2025《高考数学大题6大考点汇总跟踪训练》试题册_2024-2026高三（6-6月题库）_2025年07月试卷_2025年高三数学秋季开学摸底考_高中数学《高考数学-限时跟踪训练3+1》25版

2025 高考数学大题特训：6 大考点汇总与跟踪训练
目录
考点一 数列1
考点二 函数与导数6
考点三 三角函数11
考点四 空间向量与立体几何 21
考点五 统计与概率29
考点六 圆锥曲线的方程36
跟踪训练
考点一 数列
1.“绿水青山就是金山银山．”我国某西部地区进行沙漠治理，已知该地区有土地1万平方千米，其中
70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的
4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第n年绿洲面积为a 万平方千米．
n
(1)求a n 与a n-1n≥2
1
 的关系；
4
(2)判断a -
 n 5
 是不是等比数列，并说明理由；
(3)至少经过几年，绿洲面积可超过60%？lg2≈0.301 2.已知数列a n
2

1
的通项公式为a = n
nn+2 
n∈N*  ．
(1)计算a +a 的值；
3 4
1
(2) 是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由．
120
3.已知等差数列a
n
 满足a >a ,a +a =10,a ,a -1,a 成等比数列．
3 1 1 3 1 2 3
(1)求数列a
n
 的通项公式；
a
(2)若b = n ，求数列b
n 3n n
 的前n项和T．
n
4.若存在非零常数t，使得数列a n  满足a n+1 -a 1 a 2 a 3 ⋯a n =tn≥1,n∈N  ，则称数列a n  为“Ht  数
列”.
(1)判断数列：1,3,5,11,152是否为“H2  数列”，并说明理由；
(2)若数列a n  是首项为1的“Ht  数列”，数列b n  是等比数列，且a n  与b n 
n
满足a2=a a a i 1 2 3
i=1
⋯a +log b ，求t的值和数列b
n 2 n n
 的通项公式；
(3)若数列a n  是“Ht  数列”，S 为数列a n n  的前n项和，a >1,t>0，证明：t>S -S -eSn-n 1 n+1 n5.已知数列a
n
3
 的首项是1，其前n项和是S ，且a =a +2n+1，n∈N*.
n n+1 n
(1)求a ，a 的值及数列a
2 3 n
 的通项公式；
(2)若存在实数λ，使得关于n的不等式λ+S ≤25n，n∈N*有解，求实数λ取到最大值时n的值.
n
6.已知函数φx  的定义域为D，对于任意的n∈N*，数列a n  ，b n  满足a n ,b n ∈D，a n ≠b n ，且φa n  =
φb n  ，则称a n  ，b n  为“φx  下的一对孪生数列”．
(1)若函数fx  =x  ，请写出“fx  下的一对孪生数列”，并说明理由；
(2)设函数gx 
k
=x+ x0,k x   0  ，若a n  ，b n  为“gx  下的一对孪生数列”，证明：a +b < n n
-2 k；
(3)设函数hx 
x-1
=
 2ex
，若c x n  ，d n  为“hx  下的一对孪生数列”，证明：数列c +d n n  的前
2025项和大于4050．考点二 函数与导数
7.已知幂函数fx
4
 =m2+3m+3  x3m-1为偶函数.
(1)求fx  的解析式；
(2)若fa-1  ≥f1+2a  ，求实数a的取值范围.
8.已知定义在R上的函数fx 
2x+a
= 满足5f2
2x+b
 =9f1  ，且f0  =0．
(1)求fx  的解析式，并判断fx  的奇偶性；
(2)证明：fx  在R上为增函数．
9.已知定义在R上的函数fx  满足fx  -2f-x  =3x2-5x+2．
(1)求fx  的解析式；
(2)若gx  =-fx 
1
-2x2+ x在区间 a,a+1
3
 内有最小值2，求实数a的值．10.已知函数fx
5

