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2025 年秋季高三开学摸底考试模拟卷（新高考通用）
数学•全解全析
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由交集运算即可求解.
【详解】
因为集合 ，
则 ．
故选：C．
2．在复平面内，复数 对应的点与复数 对应的点关于实轴对称，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用复数的四则运算求出复数 ，再由 在复平面内对应的点的对称性求得 即可.
【详解】由 ，所以 ．
故选：C.
3．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据同角三角函数的除法公式化简齐次式，结合诱导公式可得解.
【详解】因为 ，所以 ，解得 ，
于是 ，
故选：A．
4． ，则 的大小关系为（ ）
A． B．
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学科网（北京）股份有限公司C． D．
【答案】A
【分析】根据对数函数与指数函数的图象与性质，分别求得 的取值范围，即可求解.
【详解】由幂函数 为增函数，得 ；
由指数函数 为减函数，得 ；
由对数函数 为减函数，得 .
所以 .
故选：A.
5.由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造
就的艺术品，若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线 下支的一部分，
离心率为 ，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出 的值，可得出双曲线的渐近线方程.
【详解】由已知可得 ，
因此，该双曲线的渐近线方程为 .
故选：B.
6．定义在 上的奇函数 在 上单调递增，且 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
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学科网（北京）股份有限公司【分析】由奇函数的性质，可得函数的单调性与函数值为零的点，从而可得函数值与零的大小关系，结合
不等式，可得答案.
【详解】由函数 奇函数，且在 上单调递增，则函数 在 上单调递增，
且 ， ，
当 时， ；当 时， ，
由当 时， ，当 时， ，
则不等式 的解集为 .
故选：D.
7．已知棱长为2的正方体的几何中心为 ，平面 与以 为球心的球相切，若 截该正方体所得多边形始
终为三角形，则球 表面积的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意球 与每条棱都有公共点，然后利用临界分析，当球 与每条棱有且仅有一个公共点时，
球 为正方体的棱切球，当球 半径为外接球半径或更大时，截面将不存在，故球 的半径满足
，最后利用球的表面积公式求解即可.
【详解】依题意，平面 与以 为球心的球相切，因正方体每个顶点发出了三条棱，
要使 与该正方体的截面始终为三角形，就必须使球 与每条棱都有公共点，
当球 与每条棱有且仅有一个公共点时，球 为正方体的棱切球，
当球 半径继续增大到外接球半径之前，都能确保截面始终为三角形，
而当球 半径为外接球半径或更大时，截面将不存在，
因此必须使球 的半径满足 .
又棱长为2的正方体的棱切球的半径为面对角线的一半即 ，
外接球的半径为体对角线的一半即 ，所以 ，
所以 .
故选：A
8．若曲线 与 有公共的切线，则 的最大值为（ ）
A．-2 B．2 C．-1 D．1
【答案】D
【分析】设直线 与 相切于 求出切线方程，直线 与 相切于
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学科网（北京）股份有限公司求出切线方程，让两条切线方程的斜率、截距相同可得
.令 ，构造函数 ，利用导数
求出最小值可得答案.
【详解】设直线 与 相切于 ，
则直线 ： ，
直线 与 相切于 ，
则直线 ： ，
因为曲线 与 有公共的切线，则两条切线方程的斜率、截距相同，
故 ，
则 .
令 ， ，
则 在 单调递增，且 ，
所以当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以 ，于是有 ，
即 .
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．防溺水安全教育不仅是为了防止学生在游泳时发生意外，更是为了提高学生的安全意识和自我保护能
力，为此某校组织了“防溺水安全知识”答题比赛，并对参赛的200名学生的成绩进行了统计，得到如图
所示的频率分布直方图，其中分组区间分别为 ，则（同一组中的
数据用该组区间的中点值作代表）（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．这200名参赛学生的成绩的上四分位数为82.5分
B．这200名参赛学生的成绩的平均值为76.5分
C．这200名参赛学生的成绩不低于80分的频率为0.03
D．若用分层抽样的方法从参赛学生中抽取一个容量为40的样本，则成绩在 之间的应抽取20
人
【答案】ABD
【分析】对于A，根据上四分位数的概念，结合频率分布直方图的性质，可得其正误；对于B，根据频率
分布直方图的数据，利用平均数估计值的计算，可得其正误；对于C，根据频率分布直方图的性质，可得
其正误；对于D，根据分层抽样的概念，结合频率分布直方图的数据可得每组的比例，可得其正误.
【详解】因为 ． ，
所以这200名参赛学生的成绩的上四分位数即第75百分位数位于 内，
则这200名参赛学生的成绩的上四分位数为 ，故A正确；
这200名参赛学生的成绩的平均值为
分，故B正确；
这200名参赛学生的成绩不低于80分的频率为 ，故C错误；
成绩在 之间的应抽取 人，故D正确．
故选：ABD．
10．如图是函数 的部分图象，则下列结论正确的是（ ）
A．
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学科网（北京）股份有限公司B． 的图象关于 中心对称
C． 在 上单调递增
D． 的图象向左平移 个单位长度后为奇函数
【答案】AC
【分析】根据 、 结合周期可判断A；根据余弦函数的单调性及对称性可判断BC；根据
函数图象平移得到函数解析式，结合余弦函数的奇偶性可判断D.
