
5 6 7
训练 63
(建议用时: 20 分钟)
1 1 1
1.证明: + + +⋯<1.
2 4 8
2.解方程.
(1) x-3 2+x- 2 1 = 2 ;
x
1
(2) x- =3x-1.
x
3.(1)已知等差数列 a
n
,a =3,d=-2, 则 a =
2 n
(2)已知等差数列 a
n
,a +a =3,a =5, 则 a =
2 4 5 n
(3) 已知等差数列 a
n
,a -a =3,a =2, 则 a =
2 5 3 n
1 5 x2-1
4.(1)已知 x+ > , 则 的取值范围是
x 2 x
1 5 x2-1
(2)已知 2x+ > , 则 的取值范围是
x 2 x
5.已知直线 l:(a-2)y=(3a-1)x-1 不过第二象限, 则 a 的取值范围为
6.圆 C:x2+y2-4x-4y-6=0 的半径等于
7.已知圆 x2+y2=4 上有且仅有四个点到直线 12x-5y+c=0 的距离为 1 , 则实数 c 的取值
范围是
8．4,4,6,7,7,8,9,9,10,10 的 75% 分位数为
9.从 2 名医生、4 名护士中选取 1 名医生、2 名护士支援一线抗疫,护士甲恰被选中的概率为
1
10.1+
x2
故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
(1+x)6 的展开式中, x2 的系数为训练 64
(建议用时 : 20 分钟)
1.设 α:2a0 时, 函数 f(x)=m- 具备单调性.
3x-1
训练 65
(建议用时: 20 分钟)
1.若直线 mx-2y=1 与 6x-4y+n=0 重合, 则 m+n=
2.已知一直线的倾斜角为 α, 且 45°≤α≤150°, 则该直线的斜率的取值范围是
2
3.x- +1
x2
故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
6
的展开式中常数项为4.画出 y=e2x-1 的图象.
5.比较大小.
7 1
(1) a=log ,b=
32 4
1 1
3,c=log ;
1 5
3
(2) a=log 3,b=log 0.3,c=0.70.3;
0,7 0,7
1
(3) a=log e,b=ln2,c=log .
2 1 3
2
6.2(1-i)2+(1+i)2=
7.化简下列各式.
1
(1)
4
-1 4ab-1
2×
3
(0.1)-2a3b-3
lg8+lg125-lg2-lg5
; (2) .
1 lg 10×lg0.1
2
π
8.已知 sinα-
3
2 π
= , 则 cos2α+
3 3
=
9.设等差数列 a
n
的前 n 项和为 S , 且 S >0,S <0, 则 S 取最小时, n=
n 4045 4044 n
10.等差数列 a
n
故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
的前 n 项和为 S , 满足 a>0,a +S =0, 则使 S S <0 的 n 的值为
n 1 9 11 n n+1
11.已知 cos2A+cos2C=1+cos2B 且 b=1, 求 B.训练 66
(建议用时: 20 分钟)
1.化简:
4 1
(1) (1-a)⋅ ;
(a-1)3
(2) 3a5⋅ 3a7÷a6
a3 3 5b3
(3) ⋅ (a>0,b>0).
5b2 4a3
π π
2.已知 f(sinx)=2x+1 x∈ - ,
2 2
, 则 f(cos10)=
3.2n-2n-1-2n-2-⋯-2-1=
1
4.若 x<0, 则 x+ 的最大值为
x
1
5.已知 x,y∈(0,+∞),3x-4=
9
y
, 则 xy 的最大值为
4 1
6.已知 x,y 都是正数, 且 x+y=2, 则 + 的最小值为
x+2 y+1
7.已知两直线 l:x-2y+6=0 与 l :-3x+6y-9=0, 则 l 与 l 间的距离为
1 2 1 2
8.直线 y=2x+1 关于直线 y=2x+3 对称的直线方程为
9.已知 2cos2x=1, 则 x=
1
10.已知 cos2x= , 则 cosx=
3
π
11.已知 sinx+
4
1 7π
= , 则 cosx+
4 4
故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
=
12.已知向量 a=(λ+1,0,2λ),b=(6,2μ-1,2), 若 a⎳b, 则 λ+μ 的值是
13.求证一元二次方程的韦达定理的表达式.训练 67
(建议用时: 20 分钟)
1.分解因式: ax2-(a+1)x+1.
2.log 3+log281=2, 则 m=
m m
x3-8
3. -3x-4=
x-2
x2+3
4. 的最小值为
x2+1
5.求函数 y=xlnx 的最小值.
6.写出 xex 变形成 ex+lnx 的过程.
5.在等差数列 a
n
中, a =2,a =-2, 则 a =
5 9 n
6.已知在数列 a
n
中, a=1,a =3a +3n, 则 a =
1 n+1 n n
7.已知数列 a
n
3 3a
满足 a= ,a = n , 则 a =
1 2 n+1 a +3 n
n
π
8.若函数 f(x)=sinx+acosx 的图象关于直线 x= 对称, 则 a=
6
2cos10°-sin20°
9.计算: =
sin70°
sinxcosx
10.函数 f(x)= 的值域为
1+sinx+cosx
3
cos π-α
2
11.化简:
故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
α
-tan (1+cosα)
2
(0<α<π)=
1-cosαπ π
12.函数 f(x)=sin2ωx+1(ω>0) 在 ,
6 2
上单调递增, 则 ω 的取值范围为
训练 68
(建议用时 : 20 分钟)
1.分解因式: kx2+(3-k)x-3.
2.log 2+log 16=2, 则 m=
m m
3.x3-8-3x+6=
x2+5
4.求 的取值范围.
x2+4
5.求函数 y=lnx-x+1 的最大值.
ex
6.写出 变形成 ex-lnx 的过程.
x
7.已知等比数列 a
n
满足 a=3,a+a +a =21, 则 a +a +a =
1 1 3 5 3 5 7
8.已知数列 a
n
的前 n 项和为 S , 若 a=1,a =3S (n≥1), 则 a =
n 1 n+1 n n
9.已知数列 a
n
满足 a=2,a =a2, 则数列 a
1 n+1 n n
的通项公式为 a =
n
π
10.已知 f(x)=2cosx⋅sinx+
6
+ 3sinx⋅cosx-sin2x, 求函数 y=f(x) 的单调递增区间.
cos10°- 3cos100°
11.计算: .
1-cos80°
π
12.已知 α∈0,
2
π
,sinα-
3
5 π
= , 则 cosα+
13 3
故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
=
x-1 x+1
13.不等式 < 的解集为
x+1 x-114.抛物线 C:x2=4y, 若 P 是直线 x-2y-4=0 上的一动点, 过点 P 向 C 作两条切线, 切
点 分别为 M,N, 试探究直线 MN 是否过定点. 若是, 请求出定点; 若否, 请说明理由.
训练 69
(建议用时: 20 分钟)
1．1.26516×3.14=
(-1+ 3i)3
2.已知 =a+bi, 则 a+b=
(1+i)6
2x2+6x+3
3.分离常数: .
x2+3x+1
-1≤x+y≤4,
4.已知实数 x,y 满足 则 z=2x-3y 的取值范围是
2≤x-y≤3,
x 1
5.比较大小: .
