文档内容
2024届新高三开学摸底考试卷（全国通用）
理科数学
本试卷共22题（含选考题）.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1．答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干
净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
1．已知全集 , ,则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题设 ,故 , , , ,
所以 ,故选A.
2．复数 在复平面上对应的点位于虚轴上,则实数a的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【解析】 ,因为复数z对应点在虚轴上,所以 ,解得 .故
选B.
3．已知2022年第1季度农村居民人均消费支出为4391元,为本季度农村居民人均可支配收入的76%,本季
度农村居民人均可支配收入的来源及其占比的统计数据的饼状图如图所示,根据饼状图,则下列结论正确的
是（ ）
A．财产净收入占农村居民人均可支配收入的4%
B．工资性收入占农村居民人均可支配收入的40%
C．经营净收入比转移净收入大约多659元
D．财产净收入约为173元
【答案】D【解析】由题知,农村居民人均可支配收入为 ,工资性收入占农村居民人均可支配收入的
,财产净收入占农村居民人均可支配收入的百分比为 ,故 错、B
错； 经营净收入与转移净收入差为 元,故 错误； 财产净收入为
元,故D正确.故选D.
4．已知 是平面内两个非零向量,那么“ ”是“存在 ,使得 ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】若 ,则存在唯一的实数 ,使得 ,故 ,而
,存在 使得 成立,所以“ ”是“存在 ,使得
”的充分条件,若 且 ,则 与 方向相同,故此时 ,所以“
”是“存在 ,使得 ”的必要条件,故“ ”是“存在 ,使得
”的充要条件,故选C.
5．已知 ,则 的近似值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ,所以 ,所以
.故选B.
6．某个函数的大致图象如图所示,则该函数可能是（ ）
A． B．
C． D．【答案】B【解析】4个选项中的函数定义域均为R,设该函数为 ,对于A,
,故 为奇函数,且 ,对于B,
故 为奇函数, ,对于C,
,故 为偶函数,
对于D, 故 为奇函数, ,
由图知函数为奇函数,故排除C；由 ,排除A,由 ,排除D,故选B．
7．在2023年3月12日马来西亚吉隆坡举行的Yong Jun KL Speedcubing比赛半决赛中,来自中国的9岁魔
方天才王艺衡以4.69秒的成绩打破了“解三阶魔方平均用时最短”吉尼斯世界纪录称号.如图,一个三阶魔
方由27个单位正方体组成,把魔方的中间一层转动了 之后,表面积增加了（ ）
A．54 B． C． D．
【答案】C
【解析】如图,转动了 后,此时魔方相对原来魔方多出了16个小三角形的面积,显然小三角形为等腰直角
三角形,设直角边 ,则斜边为 ,则有 ,得到 ,由几何关系得：阴影部分的面积为
,所以增加的面积为 .故选C.
8．设 是椭圆 的上顶点, 是 上的一个动点．当 运动到下顶点时, 取得最
大值,则 的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】设 , ,因为 , ,所以
, ,由题意知当 时,
取得最大值,所以 ,可得 ,即 ,则 ．故选B．
9．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上,这条直线被
后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作 , ,点 ,点 ,且其“欧
拉线”与圆 相切.则圆 上的点到直线 的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．6
【答案】A
【解析】点D为BC中点,在 中, ,所以 边上的高线、垂直平分线和中线合一,则
的“欧拉线”为 ,因为点 ,点 ,所以 ,因为直线 的斜率为 ,所以AD
斜率为 ,方程为 ,即 ,因为“欧拉线”与圆 相切
所以圆心 到“欧拉线”的距离为 ,圆心 到直线 的距离为
,所以圆 上的点到直线 的距离的最小值为 ,故选A.
10.已知直四棱柱 的底面为正方形, , 为 的中点,过 三点作平面 ,
则该四棱柱的外接球被平面 截得的截面圆的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意知直四棱柱 的外接球的半径 ,如图,取 的中点
,连接 ,易知四边形 为矩形,且平面 即为平面 ,分别取 的中点 ,连接
,则易得四边形 为正方形,由四棱柱的对称性可知,其外接球的球心 即为正方形 的
中心,取 的中点 ,连接 ,则 平面 , 平面 ,所以 平面 ,故
球心 到平面 的距离与 到平面 的距离相等,过点 作 ,垂足为 ,
易知 面 , 面 ,故 ,又 平面 ,所以 平面
,又 ,所以球心 到平面 的距离为 ,由球的性质知,截面圆的半径,所以截面圆的周长为 .故选D.11.若直线 与曲线 相切,直线 与曲线 相切,则 的值为（ ）
A． B．1 C．e D．
【答案】B
【解析】设直线 与曲线 相切于点 ,直线 与曲线 相切于点
,则 ,且 ,所以 , ,且 ,所以 ,
令 , ,当 时, , 单调递减,当 时, , 单调
递增,且 , ,所以当 时, ,因为 , ,即
,所以 ,所以 ,故 ,故选B.