4
=a- ．
b+x
(1)若f2  =0，方程fx  =a+x有唯一解，求fx  的解析式；
(2)若b=0，判断函数gx  =x-a 
1
2+
fx   -a 
的奇偶性并说明理由．
11.函数fx 
ax-1
=lnx-

.
x+1
(1)a=3时，讨论fx  的单调性；
(2)若函数fx  有两个极值点x 1 、x 2 ，曲线y=fx  上两点 x 1 ,fx 1    、x 2 ,fx 2    连线斜率记为k，求
2-a
证：k> .
a-1
(3)盒子中有编号为1~100的100个小球(除编号外无区别)，有放回的随机抽取20个小球，记抽取的
1
20个小球编号各不相同的概率为p，求证：p< .
e212.若将对于任意x、y∈R总有fx+y
6
 +fx-y  =2fx  fy  的函数称为“类余弦型”函数.
(1)已知fx  为“类余弦型”函数，且fx  >0，f2 
17
= ，求f1
8
 的值；
(2)在(1)的条件下，若数列：a n =2fn+1  -fn  n∈N* 
a a a
，求log 1 +log 2 +⋯+log 100 的值； 2 3 2 3 2 3
(3)若gx  为“类余弦型”函数，且g0  >0，对任意非零实数t，总有gt  >1.设有理数x 、x 满足x 1 2 2 
>x 1  ，判断gx 2  与gx 1  的大小关系，并给出证明.考点三 三角函数
13.在△ABC中，角A、B、C的对边是a、b、c，已知λa+c= 2b，λ为常数．
(1)若λ=0，a=2，求△ABC面积的最大值；
2
(2)若λ=1，cosA+cosC= ，求sinB的值．
3
14.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c，且(a-c)⋅sinB+C
7
 =(b-c)⋅(sinB+sinC),b=
3.
(1)求B;
 
(2)若BA+BC  =3，求△ABC的周长;
2
(3)如图，点D是△ABC外一点，设∠BAC=∠DAC=θ，且∠ADC= π，记△BCD的面积S，求S关
3
于θ的关系式，并求S的取值范围.15.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点Px,y
8
 绕坐标原点O逆时针旋转角θ至点Px,y  .
x=xcosθ-ysinθ,
(1)试证明点的旋转坐标公式：

；
y=xsinθ+ycosθ
(2)设θ∈0,2π  ，点P 00,-1  绕坐标原点O逆时针旋转角θ至点P，点P 再绕坐标原点O逆时针旋 1 1
转角θ至点P，且直线PP 的斜率k=-1，求角θ的值；
2 1 2
(3)试证明方程为x2+ 3xy=6的曲线C是双曲线，并求其焦点坐标.
16.如图所示，已知函数fx  =Asinωx+φ  ω>0,φ 
π
 <
2
 的图象与直线y=b0<b<A  相交．
(1)求函数fx  的解析式；
(2)求函数gx  =fx  +2cosωx+φ 
1
在区间 - ,1
 2
 内的值域．17.已知函数fx
9

πx
=2sin2 +sinπx-1，将函数fx 2  的所有正的零点从小到大排列组成数列a n  .记
x  表示不超过x的最大整数，数列b n  满足b n =a n +1  .
(1)求数列b
n
 的通项公式；
(2)从数列b n  的前n项中n≥2  ，随机选出两个不同的项相乘，所得结果为偶数的概率为P.是否 n
4
存在一个正整数N，当n≥N时，恒有P < ，若存在，求出N的最小值，若不存在，请说明理由.
n 5
(3)数列c
n