1+x2 2
6.求值域.
3x+2
(1) y= ;
2x+3
(2) y=-2x2+x+1;
(3) y=2sinx+cosx.
7.(1) acosC+ 3asinC-b-c=0, 求角 A.
(2) (a-c)sinA+csin(A+B)=bsinB, 求角 B.
sinA bsinB
(3) + =1, 求角 C.
sinB+sinC bsinA+csinB
2π 2π
8.已知 - ω, ω
3 3
π π
⊆ - ,
2 2
故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
, 求 ω 的最大值.9.求下列函数的导数.
(1) f(x)=(1+sinx)(1-4x);
x
(2) f(x)= -2x;
x+1
1
(3) f(x)= +xlnx-2.
x
训练 70
(建议用时: 20 分钟)
1.解不等式.
(1) 6-2x≤x2-3x<18;
x+2
(2) ≥1;
3x-1
(3) x2-3|x|+2>0.
π
2.已知 y=-2sin3x-
6
故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
, 求:
(1) 函数的对称中心;
(2)函数的对称轴;
(3)函数的单调递增区间.
3.画出方程 x-1= 1-y2 表示的曲线.
4.(x+y)(2x-y)6 的展开式中 x4y3 的系数为
5.求经过 A(0,0),B(-2,0),C(0,2) 三点的圆的方程.
6.写出圆 2x2+2y2+3x-ay=0(a∈R) 的圆心坐标和半径.
4 1
7.若点 (1,1) 在直线 bx+ay=1(a>0,b>0) 上, 则 + 的最小值为
a b
x2 y2
8.若方程 + =1 表示椭圆,求 k 的取值范围.
5-k k-3x+2y+3z
9.已知 x-2y+z=0,x+y-5z=0(xyz≠0), 则 的值为
2x+2y+5z
x2 y2
10.已知 P(x,y) 是椭圆 + =1 上一点, 求点 P 到点 A(3,0) 的距离的取值范围.
16 12
11.在 △ABC 中, 已知点 A(4,0),B(-3,4),C(1,2), 求 BC 边上中线所在的直线方程.
训练 71
(建议用时: 20 分钟)
1. 复数化简.
7+i
(1) =
3+4i
i
(2) =
2+i
1+i
(3) =
1+2i
2.判断函数 y=ln 1+4x2+2x 是否为奇函数.
3.不等式 |2x-1|0
x+1
, 则 A∩B=
1 1 1 1
5.计算 1× +2× +3× +⋯+9× =
2 22 23 29
6.已知数列 a
n
故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
满足 2a+7a +12a +⋯+(5n-3)a =4n, 求 a .
1 2 3 n n
b+c
7.若 A=60°,a= 3, 则 等于
sinB+sinC8.若直线 l:kx+y-k=0(k∈R) 与圆 C:x2+y2-4x-2y-3=0 交于 A,B 两点, 则 △ABC
面积的最大值为
f(x+4), x<0,
9.已知函数 f(x)= 则 f(-2022)=
log (x+2), x≥0,
1
2
10.若函数 f(x)= ax2+ax+1 的定义域为 R, 则 a 的取值范围是
x2-1
11.函数 f(x)= 的值域为
x2+3x+2
训练 72
(建议用时 :20 分钟)
1.(1) 双曲线 2y2-x2=1 的渐近线方程为
y2
(2) 双曲线 x2- =1 的渐近线方程为
4
y2
(3) 双曲线 -x2=1 的渐近线方程为
3
2.裂项.
3
(1) =
(3n-1)(3n+2)
2
(2) =
n(n+1)
3.若 1b>c, 且 a+b+c=0, 则 的取值范围是
a
5.若关于 x 的不等式 x2-3ax+2>0 的解集为 (-∞,1)∪(m,+∞), 则 a+m 的值 为
1
6.设集合 M=x∣ <2x<8 2 ,N=x∣x2-2x<0 , 则 M∩N=
1 1
7.若不等式 ax2+bx+2>0 的解集是 x∣- 0 的解集为
1 1 n
8.已知 a>b>c,n∈N∗, 且 + ≥ 恒成立, 则 n 的最大值为
a-b b-c a-c9.已知 |a|= 2,|b|=1,(a+b)⊥b, 则向量 a 与 b 的夹角为
m
10.已知 x-
x
1
x+
x
5
的展开式中常数项为 20 , 则 m=
2
11. x+ +1
x
故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
5
的展开式中, x 的系数为
x2+3xy+y2
12.若 x2+xy-2y2=0, 则 =
x2+y2
a
13.已知 5a2-1999a+8=0,8b2-1999b+5=0, 则 =
b
训练 73
(建议用时: 20 分钟)
1.化循环小数为分数: 1.23=
2.分解因式: 2a2-8a+8=
x2-x-2
3.已知分式 的值为 0 , 则 x 的值为
|x|-1
a2-b2
4.已知 a>b>0,a2+b2=4ab, 则 的值为
ab
5.已知 a
x 2+a-x
2=5(a>0,x∈R), 则 a
3
2
x +a-3
2=
ax2+bx-x+2
6.已知对于任意的 x∈R, 为定值,则 a+b 的值为
2x2+1
2 2
7.已知 a+ = 20, 则 a- 的值为
a a
5 x+1- x-1 x+1+ x-1
8.若 x= , 则 + =
2 x+1+ x-1 x+1- x-1
a2-4
9.若分式 没有意义, 则 a 的值是
1+3a
1+
2a
10.若 x=6 是关于 x 的不等式 x>2(x-a) 的一个解, 则 a 的取值范围是11.已知关于 x 的不等式 x-13Cm, 则 m 的值可能为
8 8
11.利用正弦定理证明角平分线定理, 即三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段 与这
个角的两边对应成比例.
训练 75
(建议用时：20 分钟)
2 1 1
1. ÷ + =
3 2 3
2. 165.2+232-323=
3.已知函数 y=-x2+4x-2, 当 1≤x≤4 时 y 的最小值是
4.求下列函数的导数.
(1) y=x2+2x-1 e2-x;
1
(2) y=ln ;
1+x2
(3) y=log (2x-1).
3
π
5.已知 cos -a
6
2 π
= , 则 sin +2a
3 6
=
π
6.已知 α∈0,
2
故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
.
(1) 若 tanα=2, 则 sinα=
(2) 若 tanα=3, 则 sinα=
(3) 若 tanα=4 3, 则 sinα=7.比较大小.