12．已知函数 与 的定义域均为 , 为偶函数,且 , ,则下面
判断错误的是( )
A． 的图象关于点 中心对称
B． 与 均为周期为4的周期函数
C．
D．
【答案】C
【解析】因为 为偶函数,所以 ①,所以 的图象关于直线 轴对称,
因为 等价于 ②,又 ③,②+③得 ④,
即 ,即 ,所以 ,故 的周期为4,又
,所以 的周期也为4,故选项B正确,①代入④得 ,故 的图象
关于点 中心对称,且 ,故选项 正确,由 , 可得 ,且,故 ,故 ,因为 与值不确定,故选项 错误,因为 ,所以 ,
所以 ,故 ,故 ,所以选项D
正确,故选 .
二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.
13． 的展开式中 的系数是__________.
【答案】-15
【解析】 ,令 得 ,所以 的系数为 .
14．某高校鼓励学生深入当地农村拍摄宣传片,带动当地旅游业的发展,帮助当地居民提升经济收入.若统计
发现在某一时段内,200部宣传片的浏览量X（万次）服从正态分布 ,则该时段内这200部宣传片
中浏览量在 万次的个数约为______.
（参考数据： , ）
【答案】164
【解析】因为浏览量X（万次）服从正态分布 ,所以浏览量X（万次）的均值 ,方差
, ,故 ,
,
故 .故浏览量在 万
次的作品个数约为 .
15．如图,四边形 中, 与 相交于点O, 平分 , , ,则 的
值_______.
【答案】
【解析】在 中, ,由余弦定理得
,
所以 .由正弦定理得 ,.即 .
又因为 平分 ,所以 .
16．已知抛物线 的焦点为F,点 在抛物线上,且满足 ,设弦 的中点M到y轴的距离为
d,则 的最小值为__________．
【答案】1
【解析】由抛物线 可得准线方程为 ,设 ,由余弦定理可得
,
由抛物线定义可得P到准线的距离等于 ,Q到准线的距离等于 ,
M为 的中点,由梯形的中位线定理可得M到准线 的距离为 ,
则弦 的中点M到y轴的距离 ,故 ,
又 ,则 ,当且仅当 时,等号成立,
所以 的最小值为1.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必
须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17．（12分）．如图,四棱锥 中,底面ABCD为等腰梯形, , ,且平面
平面ABCD, .(1)求证： ；
(2) 与平面 所成的角为 ,求二面角 的正弦值.
【解析】（1）证明：取AB的中点 ,连接 ,则由题意知 为正三角形,
所以 ,
由等腰梯形知 ,设 ,则 , ,
故 ,即得 ,所以 ,
因为平面 平面 , ,平面 平面 , 平面PAD,
所以 平面 ,又 平面 ,所以 ,
因为 , , 平面 ,所以 平面 ,
因为 平面 ,所以 .
（2）由（1）得 , , 两两垂直,以 为坐标原点, , , 所在直线分别为 , , 轴建立空间直
角坐标系,
因为 平面 ,所以 平面 所成的角为 ,
设 ,则 , ,
则 , , , ,
则 , , ,
设平面PAB的法向量为 ,
则 ,即 ,取 ,则 ,设平面PBC的法向量为 ,
则 ,即 ,
取 ,则 ,
所以 ,
所以二面角 的正弦值为 .
18.（12分）设正项数列 的前 项和为 ,且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)能否从 中选出以 为首项,以原次序组成的等比数列 .若能,请找出公比最小的
一组,写出此等比数列的通项公式,并求出数列 的前 项和 ；若不能,请说明理由.
【解析】（1） ,
当 时, ,即 ,
得 或 （舍去）.
由 ,……①
得 ,……②
得： ,
化简得 .
因为 ,所以 , ,
即数列 是以4为首项,2为公差的等差数列,
所以 .
（2）存在.
当 , 时,
会得到数列 中原次序的一列等比数列 ,
此时的公比 ,是最小的,此时该等比数列的项均为偶数,均在数列 中；
下面证明此时的公比最小：
,假若 取 ,公比为 ,则 为奇数,不可能在数列 中.所以 .
又 ,所以 ,即 的通项公式为 ,
故 .
19.（12分）人工智能（AI）是一门极富挑战性的科学,自诞生以来,理论和技术日益成熟.某公司成立了
两个研究性小组,分别设计和开发不同的AI软件用于识别音乐的类别.记两个研究性小组的 软件每次能正
确识别音乐类别的概率分别为 .为测试 软件的识别能力,计划采取两种测试方案.
方案一：将100首音乐随机分配给 两个小组识别,每首音乐只被一个 软件识别一次,并记录结果；
方案二：对同一首歌, 两组分别识别两次,如果识别的正确次数之和不少于三次,则称该次测试通过.
(1)若方案一的测试结果如下：正确识别的音乐数之和占总数的 ；在正确识别的音乐数中, 组占 ；在错
误识别的音乐数中, 组占 .
（i）请根据以上数据填写下面的 列联表,并通过独立性检验分析,是否有 的把握认为识别音乐是否
正确与两种软件类型有关？
正确识别 错误识别 合计
A组软件
B组软件
合计 100
（ii）利用（i）中的数据,视频率为概率,求方案二在一次测试中获得通过的概率；
(2)研究性小组为了验证 软件的有效性,需多次执行方案二,假设 ,问该测试至少要进行多少次,才
能使通过次数的期望值为16？并求此时 的值.
