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南宁二中 2024 年 11 月高三月考
数学
（时间120分钟，共150分）
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 若全集 ，集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据补集的定义可得 ，再由并集的定义求解即可.
【详解】解：因为 ， ，
所以 ，
所以 .
故选：A.
2. 已知复数 是 的共轭复数，则 （ ）
A. 2 B. 3 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由复数四则运算、共轭复数以及模的概念即可求解.
【详解】 .
故选：D.
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学科网（北京）股份有限公司3. 已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则 （ ）
A. B. C. √3 D.
【答案】C
【解析】
【详解】根据双曲线的方程写出渐近线方程，对照条件可求答案．
【解答】解：因为双曲线为 ，
所以它的渐近线方程为 ，
因为有一条渐近线方程为 ，所以 ．
故选： ．
4. 已知实数 ， ， 满足 ，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知等式可确定 ，结合不等式性质和作差法依次判断各个选项即可.
【详解】由题， ，
取 ，则 ，故A错误；
，故B错误；
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学科网（北京）股份有限公司，故D错误；
因为 ，所以 ，即 ，故C正确.
故选：C.
5. 天上有三颗星星，地上有四个孩子．每个孩子向一颗星星许愿，如果一颗星星只收到一个孩子的愿望，
那么该愿望成真，若一颗星星收到至少两个孩子的愿望，那么向这颗星星许愿的所有孩子的愿望都无法成
真，则至少有两个孩子愿望成真的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用古典概型的概率公式，结合排列组合知识求解．
【详解】四个孩子向三颗星星许愿，一共有 种可能的许愿方式.
由于四个人选三颗星星，那么至少有一颗星星被两个人选，这两个人愿望无法实现，至多只能实现两个人
的愿望，
所以至少有两个孩子愿望成真，只能是有两颗星星各有一个人选，一颗星星有两个人选，
可以先从四个孩子中选出两个孩子，让他们共同选一颗星星，其余两个人再选另外两颗星，
有 种情况，
所以所求概率为 .
故选：C.
6. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. 1 D. 3
【答案】B
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】由三角恒等变换可得 ，进一步由同角三角函数关系以及商数关系、二倍角公式化简求
值即可.
【详解】由 ，解得 ，
故
.
故选：B.
7. 已知函数 （ ）的零点在区间 内，则实数 的取值范围是（
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】可将函数转化，令 ，结合构造函数法转化成直线与圆的位置关系进行
求解即可
【 详 解 】 由 ， 令 ，
，要使 ，（ ）的零点在区间 内，即在
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学科网（北京）股份有限公司内， 与 有交点，画出 与 图像，如图：
当 时， ，此时 ；当 时， ，此时
故
故选C
【点睛】本题考查根据函数零点区间求解参数问题，构造函数法求解参数，属于中档题
8. 已知函数 在区间 上是增函数，若函数 在 上的图象与直线
有且仅有一个交点，则 的范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合函数 对称性，及 在区间 上的单调性，可知 ，又函数 与直线
的
交点的横坐标为 ，从而得 ，进而可求出 的取值范围.
【详解】因为函数 的图象关于原点对称，并且在区间 上是增函数，所以
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学科网（北京）股份有限公司，所以 ，
又 ，得 ，
令 ，得 ，
所以 在 上的图象与直线 的第一个交点的横坐标为 ，第二个交点的横坐标为
，
所以 ，解得 ，
综上所述， .
故选： .
【点睛】关键点点睛：关于三角函数中的取值范围问题，结合三角函数的单调性与最大（小）值列关于
的不等式，从而求解即可.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 某科技攻关青年团队共有10人，其年龄（单位：岁）分布如下表所示，则这10个人年龄的（ ）
年龄 45 40 36 32 29 28
人数 1 2 1 3 2 1
A. 中位数是34 B. 众数是32
C. 第25百分位数是29 D. 平均数为34.3
【答案】BCD
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据给定数据，利用中位数、众数、百分位数、平均数的定义计算判断即可.
【详解】把10个人的年龄由小到大排列为 ，
这组数据的中位数为32，众数为32，A错误，B正确；
由 ，得这组数据的第25百分位数是第3个数，为29，C正确；
这组数据的平均数 ，D正确.
