专题20创新定义题型（2大考向真题解读）-解析版_2024-2025高三（6-6月题库）_2024年08月试卷_08202025版《真题题源解密-专题分类》数学

专题 20 创新定义题型
命题解读 考向 考查统计
1.高考对创新定义的考查，是新高考改 解析几何创新问题 2024·新高考Ⅰ卷，11
革出现的题型，一般难度较大。2024年
九省联考出现了概率的新定义问题，而
数列新定义 2024·新高考Ⅰ卷，19
2025年新高考中出现了解析几何、数列
的新定义问题。
命题分析
2024(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:4)(cid:5)Ⅰ(cid:7)11(cid:8)(cid:5)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:12)(cid:13)(cid:14)(cid:15)(cid:16)(cid:6)(cid:8)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:15)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)Ⅱ(cid:7)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:5)
(cid:9)(cid:6)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:17)(cid:18)(cid:38)(cid:21)(cid:39)(cid:40)(cid:8)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:22)(cid:23)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:18)(cid:49)(cid:21)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:15)(cid:16)(cid:6)(cid:31)(cid:6)(cid:35)(cid:36)(cid:8)(cid:17)(cid:15)(cid:53)(cid:54)(cid:21)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)
(cid:59)(cid:50)(cid:60)(cid:6)(cid:61)(cid:62)(cid:18)(cid:63)(cid:64)(cid:35)(cid:50)(cid:65)(cid:6)(cid:66)(cid:67)(cid:18)(cid:63)(cid:58)(cid:59)(cid:13)(cid:60)(cid:6)(cid:68)(cid:17)(cid:69)(cid:16)(cid:70)(cid:71)(cid:6)(cid:15)(cid:72)(cid:8)(cid:73)(cid:74)(cid:18)(cid:20)(cid:26)(cid:5)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:11)(cid:15)(cid:80)
(cid:81)(cid:82)(cid:18)(cid:83)(cid:84)(cid:8)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:15)(cid:88)(cid:89)(cid:18)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:15)(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:24)(cid:27)(cid:18)(cid:97)(cid:98)(cid:88)(cid:89)(cid:15)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:11)(cid:8)(cid:15)(cid:85)(cid:15);(cid:105)(cid:102)(cid:6)(cid:35)(cid:36)(cid:72)
(cid:8)(cid:18)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:78)(cid:8)(cid:18)(cid:109)(cid:12)(cid:6)(cid:35)(cid:36)(cid:15)(cid:53)(cid:54)(cid:18)(cid:110)(cid:111)(cid:6)(cid:35)(cid:36)(cid:15)(cid:29)(cid:30)(cid:18)(cid:112)(cid:6)(cid:35)(cid:36)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:116)”(cid:117)(cid:118)(cid:109)(cid:12)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:119)(cid:66)(cid:67)(cid:18)(cid:122)
(cid:72)(cid:8)(cid:123)(cid:124)(cid:11)(cid:125)(cid:18)(cid:126)(cid:127)(cid:128)(cid:126)(cid:18)(cid:129)(cid:130)(cid:54)(cid:53)(cid:131)(cid:31)(cid:132)(cid:133)2025(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:134)(cid:21)(cid:19)(cid:20)(cid:5)(cid:9)(cid:42)(cid:43)(cid:119)(cid:135)(cid:42)(cid:15)(cid:6)(cid:35)(cid:36)(cid:72)(cid:8)(cid:31)
试题精讲
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:20)(cid:21)
1(cid:25)(cid:26)2024(cid:27)(cid:28)(cid:29)Ⅰ(cid:30)·11(cid:31)(cid:32)(cid:33) (cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)C(cid:40)(cid:22)(cid:52)(cid:53).(cid:54)(cid:55)C(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)
O.(cid:61)C(cid:62)(cid:40)(cid:60)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:57)(cid:58)(cid:66)(cid:67)-2(cid:43)(cid:68)(cid:60)F(2,0)(cid:40)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:68)(cid:72)(cid:73)(cid:51)x=a(a<0)(cid:40)(cid:69)(cid:70)(cid:74)(cid:75)(cid:76)4(cid:43)(cid:77)(cid:26) (cid:31)
A(cid:25)a=-2 B(cid:25)(cid:60)(2 2,0)(cid:78)C(cid:62)4
C(cid:25)C(cid:78)(cid:79)(cid:22)(cid:80)(cid:81)(cid:40)(cid:60)(cid:40)(cid:82)(cid:57)(cid:58)(cid:40)(cid:83)(cid:66)(cid:84)(cid:76)1 D(cid:25)(cid:85)(cid:60)x ,y (cid:78)C(cid:62)(cid:86)(cid:43)y £
0 0 0 x +2
0
(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)ABD
(cid:87)(cid:53)(cid:91)(cid:90)(cid:92)(cid:93)(cid:21)(cid:94)(cid:44)(cid:59)(cid:60)(cid:95)(cid:96)(cid:50)(cid:51)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:34)(cid:100)a(cid:43)(cid:101)(cid:34)(cid:102)(cid:103)A(cid:40)(cid:104)(cid:105)(cid:43)(cid:106)(cid:107)(cid:50)(cid:51)(cid:97)(cid:98)(cid:34)(cid:102)(cid:103)B(cid:40)(cid:104)(cid:105)(cid:43)(cid:108)
(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:34)(cid:102)(cid:103)C(cid:40)(cid:104)(cid:105)(cid:43)(cid:44)(cid:50)(cid:51)(cid:97)(cid:98)(cid:16)(cid:113)(cid:99)(cid:106)(cid:107)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:40)(cid:117)(cid:118)(cid:34)(cid:102)(cid:103)D(cid:40)(cid:104)(cid:105).
(cid:87)(cid:119)(cid:120)(cid:90)(cid:121)(cid:67)A(cid:10)(cid:94)(cid:50)(cid:51)(cid:62)(cid:40)(cid:122)(cid:60)Px,y(cid:43)(cid:77)x>-2(cid:61) x-22+y2 ´ x-a =4(cid:43)
(cid:123)(cid:76)(cid:50)(cid:51)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:43)(cid:101) 0-22+02 ´ 0-a =4(cid:43)(cid:120)(cid:124)a=-2(cid:43)(cid:101)A(cid:104)(cid:125).
(cid:121)(cid:67)B(cid:10)(cid:126)(cid:50)(cid:51)(cid:97)(cid:98)(cid:76) x-22+y2 ´ x+2 =4(cid:43)(cid:127)x>-2(cid:43)
(cid:101) x-22+y2 ´x+2=4.
 2  
(cid:85)x=2 2,y=0(cid:86)(cid:43) 2 2-2 ´ 2 2+2 =8-4=4(cid:43)
 
(cid:101) 2 2,0 (cid:78)(cid:50)(cid:51)(cid:62)(cid:43)(cid:101)B(cid:104)(cid:125).
