文档内容
2025 年秋季高三开学摸底考试模拟卷（新高考通用）
数学·答案及评分参考
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
C C A A B D A D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
ABD AC ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分．
12．
13．31
14．2，
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）由题意先求首项 ，进而得 ；
（2）由（1）先求 ，进而得 ，最后利用分组求和即可.
【详解】（1）由题意有 ，
又因为 ， ， 成等比数列，
所以 ，(3分)
即 ，（5分）
化简整理得 ，解得 ，（7分）
所以 .(8分)（2）由（1）有 ，
所以 ，（10分）
所以
.（13分）
16．（15分）
【答案】(1) ，线性相关程度较高；(2)
【分析】（1）根据相关系数公式，求出相关系数，再根据系数大小判断相关程度高不高.
（2）根据独立事件的乘法公式，求出分布列，求出期望.
【详解】（1）由题可知 ，
，
，
则相关系数 ，（5分）
因为 ，所以 与 的线性相关程度较高．（7分）
（2）设操作成功的次数为 ，则 的所有可能取值为0，1，2．（8分）
，
，
，
所以 ．（15分）
17．（15分）【答案】(1)证明见解析；(2) ；(3)
【分析】（1）要证明线面平行，需在平面 内找到一条线段与 平行即可.
（2）首先建立空间直角坐标系，然后将点 的坐标表示出来，然后求出平面 的法向量和
直线 的方向向量，进而可根据向量夹角的余弦公式即可求得直线与平面的正弦值.
（3）根据（2）中求得的平面 的法向量，根据点到平面的距离公式即可求得结果.
【详解】（1）取 的中点 ，连接 .
则 .
而底面 为矩形， 是 的中点，
所以 .
所以 ，所以四边形 为平行四边形，（3分）
所以 ，又 平面 ，而 不在平面 内，
所以 平面 .（5分）
（2）因为 平面 ，四边形 为矩形，所以以 为原点，以 所在直线为 轴
建立空间直角坐标系，如图所示.
则 ， .
所以 .
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，则 .所以平面 的一个法向量为 ，（9分）
所以 .
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .（12分）
（3）因为 ，平面 的一个法向量为 .
所以点 到平面 的距离为：
.（15分）
18．（17分）
【答案】(1) ；(2)（i）证明见解析；（ii） 或 ．
【分析】（1）根题意由向量的运算得 ，即 满足椭圆的定义，即可求出
，进而得椭圆的方程；
（2）（ⅰ）设 的方程为 ，与椭圆方程联立消元得 ，由韦达
定理得 ，若 到直线 和 的距离相等，则直线 平分 ，即直线 与 的斜率
之和为0，代入韦达定理验证即可；
（ⅱ）由（ⅰ）知直线 平分 ，即 ，由 的面积等于 的面积，得
，进而得 ，即 ，得 在线段 的垂直平分线上，由 的垂直平分线
为 ，代入椭圆方程即可求解.
【详解】（1）根据题意有 ， ，即
，则 ，则 的轨迹是椭圆，
， ，所以 ， ．所以 的方程为 ．（4分）
（2）（ⅰ）因为椭圆的长轴右端点横坐标为 ，
所以 的斜率一定存在（否则与椭圆没有交点）
设 的方程为 ，所以 ，
其中 ．
所以 ，（7分）
设 ， ．
则 ， ，（8分）
若 到直线 和 的距离相等，则直线 平分 ，且易知 轴，
所以只需满足直线 与 的斜率之和为0．
设 ， 斜率分别为 ， ，则：
，（10分）
代入 ， ．
有 ，故命题得证．（12分）
（ⅱ）由（ⅰ）知直线 平分 ，即 ，
因为 的面积等于 的面积，
故 ，即 ，故 ．
故 ， ，
在线段 的垂直平分线上．（15分）
易知线段 的垂直平分线为 ，与 的方程联立有 ，
故 的坐标为 或 ．（17分）19．（17分）
【答案】(1) ；(2)2；(3) .
【分析】（1）由偶函数的性质得到 ，结合已知即可得；
（2）由题设 ，讨论 的范围，结合导数、零点存在性定理研究 的零点分
布情况，即可得；
（3）讨论当 、 及 、 ，结合 ，并应用导数研究
的单调性，由不等式恒成立确定参数范围即可.
【详解】（1）由 ，则 ，
所以 恒成立，又 ，则 .(3分)
（2）由题设 ，则 ，（4分）
当 时 在 上单调递增， ，无零点；（5分）
令 ，则 ，
当 时， ，
所以 在 上单调递增， ，
所以 ，所以存在 ，满足 ，（7分）
时 ， 时 ， 为函数 极小值点，
，所以 在 时存在唯一零点.（8分）
当 时， ，则 ，当 时， ，
综上， 时， 恒成立，
所以函数 有2个零点.（10分）（3）当 时， ，故 ，
所以 在 上单调递增，则 ，
当 时， ，若 ，则 成立；
若 ，令 ，
则 在 上单调递增，(12分)
又 ，
存在 ，使 ，可得 ，
若 ，则 在 上单调递减；
若 ，则 在 上单调递增.（14分）
所以 ，解得 .
此时 ，所以 ，从而 .
所以 的取值范围为 .（17分）