(1) log 2 5- 2 1
3
3
(2) log 3
2 2
8.已知点 A(4,0),B(4,4),C(2,6),O 为坐标原点, 则 AC 与 OB 的交点 P 的坐标为
9.已知函数 f(x)=ax2-b 满足 -4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5, 则 f(3) 的取值范围 是
10.已知 F 为抛物线 y2=2x 的焦点, Ax 0 ,y 0 为抛物线上的一动点, 点 B(-1,0), 则
2|AB|
的最大值为
2|AF|+1
训练 76
(建议用时: 20 分钟)
5π
1.若 tan -α
4
3 sin2α+cos2α
= , 则 的值是
5 sin2α-cos2α
2 6
2.若 sinx+siny= ,cosx+cosy= , 则 sin(x+y) 的值为
2 2
2-x 1
3.解方程: =1- .
x-3 3-x
2-mi m
4.已知 =i,(m,n∈R), 则 =
1+ni n
5.若复数 z 满足 |z-i|=2, 则 |z| 的最小值为
π
6.已知 sinα+
5
3 π
= , 则 sin2α-
4 10
=
1
2cos4x-2cos2x+
2
7.化简:
π
2tan -x
4
π
sin2 +x
4
=
cos40°+sin50°1+ 3tan10°
8.化简求值:
故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
sin20°-sin40°
+ .
sin70° 1+cos40° cos20°-cos40°
9.若 AB=2,AC= 2BC, 则 S 的最大值是
△ABCx x
10.已知函数 f(x)= - , 则 f(3x-2)≥f(2x-1) 的解集为
2x+1 2
6
11.函数 f(x)= +lg x2+1+x
ex+1
的最大值为 M, 最小值为 N, 则 M+N=
12.求证: 在 Asinx+Bcosx=C 中有 A2+B2≥C2.
训练 77
(建议用时 : 20 分钟)
1.计算:
8-2
3+lg100--
7
8
0
=
1 17
2.计算 0.0273+2560.75-4
27
-1 1
3-7295=
2 1 3.计算 (-8)3×
2
-2 × 327-1=
2+i
4.已知复数 z= , 则 |z|=
3-4i
3-i
5.已知复数 z= ,z 为 z 的共轭复数, 则 z 的虚部为
3+i
6.若 log 2=a,14b=5,用 a,b 表示 log 28.
14 35
7.设 a=lg6,b=lg20, 则 log 3=
2
x2+1
8.已知 x-3>0, 则 的取值范围是
x
x2-1
9.已知 ln(x-3) 有意义, 则 的取值范围是
x
(x+1)2+ln x2+1+x
10.设函数 f(x)=
故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
的最大值为 M, 最小值为 N, 则 M+N 的值为
x2+1
11.已知直线 l:tx-(t+1)y+1=0 与直线 l :2x-ty-1=0 垂直, 则 t=
1 212.正四面体的侧棱和底面夹角的正弦值是多少?
13.若函数 f(x)=sinx⋅lnx+ a+x2 (a>0) 为偶函数, 则 a=
ax
14.利用定义法证明函数 f(x)= (a>0) 在 x∈(-1,1) 上的单调性.
x2-1
训练 78
(建议用时: 20 分钟)
1.已知 x2-x-1=0, 则 x3-2x+1=
2.已知整数 x,y 满足方程 2xy+x+y=83, 则 x+y=
2x2-3x+4 c
3.把 化为 ax+b+ 的形式.
x+1 x+1
3x3-4x2+2x+5 d
4.把 化为 ax2+bx+c+ 的形式.
x-1 x-1
1
5.当 a<1 且 a≠0 时, 试比较 与 1+a 的大小.
1-a
x2
6.若 x2-3x+1=0, 则 的值为
x4+x2+1
1
7.1-
4
1
1-
9
1
1-
16
1
⋯1-
25
=
8.分解因式.
(1) (y-1)2-10(y-1)+25;
(2) (x+2)(x+4)+1;
(3) x4-18x2y2+81y4;
(4) y2-1 2-6y2-1 +9;
(5) 2a3b-4a2b2+2ab3
(6) m2-4m 2+8m2-4m
故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
+16.
9.已知圆 F:(x+1)2+y2=9, 圆 F:(x-1)2+y2=1, 动圆 P 与圆 F 内切, 与圆 F 外切. O 为
1 2 1 2
坐标原点.(1) 求圆心 P 的轨迹 C 的方程;
(2) 若直线 l:y=kx-2 与曲线 C 交于 A,B 两点, 求 △OAB 面积的最大值, 以及取得最大值
时直线 l 的方程.
训练 79
(建议用时 : 20 分钟)
1.若集合 A={x∣2x-1>0},B={x||x∣<1}, 则 A∪B=
2.已知全集 A=y∣y= x-x2 , 集合 B=x∣x2<1 , 则 A∩B=
5π 7π
3.若 <α< , 则 1+sinα+ 1-sinα=
2 2
2cos10°-sin20°
4.计算: =
sin70°
sin10°+cos70°
5.计算: =
sin80°+cos20°
6.函数 f(x)=sin2x- 3cos2x-sin2x 的图象为 C, 下列结论中正确的是
11
(1) 图象 C 关于直线 x= π 对称.
12
2π
(2) 图象 C 关于点 ,0
3
对称.
π 5π
(3) 函数 f(x) 在区间 - ,
12 12
内单调递增.
π
(4) y=2sin2x 的图象向右平移 个单位长度可以得到图象 C.
3
1 cos(π+θ) cos(θ-2π)
7.已知 sin(3π+θ)= , 则 +
3 cosθ[cos(π-θ)-1] 3π
sinθ-
2
3π
cos(θ-π)-sin +θ
2
故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
=β
8.若 α,β∈(0,π),cosα-
2
12 α
=- ,sin -β
13 2
4 α+β
= , 则 sin =
5 2
π
9.已知 cosα+
3
1 π
= , 且 α∈0,
3 2
π
, 则 sin2α+
6
的值为
3π 3π
10.若函数 f(x)=2 3sinωxcosωx+2sin2ωx+cos2ωx 在区间 - ,
2 2
上单调递增, 则正
数 ω 的最大值为
训练 80
(建议用时: 20 分钟)
1.若 -10), 若非 p 是 q 的充分不必要条件, 则 实数
a 的取值范围是
sin24°cos6°-sin66°sin6°
6.(1) 计算: .
sin21°cos39°-cos21°sin39°
π
sin +α
2
(2) 已知 tanα=3, 求
+3sin(π+α)
3π
cos -α
2
故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
的值.
-cos(5π+α)
7.经过点 A(1, 5) 和 B(2,-2 2), 且圆心在 x 轴上的圆的一般方程为8.已知在 △ABC 中, AB=AC,D 为 AC 的中点, BD=3, 则 △ABC 面积的最大值为
9.等差数列 a
n
S S
中, a=2020, 前 n 项和为 S , 若 12 - 10 =-2, 则 S =
1 n 12 10 2022
10.若数列 a -a
n+1 n
是等比数列, 且 a=1,a =2,a =5, 则 a =
1 2 3 n
11.数列 a n 满足: a 1 =1,a n =a 1 +2a 2 +3a 3 +⋯+(n-1)a n-1n≥2,n∈N∗ , 则通项 a = n
12.已知数列 a n
n+2
的前 n 项和为 S n , 且 a 1 =2,a n+1 = n S nn∈N∗ , 则 a = n
13.已知在数列 a
n
故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
a a a
中, a=1,a+ 2 + 3 +⋯+ n =a -1, 则 a =
1 1 2 3 n n+1 20
训练 81
(建议用时: 20 分钟)
1.计算.
