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南宁二中 2024 年 11 月高三月考
数学
（时间120分钟，共150分）
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 若全集 ，集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
2. 已知复数 是 的共轭复数，则 （ ）
A. 2 B. 3 C. D.
3. 已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则 （ ）
A. B. C. √3 D.
的
4. 已知实数 ， ， 满足 ，且 ，则下列说法正确 是（ ）
A. B.
C. D.
5. 天上有三颗星星，地上有四个孩子．每个孩子向一颗星星许愿，如果一颗星星只收到一个孩子的愿望，
那么该愿望成真，若一颗星星收到至少两个孩子的愿望，那么向这颗星星许愿的所有孩子的愿望都无法成
真，则至少有两个孩子愿望成真的概率是（ ）
A. B. C. D.
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6. 已知 ，则 （ ）
.
A B. C. 1 D. 3
7. 已知函数 （ ）的零点在区间 内，则实数 的取值范围是（
）
A. B. C. D.
8. 已知函数 在区间 上是增函数，若函数 在 上的图象与直线
有且仅有一个交点，则 的范围为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 某科技攻关青年团队共有10人，其年龄（单位：岁）分布如下表所示，则这10个人年龄的（ ）
年龄 45 40 36 32 29 28
人数 1 2 1 3 2 1
A. 中位数是34 B. 众数是32
C. 第25百分位数是29 D. 平均数为34.3
的
10. 如图所示，在四棱锥 中，底面 是边长为 正方形， 是正三角形， 为线
段 的中点，点 为底面 内的动点：则下列结论正确的是（ ）
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A. 若 ，平面 平面
B. 若 ，直线 与平面 所成的角的正弦值为
C. 若直线 和 异面，点 不可能为底面 的中心
D. 若平面 平面 ，且点 为底面 的中心，则
11. 设定义在 上的函数 与 的导函数分别为 和 .若 ，
，且 为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ）
A. 函数 的图象关于点 对称
B.
C.
D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知正三角形 的边长为2， 为 中点， 为边 上任意一点，则 ______.
13. 已知三棱锥 ，二面角 的大小为 ，
当三棱锥 的体积取得最大值时，其外接球的表面积为______.
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14. 拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个正三角形，则这三个正三角形的中心恰为另
一个正三角形的顶点.”利用该定理可为任意形状的市区科学地确定新的发展中心区位置，合理组织人流､物
流，使城市土地的利用率，建筑的使用效率达到最佳，因而在城市建设规划中具有很好的应用价值.如图，
设 代表旧城区，新的城市发展中心 ，分别为正 ，正 ，正 的中心､现
已知 ， 的面积为 ，则 的面积为___________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知等差数列{a}中，a＝8，a ＝23．
n 5 10
（1）令 ，证明：数列{b}是等比数列；
n
（2）求数列{nb}的前n项和S．
n n
16. 米接力短跑作为田径运动的重要项目，展现了一个国家短跑运动的团体最高水平.每支队伍都
有自己的一个或几个明星队员，现有一支 米接力短跑队，张三是其队员之一，经统计该队伍在参
加的所有比赛中，张三是否上场时该队伍是否取得第一名的情况如下表.如果依据小概率值 的独立
性检验，可以认为队伍是否取得第一名与张三是否上场有关，则认为张三是这支队伍的明星队员.
队伍是否取得第一名的情
况
张三是否
上场
取得第一 未取得第一
名 名
上场 10 40
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未上场 6
合计 24
（1）完成 列联表，并判断张三是否是这支队伍的明星队员.
（2） 米接力短跑分为一棒､二棒､三棒､四棒4个选手位置.张三可以作为一棒､二棒或四棒选手参加
比赛.当他上场参加比赛时，他作为一棒､二棒､四棒选手参赛的概率分别为 ，相应队伍取得第一名
的概率分别为 .当张三上场参加比赛时，队伍取得第一名的概率为0.7.
（i）求 的值；
（ii）当张三上场参加比赛时，在队伍取得某场比赛第一名的条件下，求张三作为四棒选手参加比赛的概
率.
附： .
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
17. 如图，在四棱锥 中， 为等边三角形，底面 是矩形，平面 平面
分别为线段 的中点，点 在线段 上（不包括端点）.
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（1）若 ，求证：点 四点共面；
（2）若 ，是否存在点 ，使得 与平面 所成角的正弦值为 ，若存在，求出
，若不存在，请说明理由.
18. 已知椭圆 ，四点 ，其中恰有三点
在椭圆 上.
的
（1）求 方程；
（2）设 是 的左､右顶点，直线 交 于 两点，直线 的斜率分别为 .若 ，
证明：直线 过定点.
19. 悬链线在建筑领域有很多应用.当悬链线自然下垂时，处于最稳定的状态，反之其倒置时也是一种稳定
状态.链函数是一种特殊的悬链线函数，正链函数表达式为 ，相应的反链函数表达式为
.
（1）证明：曲线 是轴对称图形，
（2）若直线 与函数 和 的图象共有三个交点，设这三个交点的横坐标分别为
，证明： ；
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（3）已知函数 ，其中 .若 对任意 的
恒成立，求 的最大值.
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