文档内容
绝密★启用前
2024 年高考押题预测卷 02【北京卷】
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．已知集合 ， 集合 ， 则 （ ）
A． B．
C． D．
2．在复平面内，复数 满足 ，则 的虚部为（ ）
A． B．
C．3 D．
3．已知双曲线 经过点 ， 离心率为2，则 的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．下列函数中， 既是奇函数又在 上单调递增的是（ ）
1
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
5．设 ， 则 “ ” 是 “ ” 的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．在 中， ，则 的面积为（ ）
A． B．
C． D．
7．在 中， ， ， 且 ， 则 （ ）
A． B． C． D．
8．已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A．54 B．63
C．72 D．135
9．在平面直角坐标系中， 记 为点 到直线 的距离， 则当 变
化时， 的最大值与最小值之差为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
10．如图， 正方体 中， 点 为线段 上的动点， 则下列结论正确的个数是
（ ）
2
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司（1）三棱锥 的体积为定值；
（2）直线 与平面 所成的角的大小不变；
（3）直线 与 所成的仍的大小不变，
（4） ．
A．1 B．2 C．3 D．4
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11． 的展开式中常数项为 (用数字作答)
12．已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上，若 ，则 到直线 的距离为：
．
13．若函数 的最大值为 ， 则 ， ．
14．已知数列 是各项均为正数的等比数列， 为其前 项和， ， 则
； 记 ， 若存在 使得 最大， 则 的值为 ．
15．设 ，函数 ，给出下列四个结论：
①当 时， 的最小值为 ；
3
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司②存在 ， 使得 只有一个零点；
③存在 ， 使得 有三个不同零点；
④ ， 在 上是单调递增函数．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
16．（14分）
如图，直三棱柱 中， ， ，点 是 中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求证： 平面 ；
（3）求二面角 的余弦值．
17．（13分）
记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
(1)求 ；
(2)若 ，再从条件①，条件②，条件③中选择一个条件作为已知，使其能够确定唯一的三角形，
并求 的面积．
条件① ： ；条件② ： ；条件③ ： ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一
4
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司个解答计分．
18．（13分）
2021年10月16日，神舟十三号载人飞船与天宫空间站组合体完成自主快速交会对接，航天员翟志
刚､王亚平､叶光富顺利进驻天和核心舱，由此中国空间站开启了有人长期驻留的时代.2022年4月16
日，神舟十三号载人飞船圆满完成任务，平安返回.为普及航天知识，某市组织中学生参加“探索太
空”知识竞赛，竞赛分为理论､操作两个部分，两部分的得分均为三档，分别为100分､200分､300分.
现从参加活动的学生中随机选择20位，统计其两部分成绩，成绩统计人数如下表：
理论
100分 200分 300分
操作
100分 0 2 1
200分 3 b 1
300分 2 3 a
例如，表中理论成绩为200分且操作成绩为100分的学生有2人.
(1)若从这20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到理论或操作至少一项成绩为300分的学生概率
为 .求 的值；
(2)在（1）的前提下，用样本估计总体，从全市理论成绩为300分的学生中，随机抽取2人，求至少
有一个人操作的成绩为300分的概率；
(3)若要使参赛学生理论成绩的方差最小，写出 的值.（直接写出答案）
19．（15分）
已知椭圆 的一个焦点坐标为 ，A，B分别是椭圆的左、右顶点，点
在椭圆C上，且直线 与 的斜率之积为 ．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线 与椭圆分别相交于M，N两点，直线 （O为坐标原点）与椭圆的另一个交
点为E，求 的面积S的最大值．
20．（15分）
5
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司已知函数 ， ．
(1)若曲线 与曲线 相交，且在交点处有共同的切线，求 的值和该切线方程；
(2)设函数 ，当 存在最小值时，求其最小值 的解析式.
21．（15分）
若存在常数 ，使得无穷数列 满足 ，则称数列
为“Γ数列．已知数列 为“Γ数列”．
（1）若数列 中， ，试求 的值；
（2）若数列 中， ，记数列 的前n项和为 ，若不等式 对
恒成立，求实数λ的取值范围；
（3）若 为等比数列，且首项为b，试写出所有满足条件的 ，并说明理由．
6
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司
