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2024届新高三开学摸底考试卷（课标全国专用）03
理科数学·答案及评分标准
1．D 2．C 3．C 4．A 5．B 6．D 7．C 8．C 9．B 10． 11． 12．
A A B
13．40
14． 或
15．2
16．
17．【详解】（1）由已知，∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，（3分）
又∵ ，∴ ，（4分）
∴易知数列 中任意一项不为 ，∴ ，（5分）
∴数列 是首项为 ，公比为 的等比数列.（6分）
（2）由第（1）问， ，∴ ，
∴设数列 的前 项和为 ，则
①，
① 得，
②，（7分）
① ②得，
，（9分）
∴ ，（10分）
∴ .（11分）
∴数列 的前 项和为 .（12分）
18．【详解】（1）由频率分布表可知，“足球迷”对应的频率为 ，
则在抽取的 人中，“足球迷”有 人，
所以 列联表如下（表格2分）非足球迷 足球迷 合计女 70
男 40
合
计
所以 ，（4分）
所以有 的把握认为该地的电视观众是否为“足球迷”与性别有关.（5分）
（2）由频率分布表可知，“足球迷”对应的频率为 （6分）
所以从该地的电视观众中随机抽取 人，其为“足球迷”的概率 ，所以 ，
即 的可能取值为 、 、 、 、 ，（7分）
所以 ， ，
， ，
，（10分）
所以随机变量 的分布列为
（11分）
所以 .（12分）
19．【详解】（1）证明：连接OB，
因为 为等腰直角三角形， ， ，
所以 ，（1分）
因为O为AC边的中点，
所以 ，
在等边三角形 中， ，
因为O为AC边的中点，
所以 ，（2分）
则 ，（3分）
又 ，所以 ，即 ，（4分）因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．（5分）
（2）方法一：因为 是等腰直角三角形， ， 为边 中点，
所以 ，
由（1）得 平面 ，则以O为坐标原点， ， ， 的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空
间直角坐标系，
则 ， ， ，（建系正确给1分，7分）
所以 ， ，
设平面 的法向量为 ，
由 ，得 ，令 ，得 ，（9分）
易知平面 的一个法向量为 ，（10分）
设二面角 的大小为θ，
则 ，（11分）
由图可知二面角 为锐角，所以二面角 的余弦值为 ．（12分）20．【详解】（1）设动圆 与圆 相切的切点为 ，
则 ，（2分）
所以点 的轨迹 是以 ， 为焦点的椭圆，
设椭圆的方程为 ，
则 ， ，所以 ，（3分）
所以椭圆的方程为 ，
即点 的轨迹 的方程为 ．（4分）
（2）由题意可知直线 的斜率显然不为0，
不妨设直线 的方程为 ，设 ， ，则 ，
联立 ，消去 整理得 ，（5分）
所以 ， ，（6分）
因为 ， ， 三点共线，所以 ，（7分）
所以 ，（8分）
即 ，
所以 ，解得 ，（11分）
故直线 的方程为 ，所以直线过定点 ．（12分）21．【详解】（1）解：函数 的定义域为 ， .（1分）
①当 时，令 ，得 ，则 在 上单调递减；
令 ，得 ，则 在 上单调递增.（3分）
②当 时，令 ，得 ，则 在 上单调递减；
令 ，得 ，则 在 上单调递增.（5分）
综上所述，当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.（5分）
（2）证明：因为 为 的两个零点，所以 ， ，（6分）
两式相减，可得 ，即 ， ，（7分）
因此， ， .（8分）
令 ，则 ，（9分）
令 ，则 ，（10分）
所以函数 在 上单调递增，所以 （11分）
即 .
因为 ，所以 ，故 得证.（12分）22．【详解】（1）由 平方可得 （1分）
又因为 ，所以 ，（3分）
因为 ，当且仅当 即 时，取等号，（4分）
所以C的普通方程为 ；（5分）
（2）由直线l的极坐标方程为 可得直线l的直角坐标方程为 ，（7分）
代入C的普通方程可得 ，解得 ，（9分）
因为 ，所以 舍去， 无解，
所以l与C没有交点（10分）
23．【详解】（1）因为 ，（1分）
所以 等价于 ，或 或 ，
解得 或 或 ，（4分）
即 ，即不等式 的解集为 （5分）
（2）当 时， 恒成立，所以 ； （6分）
当 时， 恒成立， （7分）
因为 ，（8分）
当且仅当 即 或 时取得等号，（9分）
所以 ，
综上， 的取值范围是 .（10分）公众号：高中试卷君
