文档内容
2024届新高三开学摸底考试卷（全国通用）
理科数学·答案及评分标准
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A B D C B B C B A D B C
13． 14．164
15． 16．1
17．【解析】（1）证明：取AB的中点 ,连接 ,则由题意知 为正三角形,
所以 ,
由等腰梯形知 ,设 ,则 , ,
故 ,即得 ,所以 ,（2分）
因为平面 平面 , ,平面 平面 , 平面PAD,
所以 平面 ,又 平面 ,所以 ,（4分）
因为 , , 平面 ,所以 平面 ,
因为 平面 ,所以 .（6分）
（2）由（1）得 , , 两两垂直,以 为坐标原点, , , 所在直线分别为 , , 轴建立空间直
角坐标系,
因为 平面 ,所以 平面 所成的角为 ,
设 ,则 , ,
则 , , , ,
则 , , ,（8分）
设平面PAB的法向量为 ,则 ,即 ,
取 ,则 ,（9分）
设平面PBC的法向量为 ,
则 ,即 ,
取 ,则 ,（10分）
所以 ,
所以二面角 的正弦值为 .（12分）
18．【解析】（1） ,
当 时, ,即 ,
得 或 （舍去）. （1分）
由 ,……①
得 ,……②
得： ,
化简得 .（3分）
因为 ,所以 , ,
即数列 是以4为首项,2为公差的等差数列, （5分）
所以 .（6分）（2）存在. （7分）
当 , 时,
会得到数列 中原次序的一列等比数列 ,
此时的公比 ,是最小的,此时该等比数列的项均为偶数,均在数列 中；（8分）下面证明此时的公比最小：
,假若 取 ,公比为 ,
则 为奇数,不可能在数列 中. （10分）
所以 .
又 ,所以 ,即 的通项公式为 ,
故 .（12分）
19.【解析】（1）（i）依题意得 列联表如下：
正确识别 错误识别 合计
组软件 40 20 60
组软件 20 20 40
合计 60 40 100
（2分）
因为 ,（3分）
且 ,
所以没有 的把握认为软件类型和是否正确识别有关；（5分）
（ii）由（i）得 ,（6分）
故方案二在一次测试中通过的概率为
；（8分）
（2）方案二每次测试通过的概率为
,所以当 时, 取到到最大值 ,（10分）又 ,此时 ,
因为每次测试都是独立事件,
故 次实验测试通过的次数 ,期望值 ,
因为 ,所以
所以测试至少27次,此时 .（12分）
20．【解析】（1）由题可得 ,故可得 ,（2分）
则 ,（3分）
故 的标准方程为 .（4分）
（2）由（1）中所求可得点A, 的坐标分别为 ,
又双曲线渐近线为 ,显然直线 的斜率不为零,
故设其方程为 , ,（5分）
联立双曲线方程 可得： ,
设点 的坐标分别为 ,
则 ,
,
；（6分）
又直线 方程为： ,令 ,则 ,故点 的坐标为 ；
直线 方程为： ,令 ,则 ,
故点 的坐标为 ；（7分）
则故 为定值 .（8分）
（3）当直线 斜率不存在时,
对曲线 ,令 ,解得 ,
故点 的坐标为 ,此时 ,
在三角形 中, ,故可得 ,
则存在常数 ,使得 成立；（9分）
当直线 斜率存在时,
不妨设点 的坐标为 , ,直线 的倾斜角为 ,直线 的倾斜角为 ,
则 , ,
假设存在常数 ,使得 成立,即 ,
则一定有 ,也即 ；
又 ； ；
又点 的坐标满足 ,则 ,故
；（11分）
故假设成立,存在实数常数 ,使得 成立；
综上所述,存在常数 ,使得 恒成立. （12分）
21.【解析】（1）函数 的定义域为 .（1分）①若 时,
1
- 0 + 0 -
极小值 极大值
（2分）
②若 时, 恒成立, 单调递减,
③若 时
1
- 0 + 0 -
极小值 极大值
（3分）
④若 时, 时, 单调递减； 时, 单调递增.
综上所述,当 时, 单调递减, 单调递增, 单调递减；当 时,
单调递减；当 时, 单调递减, , 单调递增,
单调递减；当 时, 单调递减, 单调递增. （4分）
（2）（i）由（1）知当 时, 单调递减,
单调递增,
单调递减.
所以 存在三个零点,只需 和 即可,
所以 且 ,整理得 且 .
此时, , （6分）
令 ,易知 在 上单调递减
有 ,
所以 .（8分）
（ii）由（1）知,当 时, 单调递减,
单调递增,
单调递减
所以 .若 存在三个零点,只需 和 即可,
所以 且 ,
整理得 ,
因为 ,
设 ,则方程 ,即为
记 ,
则 为方程 三个不同的根, （10分）
设 .
要证： ,即证： ,
即证： ,
而 且 ,
所以 ,所以 ,
即证： ,
即证： ,
即证： ,
记 ,
则 ,
所以 在 为增函数,所以
所以 ,
设 ,
则 ,
所以 在 上是增函数,
所以
所以 ,
即所以若 ,则 .（12分）
22. 【解析】（1）把 , 代入 ,
得曲线 的极坐标方程为 ,即 ．（2分）将 中的参数消去,得曲线 的普通方程为 ,
把 , 代入,得曲线 的极坐标方程为 ,即 ．（5分）
（2）由题得 , , ,
,（7分）
因为 ,所以
,
其中 , ,
当 ,即 时, 的面积取得最大值 ．（10分）
23.【解析】（1）函数 的最小值为 ,此时 ,（1分）
当 时, ,
当 时, ,
当 时, ,
函数 ,（3分）
函数在 上单调递减,在 上单调递增,
当 时, ,
所以函数 的最小值为 ,
故 .（5分）（2）由（1）知 , ,
因为 , ,
所以 , , , , ,（7分）
又因为 ,
所以 ,又 ,所以 ,所以 ．所以 ．（10分）公众号：高中试卷君