(cid:121)(cid:67)C(cid:10)(cid:128)(cid:50)(cid:51)(cid:40)(cid:97)(cid:98)(cid:34)(cid:124)y2 = 16 -x-22 (cid:43)(cid:129)x= 3 (cid:43)
x+22
2
64 1 64 1 64 5 256-245
(cid:77)y2 = - (cid:43)(cid:127) - -1= - = >0(cid:43)(cid:101)(cid:130)(cid:86)y2 >1(cid:43)
49 4 49 4 49 4 49´4
(cid:101)C(cid:78)(cid:79)(cid:22)(cid:80)(cid:81)(cid:131)(cid:60)(cid:40)(cid:82)(cid:57)(cid:58)(cid:40)(cid:83)(cid:66)(cid:84)(cid:66)(cid:67)1(cid:43)(cid:101)C(cid:132)(cid:105).
16 16
(cid:121)(cid:67)D(cid:10)(cid:85)(cid:60)x ,y (cid:78)(cid:50)(cid:51)(cid:62)(cid:86)(cid:43)(cid:128)C(cid:40)(cid:53)(cid:91)(cid:34)(cid:124)y2 = -x -22 £ (cid:43)
0 0 0 x +22 0 x +22
0 0
4 4
(cid:101)- £ y £ (cid:43)(cid:101)D(cid:104)(cid:125).
x +2 0 x +2
0 0
(cid:101)(cid:20)(cid:10)ABD.
(cid:87)(cid:60)(cid:133)(cid:90)(cid:134)(cid:135)(cid:60)(cid:133)(cid:10)(cid:92)(cid:93)(cid:50)(cid:51)(cid:97)(cid:98)(cid:136)(cid:137)(cid:50)(cid:51)(cid:40)(cid:117)(cid:118)(cid:43)(cid:22)(cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:44)(cid:50)(cid:51)(cid:97)(cid:98)(cid:141)(cid:142)(cid:16)(cid:113)(cid:99)(cid:106)(cid:107)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:40)(cid:117)(cid:118)(cid:115)
(cid:143)(cid:144)(cid:15).
(cid:145)(cid:23)(cid:120)(cid:88)(cid:21)
2(cid:25)(cid:26)2024(cid:27)(cid:28)(cid:29)Ⅰ(cid:30)·19(cid:31)(cid:94)m(cid:76)(cid:104)(cid:146)(cid:13)(cid:43)(cid:13)(cid:147)a,a ,...,a (cid:148)(cid:7)(cid:149)(cid:114)(cid:76)0(cid:40)(cid:115)(cid:149)(cid:13)(cid:147)(cid:43)(cid:150)(cid:151)(cid:49)(cid:152)(cid:153)(cid:154)(cid:155)a
1 2 4m+2 i
(cid:156)a i< j(cid:99)(cid:157)(cid:158)(cid:40)4m(cid:155)(cid:34)(cid:159)(cid:160)(cid:161)(cid:53)(cid:76)m(cid:162)(cid:43)(cid:61)(cid:163)(cid:162)(cid:40)4(cid:164)(cid:13)(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:37)(cid:115)(cid:149)(cid:13)(cid:147)(cid:43)(cid:77)(cid:168)(cid:13)(cid:147)a,a ,...,a
j 1 2 4m+2
(cid:148)i, j-(cid:34)(cid:53)(cid:13)(cid:147)(cid:25)
(1)(cid:169)(cid:170)(cid:171)(cid:172)(cid:40)i, j(cid:43)1£i< j£6(cid:43)(cid:173)(cid:13)(cid:147)a,a ,...,a (cid:148)i, j-(cid:34)(cid:53)(cid:13)(cid:147)(cid:174)
1 2 6
(2)(cid:85)m³3(cid:86)(cid:43)(cid:175)(cid:176)(cid:10)(cid:13)(cid:147)a,a ,...,a (cid:148)2,13-(cid:34)(cid:53)(cid:13)(cid:147)(cid:174)
1 2 4m+2
(3)(cid:151)1,2,...,4m+2(cid:49)(cid:22)(cid:177)(cid:178)(cid:129)(cid:154)(cid:164)(cid:13)i(cid:156) ji< j(cid:43)(cid:179)(cid:13)(cid:147)a,a ,...,a (cid:148)i, j-(cid:34)(cid:53)(cid:13)(cid:147)(cid:40)(cid:180)(cid:181)(cid:76)P (cid:43)(cid:175)(cid:176)(cid:10)
1 2 4m+2 m1
P > (cid:25)
m 8
(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(1) 1,2,1,6,5,6
(2)(cid:175)(cid:176)(cid:182)(cid:120)(cid:91)
(3)(cid:175)(cid:176)(cid:182)(cid:120)(cid:91)
(cid:87)(cid:53)(cid:91)(cid:90)(cid:26)1(cid:31)(cid:73)(cid:183)(cid:92)(cid:93)i, j-(cid:34)(cid:53)(cid:13)(cid:147)(cid:40)(cid:72)(cid:184)(cid:185)(cid:34)(cid:174)
(cid:26)2(cid:31)(cid:92)(cid:93)i, j-(cid:34)(cid:53)(cid:13)(cid:147)(cid:40)(cid:72)(cid:184)(cid:185)(cid:34)(cid:186)(cid:175)(cid:106)(cid:137)(cid:174)
(cid:26)3(cid:31)(cid:175)(cid:176)(cid:173)(cid:124)(cid:59)(cid:13)(cid:147)(cid:148)i, j-(cid:34)(cid:53)(cid:13)(cid:147)(cid:40)i, j(cid:187)(cid:188)(cid:172)m+12-m(cid:164)(cid:43)(cid:189)(cid:173)(cid:109)(cid:180)(cid:181)(cid:40)(cid:72)(cid:184).
(cid:87)(cid:119)(cid:120)(cid:90)(cid:26)1(cid:31)(cid:190)(cid:191)(cid:43)(cid:192)(cid:193)(cid:94)(cid:13)(cid:147)a,a ,...,a (cid:40)(cid:7)(cid:149)(cid:76)d(cid:43)(cid:77)d 0.
