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河南省信阳高级中学北湖校区
2024-2025 学年高二上期开学测试
数学答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B D B B C ACD AD BC
题号 11 12
答案 ABC BD
13．3 15．8
16．
14．
17．(1)
(2) 或 .
(3)
【分析】（1）利用夹角公式可求夹角的余弦值.
（2）利用向量垂直的坐标形式可求参数的值.
（3）利用共线向量定理可求参数的值.
【详解】（1） ， ，
故 .
（2）由（1）可得
， ，
因为向量 ， 垂直，故 ，
整理得到： ，故 或 .
（3）由（1）可得 不共线，故 ， 均不为零向量，
若向量 ， 平行，则存在非零常数 ，使得 ，
1
学科网（北京）股份有限公司整理得到： ，
因为 不共线，故 ，故 或 ，
故 .
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用频率之和为 求解即可；
（2）先判断中位数所在区间，再利用中位数的定义列式求解即可；
（3）先利用分层抽样确定男女生人数，再利用列举法与古典概型的概率公式求
解即可.
【详解】（1）依题意，得 ，解得 ；
（2）因为 ， ，
所以中位数在 间，设为 ，
则 ，解得 .
（3）依题意，因为满意度评分值在 的男生数与女生数的比为 ，
按照分层抽样的方法在其中随机抽取5人，则抽中男生3人，女生2人，依次
分别记为 ，
对这5人依次进行座谈，前2人的基本事件有： ， ， ， ， ，
， ， ， ， ，共10件，
2
学科网（北京）股份有限公司设“前2人均为男生”为事件A，其包含的基本事件有： ， ， ，共
3个，
所以 ．
19．(1)
(2)
【分析】（1）求出交点坐标，进而得到半径，得到圆的标准方程；
（2）由垂径定理得到圆心 到直线 的距离，利用点到直线距离公
式求出答案.
【详解】（1）联立 ，解得 ，
故半径为 ，
故圆C的标准方程为 ；
（2）设圆心 到直线 的距离为 ，
则由垂径定理得 ，
解得 ，即 ，解得 ，
故直线l的方程为 ，即 .
20．(1)
(2)4
【分析】（1）利用正弦定理边角互化，转化为三角函数求角；
（2）首先根据三角形的面积公式，求得 ，再根据余弦定理求得
3
学科网（北京）股份有限公司，再根据中线向量关系， 利用数量积公式，即可求解.
【详解】（1） ，∴由正弦定理得： ，
，∴ ，
∴ ，即 ，
，∴ ，
∴ ，
（2） ， ，
在 中，由余弦定理 得
，所以 ，
设 的中点为 ，则 ，
两边同时平方得：
=
所以 ，所以 .
21．(1)证明见解析；
(2) ．
【分析】（1）根据题意易证 平面 ，从而证得 ；
（2）由题可证 平面 ，所以以点 为原点， 所在直线分别为
4
学科网（北京）股份有限公司轴，建立空间直角坐标系，再求出平面 的一个法向量，根据二面
角的向量公式以及同角三角函数关系即可解出．
【详解】（1）连接 ，因为E为BC中点， ，所以 ①，
因为 ， ，所以 与 均为等边三角形，
，从而 ②，由①②， ， 平面 ，
所以， 平面 ，而 平面 ，所以 ．
（2）不妨设 ， ， ．
， ，又 ， 平面
平面 ．
以点 为原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，如图
所示：
设 ，
设平面 与平面 的一个法向量分别为 ，
二面角 平面角为 ,而 ，
因为 ，所以 ，即有 ，
，取 ，所以 ；
，取 ，所以 ，
5
学科网（北京）股份有限公司所以， ，从而 ．
所以二面角 的正弦值为 ．
22．(1) (2)
【分析】（1）先设甲发球甲赢为事件A，乙发球甲赢为事件B，然后分析这4
个球的发球者及输赢者，即可得到所求事件的构成，利用相互独立事件的概率
计算公式即可求解；
（2）先将所求事件分成甲赢与乙赢这两个互斥事件，再分析各事件的构成，利
用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式即可求得概率．
【详解】（1）设甲发球甲赢为事件A，乙发球甲赢为事件B，该局打4个球甲
赢为事件C，
由题知， ， ，∴ ，
∴ ，
∴该局打4个球甲赢的概率为 ．
（2）设该局打5个球结束时甲赢为事件D，乙赢为事件E，打5个球结束为事
件F，易知D，E为互斥事件，
， ， ，
∴
，
，
∴ ，
6
学科网（北京）股份有限公司∴该局打5个球结束的概率为 ．
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