tan15°+1
(1) =
tan15°-1
(2) cos422.5°-sin422.5°=
(3) sin15°sin45°sin75°=
(4) tan37°+tan23°+ 3tan37°tan23°=
2.若命题 p:“∃x∈R,ax2+2ax-4≥0 ”为假命题, 则 a 的取值范围是
3.写出 y=lnx 的反函数.3.已知集合 A=x∣log x<2
2
, 则 ∁ A=
R
4.在平行四边形 ABCD 中, |AC|=6,AB⋅AD=5, 则 |BD|=
5.已知向量 a=(2t,2),b=(-2-t,-5), 若向量 a 与向量 a+b 的夹角为钝角, 则实数 t 的 取
值范围为
6.已知数列 a
n
满足 a=1,a =2a +1(n≥2), 则数列 a
1 n n-1 n
的通项公式为
7.在等比数列 a
n
中, a =9,a =243, 则 ∑4 a=
2 5 i=1 i
1
8.已知 F 是抛物线 y2=2x 的焦点, A 为抛物线上的动点, 点 B- ,0
2
|AB|
, 则当 取最大
|AF|
值时, |AB| 的值为
9.若 2x-1= (x-2)2+y2, 则 (x+2)2+y2+ (x-2)2+y2 的最小值为
10.求证: 在斜三角形中, tanA+tanB+tanC=tanA⋅tanB⋅tanC.
训练 82
(建议用时: 20 分钟)
1.方程 13-x=x-1 的解为
4 36
2.已知 a>0,b>0, 且点 (a,b) 在直线 x+y=4 上, 则 + 的最小值为
a b
3.已知集合 A={x∣ x-1<2},B=y∣y=2x-1+3 , 则 A∩∁ R B
故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
=
4.解不等式.
2x2+3x-7
(1) ≥1;
x2-x-2
(2) (x-1)(x+2)(x-3)>0;
(3) |2x-3|>3x-2;
1 x
(4) ≤1- .
x-4 4-x5.求函数的最大值.
x2+2
(1) y= (x<1);
x-1
x+2
(2) y= (x>-2).
2x+5
6.已知 O 为坐标原点, A(1,0,0),B(0,-1,1), 若 OA+λOB 与 OB 的夹角为 120°, 则实数 λ=
1
7.在三棱雉 A-BCD 中, E 是 BC 的中点, 则 AE- (AC+AD)=
2
3 1
8.O 为空间中任意一点, A,B,C 三点不共线, 且 OP= OA+ OB+tOC, 若 P,A,B,C 四
4 8
点共面,则实数 t=
9.直线 l 的方向向量为 d=(-1,1,1), 平面 α 的一个法向量为 n=2,x2+x,-x
故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
, 若直 线 l⎳
平面 α, 则 x 的值为
10.已知空间向量 a,b,c 满足 a+b+c=0,|a|=1,|b|=2,|c|= 7, 则 a 与 b 的夹角为训练 83
(建议用时: 20 分钟)
4
1若 x∈(1,+∞), 则 y=x+ 的最小值是
x-1
2若 A3 m =6C m 4m∈N∗,m≥4 , 则 m=
3Cm+2+C17-m 的值等于
10 10
4求下列函数的导数.
(1) f(x)=(-2x+1)2;
(2) f(x)=ln(4x-1);
(3) f(x)=23x+2
(4) f(x)= 5x+4;
π
(5) f(x)=sin3x+
6
.
5已知 x>0,y>0,x2+2xy-2=0, 则 2x+y 的最小值是
1 2
6已知点 A(2,1) 在一次函数 y=mx+n 的图象上, 其中 m>0,n>0, 则 + 的最小值
m n
为
7已知随机变量 ξ∼N1,σ2
故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
1 9
, 且 P(ξ≤1)=P(ξ≥a-3), 则 + (0 +1.
6 4
3计算.
1
(1) 12- 18+3 + 8=
3
1
(2) ( 6-2 15)× 3-6 +3 20=
2
5π 7π π
(3) 2sin +2cos -tan-
6 6 3
=
π
4在 △ABC 中, B+C= ,AB=2,AC=3, 则 BC=
3
tan35°+tan25°
5 =
1-tan35°tan25°
6数列 a
n
1
的通项公式 a = , 若 S =9, 则 n=
n n+1+ n n
7设 S 是数列 a
n n
2
的前 n 项和, 且 a = , 则 S =
n n(n+1) n
8已知数列 a
n
故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
1 1
中, a=1, - =n+1, 则其前 n 项和 S =
1 a a n
n+1 n
x+10
9不等式 >1 的解集为
(x-2)2
2. 训练 85
(建议用时: 20 分钟)
a+b b+c a+c
1若 = = =k, 则 k=
c a b
11-1 2
2试比较大小: - .
3 3
3若 a+b=5,ab=2, 则 a4+b4+3a2b2 的值是x-1 x+1
4不等式 < 的解集为
x+1 x-1
ax+c
5若不等式 ax2+bx+c>0 的解集为 (-2,4), 则不等式 ≤0 的解集为
bx-c
4m-6
6要使 sinα- 3cosα= 有意义, 则实数 m 的取值范围为
4-m
y+2
7若 >0, 且 x+y=5, 则 x 的取值范围是
2x-1
8已知等差数列 a
n
满足 a +a +a >0,a +a <0, 若 S >0, 则项数 n 的最大值是
7 8 9 7 10 n
3⋅2n,n 为奇数,
9已知数列 a
n
=
2n-1,n 为偶数,
则 S
21
=
10已知数列 a
n
的首项为 -1,a a =-2n, 则数列 a
n n+1 n
的前 10 项之和等于
π
11已知 sinα+
3
2 2π
=- , 则 sin -α
3 3
π
+cosα-
6
=
π
12已知 sin +α
3
1 π
= , 则 cos -2α
3 3
=
13已知圆 M:x2+y2-2x=0 与圆 N:x2+y2-8x+a=0 外切.
(1) 求实数 a 的值;
(2) 若直线 x-y-2=0 与圆 M 交于 A,B 两点,求弦 AB 的长.
3. 训练 86
(建议用时: 20 分钟)
1写出下列三角函数值.
(1) cos60°=
π
(2) sin-
6
故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
=
π
(3) tan =
4
(4) cos1020°=
2化简下列各式.(1) cos(π-α)=
π
(2) sin -α
2
=
(3) cos(-α)=
17π
3计算: sin-
6
20π
+cos-
3
53π
+tan-
6
=
4已知奇函数 f(x)= 3sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π) 的周期为 π, 将函数 f(x)
π
的图象向右平移 个单位长度, 可得到函数 y=g(x) 的图象, 则下列结论正确的是
6
π
(1) 函数 g(x)=2sin2x-
3
.
π π
(2) 函数 g(x) 在区间 - ,
6 3
上单调递增.
π
(3) 函数 g(x) 的图象关于直线 x=- 对称.
12
π
(4) 当 x∈ 0,
2
时,函数 g(x) 的最大值是 3.