1 2 4m+2
(cid:128)(cid:67)(cid:22)(cid:164)(cid:13)(cid:147)(cid:194)(cid:86)(cid:195)(cid:62)(cid:22)(cid:164)(cid:13)(cid:196)(cid:197)(cid:198)(cid:35)(cid:22)(cid:164)(cid:199)(cid:200)(cid:13)(cid:99)(cid:148)(cid:115)(cid:149)(cid:13)(cid:147)(cid:43)(cid:85)(cid:61)(cid:201)(cid:85)(cid:202)(cid:13)(cid:147)(cid:148)(cid:115)(cid:149)(cid:13)(cid:147)(cid:43)
a -a
(cid:101)(cid:192)(cid:193)(cid:34)(cid:35)(cid:121)(cid:202)(cid:13)(cid:147)(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:85)(cid:40)(cid:141)(cid:142)a¢ = k 1 +1k =1,2,...,4m+2(cid:43)
k d
(cid:124)(cid:68)(cid:27)(cid:13)(cid:147)a¢ =kk =1,2,...,4m+2(cid:43)(cid:206)(cid:99)(cid:121)a¢,a¢,...,a¢ (cid:203)(cid:204)(cid:207)(cid:208)(cid:40)(cid:136)(cid:137)(cid:185)(cid:34).
k 1 2 4m+2
(cid:209)(cid:210)(cid:74)(cid:43)(cid:192)(cid:193)(cid:34)(cid:35)(cid:114)(cid:211)(cid:94)a =kk =1,2,...,4m+2(cid:43)(cid:130)(cid:99)(cid:40)(cid:136)(cid:137)(cid:161)(cid:212)(cid:213)(cid:78)(cid:202)(cid:214)(cid:94)(cid:215)(cid:203)(cid:204).
k
(cid:216)(cid:68)(cid:59)(cid:21)(cid:43)(cid:79)1(cid:217)(cid:218)(cid:207)(cid:85)(cid:67)(cid:151)1,2,3,4,5,6(cid:49)(cid:129)(cid:170)(cid:154)(cid:164)(cid:13)i(cid:156) ji< j(cid:43)(cid:173)(cid:124)(cid:157)(cid:215)(cid:219)(cid:164)(cid:13)(cid:148)(cid:115)(cid:149)(cid:13)(cid:147).
(cid:220)(cid:221)(cid:157)(cid:215)(cid:219)(cid:164)(cid:13)(cid:222)(cid:34)(cid:166)(cid:148)1,2,3,4(cid:43)(cid:196)2,3,4,5(cid:43)(cid:196)3,4,5,6.
(cid:171)(cid:35)(cid:171)(cid:172)(cid:34)(cid:166)(cid:40)i, j(cid:223)(cid:148)1,2,1,6,5,6
.
(cid:26)2(cid:31)(cid:128)(cid:67)(cid:151)(cid:13)(cid:147)1,2,...,4m+2(cid:49)(cid:129)(cid:170)2(cid:156)13(cid:99)(cid:43)(cid:157)(cid:158)(cid:40)4m(cid:164)(cid:13)(cid:34)(cid:35)(cid:53)(cid:76)(cid:35)(cid:215)(cid:154)(cid:164)(cid:52)(cid:53)(cid:43)(cid:224)m(cid:162)(cid:43)(cid:173)(cid:124)(cid:163)(cid:162)
(cid:37)(cid:115)(cid:149)(cid:13)(cid:147)(cid:10)
1,4,7,10,3,6,9,12,5,8,11,14(cid:43)(cid:224)3(cid:162)(cid:174)
①15,16,17,18,19,20,21,22,...,4m-1,4m,4m+1,4m+2(cid:43)(cid:224)m-3(cid:162).
②(cid:26)(cid:225)(cid:226)m-3=0(cid:43)(cid:77)(cid:227)(cid:228) (cid:31)
(cid:101)(cid:13)(cid:147)1,2,...,4m+2(cid:148)2,②13-(cid:34)(cid:53)(cid:13)(cid:147).
(cid:26)3(cid:31)(cid:72)(cid:184)(cid:229)(cid:107)A= 4k+1k =0,1,2,...,m =1,5,9,13,...,4m+1(cid:43)
B= 4k+2 k =0,1,2,...,m =2,6,10,14,...,4m+2.
(cid:215)(cid:230)(cid:175)(cid:176)(cid:43)(cid:121)1£i< j£4m+2(cid:43)(cid:225)(cid:226)(cid:215)(cid:230)(cid:154)(cid:164)(cid:231)(cid:21)(cid:194)(cid:86)(cid:37)(cid:213)(cid:43)
(cid:77)(cid:13)(cid:147)1,2,...,4m+2(cid:22)(cid:72)(cid:148)i, j-(cid:34)(cid:53)(cid:13)(cid:147)(cid:10)
(cid:231)(cid:21)1(cid:10)iÎA, jÎB(cid:196)iÎB, jÎA(cid:174)
(cid:231)(cid:21)2(cid:10) j-i3.
(cid:192)(cid:193)(cid:53)(cid:154)(cid:232)(cid:233)(cid:234)(cid:175)(cid:176)(cid:235)(cid:164)(cid:106)(cid:137).
(cid:79)(cid:22)(cid:232)(cid:233)(cid:234)(cid:10)(cid:225)(cid:226)iÎA, jÎB(cid:43)(cid:61) j-i3.(cid:130)(cid:86)(cid:94)i=4k +1(cid:43) j=4k +2(cid:43)k ,k Î0,1,2,...,m .
1 2 1 2
1
(cid:77)(cid:128)i< j(cid:34)(cid:55)4k +1<4k +2(cid:43)(cid:185)k -k >- (cid:43)(cid:101)k ³k .
1 2 2 1 4 2 1
(cid:130)(cid:86)(cid:43)(cid:128)(cid:67)(cid:151)(cid:13)(cid:147)1,2,...,4m+2(cid:49)(cid:129)(cid:170)i=4k +1(cid:156) j=4k +2(cid:99)(cid:43)
1 2
(cid:157)(cid:158)(cid:40)4m(cid:164)(cid:13)(cid:34)(cid:35)(cid:53)(cid:76)(cid:35)(cid:215)(cid:236)(cid:164)(cid:52)(cid:53)(cid:43)(cid:224)m(cid:162)(cid:43)(cid:173)(cid:124)(cid:163)(cid:162)(cid:37)(cid:115)(cid:149)(cid:13)(cid:147)(cid:10)
1,2,3,4,5,6,7,8,...,4k -3,4k -2,4k -1,4k(cid:43)(cid:224)k (cid:162)(cid:174)
1 1 1 1 1
①4k +2,4k +3,4k +4,4k +5,4k +6,4k +7,4k +8,4k +9,...,4k -2,4k -1,4k ,4k +1(cid:43)(cid:224)k -k (cid:162)(cid:174)
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1
②4k +3,4k +4,4k +5,4k +6,4k +7,4k +8,4k +9,4k +10,...,4m-1,4m,4m+1,4m+2(cid:43)(cid:224)m-k
2 2 2 2 2 2 2 2 2
③(cid:162).