-1
满足c =
n
 n+1
，且数列c
b n
n
 的前n项和为S ，求证：S <ln2.
n 2n
18.用一个矩形铁皮制作成一个直角圆形弯管(如图1)：将该矩形铁皮围成一个圆柱体(如图2)，再用一个
与圆柱底面所成45°的平面截圆柱，将圆柱截成两段，再将这两段重新拼接就可以得到直角圆形弯管．
现使用长为2π，宽为π的矩形铁皮制作一个直角圆形弯管，当得到的直角圆形弯管的体积最大时(不
计拼接损耗部分)，解答下列问题．
(1)求该直角圆形弯管的体积；
(2)已知在制造直角圆形弯管时截得的截口是一个椭圆，求该椭圆的离心率；
(3)如图3，若将圆柱被截开的一段的侧面沿着圆柱的一条母线剪开，并展成平面图形(如图4)，证明：
该截口展开形成的图形恰好是某正弦型函数的部分图象，并指出该正弦型函数的最小正周期与振幅．考点四 空间向量与立体几何
19.如图，四面体P-ABC中，PA=AB=BC=1,PC= 3，PA⊥平面ABC．
(1)求证：BC⊥平面PAB；
(2)求二面角A-PC-B的大小．
20.如图所示，在三棱柱ABC-A B C 中，H是正方形AA B B的中心，AA =2 2，C H⊥平面
1 1 1 1 1 1 1
AA B B，且C H= 5.
1 1 1
(1)求异面直线AC与A B 夹角的余弦值；
1 1
(2)求平面AA C 与平面A C B 夹角的正弦值.
1 1 1 1 1
1021.如图所示，在直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的
点，且BF⊥平面ACE.
(1)求证：AE⊥平面BCE；
(2)求证：平面BDF⊥平面ABCD．

2π π
22.如图，在三棱柱ABC-A B C 中，CA=CB=CC ，∠ACB=∠ACC = ，∠BCC = ，设CA=
1 1 1 1 1 3 1 2
    
a，CB=b，CC =c，N是AB的中点.
1
   
(1)用a、b、c表示向量A N；
1
(2)在线段C B 上是否存在点M，使得AM⊥A N？若存在，求出M的位置，若不存在，请说明理由.
1 1 1
1123.古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命
题：平面内与两定点距离的比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼
斯圆．如图，在棱长为3的正方体ABCD-ABCD中，点M是BC的中点，点P是正方体表面
DCCD上一动点(包括边界)，且两直线AP，MP与平面DCCD所成的角相等．
(1)证明：点P的轨迹是阿波罗尼斯圆的一段弧，并求出这段弧的长度；
 
(2)求PA∙PC的取值范围；
(3)当线段D'P最短时，在线段AD上是否存在点N，使得DP⎳平面AMN，若有，请求出平面
AMN截正方体ABCD-ABCD的截面周长，若无，说明理由．
1224.在平面直角坐标系xOy中有两个定点A-3,0
13
 ，B3,0  ，已知动点M在平面xOy中且M到A，B两
2
点的斜率乘积为- ，点D为定点-1,0
3