故选：BCD
10. 如图所示，在四棱锥 中，底面 是边长为 的正方形， 是正三角形， 为线
段 的中点，点 为底面 内的动点：则下列结论正确的是（ ）
A. 若 ，平面 平面
B. 若 ，直线 与平面 所成的角的正弦值为
C. 若直线 和 异面，点 不可能为底面 的中心
D. 若平面 平面 ，且点 为底面 的中心，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】先证明 平面 ，再利用面面垂直的判定定理，即可判断 A，根据线面角的定义，结合
垂直关系，构造线面角，即可判断B，根据三点 所确定的平面，再结合异面直线的定义，即可判
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学科网（北京）股份有限公司断C，根据几何关系计算 和 ，即可判断D.
【详解】对于A，因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，
平面 ，所以平面 平面 ，故A正确；
对于B，设 的中点为 ，连接 ，则 .
平面 平面 ，平面 平面 平面 .
平面 ，又 平面 ，则 ，
的
设 与平面 所成 角为 ，则 ，
由 ，则 ，
则 ，故B错误；
对于C，连接 ，易知 平面 ，由 确定的面即为平面 ，
当直线 和 异面时，若点 为底面 的中心，则 ，
又 平面 ，则 平面 ，
又 平面 ，则 平面 ，则 与 共面，矛盾，故C正确；
对于D，结合选项A，B的推理知 平面 ，
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学科网（北京）股份有限公司又 平面 ，则 ，同理可证 ,
分别为 的中点，则 ，
又 ，故 ， ，
则 ，故D正确.
故选：ACD.
11. 设定义在 上的函数 与 的导函数分别为 和 .若 ，
，且 为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ）
A. 函数 的图象关于点 对称
B.
C.
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由已知条件得到 ，结合 ，得 ，
通过赋值求得 ，确定 为周期函数，进而逐个判断即可.
【详解】对于A，由 为奇函数，得 ，即 ，因此
函数 的图象关于点 对称，A正确；
由 ，得 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司又 ，于是 ，令 ，得 ，即 ，
则 ，因此函数 是周期函数，周期为4，
对于B，由 ，得 ，B正确；
对于C，因为函数 是周期函数，周期为4，
显然函数 是周期为4的周期函数， ，
，则
C错误；
对于D， ，则 ，D正确.
故选：ABD
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知正三角形 的边长为2， 为 中点， 为边 上任意一点，则 ______.
【答案】3
【解析】
【分析】由已知可得 ，从而利用 可求值.
【详解】因为三角形 是正三角形， 为 中点，
所以 ，所以 ，又正三角形 的边长为2，所以 ，
所以 .
故答案为： .
13. 已知三棱锥 ，二面角 的大小为 ，
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学科网（北京）股份有限公司当三棱锥 的体积取得最大值时，其外接球的表面积为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用已知条件得到要使棱锥体积最大，需保证 到面 的距离 最大， ，
进而求棱锥外接球半径，即可得表面积.
【详解】
要使棱锥体积最大，需保证 到面 的距离 最大，
此时 ，又 都在面 上，
故 面 ，且 故 ，
为
设 外接圆半径 ，
则由余弦定理 ，
所以 ，所以 ，即 ，
所以，外接球半径 ，故其表面积为 ，
故答案为： .
14. 拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个正三角形，则这三个正三角形的中心恰为另
一个正三角形的顶点.”利用该定理可为任意形状的市区科学地确定新的发展中心区位置，合理组织人流､物
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学科网（北京）股份有限公司流，使城市土地的利用率，建筑的使用效率达到最佳，因而在城市建设规划中具有很好的应用价值.如图，
设 代表旧城区，新的城市发展中心 ，分别为正 ，正 ，正 的中心､现
已知 ， 的面积为 ，则 的面积为___________.
【答案】
【解析】
【分析】连接 ，易得 ，进而得到
，利用勾股定理得到 ，然后再利用余弦定理求得 即可.