(cid:26)(cid:225)(cid:226)(cid:237)(cid:22)(cid:52)(cid:53)(cid:40)(cid:162)(cid:13)(cid:76)0(cid:43)(cid:77)(cid:227)(cid:228)(cid:74)(cid:31)
(cid:101)(cid:130)(cid:86)(cid:13)(cid:147)1,2,...,4m+2(cid:148)i, j-(cid:34)(cid:53)(cid:13)(cid:147).
(cid:79)(cid:145)(cid:232)(cid:233)(cid:234)(cid:10)(cid:225)(cid:226)iÎB, jÎA(cid:43)(cid:61) j-i3.
(cid:130)(cid:86)(cid:94)i=4k +2(cid:43) j=4k +1(cid:43)k ,k Î0,1,2,...,m .
1 2 1 2
1
(cid:77)(cid:128)i< j(cid:34)(cid:55)4k +2<4k +1(cid:43)(cid:185)k -k > (cid:43)(cid:101)k >k .
1 2 2 1 4 2 1
(cid:128)(cid:67) j-i3(cid:43)(cid:101)4k +1-4k +23(cid:43)(cid:151)(cid:127)k -k 1(cid:43)(cid:235)(cid:223)(cid:238)(cid:239)(cid:240)k -k ³2.
2 1 2 1 2 1
(cid:130)(cid:86)(cid:43)(cid:128)(cid:67)(cid:151)(cid:13)(cid:147)1,2,...,4m+2(cid:49)(cid:129)(cid:170)i=4k +2(cid:156) j=4k +1(cid:99)(cid:43)(cid:157)(cid:158)(cid:40)4m(cid:164)(cid:13)(cid:34)(cid:35)(cid:53)(cid:76)(cid:35)(cid:215)(cid:219)(cid:164)(cid:52)(cid:53)(cid:43)
1 2
(cid:224)m(cid:162)(cid:43)(cid:173)(cid:124)(cid:163)(cid:162)(cid:37)(cid:115)(cid:149)(cid:13)(cid:147)(cid:10)
1,2,3,4,5,6,7,8,...,4k -3,4k -2,4k -1,4k(cid:43)(cid:224)k (cid:162)(cid:174)
1 1 1 1 1
①4k +1,3k +k +1,2k +2k +1,k +3k +1(cid:43)3k +k +2,2k +2k +2,k +3k +2,4k +2(cid:43)(cid:224)2(cid:162)(cid:174)
1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2
②(cid:241)(cid:242)4k + p,3k +k + p,2k +2k + p,k +3k + p(cid:43)(cid:45)(cid:49)p=3,4,...,k -k (cid:43)(cid:224)k -k -2(cid:162)(cid:174)
1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1
③4k +3,4k +4,4k +5,4k +6,4k +7,4k +8,4k +9,4k +10,...,4m-1,4m,4m+1,4m+2(cid:43)(cid:224)m-k
2 2 2 2 2 2 2 2 2
④(cid:162).
(cid:26)(cid:225)(cid:226)(cid:237)(cid:22)(cid:52)(cid:53)(cid:40)(cid:162)(cid:13)(cid:76)0(cid:43)(cid:77)(cid:227)(cid:228)(cid:74)(cid:31)
(cid:235)(cid:243)(cid:121) (cid:156) (cid:203)(cid:204)(cid:22)(cid:215)(cid:120)(cid:244)(cid:10)(cid:44) (cid:49)(cid:40)(cid:163)(cid:22)(cid:162)(cid:47)(cid:76)(cid:22)(cid:164)(cid:65)(cid:245)(cid:43)(cid:245)(cid:37)(cid:22)(cid:164)(cid:246)(cid:247)k -k -2(cid:164)(cid:204)(cid:43)4(cid:164)(cid:147)(cid:40)(cid:13)(cid:248)
2 1
(cid:35)(cid:99)(cid:43)②4(cid:164)(cid:147)③(cid:53)(cid:249)(cid:148)(cid:215)(cid:230)(cid:235)(cid:250)(cid:13)(cid:10)③
4k +3,4k +4,...,3k +k (cid:43)3k +k +3,3k +k +4,...,2k +2k (cid:43)2k +2k +3,2k +2k +3,...,k +3k (cid:43)
1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
k +3k +3,k +3k +4,...,4k  .
1 2 1 2 2
(cid:34)(cid:35)(cid:46)(cid:170)(cid:163)(cid:147)(cid:165)(cid:148)(cid:251)(cid:252)(cid:40)(cid:150)(cid:253)(cid:164)(cid:146)(cid:13)(cid:43)(cid:254)(cid:193)(cid:189)(cid:129)(cid:255)(cid:35)(cid:99)(cid:43)(cid:44)(cid:129)(cid:256)4k +1,4k +2,...,4k +2(cid:49)(cid:257)(cid:258)(cid:259)(cid:164)(cid:229)(cid:107)
1 1 2
4k +1,4k +2(cid:43)3k +k +1,3k +k +2(cid:43)2k +2k +1,2k +2k +2(cid:43)k +3k +1,k +3k +2(cid:43)
1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
4k +1,4k +2(cid:49)(cid:40)(cid:260)(cid:164)(cid:261)(cid:262)(cid:35)(cid:263)(cid:40)(cid:171)(cid:172)(cid:13).
2 2(cid:127)(cid:235)(cid:260)(cid:164)(cid:13)(cid:49)(cid:43)(cid:257)(cid:258)(cid:54)(cid:264)(cid:153)(cid:265)(cid:40)4k +2(cid:156)4k +1(cid:35)(cid:263)(cid:43)(cid:157)(cid:158)(cid:40)(cid:266)(cid:164)(cid:13)(cid:267)(cid:268)(cid:223)(cid:148) (cid:49)(cid:170)(cid:269)(cid:40)(cid:266)(cid:164)(cid:13).
1 2
(cid:235)(cid:223)(cid:270)(cid:176)(cid:192)(cid:193)(cid:271)(cid:170)(cid:40)(cid:53)(cid:162)(cid:97)(cid:116)(cid:63)(cid:64)(cid:140)(cid:100)(cid:43)(cid:101)(cid:130)(cid:86)(cid:13)(cid:147)1,2,...,4m+2(cid:148)i, j-(cid:34)(cid:53)②(cid:13)(cid:147).
(cid:187)(cid:130)(cid:43)(cid:192)(cid:193)(cid:175)(cid:176)(cid:272)(cid:10)(cid:121)1£i< j£4m+2(cid:43)(cid:225)(cid:226)(cid:273)(cid:274)(cid:231)(cid:21)1(cid:156)(cid:231)(cid:21)2(cid:194)(cid:86)(cid:37)(cid:213)(cid:43)(cid:77)(cid:13)(cid:147)1,2,...,4m+2(cid:22)(cid:72)(cid:148)i, j-
(cid:34)(cid:53)(cid:13)(cid:147).