(1)求动点M的轨迹方程
(2)如图，在空间中有一点C在平面xOy上方，满足CA⊥平面xOy，且CD  =4，探究直线CD与
CM的夹角是否为定值？若是定值，求出夹角角度，若不是定值，说明理由.
(3)在平面xOy上过点T0,2 6  做直线l，交点M的轨迹于P，Q两点，设Q点关于y轴对称的点为
H，连接HP，求当点C到直线HP距离最大时，直线HP与平面ABC夹角的正切值.考点五 统计与概率
25.某学校为丰富学生活动，积极开展乒乓球选修课，甲乙两同学进行乒乓球训练，已知甲第一局赢的概
1 1 1
率为 ，前一局赢后下一局继续赢的概率为 ，前一局输后下一局赢的概率为 ，如此重复进行.
2 3 2
(1)求乙同学第2局赢的概率；
(2)记甲同学第i局赢的概率为P；
i
(ⅰ)求P
i
(ⅱ)若存在i，使eP i-lnP+1
i
14
 +k≥0成立，求整数k的最小值．
26.为提高我国公民整体健康水平，2022年1月，由国家卫生健康委疾控局指导、中国疾病预防控制中心
和国家体育总局体育科学研究所牵头组织编制的《中国人群身体活动指南(2021)》(以下简称《指
南》)正式发布，《指南》建议18~64岁的成年人每周进行150~300分钟中等强度或75~150分钟高强
度的有氧运动(以下简称为“达标成年人”)，经过两年的宣传，某体育健康机构为制作一期《达标成年
人》的纪录片，采取街头采访的方式进行拍摄，当采访到第二位“达标成年人”时，停止当天采访，记采
访的18~64岁的市民数为随机变量XX≥2  ，且该市随机抽取的18~64岁的市民是达标成年人的概
1
率为 ，抽查结果相互独立.
3
(1)求某天采访刚好到第五位可停止当天采访的概率；
(2)若抽取的18~64岁的市民数X为离散型随机变量，求X的分布列，并求X不超过n的概率.27.拿破仑排兵布阵是十分厉害的，有一次他让士兵站成一排，解散以后马上再重新站成一排，并要求这
些士兵不能站在自己原来的位置上．
(1)如果只有3个士兵，那么重新站成一排有多少种站法？4个呢？
(2)假设原来有n个士兵，解散以后不能站在自己原来位置上的站法为D 种，写出D 和D ，
n n+1 n
D n-1n≥2
15
 之间的递推关系，并证明：数列D -nD n n-1  n≥2  是等比数列；
(3)假设让站好的一排n个士兵解散后立即随机站成一排，记这些士兵都没有站到原位的概率为P ，
n
1 x2 x3 xn
证明：当n无穷大时，P 趋近于 ．(参考公式：ex=1+x+ + +⋯+ +⋯⋯)
n e 2! 3! n!28.某学校组织全校学生进行了一次“两会知识知多少”的问卷测试．已知所有学生的测试成绩均位于区
间 50,100
16
 ，从中随机抽取了40名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求图中a的值，并估算这40名学生测试成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代
替)；
(2)现学校准备利用比例分配的分层随机抽样方法，从 80,90  和 90,100  的学生中抽取7人组成两
会知识宣讲团．
①求应从 80,90  和 90,100  学生中分别抽取的学生人数；
②从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，设事件A=“至少有1人测试成绩位于区间
90,100  ”，求事件A的概率．29.某购物平台为了吸引更多的顾客在线购物，推出了A和B两个套餐服务，并在购物平台上推出了优惠
券活动，顾客可自由选择A和B两个套餐之一，下图是该购物平台7天销售优惠券的情况(单位：千
张)的折线图：
(1)由折线图可看出，可用回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
1 2
(2)假设每位顾客选择A套餐的概率为 ，选择B套餐的概率为 ，其中A包含一张优惠券，B套餐
3 3
包含两张优惠券，截止某一时刻，该平台恰好销售了n张优惠券，设其概率为P ，求P ；
n n
(3)记(2)中所得概率P 的值构成数列P n n
17
 n∈N*  ，求数列P n  的最值．
7 7 7 
参考数据：y =16.17，ty =68.35， ∑ y -y
i i i i
i=1 i=1 i=1
 2=0.72， 7=2.646
n 
∑ t -t
i
参考公式：相关系数r= i=1


y -y
i

n 
∑ t -t
i
i=1

n 
2∑ y -y
i
i=1
 230.某汽车公司最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程(指新能
源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程)的测试．现对测试数据进行整理，得到
如下的频率分布直方图：

(1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值x(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；
(2)由频率分布直方图计算得样本标准差s的近似值为49.75．根据大量的汽车测试数据，可以认为这
款汽车的单次最大续航里程X近似地服从正态分布Nμ,σ2
18