附： ,其中 .
0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【解析】（1）（i）依题意得 列联表如下：
错误识
正确识别 合计
别组软
40 20 60
件
组软件 20 20 40
合计 60 40 100
因为 ,
且 ,
所以没有 的把握认为软件类型和是否正确识别有关；
（ii）由（i）得 ,
故方案二在一次测试中通过的概率为
；
（2）方案二每次测试通过的概率为
,
所以当 时, 取到到最大值 ,
又 ,此时 ,
因为每次测试都是独立事件,
故 次实验测试通过的次数 ,期望值 ,
因为 ,所以
所以测试至少27次,此时 .
20.（12分）已知双曲线 的左、右焦点分别为 , ,A是 的左顶点, 的离心率为2．
设过 的直线 交 的右支于 、 两点,其中 在第一象限．(1)求 的标准方程；
(2)若直线 、 分别交直线 于 、 两点,证明： 为定值；
(3)是否存在常数 ,使得 恒成立？若存在,求出 的值；否则,说明理由．
【解析】（1）由题可得 ,故可得 ,则 ,
故 的标准方程为 .
（2）由（1）中所求可得点A, 的坐标分别为 ,
又双曲线渐近线为 ,显然直线 的斜率不为零,
故设其方程为 , ,
联立双曲线方程 可得： ,
设点 的坐标分别为 ,
则 ,
,
；
又直线 方程为： ,令 ,则 ,
故点 的坐标为 ；
直线 方程为： ,令 ,则 ,
故点 的坐标为 ；
则故 为定值 .
（3）当直线 斜率不存在时,对曲线 ,令 ,解得 ,
故点 的坐标为 ,此时 ,
在三角形 中, ,故可得 ,
则存在常数 ,使得 成立；
当直线 斜率存在时,
不妨设点 的坐标为 , ,直线 的倾斜角为 ,直线 的倾斜角为 ,
则 , ,
假设存在常数 ,使得 成立,即 ,
则一定有 ,也即 ；
又 ； ；
又点 的坐标满足 ,则 ,
故
；
故假设成立,存在实数常数 ,使得 成立；
综上所述,存在常数 ,使得 恒成立.
21.（12分）已知函数 ,其中 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 存在三个零点 （其中 ）.
（i）若 ,函数 ,证明： ；
（ii）若 ,证明： .
【解析】（1）函数 的定义域为 .①若 时,1
- 0 + 0 -
极小值 极大值
②若 时, 恒成立, 单调递减,
③若 时
1
- 0 + 0 -
极小
极大值
值
④若 时, 时, 单调递减； 时, 单调递增.
综上所述,当 时, 单调递减, 单调递增, 单调递减；当 时,
单调递减；当 时, 单调递减, , 单调递增,
单调递减；当 时, 单调递减, 单调递增.
（2）（i）由（1）知当 时, 单调递减,
单调递增, 单调递减.
所以 存在三个零点,只需 和 即可,
所以 且 ,
整理得 且 .
此时, ,
令 ,易知 在 上单调递减
有 ,
所以 .
（ii）由（1）知,当 时, 单调递减,
单调递增,
单调递减所以 .若 存在三个零点,只需 和 即可,所以 且 ,
整理得 ,
因为 ,
设 ,则方程 ,即为
记 ,
则 为方程 三个不同的根,
设 .
要证： ,
即证： ,
即证： ,
而 且 ,
所以 ,
所以 ,
即证： ,
即证： ,
即证： ,
记 ,
则 ,所以 在 为增函数,所以所以 ,
设 ,
则 ,
所以 在 上是增函数,
所以
所以 ,
即
所以若 ,则 .
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中,曲线 的方程为 ．曲线 的参数方程为 （ 为参数）．
以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线 和曲线 的极坐标方程；
(2)若射线 （ , ）交曲线 于点P,直线 与曲线 和曲线 分别交于点
M、N,且点P、M、N均异于点O,求 面积的最大值．
【解析】（1）把 , 代入 ,
得曲线 的极坐标方程为 ,即 ．
将 中的参数消去,得曲线 的普通方程为 ,
把 , 代入,得曲线 的极坐标方程为 ,即 ．
（2）由题得 , , ,
,
因为 ,所以,其中 , ,
当 ,即 时, 的面积取得最大值 ．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数 的最小值为m, 的最小值为n．实数a,b,c满足 , ,
, ．
(1)求m和n；
(2)证明： ．
【解析】（1）函数 的最小值为 ,此时 ,
当 时, ,
当 时, ,
当 时, ,
函数 ,
函数在 上单调递减,在 上单调递增,
当 时, ,
所以函数 的最小值为 ,
故 .
（2）由（1）知 , ,
因为 , ,
所以 , , , , ,
又因为 ,
所以 ,又 ,
所以 ,所以 ．所以 ．公众号：高中试卷君