(cid:206)(cid:99)(cid:192)(cid:193)(cid:143)(cid:29)(cid:275)(cid:235)(cid:276)(cid:40)i, j(cid:40)(cid:164)(cid:13).
(cid:190)(cid:191)(cid:43)(cid:128)(cid:67)AÇB=Æ(cid:43)A(cid:156)B(cid:277)(cid:172)m+1(cid:164)(cid:261)(cid:262)(cid:43)(cid:101)(cid:63)(cid:64)(cid:231)(cid:21)1(cid:40)i, j(cid:278)(cid:224)(cid:172)m+12(cid:164)(cid:174)
(cid:127)(cid:225)(cid:226) j-i=3(cid:43)(cid:214)(cid:94)iÎA, jÎB(cid:43)(cid:77)(cid:34)(cid:94)i=4k +1(cid:43) j=4k +2(cid:43)(cid:95)(cid:96)(cid:124)4k +2-4k +1=3.
1 2 2 1
1
(cid:279)(cid:235)(cid:280)(cid:281)k -k = (cid:43)(cid:282)(cid:283)(cid:43)(cid:171)(cid:35)iÎB, jÎA.
2 1 2
(cid:94)i=4k +2(cid:43) j=4k +1(cid:43)k ,k Î0,1,2,...,m(cid:43)(cid:77)4k +1-4k +2=3(cid:43)(cid:185)k -k =1.
1 2 1 2 2 1 2 1
(cid:171)(cid:35)(cid:34)(cid:166)(cid:40)k ,k (cid:267)(cid:268)(cid:223)(cid:148)0,1,1,2,...,m-1,m(cid:43)(cid:121)(cid:208)(cid:40)i, j(cid:53)(cid:249)(cid:148)2,5,6,9,...,4m-2,4m+1(cid:43)(cid:278)
1 2
(cid:224)m(cid:164).
(cid:171)(cid:35)(cid:235)m+12(cid:164)(cid:63)(cid:64)(cid:231)(cid:21)1(cid:40)i, j(cid:49)(cid:43)(cid:114)(cid:63)(cid:64)(cid:231)(cid:21)2(cid:40)(cid:267)(cid:268)(cid:172)m(cid:164).
(cid:235)(cid:223)(cid:124)(cid:68)(cid:194)(cid:86)(cid:63)(cid:64)(cid:231)(cid:21)1(cid:156)(cid:231)(cid:21)2(cid:40)i, j(cid:40)(cid:164)(cid:13)(cid:76)m+12-m.
(cid:85)(cid:192)(cid:193)(cid:151)1,2,...,4m+2(cid:49)(cid:22)(cid:177)(cid:178)(cid:129)(cid:154)(cid:164)(cid:13)i(cid:156) ji< j(cid:86)(cid:43)(cid:278)(cid:40)(cid:20)(cid:129)(cid:97)(cid:116)(cid:40)(cid:164)(cid:13)(cid:115)(cid:67)
4m+24m+1
=2m+14m+1.
2
(cid:127)(cid:92)(cid:93)(cid:74)(cid:273)(cid:40)(cid:106)(cid:137)(cid:43)(cid:173)(cid:124)(cid:13)(cid:147)a,a ,...,a (cid:148)i, j-(cid:34)(cid:53)(cid:13)(cid:147)(cid:40)i, j(cid:187)(cid:188)(cid:172)m+12-m(cid:164).
1 2 4m+2
(cid:171)(cid:35)(cid:13)(cid:147)a,a ,...,a (cid:148)i, j-(cid:34)(cid:53)(cid:13)(cid:147)(cid:40)(cid:180)(cid:181)P (cid:22)(cid:72)(cid:63)(cid:64)
1 2 4m+2 m
2
1 æ 1ö
m+12-m m2+m+1 m2+m+ 4 ç è m+ 2 ÷ ø 1.
P ³ = > = =
m 2m+14m+1 2m+14m+1 2m+14m+2 22m+12m+1 8
(cid:235)(cid:223)(cid:175)(cid:176)(cid:272)(cid:106)(cid:137).
(cid:22)(cid:23)(cid:27)(cid:72)(cid:184)(cid:218)(cid:21)
“(cid:27)(cid:72)(cid:184)”(cid:284)(cid:140)(cid:148)(cid:285)(cid:185)(cid:86)(cid:72)(cid:184)(cid:27)(cid:180)(cid:286)(cid:23)(cid:27)(cid:7)(cid:116)(cid:23)(cid:27)(cid:72)(cid:15)(cid:23)(cid:27)(cid:112)(cid:77)(cid:23)(cid:27)(cid:287)(cid:288)(cid:259)(cid:232)(cid:43)(cid:206)(cid:99)(cid:92)(cid:93)(cid:130)(cid:27)(cid:72)(cid:184)(cid:153)(cid:120)(cid:289)
(cid:218)(cid:21)(cid:43)(cid:172)(cid:86)(cid:290)(cid:139)(cid:140)(cid:109)(cid:291)(cid:292)(cid:40)(cid:97)(cid:112)(cid:153)(cid:15)(cid:120)(cid:27)(cid:40)(cid:72)(cid:184)(cid:43)(cid:235)(cid:276)(cid:172)(cid:293)(cid:67)(cid:121)(cid:27)(cid:72)(cid:184)(cid:40)(cid:294)(cid:295)(cid:15)(cid:120).(cid:279)(cid:148)(cid:43)(cid:294)(cid:56)(cid:269)(cid:80)(cid:46)(cid:296)(cid:118)(cid:43)
(cid:254)(cid:193)(cid:29)(cid:297)(cid:40)(cid:290)(cid:148)(cid:298)(cid:299)(cid:13)(cid:11)(cid:55)(cid:300)(cid:43)(cid:171)(cid:35)(cid:270)“(cid:27)(cid:21)”(cid:114)(cid:22)(cid:72)(cid:148)“(cid:301)(cid:21)”(cid:43)(cid:302)(cid:303)(cid:268)(cid:236)(cid:298)(cid:43)(cid:35)(cid:114)(cid:141)(cid:208)(cid:304)(cid:141)(cid:305)(cid:148)(cid:306)(cid:307)(cid:112)(cid:308).