，其中μ近似为样本平均数x，σ近似为样
本标准差s．假设某企业从该汽车公司购买了20辆该款新能源汽车，记Z表示这20辆新能源汽车中
单次最大续航里程位于区间250.25,399.5  的车辆数，求EZ  ；
(3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据
抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在x轴上从原点O出发向右运动，已知硬币出现正、反面的概率都
1
，客户每掷一次硬币，遥控车向右移动一次，若掷出正面，遥控车向右移动一个单位，若掷出反面，遥
2
控车向右移动两个单位，直到遥控车移动到点59,0  (胜利大本营)或点60,0  (失败大本营)时，游戏
结束．若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券．设遥控车移到点n,0  的概率为
P n1≤n≤60  ，试证明数列P -P n n-1  是等比数列2≤n≤59  ，求出数列P n  1≤n≤60  的通项公
式，并解释这种游戏方案对意向客户是否有吸引力．
参考数据：若随机变量ξ服从正态分布Nμ,σ2  ，则Pμ-σ<ξ<μ+σ  =0.6827，
Pμ-2σ<ξ<μ+2σ  =0.9545，Pμ-3σ<ξ<μ+3σ  =0.99731．考点六 圆锥曲线的方程
3
31.已知动点P与两定点A(2,0)，B(-2,0)连线的斜率之积为- ，点F(-1,0)，点Q(1,1).
4
(1)求点P的轨迹方程；
(2)求PQ
19
 +PF  的最大值．
32.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F2,0  ，直线l:y=kx+mk≠0  与C交于A，B两点，且FA 
+FB  =8，线段AB的垂直平分线与x轴交于点Dd 0 ,0  ．
(1)求d 的值；
0
(2)求△ABD面积的最大值．x2 y2
33.已知椭圆 + =1a>b>0
a2 b2
20
 经过点A2,1 
2
，离心率为 ，过点B3,0
2
 的直线l与椭圆交于不
同的两点M、N.
(1)求椭圆的方程；
(2)若MN 
3 2
= ，求直线MN的方程.
2
x2 y2
34.已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的实轴长为2，离心率为 5.过右焦点F的直线l与双曲线
a2 b2
C的左、右两支分别交于点A,B
(1)求双曲线C的标准方程;
2
(2)设直线OA,OB(O为坐标原点)的倾斜角分别为α,β，且α+β=π+arctan ，求直线l的方程;
5
(3)点M是线段AB的中点，过点F且与直线l垂直的直线m交直线OM于点P，求三角形PAB面积
的最小值.x2 y2
35.已知点 F (-2,0),F (2,0) 分别为椭圆 C: + = 1 的左、右焦点，经过点 F 且倾斜角为
1 2 a2 12 1
π
θ0<θ<
2
21
 的直线l与椭圆C交于A,B两点(其中点A在x轴上方).如图，将平面xOy沿x轴向上
折叠，使二面角A-FF -B为直二面角，折叠后A,B在新图形中对应点记为A,B.
1 2
π
(1)当θ= 时，
3
①求证：AO⊥平面BFF；
1 2
②求直线AF 与平面ABF 所成角的正弦值；
2 1
π
(2)是否存在θ0<θ<
2
 ，使得折叠后△ABF 的周长为15？若存在，求tanθ的值；若不存在，请说
2
明理由.x2 y2
36.双曲线 C： - =1的左、右焦点为 F₁、F₂，右顶点为A．⊙M 的圆心在x轴上，位于A的右
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侧，与双曲线C有且仅有一个公共点，
(1)求⊙M 的最大半径为多少，及此时⊙M 的方程；
(2)如图1，在(1)的条件下，过双曲线C上一点 P作⊙M 的切线，切点为Q，过P且垂直于x轴的直
线与双曲线其中一条渐近线交于 R，求PQ
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 +PR  的最小值：
(3)双曲线右支上一点 N 在右焦点 F₂的正上方，如图2，将双曲线的左支绕y轴翻折． 使左右支所
在的两个半平面所成的二面角大小为θ，若 ∀θ≠0，过 N的直线m总与左支相交，以原双曲线所在坐
标平面的O为原点，过O垂直于xOy 平面方向为z轴建立空间直角坐标系，求直线m的一个方向向
量．