【详解】如图所示：
连接 ，由题意得： ，
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学科网（北京）股份有限公司又因为 ，
所以 ， ，
解得 ，
由勾股定理得 ，即 ，
即 ，
由余弦定理得 ，
解得 ，
所以三角形ABC的面积为 ，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题关键是证得 ，再利用勾股定理和余弦定理求得 而得解.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知等差数列{a}中，a＝8，a ＝23．
n 5 10
（1）令 ，证明：数列{b}是等比数列；
n
（2）求数列{nb}的前n项和S．
n n
【答案】（1）见解析（2）S＝（n﹣1）•2n+1+2．
n
【解析】
【分析】（1）由题意可得a＝3n-7，则 ，即可得证；
n
（2）由nb＝n•2n利用错位相减法即可求得S，即可得解.
n n
【详解】（1）证明：设等差数列{a}的公差为d，∵a＝8，a ＝23，
n 5 10
∴a+4d＝8，a+9d＝23，
1 1
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学科网（北京）股份有限公司联立解得：a＝-4，d＝3，
1
∴a＝-4+3（n﹣1）＝3n-7．
n
∴ ，
∴ 2．
∴数列{b}是等比数列，首项为2，公比为2．
n
（2）nb＝n•2n．
n
∴数列{nb}的前n项和S＝2+2×22+3×23+……+n•2n．
n n
∴2S＝22+2×23+……+（n﹣1）•2n+n•2n+1．
n
∴两式相减得﹣S＝2+22+……+2n﹣n•2n+1 n•2n+1．
n
∴S＝（n﹣1）•2n+1+2．
n
【点睛】本题考查了等差数列通项公式的应用和等比数列的证明，考查了错位相减法求数列前n项和的应
用，属于基础题.
16. 米接力短跑作为田径运动的重要项目，展现了一个国家短跑运动的团体最高水平.每支队伍都
有自己的一个或几个明星队员，现有一支 米接力短跑队，张三是其队员之一，经统计该队伍在参
加的所有比赛中，张三是否上场时该队伍是否取得第一名的情况如下表.如果依据小概率值 的独立
性检验，可以认为队伍是否取得第一名与张三是否上场有关，则认为张三是这支队伍的明星队员.
队伍是否取得第一名的情
况
张三是否
上场
取得第一 未取得第一
名 名
上场 10 40
未上场 6
合计 24
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学科网（北京）股份有限公司（1）完成 列联表，并判断张三是否是这支队伍的明星队员.
（2） 米接力短跑分为一棒､二棒､三棒､四棒4个选手位置.张三可以作为一棒､二棒或四棒选手参加
比赛.当他上场参加比赛时，他作为一棒､二棒､四棒选手参赛的概率分别为 ，相应队伍取得第一名
的概率分别为 .当张三上场参加比赛时，队伍取得第一名的概率为0.7.
（i）求 的值；
（ii）当张三上场参加比赛时，在队伍取得某场比赛第一名的条件下，求张三作为四棒选手参加比赛的概
率.
附： .
.
0.15 010 0.05 0.025 0.010 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
【答案】（1）列联表见解析，是
（2）（i） （ii）
【解析】
【分析】（1）由已知条件直接给出列联表，再求得 ，即可判断；
（2）由全概率计算公式及条件概率计算公式即可求解.
【小问1详解】
根据题意，可得 的列联表：
队伍是否取得第一名的情况
张三是否上场 合计
取得第一名 未取得第一名
上场 30 10 40
未上场 6 14 20
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学科网（北京）股份有限公司合计 36 24 60
零假设 ：队伍是否取得第一名与张三是否上场无关；
，
依据小概率值 的独立性检验，可以认为队伍是否取得第一名与张三是否上场有关；
故张三是这支队伍的明星队员.
【小问2详解】
由张三上场时，作为一棒､二棒､四棒选手参赛的概率分别为 ，
相应队伍取得第一名的概率分别为 .
设事件 ：张三作为一棒参赛，事件 ：张三作为二棒参赛，
事件C：张三作为四棒参赛，事件D：张三上场且队伍获得第一名；
则 ；
（i）由全概率公式：
，
即 ，又 ，
联立解得： .
（ii）由条件概率公式： .
17. 如图，在四棱锥 中， 为等边三角形，底面 是矩形，平面 平面
分别为线段 的中点，点 在线段 上（不包括端点）.
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学科网（北京）股份有限公司（1）若 ，求证：点 四点共面；
（2）若 ，是否存在点 ，使得 与平面 所成角的正弦值为 ，若存在，求出
，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）存在， 或
【解析】
【分析】（1）方法1：利用向量的线性运算结合图形关系得到 ，即可证明；
方法2：过 作直线 与 平行，延长 与 交于点 ，连接 ，再利用平行线段对应成比例得到
即可证明；
（2）先由面面垂直的性质证明 平面 ，再建系，找到平面 的法向量和 ，再利用线面
角的公式求出 值即可.
