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2024年高考押题预测卷02【北京卷】
数学·参考答案
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A D C D B A B B D C
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11． 12． 4 13． 1 14．4 3或4 15．②③
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
16．（14分）
【分析】（1）由等腰三角形和直棱柱的性质，得出 和 ，根据线面垂直的判定定理，即
可证出 平面 ；
（2）连接 ，交 于点 ，连接 ，结合三角形的中位线得出 ，根据线面平行的判定定理，
即可证出 平面 ；
（3）连 ，交 于点 ，分别取 、 中点 、 ，连接 、 、 ，根据线面垂直的判定
定理，可证出 平面 和 平面 ，从而得出 就是二面角 的平面角，
最后利用几何法求出二面角 的余弦值．
【详解】解：（1）证明： ， 是 中点， ，
又 在直三棱柱 中， 平面 ， 平面 ，
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学科网（北京）股份有限公司，
又 ， 平面 ， 平面 ，
平面 ．
（2）证明：连接 ，交 于点 ，连接 ，
、 分别是 、 的中点，
是 的中位线， ，
平面 ， 平面 ，
平面
（3）解：连 ，交 于点 ，分别取 、 中点 、 ，连接 、 、 ，
四边形 是正方形且 、 分别是 、 的中点，故 ，
在 中， ， ，
， ，
又 ， 分别是 ， 中点且 ，
，
又 在直三棱柱 中， 平面ABC， 平面ABC，
，
， 平面 ， 平面 ，
平面 ，
平面 ， 平面 ，
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学科网（北京）股份有限公司， ，
又 ， ， 平面 ， 平面 ，
平面 ，
平面 ， ，
又 平面 平面
就是二面角 的平面角，
设 ，则在 中， ，
，
故 ，
故 ，
即二面角 的余弦值为 .
【点睛】本题考查线面垂直和线面平行的判定定理，以及利用几何法求解二面角余弦值，还涉及三角形中
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学科网（北京）股份有限公司位线和勾股定理的逆定理的运用，考查推理证明能力和运算能力.
17．（13分）
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合同角公式计算即得.
（2）选择条件①，利用余弦定理及三角形面积公式计算求解；选择条件②，利用正弦定理计算判断三角
形不唯一；选择条件③，利用正弦定理计算判断，再求出三角形面积.
【详解】（1）由 得： ，而 ，
则 ， 为锐角，又 ，解得 ，
所以 且 为锐角.
（2）若选条件①，由 ， 为锐角，得 ，
由余弦定理得 ，又 ，则 ，
解得 唯一确定，所以 .
若选条件②，由正弦定理得 ，则 ，
由 ，得 ，因此角 有两解，分别对应两个三角形，不符合题意.
若选条件③，由 ， 为锐角，得 ，
又 ，得 ， ，则 ，
因此 唯一确定，
由正弦定理得 ，则 ，所以 .
18．（13分）
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）由题意得， ，从而求解 ，再结合表格数据与学生总人数求解 ；（2）先求解样
本符合题意的概率，然后由样本估计总体，得全市学生符合题意的概率，从而利用对立事件的概率公式求
解；（3）表示出参赛学生理论竞赛的平均成绩与方差，从而得关于 二次函数，由 的取值范围与二次函
数的性质从而求解得答案.
【详解】（1）由题意，理论或操作至少一项成绩为300分的学生
共有 人，则 ，
得 ，又 ，
得
（2）由（1）知，从20位理论成绩为300分的学生中抽取1人，
操作成绩也为300分的概率为 ，所以从全市理论成绩为300分的学生中，
随机抽取2人，至少有一个人操作的成绩为300分的概率为
（3）由题意， ，
设理论竞赛的分数为 ，则 取值为 ，
对应的人数分别为 ，所以参赛学生理论竞赛的平均成绩为
，
所以参赛学生理论成绩的方差为
因为 ，所以当 时， 最小.
【点睛】求解本题的关键是将理论竞赛分数对应的人数表示为 的多项式，然后求解均值与方差，从而转
化为关于 的二次函数的最值问题.
19．（15分）
【分析】（1）根据椭圆的顶点坐标，结合斜率的计算公式，可整理椭圆方程，建立方程，可得答案；
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学科网（北京）股份有限公司（2）由题意，利用三角形中线性质，分割三角形，整理三角形面积表达式，联立直线与椭圆方程，写出
韦达定理，求得面积表达式中的变量，利用基本不等式，可得答案.
【详解】（1）由已知得 ， 且 ，即 ，
因此有 ，得 ．
因此 ，得 ， ，所以椭圆的标准方程为 ．
（2）显然直线 经过x轴上的定点 ，设 ， ，
则由椭圆的对称性得 ，
联立 ，消去x得 ．
恒成立，所以 ， ．
．
令 ，显然有 ，于是 ，当 ，即
时取等号．
因此 的面积S的最大值为 ．
20．（15分）
【分析】（1）对 ， 进行求导，已知在交点处有相同的切线，从而解出 的值及该切线的方程；
（2）由条件知 ，对 进行求导，分两种情况进行讨论：① ；② ，从而
求其最小值 的解析式；
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）解： ，
由已知得 ，解得 ，
两条直线交点的坐标为 ，切线的斜率为 ，
切线的方程为 ，即切线的方程为 .
（2）解：由条件知
①当 时，令 ，解得 ，
当 时， 在 上递减；当 时， 在 上递增，
是 在 上的唯一极值点，从而也是 的最小值点，
最小值点， .
②当 时， 在 上递增，无最小值，故 的最小值 的解析式为
.
【点睛】本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性从而求最值、分类讨论思想.属于难题.
分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决
含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样
才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够
熟练掌握并应用与解题当中.
21．（15分）
【分析】（1）直接利用信息求出数列的项．
（2）利用恒成立问题和函数的单调性，求出λ的取值范围．
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学科网（北京）股份有限公司（3）直接利用分类讨论思想求出数列的通项公式．
【详解】（1）数列 为“Γ数列”中， ，
所以：当 时， 时， ，
又 ，即： ，
， ．
（2）因为数列 是“Γ数列”，且 ，所以：
，
则：数列前4n项中的项bn 是以2为首项，6为公差的等差数列．
4 -3
易知{bn}的项后按原来的顺序构成一个首项为4，公差为2的等差数列．
4
所以：
，
．
由于不等式 对 恒成立，
所以： ，
设 ，
则： ，
所以：
当 时， ，
当 时， ，
所以：
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学科网（北京）股份有限公司所以 的最大值为 ．
即 ．
（3） 为等比数列，设数列 的公比 ，
由等比数列的通项公式： ，
当 时， ，
即： ，
① ，则 ，故： ．
②当 时，则： ，
所以 为常数，则 ，k为偶数时，
经检验，满足条件数列 的通项公式为： 或 ．
【点睛】本题考查的知识要点是数列的通项公式的求法及应用，函数的单调性的应用，主要考查学生的运
算能力和转化能力，属于中档题．
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