2数学9月邕衡金卷联考数学参考答案_2023年9月_01每日更新_15号_2024届广西省邕衡金卷名校联盟南宁三中、柳州高中第一次适应性考试

数学【参考答案】 1.【答案】A【详解】由x2 33可得 y3,又集合M  0，1，2，3 ，可得M N {3}.故选：A 12i (12i)(34i) 510i 1 2 2.【答案】C【详解】因为(34i)z 12i，z      i 34i (34i)(34i) 25 5 5 1 2 1 2 1 2 4 可得z   i，则zz (  i)(  i) i .故选：C. 5 5 5 5 5 5 5      1  3.【答案】D【详解】向量a在b 上的投影向量为 a cos b2 bb，故选：D 3 2 4．【答案】D【详解】因为函数 f  x   log  2mx5m2  在  2, 上单调递增， 2 所以 y  2mx5m2在  2, 上单调递增，且 y 2mx5m2 0在  2, 恒成立， m0 所以 ，解得0m5，所以，实数m的取值范围为 0,5 故选：D 4m5m2 0 62 a22 5．【答案】C【详解】由e 2e ，得e2 4e2，当a2  2时，有 4 ，得a  3， 2 1 2 1 6 a2 62 2a2 2 3 2 3 当2  a2时，有  4 ，得a  ，故a的所有可能取值的乘积为 3  2 6 2 3 3 故选：C. 6．【答案】A【详解】圆M :x2  y2 4x6y120化成标准形式为 x2 2 y3 2=1，故 圆心为M  2,3 ，半径为1，直线与坐标轴交于点A  4,0 ，点B  0,2 ， 如图所示： 则当PAB最小时，PA与圆M 相切，连接MP,AM ， 可知PM PA, AM  (24)2(30)2  13, MP 1， 由勾股定理可得 AP  AM |2  MP|2  12  2 3 ，故选：A n(n1)d 7.【答案】C【详解】S na  ，所以， n 1 2  3n(3n1)d n(n1)d  2n(2n1)d S S 2S  3na  na  2 2na   n2d ， 3n n 2n   1 2   1 2   1 2   当 a 为递减数列时，a a d 0, n n1 n 所以，甲是乙的充要条件. 故选：C. 1 1 8.【答案】B【详解】cos()coscossinsin，即  sinsin， 3 2 1 2 故sinsin ，故cos()coscossinsin ， 6 3 2 1 cos(22) 2cos2()12( )21 . 3 9 9.【答案】BCD【详解】对于A，当第①组样本数据全是负数时，A错误； 参考答案第1页，共8页 {#{QQABDYyQogiAAhBAABhCQQVACgCQkBACAIgOhFAMsAABiAFABAA=}#}对于B，当第①组样本数据全是非负数时，平均数不变，否则平均数变大，B正确； x x x x 对于C，第②组极差为 4 5  1 2 ，作差比较得: 2 2 x x x x  x x x x   4 2 5  1 2 2   (x 5  x 1 ) 4 5 2 1 2  0，故极差变小，C正确; 对于D，由于两组数据平均数不变，而极差变小，说明第②组数据相对于原数据更集中于平 均数，因此方差变小，D正确. 10.【答案】BC【详解】第n次传球之后球在甲手中，则第n1次传球之后球不在甲手中，其概率 1 为1P ，第n次传球有三分之一的可能传给甲，故P  (1P ) n1 n 3 n1 1 1 1  1 故P   (P  )，故P  为等比数列，选项B正确 n 4 3 n1 4  n 4 1 1 1 1 1 1 P   ( )n1，故P   ( )n1，选项C正确 n 4 4 3 n 4 4 3 1 1 1 2 1 1 1 7 P   ( )2 ，故A选项错误；P   ( )3  ，故第4次传球后，球落在甲手中的传 3 4 4 3 9 4 4 4 3 27 7 球方式有34 21种，故D选项错误，答案为BC. 27 11.【答案】AD【详解】由 f(4x)  f(x)可知 f(x)关于直线x  2对称，由 f(3x1)为奇函 数，可得 f(x)关于点(1,0)中心对称，故 f(x)为周期为4的周期函数，故 f(70)  f(2) 2， A选项正确， f(x)关于点(3,0)成中心对称，故B选项错误； f(3x1)为奇函数,则 x x y  y f(x)f(2x)，f(x)关于(1,0)对称，故 f(1)0，故C选项错误；由 1 2 1, 1 2 0， 2 2 7 可知 (x  y )7，故D选项正确。 i i i1 12.【答案】ACD【详解】球的半径为1m，则直径为2m. 对于A，棱长为2.1m的正方体内切球直径为2.1>2，A正确； 对于B，长方体高为1.1<2，高小于球的直径，B错误； 对于C，如图所示,设正三棱锥为PABC ，设O为三棱锥的内切球的 球心，D为正三角形ABC的中心，所以PD为正三棱锥的高， ，设E是AD的中点，正三棱锥的底面边长为 ， 所以 ， ， 因为PD为正三棱锥的高，所以 ， 由正棱锥的性质可知： ， ， ， 内切球半径为r， ， 参考答案第2页，共8页 {#{QQABDYyQogiAAhBAABhCQQVACgCQkBACAIgOhFAMsAABiAFABAA=}#}得 ,C正确； 对于D，和C的正三棱锥相比，底面边长相同，只需比较高的大小，即比较log 12和2 3的 2 3 7 大小.