文档内容
2024届新高三开学摸底考试卷（课标全国专用）03
理科数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求.
1．设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．若复数 满足 ，则 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．已知 ， ，．．．， 的平均数为10，标准差为2，则 ， ，．．．， 的平均数和
标准差分别为（ ）
A．19和2 B．19和3 C．19和4 D．19和8
4．下列函数中，既是奇函数，又在R上单调递增的函数有（ ）
A． B．
C． D．
5．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布 ，从中随机取一件，其长度误差落在区
间 内的概率为（ ）
（附：若随机变量ξ服从正态分布 ，则 68.27%，
95.45%）
A．4.56% B．13.59%
C．27.18% D．31.74%
6．已知圆 与圆 只有一个公共点，则 （ ）
A．1 B．4 C．9 D．1或9
7． 的图象大致是（ ）A． B． C． D．
8．“ChatGPT”以其极高的智能化引起世界关注.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是
以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为 ，其中 表示每一轮优化
时使用的学习率， 表示初始学习率， 表示衰减系数， 表示训练迭代轮数， 表示衰减速度.已知某
个指数衰减的学习率模型的初始学习率为 ，衰减速度为 ，且当训练迭代轮数为 时，学习率为 ，
则学习率衰减到 以下（不含 ）所需的训练迭代轮数至少为（参考数据： ）（ ）
A．75 B．74 C．73 D．72
9．已知点 为坐标原点，直线 与抛物线 ： 相交于A， 两点， 的中点为 ，
若 到 的准线的距离等于 ，则 （ ）
A． B． C． D．
10．如图，矩形ABCD中，E、F分别为BC、AD的中点，且 ，现将 沿AE向上翻折，
使 点移到P点，则在翻折过程中，下列结论不正确的是（ ）
A．存在点P，使得
B．存在点P，使得
C．三棱锥 的体积最大值为
D．当三棱锥 的体积达到最大值时，三棱锥 外接球表面积为4π
11．函数 在 内的值域为 ,则 的取值范围为
A． B． C． D．
12．设 ， ， ，则（ ）
A． B．C． D．第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．若 展开式的二项式系数和为32，则展开式中的常数项为______．（用数字作答）
14．已知数列 满足 ， ，若 ， ，则 的值为______.
15．已知 是双曲线 的左焦点， 是 的右顶点，过点 作 轴的垂线交双曲线的一条渐近
线于点 ，连接 交另一条渐近线于点 .若 ，则双曲线 的离心率为__________.
16．在三棱锥 中，PA⊥平面ABC， ，当三棱锥的体积最大时，三棱
锥 外接球的体积为______．
三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考
题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）
（一）必考题：共60分
17．已知数列 满足 ， （ ）.记
(1)求证： 是等比数列；
(2)设 ，求数列 的前 项和.
18．某体育频道为了解某地电视观众对卡塔尔世界杯的收看情况，随机抽取了该地200名观众进行调查，
下表是根据所有调查结果制作的观众日均收看世界杯时间（单位：时）的频率分布表：
日均收看世界杯时间
（时）
频率 0.1 0.18 0.22 0.25 0.2 0.05
如果把日均收看世界杯的时间高于2.5小时的观众称为“足球迷”．
(1)根据已知条件完成下面的 列联表，并判断是否有99.9%的把握认为该地的电视观众是否为“足球
迷”与性别有关；
非足球迷 足球迷 合计
女 70男 40
合
计
(2)将样本的频率分布当作总体的概率分布，现从该地的电视观众中随机抽取4人，记这4人中的“足球
迷”人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
参考公式： ，其中 ．
参考数据：
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
19．在图1中， 为等腰直角三角形， ， ， 为等边三角形，O为AC边的中
点，E在BC边上，且 ，沿AC将 进行折叠，使点D运动到点F的位置，如图2，连接
FO，FB，FE，使得 ．
(1)证明： 平面 ．
(2)求二面角 的余弦值．
20．已知动圆 经过点 ，并且与圆 相切．
(1)求点 的轨迹 的方程；
(2)动直线 过点 ，且与轨迹 分别交于 ， 两点，点 与点 关于 轴对称（点 与点 不重合），
求证：直线 恒过定点．21．已知函数 .
(1)讨论 的单调性.
(2)若函数 有两个零点 ，且 ，证明： .
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[坐标系与参数方程]在直角坐标系 中，曲线C的参数方程为 （ 为参数），以坐标原
点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为 ．
(1)写出C的普通方程；
(2)写出直线l的直角坐标方程并判断l与C有无交点，如果有，则求出交点的直角坐标；如果没有，写出
证明过程．
23．[不等式选讲]已知函数 .
(1)求不等式 的解集；
(2)若 恒成立，求a的取值范围.公众号：高中试卷君