5已知 △ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 若 a=2,b=1,B=30°, 则 A=
6已知锐角 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 若 a=1,2cosC+c=2b, 则角 A=
π π
7若曲线 y=alnx+x2(a>0) 的切线的倾斜角的取值范围是 ,
3 2
故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
, 则 a=
4. 训练 87
(建议用时 : 20 分钟)
x+y=3,
1方程组
的解为
2x-3y=1
mx+3y=4,
2已知 x,y 满足方程组 且 x+y=1, 则 m=
3x-2my=-1,
3已知复数 z=1-i,z =2+i,那么 z⋅z =
1 2 1 2
4设 x,y∈R, 且 (x+2)-2xi=-3y+(y-1)i, 则 x+y=
5若 C2n+6=C3n+2(n∈N), 则 n=
20 206方程 3Cx-7=5A2 的根为
x x-4
1
7 62x-
3x
9
的展开式中的常数项为
8若 P(A∣B)=0.6,P(B∣A)=0.3, 且 A,B 相互独立, 则 P(A∩B)=
2
9已知随机变量 ξ∼B2,
3
, 则随机变量 ξ 的方差 D(ξ) 为
10cos270°+ ( 3-2)2+2log3 43 的值为
11化简 : 2log 4 3+log 8 3 log 3 2+log 9 2
故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
=
32
12已知正方体的外接球的体积为 π, 则该正方体的表面积为
3
13设异面直线 l,l 的方向向量分别为 a=(-1,1,0),b=(1,0,-1), 则异面直线 l,l 所 成角的
1 2 1 2
大小为
14已知一个圆雉的底面半径为 1cm, 侧面积为 2πcm2, 则该圆雉的母线与底面所成的角的 大
小为
训练 88
(建议用时: 20 分钟)
3m+4n=10,
1.若 则 n-m=
4m+3n=11,
2.若关于 x 的方程 x-a+2=0 的解是 x=-1, 则 a 的值等于
3.计算.
3 1
(1) - =
log 3 log 3
2 8
2 1
(2) - =
log 3 log 3
1 1
2 4
2 1
(3) - =
log 9 log 27
2 8
2
4.在 △ABC 中, a= 5,c=2,cosA= , 则 b=
3
7
5.在 △ABC 中, 已知 b=2c,a= 6,cosA= , 则 △ABC 的面积 S 为
83
6.若 △ABC 的面积为 a2+c2-b2
4
, 且 ∠C 为钝角, 则 ∠B=
π π β
7.已知 0<α< , <β<π, 则 2α- 的取值范围是
2 2 3
8.已知 1≤a-b≤2,2≤a+b≤4, 则 4a+2b 的取值范围为
3x
9.当 x>0 时, 的最大值为
x2+4
10.已知随机变量 ξ∼N1,σ2
4a+b
,a>0,b>0, 若 P(ξ≤a)=P(ξ≥b), 则 的最小值 为
ab
训练 89
(建议用时: 20 分钟)
x2+8
1.函数 f(x)= (x>1) 的最小值为
x-1
x2+x+3
2.函数 y= (x>2) 的最小值为
x-2
P(A) 2
3.事件 A 的优势比定义为 , 若 P(A)= , 则事件 A 的优势比是
P(A) 3
1 1 3
4.记 A 为事件 A 的对立事件, 且 P(A)= ,P(A∣B)= ,P(B)= , 则 P(A∪B)=
2 3 4
5.同时抛掷 3 枚质地均匀的硬币,至少有 1 枚正面向上的概率等于
6.已知 Cn-1=21, 则 n=
n+1
7.若 C4>C6, 则 n 的取值集合是
n n
3
8.二项式 ax+
6
故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
6
的展开式中 x5 的系数为 3, 则 a=9.同时抛烪两枚质地均匀的硬币 10 次, 设两枚硬币同时出现反面的次数为 X, 则 D(X)=
3
10.若随机变量 X∼B(6,p),D(X)= , 则 E(3X-2)=
2
11.设 X 为随机变量, X∼B(6,p), 若随机变量 X 的期望为 4 , 则 P(X≥1)=
12.已知随机变量 X∼N2,σ2 , 若 P(X>1)=0.7827, 则 P(X≥3)=
13.设函数 f(x)=|x+a|-|x-4|, 若不等式 f(x)≤5 恒成立, 则实数 a 的取值范围 是
1-x
14.已知 M={x||x-1∣≤2,x∈R},N=x∣ ≥0,x∈R
x+2
, 则 M∩N=
训练 90
(建议用时: 20 分钟)
1.计算.
(1) (1+i)(1-i)+(-1+i)i;
1+2i 1+i
(2) +
3-4i 1-i
2020
.
2.计算.
16
(1)
9
-1
4;
243
(2)
32
故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
-1
5;
4 3 7
(3) a5⋅a4÷a5(a>0).
3
3.tan50°-tan20°- tan50°tan20°=
3
4.在 △ABC 中, 已知 sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB≥1, 则 △ABC 的形状是
5.已知 |a|=6,|b|=4, 向量 a 与 b 的夹角为 60°, 则 (a+2b)⋅(a+3b)=
2x-ay+1=0,
6.已知关于 x,y 的方程组 没有实数解, 则 a=
x+2y-1=0
7.已知直线 x+2ay-1=0 与直线 (a-1)x-ay+2=0 平行, 则实数 a 的值为
y+1
8.点 P(x,y) 在线段 AB 上运动, 已知 A(2,4),B(5,-2), 则 的取值范围是
x+19．10 个排球中有 6 个正品, 4 个次品. 从中任取 4 个, 则正品数比次品数少的概率为
1
10.已知二项式 x2-
2x
9
, 求展开式中的:
(1) 第 6 项;
(2) 第 3 项的系数;
(3) 含 x9 的项;
(4) 常数项.
训练 91
(建议用时: 20 分钟)
1.已知扇形的圆心角为 120°, 弧长为 2π, 则扇形的面积为
2.若 15sinx+ 5cosx= 10, 则锐角 x=
2
3.已知角 α 的终边上有一点 P(- 3,m), 且 sinα= m, 则 m 的值为
4
4.已知向量 a=(cosθ,sinθ),b=( 2,0), 则 |a-b| 的最大值为
5.函数 f(x)=x2-4x+4 x(x>0) 的极小值是
2
6.曲线 y= +x2 在点 (1,3) 处的切线方程为
x
b
7.函数 f(x)=x+ (b>0) 的单调减区间为
x
8.已知等比数列 a
n
故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
中, a =15, 则 9a +a 的最小值为
15 9 21
3 8
9.当 x< 时,求函数 y=x+ 的最大值.
2 2x-3
x2
10.椭圆 C 的方程为 +y2=1,P 为椭圆 C 上的动点, 直线的方程为: x+y=4, 则点 P 到
3
直 线的距离 d 的最小值为12.求离心率.
x2 x2 y2
(1) +y2=1; (2) - =1;
4 9 16
y2 x2 y2
(3) -x2=1; (4) - =1.
4 16 4
x2 y2
13.方程 + =1 的图象是双曲线, 则 k 的取值范围是
2-k2 k-1
训练 92
(建议用时 : 20 分钟)
x
1.已知 |x|=5,y2=1, 且 >0, 则 x-y=
y
2.已知 a,b 是两个连续整数, 且 a< 13-10(00) 与 lgb(b>0) 互为相反数, 则 + 的最小值为
a b
a
14.已知 960x3 是 2x-
x
故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
6
的展开式中的某一项, 则实数 a 的值为训练 95
(建议用时: 20 分钟)
1.分解因式.