由于log 12 2log 32log 2 2 2  2 3 ，故选项D正确. 2 2 2 2 2 13.【答案】36【详解】先分组再排列C2 A3  36. 4 3 10 14．【答案】 【详解】不妨设正方体棱长为2，以D点为坐标原点，DA为x轴，DB为y轴，DC 5 为z轴建立空间直角坐标系，则E(2,1,0)，B(2,2,2)，A(2,0,0),D(0,0,2), 1 1     4 10 则 EB (0,1,2),AD (2,0,2),cosEB ,AD   1 1 1 1 52 2 5 3 3 15.【答案】( ,2]【详解】令t x，则t(0,2)，故324，解得  2. 2 2 16.【答案】 3 【详解】由题可知F,A,D共线，F,B,C 共线， 1 1 如图，设 AF m，则 AF m2a ． 1 2 又 AB 2 AF ，所以 BF m2a，所以 BF m4a． 1 2 1 又AF  AB，所以 BF  5m，由m4a  5m，得 1 1     m 51 a  AF ，则 AF m2a  51 a ，而 1 2  2  2 c FF 2c，则4c2  51 a2  51 a2 ，化简得c2 3a2，所以e  3． 1 2 a a b c 17.【答案】（1）由正弦定理    2R sinA sinB sinC cosA a 且  得(2sinBsinC)cosAsin AcosC ......................................................1分 cosC 2bc 2sinBcosAsinCcosAsinAcosC ， 2sinBcosAsin(AC)，.....................................................................................................2分 AC  πB ， 2sinBcosAsinB...................................................................................................................3分   1 因为B 0, ，所以sinB 0，所以cosA ，...............................................................4分  2 2  π 因为0 A ，所以A .......................................................................................................5分 2 3 （2）在ABC中，因为a2 b2 c2 2bccosA，  2 π 所以 7 b2322b3cos ， 3 所以b2 3b20 解得b2，或b1...................................................................................................................7分 参考答案第3页，共8页 {#{QQABDYyQogiAAhBAABhCQQVACgCQkBACAIgOhFAMsAABiAFABAA=}#}b2 a2 c2 1 79 当b 1时cosC   0 ，则C为钝角，不符合题意.................8分 2ab 2 7  1    2 1 1 19 则b  2，AD  (AB AC),平方可得AD  (b2c22bccosA) (496) . 2 4 4 4 19 故AD  ..............................................................10分 2 18.【详解】（1）以C为坐标原点，CD,CB,CC 所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图， 1 则C(0,0,0),C (0,0,3),B (0,2,2),D (2,0,2),A (2,2,1) ，................................................1分 2 2 2 2   B C (0,2,1),A D (0,2,1) ， 2 2 2 2   B C =A D ， 2 2 2 2 又因B C，A D 不在同一条直线上， 2 2 2 2 故四边形A B C D 为平行四边形 2 2 2 2 又 B C  A D  5 2 2 2 2 故四边形A B C D 为菱形 2 2 2 2 多面体A B C D A是以A为顶点的四棱锥 ...........................................................3分 2 2 2 2 1 1 又 AB  AD  2 2, AA  AC 3 1 2 1 2 1 2 1 2 设AC B D O 2 2 2 2 AO B D ,AO AC ,AO 6,B D  2 2,AC  2 3 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 V  2 6 6 4...........................................................6分 A 1 A 2 B 2 C 2 D 2 3 （2）设P(0,2,)(04) ，    则，AC (2,2,2),PC (0,2,3),A B (2,0,1) 2 2 2 2 2  设平面PAC 的法向量n(x,y,z)， 2 2    nAC 2x2y2z 0 则  2  2 ，  nPC 2y(3)z 0 2  令z 2，得 y 3,x1，n(1,3,2)，...................................8分  设平面AC B的法向量为m (a,b,c) 2 2 2   mA C 2a2b2c0 2 2   mA B 2ac0 2 2  令a 1，得b1,c2，m(1,1,2)，...........................................................10分     nm 6 6 cos n,m      n m 6 (1)2(3)24 2（2）26 04 参考答案第4页，共8页 {#{QQABDYyQogiAAhBAABhCQQVACgCQkBACAIgOhFAMsAABiAFABAA=}#} （2 2）26 6，14      21  cos n,m  ,1 ..................................12分  7  19.【详解】 （1） f(x)的定义域为(0,) 2m 2(x1)(xm) f '(x) 2x2(m1) …………………………………………2分 x x 对m的大小进行分类讨论 1）若m1,则 f '(x) 0在(0,)上恒成立， f(x)在(0,)上单调递减………………3分 2）若m1,则 当0 x1时，f '(x)0，f(x) 单调递减；当1 xm时，f '(x)0，f(x)单调递增；当xm 时， f '(x)0，f(x)单调递减；…………………………………………………………………4分 3）若0m1,则 当0 xm时，f '(x)0，f(x)单调递减；当m x1时，f '(x)0，f(x)单调递增；当x1 时， f '(x)0，f(x)单调递减；…………………………………………………………………5分 综上，若m1,则 f(x)在(0,)上单调递减； 若m1,则当0 x1时，f(x)单调递减；当1 xm时，f(x)单调递增；当xm时，f(x) 单调递减； 若0m1,则当0 xm时，f(x)单调递减；当m x1时，f(x)单调递增；当x1时，f(x) 单调递减；………………………………………………………………………6分 (2)由(1)可知，若m1,则当1 xm时， f '(x)0，f(x)单调递增；当xm时， f '(x)0，f(x)单调递减，则当xm时， f(x)取得最大值 f(m)2mlnmm22m …………………………………………………………7分 又因为当m1时，x 1,，使得 f  x 3mm21 f  x  3mm21 max 参考答案第5页，共8页 {#{QQABDYyQogiAAhBAABhCQQVACgCQkBACAIgOhFAMsAABiAFABAA=}#}2mlnm2m2m10①，……………………………………………….8分 构造函数g(m)2mlnm2m2m1,m1,  g(m) 0② ………………………………………………………9分 min g'(m)2lnm4m3，令h(m) g'(m)再对h(m)求导得， 2 2(2m1) h(m)   4  ，……………………………………………10分 m m 可知当m1时，h(m)0,g'(m)单调递增，g'(m) g'(1)10 g(m)在(1,)上单调递增，则g(m) g(1)0………………………………11分 原命题得证，当m1时，x 1,，使得 f  x 3mm2 1……………………………………12分 20.【详解】由题意可知， 1 5 b a   ，……………………………………………………………………………1分 1 1 a 2 1 a 1 a 2 1 a 2 1 a 2 1 由 n1  n1 ,nN*可得 n1  4 n ， …………………………………….2分 a 4 a 2 1 a a n n n1 n 1 1 即a   4(a  )……………………………………………………………………3分 n1 a n a n1 n b  4b ,……………………………………………………………………………………4分 n1 n 5 5 即{b }是一个首项为 ，公比为4的等比数列，b  4n1,nN*.