【详解】对于A，由 得 ，由 得 ，
由 得 ，故 ，
化简得 ，
由图可知该函数的周期 ，故 ，解得 ，
所以 ，故A正确；
对于B，由 ，得 不是函数的对称中心，故B错误；
对于C，由 ，可得 ，
由 ，得函数 在 上单调递增，故C正确；
对于D， 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象，此时
为偶函数，故D错误.
故选：AC.
11．已知抛物线 的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，且 的最小值为1，M是线段AB
的中点， 是平面内一定点，则（ ）
A．
B．若 ，则M到x轴距离为4
C．若 ，则
D． 的最小值为4
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学科网（北京）股份有限公司【答案】ACD
【分析】根据的最小值即为 ，求得p，判断A；利用抛物线的焦半径公式可判断B；根据求出的纵坐标，
结合焦半径公式判断C；判断P点位置，利用的几何意义，几何作图分析，可求得其最小值，判断D.
【详解】解：抛物线 上的点A到抛物线焦点F距离的最小值为1，
则有 ，解得 ，A正确；
抛物线的方程为 ，焦点 ，准线 ，设 ， ，
对于B，点 ，由抛物线的定义知， ，
有 ，所以M到x轴距离 ，B不正确；
对于C， ， ，
由 得： ，即 ，
又 ，即 ，则 ，解得 ， ，
于是得 ，C不正确；
对于D，抛物线 中，当 时， ，
因此点 在抛物线 上方，
过点P作 于 ，交抛物线于点Q，连接 ，
过A作 于 ，连AF，AP， ，如图，
显然 ，
当且仅当点A与Q重合时取等号，
所以 ，D正确．
故选：ACD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分．
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学科网（北京）股份有限公司12．已知向量 ， ，若 ，则 ．
【答案】
【分析】根据向量坐标运算得 ，再利用向量垂直的坐标表示和向量模的坐标表示即可得到
答案.
【详解】 ，又因为 ，则 ，
即 ，解得 .
13．北斗七星是夜空中的七颗亮星，它们组成的图形象我国古代舀酒的斗，故命名为北斗七星.北斗七星不
仅是天上的星象，也是古人判断季节的依据之一.如图，用点 ， ， ， ， ， ， 表示某季节的北
斗七星，其中 ， ， ， 看作共线，其他任何三点均不共线.若过这七个点中任意三点作三角形，则所
作的不同三角形的个数为 .
【答案】31
【分析】应用间接法，7个点任选3个减去从4个共线的点任选3个的情况，即可得.
【详解】由题设，7个点任选3个减去从4个共线的点任选3个的情况，即为构成三角形的情况，
所以不同三角形的个数为 个.
14．在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ， ，则 的值为 ，
的取值范围为 .
【答案】，2，
【分析】空1：根据题设结合两角和的正弦公式、正弦定理化简即可求解；空2：根据余弦定理可得
，再结合基本不等式即可求解.
【详解】由 ，得 ，
即 ，
即 ，由正弦定理得 ，即 ；
而 ，
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学科网（北京）股份有限公司当且仅当 ，即 时取等号，
又 ，所以 ，
故 的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知正项等差数列 的公差为2， 的前n项和为 ，且 ， ， 成等比数列．
(1)求数列 的通项公式 ；
(2)设 ，求数列 的前10项和 ．
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）由题意先求首项 ，进而得 ；
（2）由（1）先求 ，进而得 ，最后利用分组求和即可.
【详解】（1）由题意有 ，
又因为 ， ， 成等比数列，
所以 ，(3分)
即 ，（5分）
化简整理得 ，解得 ，（7分）
所以 .(8分)
（2）由（1）有 ，
所以 ，（10分）
所以
.（13分）
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学科网（北京）股份有限公司16．（15分）
某公司是从事无人机特种装备的研发、制造与技术服务的综合型科技创新企业．该公司生产的甲、乙两种
无人机性能都很好，但对操控人员的水平要求较高．已知在单位时间内，甲、乙两种无人机操作成功的概
率分别为 和 ，假设每次操作成功与否相互独立．
(1)该公司分别收集了甲种无人机在5个不同地点测试的两项指标 ，数据如下表所示：
地点1 地点2 地点3 地点4 地点5
2 4 5 6 8
3 4 4 4 5
试求 与 之间的相关系数 ，并利用 说明 与 的线性相关程度．
（若 ，则线性相关程度较高，否则线性相关程度不高）
(2)操作员连续进行两次无人机的操作，在初次操作时，随机选择这两种无人机中的一种，若初次操作成功，
则第二次继续使用该种无人机，若初次操作不成功，则第二次使用另一种无人机进行操作，求操作成功的
次数的数学期望．
附 ．
【答案】(1) ，线性相关程度较高；(2)
【分析】（1）根据相关系数公式，求出相关系数，再根据系数大小判断相关程度高不高.
（2）根据独立事件的乘法公式，求出分布列，求出期望.