(1) x2+(2-a)x-2a;
(2) x2-(1+a)x+a;
(3) x2-(a-1)x-a;
(4) x2-ax-6a2;
(5) x2+5ax-6a2.
2.命题“ ∃x ∈R,7x2-2x +1≤0 ”的否定是
0 0 0
3.已知集合 A={x∣y= 1-x+2}, 集合 B={y∣y= 1-x+2}, 则 A∩B=
4.已知随机事件 A,B, 事件 A 和事件 B 是互斥事件, 且 P(A)=0.2,P(B)=0.4, 则 P(A∪
B)=
5.已知数列 a
n
为等差数列, a =6,a =18, 则公差 d 为
3 9
6.记数列 a
n
故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
2n
的前 n 项和为 S , 若 a = , 则使得 S 取得最小值时 n 的值为
n n 3n-49 n
7.不等式 (x-4)⋅ x2-2x-3≥0 的解集是
|3+4i|
8.计算: =
1-2i
9.已知复数 z 满足 z⋅(3+4i)=3-4i,z 为 z 的共轭复数, 则 |z|=
sin(2π+α) cos(-2π+α)
10.化简: + =
sin(-4π+α) cos(4π+α)
x2 y2
11.若方程 - =1 所表示的曲线为椭圆, 则实数 t 的取值范围是
3-t 1-t
12.已知平面 α 的一个法向量为 n=(2,-1,0), 直线 l 的一个方向向量为 m=(t,-4,t+ 1), 且
l⎳ 平面 α, 则 t=
训练 96
(建议用时: 20 分钟)
1.已知 |m-3|+(n+2)2=0, 则 m+n2 的值为
x2-9+ 9-x2
2.若 y= +1, 则 3x+4y=
x-23.若 9a⋅27b÷81c=9, 则 2a+3b-4c 的值为
3
4.- a6b7
4
1
÷- a2b
2
2
=
5.已知 a= 7-1, 求代数式 a2+2a-10 的值.
6.若 x2-4x+m=(x+3)(x+n), 则 m+n 等于
7.已知 a2+2a+1=0, 则 2a2+4a-3 的值为
8.已知向量 b=(sinα,cosα),a 在 b 方向上的投影为 3 , 则 (3a+b)⋅b=
1 1 1 1
9.计算 + + +⋯+ 的值为
2×4 4×6 6×8 2020×2022
10.已知数列 a
n
的前 n 项和 S =3n2+2n, 求 a .
n n
11.已知数列 a
n
的前 n 项和 S =3n2+2n+1, 求 a
n n
.
12.已知圆 C:(x-2)2+(y-1)2=4, 则过原点且与 C 相切的直线方程为
13.圆 O:x2+y2+3x-y-10=0 和圆 O :x2+y2-2y-4=0 交于 A,B 两点, 则直线 AB 的方
1 2
程是
y2
14.已知双曲线 C:x2- =1(b>0) 的离心率为 2, 则双曲线 C 的渐近线方程为
b2
15.(x+3y)(x-2y)6 的展开式中 x5y2 的系数为
16.x2-x+2y
故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
5 的展开式中, x5y2 的系数为
17.若 Ck-40 的解集是
x-3x+2
(2)不等式 ≥0 的解集是
x2-4x-5
(3) 不等式 (x+2) x2-9≤0 的解集为
2
(4) 不等式
3
x 1
<- x+1 的解集为
3
1
(5)不等式 log x> (x-1) 的解集为
3 2
x2+4x+6
(6)当 x>-2 时,函数 y= 的最小值为
x+2
x-1 1-x
(7) 不等式 > 的解集是
x x
sinθ(1-cos2θ)
3.已知 θ 为三角形的内角, 且 sin2θ=sin2θ, 则 =
sinθ+cosθ
π
4.已知 cosθ+
6
3 π
=- , 则 sin -2θ
3 6
=
π
5.函数 f(x)=sinx+
3
π
-sinx-
6
的对称中心为
6.已知平面向量 a,b,e 满足 |e|=1,a⋅e=1,b⋅e=2, 则 |a+b| 的最小值为
7.若正实数 m,n 满足 mem=1,n(lnn-1)=e, 则 mn=
x
8.已知 f(x)=- x2+1 +sinx+1, 若 fx 0 =0, 则 f-x 0
故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
=
9.已知直线 l:y=kx 被圆 C:x2+y2-6x+5=0 截得的弦长为 2 , 则 |k| 的值为综合训练一一提高篇
训练 98
(建议用时: 30 分钟)
(1+3i)2(3-i)
1.已知复数 z= , 则 |z|=
(1-2i)2
2.复数 (1-2i)(3+i) 的虚部为
5x-5
3.不等式 <0 的解集为
3x-2
3
4.若 a>2, 则 a+ 的最小值是
a-2
3π
5.已知 α∈(0,π), 若 sin +α
2
3
= , 则 cos2α=
5
π
6.已知 sin2 +α
4
2
= , 则 sin2α 的值是
3
7.若集合 A=x∈R∣ax2+(a-1)x-1=0 中有且只有一个元素, 则 a=
8.已知 a
n
故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
为等差数列, a +a =1, 则其前 6 项之和为
3 4
9．某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个……这样一个细胞分裂 次后,得
到的细胞个数是 128 .
x2 y2
10.椭圆 + =1 的焦点坐标是
25 16
x2 y2
11.过椭圆 + =1 的一个焦点 F 的弦 AB 与另一个焦点 F 围成的三角形 △ABF 的 周
4 2 1 2 2
长是
x2 y2
12.已知椭圆 E: + =1, 对于 k∈R, 下列直线被椭圆 E 截得的弦长与 l:y=kx+1 被椭
m 4
圆 E 截得的弦长可能相等的是 . (写出所有满足条件的直线的序号)
(1) kx+y+k=0;
(2) kx-y-1=0;(3) kx+y-k=0;
(4) kx+y-2=0.