(cid:145)(cid:23)(cid:27)(cid:72)(cid:184)(cid:218)(cid:21)(cid:40)(cid:97)(cid:112)(cid:156)(cid:309)(cid:310)
(cid:26)1(cid:31)(cid:34)(cid:311)(cid:56)(cid:312)(cid:111)(cid:313)(cid:40)(cid:97)(cid:116)(cid:43)(cid:44)(cid:314)(cid:80)(cid:40)(cid:72)(cid:184)(cid:315)(cid:16)(cid:76)(cid:316)(cid:242)(cid:40)(cid:113)(cid:317)(cid:40)(cid:208)(cid:109)(cid:43)(cid:151)(cid:127)(cid:195)(cid:318)(cid:121)(cid:6)(cid:319)(cid:40)(cid:15)(cid:120)(cid:174)(cid:26)2(cid:31)(cid:34)(cid:109)(cid:320)(cid:321)(cid:40)(cid:322)(cid:210)(cid:315)(cid:274)(cid:27)(cid:6)(cid:319)(cid:171)(cid:248)(cid:323)(cid:40)(cid:131)(cid:324)(cid:43)(cid:225)(cid:226)(cid:166)(cid:325)(cid:326)(cid:327)(cid:274)(cid:43)(cid:220)(cid:221)(cid:270)(cid:176)(cid:121)(cid:130)(cid:6)(cid:319)(cid:15)(cid:120)(cid:40)(cid:328)(cid:76)(cid:294)(cid:295)(cid:174)
(cid:26)3(cid:31)(cid:329)(cid:269)(cid:27)(cid:6)(cid:319)(cid:71)(cid:171)(cid:11)(cid:55)(cid:300)(cid:40)(cid:330)(cid:331)(cid:43)(cid:255)(cid:151)(cid:327)(cid:274)(cid:49)(cid:242)(cid:332)(cid:6)(cid:319)(cid:40)(cid:296)(cid:118)(cid:110)(cid:333)(cid:71)(cid:334)(cid:335)(cid:174)
(cid:26)4(cid:31)(cid:225)(cid:226)(cid:27)(cid:6)(cid:319)(cid:148)(cid:336)(cid:296)(cid:55)(cid:300)(cid:40)(cid:337)(cid:338)(cid:43)(cid:77)(cid:140)(cid:3)(cid:4)(cid:130)(cid:6)(cid:319)(cid:71)(cid:336)(cid:296)(cid:49)(cid:180)(cid:286)(cid:40)(cid:114)(cid:194)(cid:74)(cid:144)(cid:43)(cid:35)(cid:339)(cid:340)(cid:221)(cid:233)(cid:234)(cid:215)(cid:34)(cid:35)(cid:173)(cid:109)
(cid:341)(cid:62)(cid:40)(cid:180)(cid:286).
(cid:22)(cid:23)(cid:120)(cid:88)(cid:21)
1(cid:25)(cid:26)2024·(cid:342)(cid:343)·(cid:236)(cid:344)(cid:31)(cid:271)(cid:72)(cid:104)(cid:146)(cid:13)n³2(cid:43)(cid:94)(cid:13)(cid:147)a,a ,...,a (cid:148)1,2,...,n(cid:40)(cid:22)(cid:164)(cid:245)(cid:147)(cid:43)(cid:121)iÎ1,2,...,n(cid:43)x (cid:248)
1 2 n i
(cid:345)(cid:35)a (cid:76)(cid:190)(cid:155)(cid:40)(cid:346)(cid:347)(cid:313)(cid:147)(cid:40)(cid:83)(cid:66)(cid:348)(cid:349)(cid:43)y (cid:248)(cid:345)(cid:35)a (cid:76)(cid:190)(cid:155)(cid:40)(cid:346)(cid:350)(cid:313)(cid:147)(cid:40)(cid:83)(cid:66)(cid:348)(cid:349).
i i i
(1)(cid:150)n=4(cid:43)a =1(cid:43)a =4(cid:43)a =2(cid:43)a =3(cid:43)(cid:100)x(cid:156)y (cid:174)
1 2 3 4 1 2
(2)(cid:100)(cid:175)(cid:10)"iÎ1,2,...,n-1(cid:43)x -y 2+x -y 2 0(cid:174)
i i i+1 i+1
n
(3)(cid:100)å x -y (cid:40)(cid:83)(cid:217)(cid:84).
i i
i=1
(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(1)x =3(cid:43)y =2
1 2
(2)(cid:175)(cid:176)(cid:182)(cid:120)(cid:91)
n n n n-1
(3)(cid:85)n(cid:76)(cid:351)(cid:13)(cid:86)(cid:43)å x -y (cid:40)(cid:83)(cid:217)(cid:84)(cid:148) (cid:174)(cid:85)n(cid:76)(cid:352)(cid:13)(cid:86)(cid:43)å x -y (cid:40)(cid:83)(cid:217)(cid:84)(cid:148) .
i i 2 i i 2
i=1 i=1
(cid:87)(cid:53)(cid:91)(cid:90)(cid:26)1(cid:31)(cid:73)(cid:183)(cid:92)(cid:93)(cid:72)(cid:184)(cid:100)(cid:120)(cid:174)
(cid:26)2(cid:31)(cid:53)(cid:233)(cid:234)(cid:136)(cid:137)(cid:175)(cid:176)x -y  x -y (cid:43)(cid:101)(cid:34)(cid:337)(cid:55)x -y (cid:156)x -y (cid:114)(cid:166)(cid:194)(cid:86)(cid:76)(cid:200)(cid:43)(cid:203)(cid:127)(cid:124)(cid:68)(cid:106)(cid:137)(cid:174)
i i i+1 i+1 i i i+1 i+1
(cid:26)3(cid:31)(cid:121)n(cid:40)(cid:352)(cid:351)(cid:117)(cid:53)(cid:233)(cid:234)(cid:136)(cid:137)(cid:43)(cid:255)(cid:108)(cid:109)(cid:217)(cid:218)2(cid:124)(cid:68)(cid:40)(cid:106)(cid:226)(cid:185)(cid:34).
(cid:87)(cid:119)(cid:120)(cid:90)(cid:26)1(cid:31)(cid:35)a (cid:76)(cid:190)(cid:155)(cid:40)(cid:83)(cid:348)(cid:346)(cid:347)(cid:313)(cid:147)(cid:148)a,a ,a (cid:43)(cid:35)a (cid:76)(cid:190)(cid:155)(cid:40)(cid:83)(cid:348)(cid:346)(cid:350)(cid:313)(cid:147)(cid:148)a ,a (cid:156)a ,a .
1 1 3 4 2 2 3 2 4
(cid:171)(cid:35)x =3(cid:43)y =2.
1 2
(cid:26)2(cid:31)(cid:121)iÎ1,2,...,n-1(cid:43)(cid:128)(cid:67)a,a ,...,a (cid:148)1,2,...,n(cid:40)(cid:22)(cid:164)(cid:245)(cid:147)(cid:43)(cid:101)a a .