……………….6分 n 2 n 2 1 1 5 25 （2）c a 2  (a  )22 ( 4n1)22 16n12, …………………8分 n n a 2 n a 2 4 n n 25 116n 5 T c c c ...c   2n (16n1)2n …………………………9分 n 1 2 3 n 4 116 12 5 要使得T 为整数，因为2nZ, (16n1)Z ……………………………………10分 n 12 16n 1(124)n 1 C04012nC14112n1C24212n2....Cn24n2122Cn14n1121Cn4n1201 n n n n n n …………………………………………………………………………………………………11分 则必须使得Cn4n120-1即4n 1能被12整除，而4n 1为奇数，12为偶数，故不存在正 n 参考答案第6页，共8页 {#{QQABDYyQogiAAhBAABhCQQVACgCQkBACAIgOhFAMsAABiAFABAA=}#}整数n,使得T 为整数.……………………………………12分 n 21.【详解】（1）设批次Ⅰ的血液试剂智能自动检测合格为事件A，人工抽检合格为事件B， 98 1 19 由已知得P(A) ,P(AB)1  ..................2分 100 20 20 则工人在流水线进行人工抽检时， PAB 19 100 95 PB|A    ..................5分 PA 20 98 98 （2）设100份血液样本中检测有效的份数为X ．假设该企业关于此新试剂有效率的宣传内容是客 观真实的，那么在此假设下，X B100,0.8,.................6分 EX1000.880,DX1000.810.816.................8分 DX 由切比雪夫不等式，有PX 60 P  X 80 20   0.04．.................10分 202 即在假设下，100份血液样本中显示有效的份数不超过60份的概率不超过0.04，此概率很 小，...........11分 据此我们有理由推断该企业的宣传内容不可信．.................12分 22.（1）解：因为椭圆E的左焦点F(2,0)，可得c2，.........................1分 1 由定义知点( 6,1)到椭圆的两焦点的距离之和为2a， 2a  ( 62)212  ( 62)212  114 6  114 6 (2 2 3)(2 2 3)4 2 ，故a 2 2 则b2 a2 c2  4，.........................3分 x2 y2 所以椭圆E的标准方程为  1..........................4分 8 4 x2 y2 （2）解：由椭圆的方程  1，可得M  0,2 ，N  0,2 ，且直线ST 斜率均存在， 8 4 x2 y2 设S(x ,y ),T(x ,y )，设直线ST 的方程为： y kxm,与椭圆方程  1联立得： 1 1 2 2 8 4 4km 2m28 (2k2 1)x2 4kmx2m2 80 ，则x x  ,x x  ........................6分 1 2 2k2 1 1 2 2k2 1 参考答案第7页，共8页 {#{QQABDYyQogiAAhBAABhCQQVACgCQkBACAIgOhFAMsAABiAFABAA=}#}y 2 y 2 直线SM 的方程为 y  1 x2，直线TN 的方程为 y  2 x2， x x 1 2 2x 6x 由直线SM 和直线TN 交点的纵坐标为4得， 1  2 .........................7分 y 2 y 2 1 2 x 3x x2 y2 x2 y2 即 1  2 又因点S(x ,y )在椭圆  1上，故 1  1 1，得 y 2 y 2 1 1 8 4 8 4 1 2 x 2(y 2) 3x 2(y 2) 1  1 ，故 2  1 ，.........................8分 y 2 x y 2 x 1 1 2 1 即3x x 2(y 2)(y 2)0 1 2 1 2 即3x x 2(kx m2)(kx m2)0 1 2 1 2 即(2k2 3)x x 2k(m2)(x x )2(m2)2 0 1 2 1 2 (2k2 3)(2m2 8)(2km4m)(4km)(2m2 8m8)(2k2 1) 即 0 2k2 1 化简可得8m2 8m160,即m2 m20，可得m2或m1.........................11分 当m2时，直线ST 的方程为 y kx2,直线ST 过点N ，与题意不符。 故m1，直线ST 的方程为 y kx1,直线ST 恒过点(0,1)..........................12分 参考答案第8页，共8页 {#{QQABDYyQogiAAhBAABhCQQVACgCQkBACAIgOhFAMsAABiAFABAA=}#}