【详解】（1）由题可知 ，
，
，
则相关系数 ，（5分）
因为 ，所以 与 的线性相关程度较高．（7分）
（2）设操作成功的次数为 ，则 的所有可能取值为0，1，2．（8分）
，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
所以 ．（15分）
17．（15分）
已知四棱锥 ， 平面 ，底面 是矩形， ， ， ， 分别是
与 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)求点 到平面 的距离．
【答案】(1)证明见解析；(2) ；(3)
【分析】（1）要证明线面平行，需在平面 内找到一条线段与 平行即可.
（2）首先建立空间直角坐标系，然后将点 的坐标表示出来，然后求出平面 的法向量和
直线 的方向向量，进而可根据向量夹角的余弦公式即可求得直线与平面的正弦值.
（3）根据（2）中求得的平面 的法向量，根据点到平面的距离公式即可求得结果.
【详解】（1）取 的中点 ，连接 .
则 .
而底面 为矩形， 是 的中点，
所以 .
所以 ，所以四边形 为平行四边形，（3分）
所以 ，又 平面 ，而 不在平面 内，
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学科网（北京）股份有限公司所以 平面 .（5分）
（2）因为 平面 ，四边形 为矩形，所以以 为原点，以 所在直线为 轴
建立空间直角坐标系，如图所示.
则 ， .
所以 .
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，则 .
所以平面 的一个法向量为 ，（9分）
所以 .
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .（12分）
（3）因为 ，平面 的一个法向量为 .
所以点 到平面 的距离为：
.（15分）
18．（17分）
已知点 是圆 ： 上的一动点，点 ，点 在线段 上，且满足
．
(1)求点 的轨迹 的方程；
(2)已知 ，设过点 的一条直线与 交于 ， 两点，且与线段 交于点 ．
（ⅰ）证明： 到直线 和 的距离相等；
（ⅱ）若 的面积等于 的面积，求 的坐标．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】(1) ；(2)（i）证明见解析；（ii） 或 ．
【分析】（1）根题意由向量的运算得 ，即 满足椭圆的定义，即可求出
，进而得椭圆的方程；
（2）（ⅰ）设 的方程为 ，与椭圆方程联立消元得 ，由韦达
定理得 ，若 到直线 和 的距离相等，则直线 平分 ，即直线 与 的斜率
之和为0，代入韦达定理验证即可；
（ⅱ）由（ⅰ）知直线 平分 ，即 ，由 的面积等于 的面积，得
，进而得 ，即 ，得 在线段 的垂直平分线上，由 的垂直平分线
为 ，代入椭圆方程即可求解.
【详解】（1）根据题意有 ， ，即
，则 ，则 的轨迹是椭圆，
， ，所以 ， ．所以 的方程为 ．（4分）
（2）（ⅰ）因为椭圆的长轴右端点横坐标为 ，
所以 的斜率一定存在（否则与椭圆没有交点）
设 的方程为 ，
所以 ，
其中 ．
所以 ，（7分）
设 ， ．
则 ， ，（8分）
若 到直线 和 的距离相等，则直线 平分 ，且易知 轴，
所以只需满足直线 与 的斜率之和为0．
设 ， 斜率分别为 ， ，则：
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学科网（北京）股份有限公司，（10分）
代入 ， ．
有 ，故命题得证．（12分）
（ⅱ）由（ⅰ）知直线 平分 ，即 ，
因为 的面积等于 的面积，
故 ，即 ，故 ．
故 ， ，
在线段 的垂直平分线上．（15分）
易知线段 的垂直平分线为 ，与 的方程联立有 ，
故 的坐标为 或 ．（17分）
19．（17分）
已知函数
(1)若 为偶函数，求 的值；
(2)若 讨论函数 在 上零点的个数；
(3)当 时，设 ，当 时， ，求 的取值范围.
【答案】(1) ；(2)2；(3) .
【分析】（1）由偶函数的性质得到 ，结合已知即可得；
（2）由题设 ，讨论 的范围，结合导数、零点存在性定理研究 的零点分
布情况，即可得；
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学科网（北京）股份有限公司（3）讨论当 、 及 、 ，结合 ，并应用导数研究
的单调性，由不等式恒成立确定参数范围即可.
【详解】（1）由 ，则 ，
所以 恒成立，又 ，则 .(3分)
（2）由题设 ，则 ，（4分）
当 时 在 上单调递增， ，无零点；（5分）
令 ，则 ，
当 时， ，所以 在 上单调递增， ，
所以 ，所以存在 ，满足 ，（7分）
时 ， 时 ， 为函数 极小值点，
，所以 在 时存在唯一零点.
当 时， ，则 ，当 时， ，
综上， 时， 恒成立，所以函数 有2个零点.（10分）
（3）当 时， ，故 ，
所以 在 上单调递增，则 ，
当 时， ，若 ，则 成立；
若 ，令 ，
则 在 上单调递增，
又 ，
存在 ，使 ，可得 ，
若 ，则 在 上单调递减；
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学科网（北京）股份有限公司若 ，则 在 上单调递增.（14分）
所以 ，解得 .
此时 ，所以 ，从而 .
所以 的取值范围为 .（17分）
16 / 16
学科网（北京）股份有限公司