1 2 n i i+1
(cid:150)a <a (cid:43)(cid:77)(cid:163)(cid:164)(cid:35)a (cid:76)(cid:190)(cid:155)(cid:40)(cid:346)(cid:347)(cid:313)(cid:147)(cid:165)(cid:34)(cid:35)(cid:78)(cid:273)(cid:230)(cid:195)(cid:22)(cid:164)a (cid:43)
i i+1 i+1 i
(cid:124)(cid:68)(cid:22)(cid:164)(cid:35)a (cid:76)(cid:190)(cid:155)(cid:40)(cid:353)(cid:348)(cid:40)(cid:346)(cid:347)(cid:313)(cid:147)(cid:43)(cid:171)(cid:35)x >x (cid:174)
i i i+1
(cid:127)(cid:163)(cid:164)(cid:35)a (cid:76)(cid:190)(cid:155)(cid:40)(cid:346)(cid:350)(cid:313)(cid:147)(cid:165)(cid:114)(cid:246)(cid:247)a (cid:43)(cid:61)a <a (cid:43)
i i+1 i i+1
(cid:101)(cid:34)(cid:44)a (cid:354)(cid:209)(cid:76)a (cid:43)(cid:124)(cid:68)(cid:22)(cid:164)(cid:348)(cid:349)(cid:207)(cid:194)(cid:40)(cid:346)(cid:350)(cid:313)(cid:147)(cid:43)(cid:171)(cid:35)y £ y .
i i+1 i i+1
(cid:235)(cid:238)(cid:239)(cid:240)x -y >x -y (cid:174)
i i i+1 i+1
(cid:150)a >a (cid:43)(cid:194)(cid:15)(cid:172)y > y (cid:43)x £x (cid:43)(cid:101)x -y <x -y .
i i+1 i i+1 i i+1 i i i+1 i+1
(cid:278)(cid:74)(cid:172)x -y  x -y (cid:43)(cid:151)(cid:127)x -y (cid:156)x -y (cid:114)(cid:166)(cid:194)(cid:86)(cid:76)(cid:200)(cid:43)
i i i+1 i+1 i i i+1 i+1
(cid:101)x -y 2+x -y 2 0.
i i i+1 i+1(cid:26)3(cid:31)(cid:92)(cid:93)(cid:217)(cid:218)2(cid:40)(cid:175)(cid:176)(cid:56)(cid:98)(cid:55)x -y (cid:156)x -y (cid:114)(cid:166)(cid:194)(cid:86)(cid:76)(cid:200)(cid:43)(cid:101) x -y + x -y ³1.
i i i+1 i+1 i i i+1 i+1
(cid:233)(cid:234)(cid:22)(cid:10)(cid:85)n(cid:76)(cid:351)(cid:13)(cid:86)(cid:43)(cid:94)n=2k(cid:43)(cid:77)(cid:22)(cid:97)(cid:230)(cid:172)
å n x -y =å k  x -y + x -y ³å k 1=k = n (cid:174)
i i 2i-1 2i-1 2i 2i 2
i=1 i=1 i=1
ìa =k-i+1
(cid:355)(cid:22)(cid:97)(cid:230)(cid:43)(cid:29)(cid:275)(cid:235)(cid:276)(cid:22)(cid:164)(cid:13)(cid:147)a,a ,...,a (cid:10)í 2i-1 (cid:43)i=1,2,...,k.
1 2 n îa =k+i
2i
ìx =k-i+2 ìy =k-i+1
(cid:77)(cid:121)i=1,2,...,k(cid:43)(cid:172)í 2i-1 (cid:43)í 2i-1 .
îx =k-i+1 îy =k-i+1
2i 2i
n k k n
(cid:101)(cid:130)(cid:86)å x -y =å x -y =å1=k = .
i i 2i-1 2i-1 2
i=1 i=1 i=1
n n
(cid:106)(cid:107)(cid:35)(cid:62)(cid:154)(cid:97)(cid:230)(cid:43)(cid:55)å x -y (cid:40)(cid:83)(cid:217)(cid:84)(cid:148) .
i i 2
i=1
(cid:233)(cid:234)(cid:145)(cid:10)(cid:85)n(cid:76)(cid:352)(cid:13)(cid:86)(cid:43)(cid:94)n=2m-1(cid:43)(cid:77)(cid:22)(cid:97)(cid:230)(cid:172)
å
n
x -y ³å
n-1
x -y =å
m-1
 x -y + x -y ³å
m-1
1=m-1=
n-1
(cid:174)
i i i i 2i-1 2i-1 2i 2i 2
i=1 i=1 i=1 i=1
ìa =m
1
ï
(cid:355)(cid:22)(cid:97)(cid:230)(cid:43)(cid:29)(cid:275)(cid:235)(cid:276)(cid:22)(cid:164)(cid:13)(cid:147)a,a ,...,a (cid:10)ía =m+i (cid:43)i=1,2,...,m-1.
1 2 n 2i
ï
îa =m-i
2i+1
ìx =m ìy =m
ï 1 ï 1
(cid:77)(cid:121)i=1,2,...,m-1(cid:43)(cid:172)íx =m-i (cid:43)íy =m-i+1.
2i 2i
ï ï
îx =m-i îy =m-i
2i+1 2i+1
n m-1 m-1 n-1
(cid:101)(cid:130)(cid:86)å x -y =å x -y =å1=m-1= .
i i 2i 2i 2
i=1 i=1 i=1
n n-1
(cid:106)(cid:107)(cid:35)(cid:62)(cid:154)(cid:97)(cid:230)(cid:43)(cid:55)å x -y (cid:40)(cid:83)(cid:217)(cid:84)(cid:148) .
i i 2
i=1
n n n n-1
(cid:356)(cid:62)(cid:43)(cid:85)n(cid:76)(cid:351)(cid:13)(cid:86)(cid:43)å x -y (cid:40)(cid:83)(cid:217)(cid:84)(cid:148) (cid:174)(cid:85)n(cid:76)(cid:352)(cid:13)(cid:86)(cid:43)å x -y (cid:40)(cid:83)(cid:217)(cid:84)(cid:148) .