【小问1详解】
证明：方法1：
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学科网（北京）股份有限公司，
系数和为1，根据平面向量共线定理可知 四点共面.
方法2：过 作直线 与 平行，延长 与 交于点 ，连接 .
因为底面 是矩形， 是 的中点，
所以 ，且 .所以 ，则直线 与直线 相交，记交点为 .
因为 是 的中点，可得 ，
则 ，所以 .
因为 ，所以点 即点 ，所以 四点共面.
【小问2详解】
因为 是 的中点，所以 ，
又平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，所以 平面 .
取 中点 ，连接 ，易知 两两相互垂直，
如图，分别以 为 轴建立空间直角坐标系，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，
.
设平面 的法向量为 ，
则 即 ，令 ，则 ，所以 .
设 ，则
.
为
设 与平面 所成角 ，
则 ，
解得 或 ，则 或 .
18. 已知椭圆 ，四点 ，其中恰有三点
在椭圆 上.
（1）求 的方程；
（2）设 是 的左､右顶点，直线 交 于 两点，直线 的斜率分别为 .若 ，
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学科网（北京）股份有限公司证明：直线 过定点.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）首先分析椭圆过 三点，代入方程得到 、 的方程组，解得即可；
（2）首先分析直线 的斜率不为 ，设直线 方程为 ，联立直线与椭圆方程，消元、列
出韦达定理，设直线 的斜率为 ，利用斜率公式得到 ，从而得到 ，即可求出
，从而求出直线过定点坐标.
【小问1详解】
由椭圆对称性，必过 ，又 横坐标为1，椭圆必不过 ，所以过 三点，
代入椭圆方程得 ，解得 椭圆 的方程为：
【小问2详解】
依题意，点
（i）若直线 的斜率为 ，则必有 ，不合题意；
（ii）设直线 方程为
与椭圆 联立 ，整理得： ，
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学科网（北京）股份有限公司由 ，则 ，
因为点 是椭圆上一点，即 ，设直线 的斜率为 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
因为
，
所以 ，即直线 方程为 ，令 ，可得 ，
所以直线 恒过定点 .
19. 悬链线在建筑领域有很多应用.当悬链线自然下垂时，处于最稳定的状态，反之其倒置时也是一种稳定
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学科网（北京）股份有限公司状态.链函数是一种特殊的悬链线函数，正链函数表达式为 ，相应的反链函数表达式为
.
（1）证明：曲线 是轴对称图形，
（2）若直线 与函数 和 的图象共有三个交点，设这三个交点的横坐标分别为
，证明： ；
（3）已知函数 ，其中 .若 对任意的
恒成立，求 的最大值.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）7
【解析】
【分析】（1）将函数化简得 ，根据偶函数的性质即可判断此函数图象关于 轴对称；
（2）根据函数的单调性可大致判断函数 和的图象 ，且 为偶函数，结合图象可
判断 ，且 ，再解不等式即可；
（3）观察函数特征，不妨设 ，当 时，得 ，
从而 对 恒成立，再解不等式即可.
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司，
令 ，则
所以 为偶函数，故曲线 是轴对称图形，且关于 轴对称
【小问2详解】
令 ，得 ，
当 时， 在 单调递减，在 单调递增，
所以 ，且当 时， ，当 时，
又 恒成立，所以 在 上单调递增，
且当 时， ，当 时，
且对任意 ，
所以的大致图象如图所示，
不妨设 ，由 为偶函数可得 ，
与图象有三个交点，显然 ，令
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学科网（北京）股份有限公司整理得 ，解得 或 （舍），
所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
【小问3详解】
设 ，则 ，
所以
因为 单调递增，
所以 时， ，即
由 ，
即 ，
该不等式组成立的一个必要条件为： 和 时同时满足，即 ，
所以 ，当 时等号成立；
下面分析充分性：若 时，
显然对 恒成立，从而 ，满足题意，
综上所述： 的最大值为
【点睛】思路点睛：本题第三问函数 的形式上比较复杂，对于形式比较复杂的函数，一般要考虑是
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学科网（北京）股份有限公司否是复合函数，而通常情况下比较喜欢考查其它函数与二次函数的复合，转化为二次函数以后在用二次函
数相关知识去解决问题，另外对于函数值域问题，虽然方法较多，最基础的方法是利用函数单调性求值域.
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学科网（北京）股份有限公司