13过点 (1,2) 且与 y2=4x 有且只有一个公共点的直线方程为
训练 99
(建议用时: 30 分钟)
cosα-2sinα
1.若 tanα=2, 则 =
cosα+sinα
3
2.在 △ABC 中, BC=2,B=60°, 若 △ABC 的面积等于 , 则 AC=
2
3.已知扇形的圆心角为 2 弧度, 半径为 5 , 则它的面积是
π
4.已知 tan(α-β)=-2,tanβ+
4
π
=3, 则 tanα+
4
=
5.已知向量 a=(1,2),b=(3,1), 则向量 a,b 夹角的大小为
6.已知向量 a 和 b 的夹角为 120°,|a|=1,|b|=3, 则 |3a-2b|=
7.已知等差数列 a
n
中, a+a =6,a +a =10, 则公差等于
1 5 3 7
8.数列 a
n
中, a=2,a +2a =0,n∈N∗. 若其前 k 项和为 86 , 则 k=
1 n+1 n
9.数列 a
n
故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
中, 若 a=1,a =S (n≥2), 则通项公式 a =
1 n n-1 n
10.已知 x>0,y>0,x+y=4, 则 log x+log y 的最大值是
2 2
11.若 x,y 满足 x+1≤y≤2x, 则 2y-x 的最小值是
12.直线 xsinα+y+2=0 的倾斜角的取值范围是
13.将直线 l:x-y+2=0 绕点 A(1,3) 按逆时针方向旋转 15°, 得到直线 l, 则 l 的倾斜角为 ,
1 1
l 的方程是
1
14.圆 x2+y2+4sinθ⋅x+4cosθ⋅y+1=0 的半径等于训练 100
(建议用时: 30 分钟)
1.已知全集 U={1,2,3,4,5,8},A={2,3,5,8}, 则 ∁ A=
U
1
2.已知命题 p:∗∃x∈R,sinx< x, 则 ¬p 为
2
3.已知命题 p:∃x∈R,x2+2x+a≤0 是真命题, 则实数 a 的取值范围是
4.已知函数 f(x)= log 2 x, x>0, 则 f f 1 3x, x≤0, 4 =
5.函数 y=lg2x-x2 的单调递椷区间为
x-5
6.已知函数 y= 的图象关于直线 y=x 对称, 则实数 m 的值为
2x-m
3
7.已知
4
-a 4
>
3
-a
, 则实数 a 的取值范围是
4 1
8.已知 α,β 都是锐角, tanα= ,tanβ= , 则 tan(α-β)=
3 7
9.已知向量 a=(1,2),b=(3,1), 则向量 a,b 夹角的大小为
10.已知向量 a 与 b 的夹角为 120°, 且 |a|=|b|=4, 则 b⋅(3a+b) 的值为
11.在等比数列 a
n
中, 若 a+a =18,a +a =12, 则公比 q 为
1 2 2 3
12.设等差数列 a
n
故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
S +8
的公差为 d, 前 n 项和为 S , 若 a=d=1, 则 n 的最小值为
n 1 a
n
13.已知 x>0,y>0, 且 2x+y=1, 则 xy 的最大值是
14.已知函数 f(x) 的导函数 f(x) 满足 f(x)=2xf(1)+x3, 则 f(1) 等于
1
15.已知函数 f(x)=x- , 则过定点 (1,f(1)) 的切线方程是
x
1
16.已知复数 z=1-2i, 则复数 的模为
z训练 101
(建议用时: 30 分钟)
1
1.
36
-1
2+lg4+lg25 的值是
3
2.(-1.8)0+
2
-2 3 27
×
8
故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
2 1
- + 93=
0.01
3.若 f(x)=ax- 2 1 , 且 f(lga)= 10, 则 a=
4.已知幂函数 y=xα(α∈R) 的图象经过点 (2,8), 则 f(-2)=
8
5.已知 2x=3,log =y, 则 x+2y 的值为
43
6.若 f(x)=(x+a)(x-4) 为偶函数, 则实数 a=
7.已知函数 f(x)=log x(a>0,a≠1) 在 [1,4] 上的最大值是 2 , 则 a 等于
a
8.若函数 f(x)=x2-2ax+1 在区间 [1,+∞) 上单调递增,则 a 的取值范围是
πx
sin , x≥0,
9.已知函数 f(x)= 3 则 f(f(2021))=
x2- 3x, x<0,
sinA-sinC b-c
10.在 △ABC 中, 内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 且 = ,b=3, 则
sinB+sinC a
△ABC 周长的最大值是
11.已知函数 f(x)=x3+3mx2+nx+m2 在 x=-1 时有极值 0 , 则 m+n=
x
12.函数 f(x)= 的定义域是 ,减区间是
lnx
13.已知长方体 12 条棱的总长度为 56m, 表面积为 112m2, 那么长方体的对角线长为
m
14.直线与平面所成角的范围是
15.
一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45°, 腰与上底均为 1 的等腰梯 形,则
原来这个平面图形的面积是训练 102
(建议用时: 30 分钟)
1.函数 y= 2x-1 的定义域为
1 3
2.已知 cos(π+α)=- , π<α<2π, 则 sin(3π+α)=
2 2
x 1
3.已知 f(x)= , 则 f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2022)+f
1+x 2
1
+f
3
1
+⋯+ f
2022
=
1
4.若 a>1,b>0, 则 +a+ b 最小值为
ab-b
cosx
5.已知函数 y=f(x), 其中 f(x)= , 则 f(x)=
1-x
6.已知函数 y=f(x), 其中 f(x)=x3-3x, 则 f(x)=
7.设袋中有 8 个红球, 2 个白球, 若从袋中任取 4 个球, 则其中恰有 3 个红球的概率 为
8.若 X∼H(2,3,5), 则 P(X=1)=
9.设随机变量 X∼N30,62 , 则 D(X)=
10.已知 X∼N1,σ2 , 若 P(12)=0.023, 则 P(-2≤X≤2)=
12.已知组合数 C4=C6, 则 n=
n n
13．2 位教师和 4 名学生站成一排, 要求 2 位教师站在中间, 学生甲不站在两边, 则不同排法
的种数为
14.已知 Am=8×7×6, 则 m=
8
15.方程 C2x=C6-x 的解为
10 10训练 103
(建议用时: 30 分钟)
1.已知 a=(2,-1,3),b=(-4,2,x), 且 a⊥b, 则 x=
2.已知在长方体 ABCD-ABCD 中, AB=4,BC=3,AA=5, 则异面直线 BD 与 AC 所
1 1 1 1 1 1
成角的余弦值为
3.设异面直线 l,l 的方向向量分别为 a=(-1,1,0),b=(1,0,-1), 则异面直线 l,l 所 成角的大
1 2 1 2
小为
4.已知向量 a,b 满足 |a|=1,|b|=2, 且 a⋅(a-b)=0, 则 a 与 b 的夹角为
5.已知点 P 在圆 x2+y2=1 上, 点 A 的坐标为 (-2,0),O 为原点, 则 AO⋅AP 的最大值为
6.若数列 a
n
的前 n 项和为 S =2n2-4n+1, 则通项公式 a =
n n
7.已知数列 a
n
的前 n 项和为 S ,a=2,a =3,a =a -a , 则 S =
n 1 2 n+2 n+1 n 2022
8.若等差数列 a
n
满足 a +a +a >0,a +a <0, 则当 n= 时, a
7 8 9 7 10 n
的前 n 项和 最大.
