文档内容
2024届新高三开学摸底考试卷（全国卷）
理科数学 02
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必
将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标
号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，
只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．若 ， ，则 （ ）
A． B． C．2 D．10
3．已知函数 ，则 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．足球运动是深受人们喜爱的一项体育运动，某次传球训练中，教练员让甲、乙、丙、
丁4名球员进行传接球训练，从甲开始传球，等可能地传给另外3人中的1人，接球
者再等可能地传给另外3人中的1人，如此一直进行.假设每个球都能被接住，若第4
次传球后，球又恰好回到甲脚下，则不同的传球方法为（ ）
A．18种 B．21种 C．27种 D．45种
5．“埃拉托塞尼筛法”是保证能够挑选全部素数的一种古老的方法.这种方法是依次
写出2和2以上的自然数，留下第一个数2不动，剔除掉所有2的倍数；接着，在剩余的数中2后面的一个数3不动，剔除掉所有3的倍数；接下来，再在剩余的数中对3后
面的一个数5作同样处理；……，依次进行同样的剔除.剔除到最后，剩下的便全是素
数.在利用“埃拉托塞尼筛法”挑选2到20的全部素数过程中剔除的所有数的和为（ ）
A．130 B．132 C．134 D．141
6．已知函数 的最小正周期为T，且 ，若
的图象关于直线 对称，则 （ ）
A． B． C． D．
7．在三角形 中， 和 分别是 边上的高和中线，
则 （ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
8．平行四边形 中，点 在边 上， ，记 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
9．贯耳瓶流行于宋代，清代亦有仿制，如图所示的青花折枝花卉纹六方贯耳瓶是清乾
隆时期的文物，现收藏于首都博物馆，若忽略瓶嘴与贯耳，把该瓶瓶体看作3个几何
体的组合体，上面的几何体Ⅰ是直棱柱，中间的几何体Ⅱ是棱台，下面的几何体Ⅲ也
是棱台，几何体Ⅲ的下底面与几何体Ⅰ的底面是全等的六边形，几何体Ⅲ的上底面面
积是下底面面积的4倍，若几何体Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的高之比分别为 ，则几何体Ⅰ、
Ⅱ、Ⅲ的体积之比为（ ）A． B． C． D．
10．已知过双曲线 ： 的右焦点 作 轴的垂线与两条渐
近线交于 ， ， 的面积为 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．11．已知直线 上的两点 ，且 ，点 为圆
上任一点，则 的面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知 是函数 的导函数，对于任意的 都有
，且 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．某机器生产的产品质量误差 是 的第60个百分
位数，则 __________.
附：若 ，则 ，
14．设 ， ，若 ，则 取最小值时a的值为______．
15．设抛物线 ： （ ）焦点为 ，准线为 ，过第一象限内的抛物线上
一点 作 的垂线，垂足为 ．设 ， 与 相交于 ．若 ，且
的面积为 ，则抛物线的方程为________________.
16．如图，在三棱锥 中， ，若该三
棱锥的外接球表面积为 ，则锐二面角 的平面角的正切值为__________.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必
考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．已知数列 和 满足 ．
(1)证明： 和 都是等比数列；
(2)求 的前 项和 ．
18．如图，四边形 为菱形， 平面 ， ， .
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 ，求二面角 的大小.
19．某购物中心准备进行扩大规模，在制定末来发展策略时，对中心的现有顾客满意
度进行了一个初步的现场调查，分别调查顾客对购物中心的商品质量、服务质量、购
物环境、广告宣传的满意程度．调查时将对被抽中的每个顾客从这四个问题中随机抽
取两个问题来提问，统计顾客的满意情况．假设，有三名顾客被抽到，且这三名顾客
对这四个问题的满意情况如下表：
商品质量 服务质量 购物环境 广告宣传
顾客 满意 不满意 满意 不满意甲顾客
不满意 满意 满意 满意
乙
顾客
满意 满意 满意 不满意
丙
每得到一个满意加10分，最终以总得分作为制定发展策略的参考依据．
(1)求购物中心得分为50分的概率；
(2)若已知购物中心得分为50分，则顾客丙投出一个不满意的概率为多少？
(3)列出该购物中心得到满意的个数X的分布列，并求得分 的数学期望．
20．已知椭圆C： 的左、右顶点分别为 ， ，
右焦点为 ，O为坐标原点，OB的中点为D（D在 的左方）， ．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设过点D且斜率不为0的直线与椭圆C交于M，N两点，设直线AM，AN的斜率分
别是 ， ，试问 是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．
21．已知函数 .
(1)若 ，求 在点 处的切线方程；(2)若 是 的两个极值点，证明： .（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所
做的第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在极坐标系中，曲线 的极坐标方程为 ，以极点为坐标原点，极轴
为 轴正半轴，建立直角坐标系，曲线 的参数方程为 （ 为参数）.
(1)写出 的直角坐标方程和 的普通方程；
(2)已知点 ， 与 相交于 ， 两点，求 的值.
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数 .
(1)求 的最小值 ；
(2)若 为正实数，且 ，证明不等式 .公众号：高中试卷君
