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2026 届名校联盟第一次调研
命题人：侯伯源 审题人： 张名非
一、单选题（每小题5分，共40分）
1. 已知全集 ， ， ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
2. 复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知数列 的前n项和为 ，则对 ，“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知函数 ，则它 的部分图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知抛物线 ，过其焦点 的直线 与 在第一象限的交点为 ，且 ，则 的方程为
（ ）
A. B.
C. D.
6. ， ， （ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
7. 等 腰 直 角 中 ， ， ， 点 M 在 外 接 圆 上 运 动 ， 若
，则 的最大值为（ ）
A. B. 2 C. D. 3
8. 已知 ， ，则（ ）
的
A. B. C. D. ，但 和 大
小关系无法确定
二、多选题（每小题6分，共18分）
9. 已知 的面积为 且 ， ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
10. 函数 满足 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 的周期为6
C.
D. 的图象关于直线 对称
11. 已知双曲线 的两条渐近线分别为 为双曲线上一点，则（ ）
A. 越大，则双曲线的离心率越大
B. 过点 与双曲线仅有一个交点的直线只有一条
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学科网（北京）股份有限公司C. 点 到两渐近线的距离之积为定值
D. 过点 作双曲线的切线交渐近线于 两点，则 为 的中点
三、填空题（每小题5分，共15分）
12. 在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，
只知道抽取了男生20人，其平均数和方差分别为170和10，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为
160和15．则估计出总样本的平均数为_____．
13. 若曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线，则 ______．
14. 已知数列 满足 ， ，则数列 的通项公式为 ______.
四、解答题（本题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共
77分)
15. 在 中，角 所对的边分别为 ，且 , , ．
（1）求 ；
（2）求 的面积．
16. 已知函数 ．
（1）若 ，求 在 处的切线方程；
（2）讨论 的单调性．
17. 在矩形 中， ， ， 为 的中点，将 沿 翻折至 ，使得平面
平面 ，得到如图所示的四棱锥 ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）证明： ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
18. 设 ， ， 为数列 的前 项和，令 ， ， ．
（1）若 ，求数列 的前 项和 ；
（2）求证：对 ，方程 在 上有且仅有一个根；
（3）求证：对 ，由（2）中 构成的数列 满足 ．
19. 有N个人需要通过血液检测某种酶是否存在．假设每个人血液中含有该酶的事件是相互独立的，且含
有该酶的概率均为 ，若血液检测始终能准确判断样本中该酶是否存在．现采用以下分组检测
方法：将待检测人群分成r个小组，每组 人．在每一组中，取每人的血液混合成一个
样本进行检测．
若某组的混合样本检测结果呈阴性（不含酶），则该组内所有人员无需再进行后续检测．
若某组 的混合样本检测结果呈阳性（含有酶），则需要对该组内的每一位成员再分别单独检测一次（不用
采集血样，利用现有采集过的血样）．
（1）若 ， ，已知某小组 的混合样本检测结果呈阳性，求该组内“恰有2人”血液中含有该酶的
概率；
（2）用N，k，p表示该方法所需检测次数的期望值；
（3）设检测成本由两部分组成：采集处理血样成本为a元/人份，化验检测成本为b元/次．若 ，
每组人数 ，且该方法 的总成本期望值比“逐一检测”的总成本节省了50%以上，求 的取值范围．
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学科网（北京）股份有限公司（参考数据： ）
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