9.已知 f(x)= 3cos2x+sin2x, 则 f(x) 的值域是
π
10.函数 f(x)=sinxcosx-
3
的最小正周期是
π
11.函数 y=2sin-3x+
6
故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
的图象的两条相邻对称轴间的距离为
π
12.函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0) 的振幅是 2 , 最小正周期是 , 初始相位是 -3, 则
2
它 的解析式为
13.已知集合 A={-1,1,3},B={ a+2,a}, 且 B⊆A, 则实数 a 的值是
14.设 α:1≤x<4,β:x0,
16.已知函数 f(x)= 若 f(a)+f(1)=0, 则实数 a 的值等于
x+1, x≤0,
17.若函数 y=f(x) 的定义域为 [-2,3], 则函数 y=f(x-1) 的定义域为训练 104
(建议用时: 30 分钟)
4
1.计算:
2 2
2+ 2
=
1
2.已知 m2-5m-1=0, 则 2m2-5m+ =
m2
5x-a>3(x-1),
3.已知关于 x 的不等式组 的所有整数解的和为 7 , 则 a 的取值范围 是
2x-1≤7
4.求值: 2log24 1 - 27
8
2 3=
k-2x
5.若函数 f(x)= 为奇函数, 则 k=
1+k⋅2x
6.设 α>0, 函数 f(x)=sin(2x+α)- 3cos(2x+α) 为偶函数, 则 α 的最小值是
7.设等差数列 a
n
的前 n 项和为 S ,S =21,S =253,S =136, 则 k=
n 3 11 k
8.已知函数 f(x)=ln(|x|+1)+acosx+2 只有一个零点, 则 a=
1
9.已知 2a+2a-3=0,2b-1= , 则 a+b=
2b+1
tanB
10.在 △ABC 中, 内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 且 a2+2c2=2b2, 则 =
tanC
11.已知 |a|=|b|=3,a⊥b, 若向量 c 满足 |c-a-b|=3, 则 |c| 的取值范围是
12.已知数列 a
n
a
满足 a=18,a -a =3n, 则 n 的最小值为
1 n+1 n n
13.若对任意 x≥0,k 1+x≥1+ x 恒成立, 则实数 k 的取值范围是
14.证明: 若 AB 是椭圆的一条弦, Mx 0 ,y 0 y 0 ≠0
故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
是弦 AB 的中点,则 AB 所在直线的斜 率
x b2
k =- 0 ⋅ .
AB y a2
0训练 105
(建议用时: 30 分钟)
x-y=m+1,
1.已知 t=x2-2x+4,x,y 满足 且 -1≤y≤1, 则 t 的取值范围是
x+y=3m+3,
-xy2
2.已知 xy<0,化简二次根式 的值是
y
3.若整数 x 满足 5+ 190) 的周期为 2π, 则当 x∈ 0,
3
时, ωf(x) 的取值
范用是
9.(1) 极化恒等式:若向量 OA,OB 不共线, 且 P 为线段 AB 的中点, 则证明: OA⋅OB=
AB
|OP|2-|PA|2=|OP|2-|PB|2=|OP|2-
2
故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
2
.
(2) 矩形大法: 在矩形 ABCD 所在平面内, 证明: 向量 |OA|2+|OC|2=|OB|2+|OD|2 (点 O 为
平面内一点).训练 106
(建议用时: 30 分钟)
1.若 x 1 是方程 ax2+2x+c=0(a≠0) 的一个根, 设 M=ax 1 +1 2,N=2-ac, 则 M 与 N 的
大小关系为
2.解方程 (或方程组).
5(x-9)=6(y-2),
(1) x y+1
- =2;
4 3
x-1 2x
(2) +2= .
x2+x x+1
3.若集合 A={x∣x- x>0},B={x||x∣>2}, 则 A∩∁ R B =
4.在 △ABC 中, “ tanAtanB<1 ”是“ △ABC 为钝角三角形”的
5.在正方体 ABCD-ABCD 中, M 为棱 AD 的中点, 则 BM 与平面 DBBD 所成角的
1 1 1 1 1 1 1 1
正弦值为
5 1
6.若关于 x 的不等式 9x-log x≤ 在 x∈0,
a 2 2
上恒成立,则实数 a 的取值范围是
3
7.若斜率为 的直线与 x 轴交于点 M, 与圆 C:(x-2)2+y2=4 相交于 A,B 两点, 若 |AB|
3
=2 2, 则 |MC|=
1
8.若函数 f(x)=lnx+ax2-2 在区间 ,2
2
内存在单调递增区间, 则实数 a 的取值范围是
1
9.若 2x-
x
故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
n 1 1
的展开式中含 项的系数与含 项的系数之比为 -5, 则 n 等于
x2 x410.(1) 证明: 等差数列的前 n 项和再除以 n 可视为一个新的等差数列, 并写出其通项公式.
(2) 已知等差数列 a
n
的前 n 项和为 S , 等差数列 b
n n
a
的前 n 项和为 T, 证明: n =
n b
n
S
2n-1.
T
2n-1
训练 107
(建议用时: 30 分钟)
1.“ a=-1 "是“函数 y=ax2+2x-1 的图象与 x 轴只有一个交点”的
π
2.已知角 α 满足 3sin2α=8cosα, 则 sin2α+
2
=
3.正整数 2160 的不同正因数的个数为
4.已知实数 x,y 满足 x+2x=2,2y+log y=1, 则 x+2y 的值是
2
5.已知 f(x)=x3-x, 过点 (1,t) 可作曲线 y=f(x) 的三条切线, 则 t 的取值范围是
6.半径为 2 的球的内接圆柱的侧面积的最大值是
2
7.若圆 E:x2+(y-m)2=4 与函数 y= 的图像有公共点 P, 且在点 P 处的切线相同, 则 m
x
=
π
8.已知 cos +x
4
3 17π 7π
= , 4 的解集是
2.若正实数 a,b 满足 a+2b=ab, 则 ab+a+b 的最小值为
3.在 △ABC 中, AB=9,BC=6,CA=7, 则 BC 边上中线的长度为
4
4.已知 α,β 是锐角, cosα= ,tan(α+β)=-3, 求 cosβ 的值.
5
5.已知数列 a n 的前 n 项和为 S n ,a 1 =1,S n -(2n-1)S n-1 =n2a nn≥2,n∈N∗ , 则 S = n
6.已知随机变量 X∼B(6,p),Y∼Nμ,σ2
故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
1
, 且 P(Y≥2)= ,E(X)=E(Y), 则 p=
2
7.已知 100 件产品中有 10 件次品, 从中任取 3 件, 则任意取出的 3 件产品中次品数的数学
期望为
8.(x+2y+3z)6 的展开式中, xy3z2 的系数为
1 1 1
9.计算: 1- C1+ C2-⋯+(-1)n Cn=
2 n 3 n n+1 n
3x+1, x≤1,
10.已知函数 f(x)= 若 n>m, 且 f(n)=f(m), 设 t=n-m, 则 t 的最大值
x2-1, x>1,
为故君子之治人也，即以其人之道，还治其人之身.
π 3
11.在 △ABC 中, D 为 BC 的中点, 若 BD=1,∠B= ,cos∠ADB=- , 则 AC=
4 5
12.在平面四边形 ABCD 中, ∠A=∠B=∠C=75°,AB=2, 则 AD 长度的取值范围 是
13.已知抛物线 C:y2=4x 上一点 M(4,-4),A,B 是抛物线 C 上的两动点, 且 MA⋅MB= 0 ,
则点 M 到直线 AB 距离的最大值是
x2 y2 1 1
14.已知 F,F 是椭圆 C: + =1 的两个焦点, P 为 C 上一点, 则 + 的最大
1 2 9 16 PF 1 PF 2
值为