i i 2 i i 2
i=1 i=1
(cid:87)(cid:60)(cid:133)(cid:90)(cid:3)(cid:357)(cid:60)(cid:60)(cid:133)(cid:10)(cid:100)(cid:83)(cid:217)(cid:26)(cid:196)(cid:83)(cid:66)(cid:31)(cid:84)(cid:40)(cid:296)(cid:118)(cid:78)(cid:67)(cid:43)(cid:191)(cid:175)(cid:176)(cid:171)(cid:100)(cid:40)(cid:248)(cid:323)(cid:116)(cid:22)(cid:72)(cid:114)(cid:217)(cid:67)(cid:26)(cid:196)(cid:114)(cid:66)(cid:67)(cid:31)(cid:237)
(cid:164)(cid:13)M (cid:43)(cid:189)(cid:270)(cid:176)(cid:202)(cid:248)(cid:323)(cid:116)(cid:78)(cid:237)(cid:232)(cid:233)(cid:234)(cid:215)(cid:166)(cid:129)(cid:68)M (cid:43)(cid:223)(cid:124)(cid:68)(cid:272)(cid:83)(cid:217)(cid:26)(cid:196)(cid:83)(cid:66)(cid:31)(cid:84)(cid:148)M (cid:43)(cid:235)(cid:358)(cid:148)“(cid:100)(cid:83)(cid:217)(cid:26)(cid:196)
(cid:83)(cid:66)(cid:31)(cid:84)”(cid:40)(cid:296)(cid:118). (cid:127)(cid:78)(cid:235)(cid:164)(cid:56)(cid:98)(cid:49)(cid:43)“(cid:359)(cid:68)M (cid:40)(cid:316)(cid:242)(cid:129)(cid:84)”(cid:235)(cid:164)(cid:56)(cid:98)(cid:255)(cid:114)(cid:360)(cid:78)(cid:361)(cid:121)(cid:40)(cid:362)(cid:363)(cid:117)(cid:43)(cid:34)(cid:35)(cid:364)(cid:365)(cid:277)(cid:232)
(cid:366)(cid:367)(cid:43)(cid:246)(cid:368)(cid:73)(cid:369)(cid:23)(cid:66)(cid:370)(cid:371)(cid:372)(cid:23)(cid:28)(cid:373)(cid:60)(cid:115)(cid:43)(cid:153)(cid:371)(cid:170)M (cid:40)(cid:84)(cid:43)(cid:235)(cid:250)(cid:131)(cid:324)(cid:374)(cid:375)(cid:139)(cid:78)(cid:175)(cid:176)(cid:56)(cid:98)(cid:49)(cid:376)(cid:269).(cid:222)(cid:140)(cid:175)(cid:176)(cid:107)(cid:377)
(cid:362)(cid:363)(cid:43)“(cid:225)(cid:378)(cid:359)(cid:68)M (cid:40)(cid:129)(cid:84)”(cid:375)(cid:139)(cid:379)(cid:95)(cid:43)(cid:114)(cid:380)(cid:381)(cid:120)(cid:88)(cid:40)(cid:104)(cid:125)(cid:117). (cid:209)(cid:210)(cid:74)(cid:43)(cid:171)(cid:382)“(cid:100)”(cid:43)(cid:358)(cid:148)“(cid:371)(cid:170)(cid:106)(cid:226)(cid:43)(cid:189)(cid:175)(cid:176)
(cid:106)(cid:226)(cid:104)(cid:125)”(cid:43)(cid:71)“(cid:288)(cid:170)”(cid:23)“(cid:124)(cid:170)”(cid:296)(cid:223)(cid:148)(cid:375)(cid:3)(cid:40). (cid:78)(cid:28)(cid:29)(cid:383)(cid:384)(cid:131)(cid:43)(cid:66)(cid:24)(cid:13)(cid:83)(cid:217)(cid:84)(cid:156)(cid:83)(cid:66)(cid:84)(cid:218)(cid:21)(cid:165)(cid:166)(cid:385)(cid:73)(cid:183)(cid:16)(cid:76)
(cid:237)(cid:164)(cid:386)(cid:127)(cid:387)(cid:182)(cid:43)(cid:324)(cid:387)(cid:388)(cid:389)(cid:40)(cid:344)(cid:33)(cid:43)(cid:206)(cid:99)“(cid:73)(cid:183)(cid:288)(cid:170)”(cid:43)(cid:279)(cid:114)(cid:34)(cid:44)(cid:130)(cid:47)(cid:76)(cid:304)(cid:166)(cid:112)(cid:308)(cid:43)(cid:390)(cid:179)(cid:272)(cid:83)(cid:217)(cid:84)(cid:83)(cid:66)(cid:84)(cid:40)(cid:59)
(cid:391)(cid:72)(cid:184)(cid:156)(cid:296)(cid:118).2(cid:25)(cid:26)2024·(cid:392)(cid:393)·(cid:236)(cid:344)(cid:31)(cid:54)(cid:55)(cid:13)(cid:147)a (cid:40)(cid:273)n(cid:155)(cid:156)(cid:76)S (cid:43)(cid:150)(cid:360)(cid:78)(cid:394)(cid:13)l(l>0)(cid:43)(cid:173)(cid:124)la ³S (cid:121)(cid:178)(cid:238)nÎN*
n n n n+1
(cid:165)(cid:37)(cid:213)(cid:43)(cid:77)(cid:168)(cid:13)(cid:147)a (cid:316)(cid:172)(cid:117)(cid:118)P(l)(cid:25)
n
(1)(cid:150)(cid:13)(cid:147)a (cid:76)(cid:115)(cid:149)(cid:13)(cid:147)(cid:43)(cid:61)S =-9,S =-25(cid:43)(cid:100)(cid:175)(cid:10)(cid:13)(cid:147)a (cid:316)(cid:172)(cid:117)(cid:118)P(3)(cid:174)
n 3 5 n
(2)(cid:94)(cid:13)(cid:147)a (cid:40)(cid:277)(cid:155)(cid:161)(cid:76)(cid:104)(cid:13)(cid:43)(cid:61)a (cid:316)(cid:172)(cid:117)(cid:118)P(l)(cid:25)
n n
(cid:150)(cid:13)(cid:147)a (cid:148)(cid:7)(cid:292)(cid:76)q(cid:40)(cid:115)(cid:292)(cid:13)(cid:147)(cid:43)(cid:61)l=4(cid:43)(cid:100)q(cid:40)(cid:84)(cid:174)
n
①(cid:100)l(cid:40)(cid:83)(cid:217)(cid:84)(cid:25)
(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(1)(cid:175)(cid:176)(cid:182)(cid:120)(cid:91)(cid:174)
②
(2) q=2(cid:174) l(cid:40)(cid:83)(cid:217)(cid:84)(cid:76)4.
① ②
(cid:87)(cid:53)(cid:91)(cid:90)(cid:26)1(cid:31)(cid:92)(cid:93)(cid:271)(cid:72)(cid:395)(cid:396)(cid:43)(cid:100)(cid:170)(cid:115)(cid:149)(cid:13)(cid:147)(cid:40)(cid:7)(cid:149)(cid:43)(cid:203)(cid:127)(cid:100)(cid:170)(cid:311)(cid:155)(cid:7)(cid:116)(cid:339)(cid:273)n(cid:155)(cid:156)(cid:43)(cid:189)(cid:108)(cid:109)(cid:72)(cid:184)(cid:102)(cid:103)(cid:185)(cid:124).
1-qn+1
(cid:26)2(cid:31) (cid:92)(cid:93)(cid:271)(cid:72)(cid:395)(cid:396)(cid:43)(cid:34)(cid:124)4a ³S (cid:43)(cid:189)(cid:397)q=1(cid:43)q1(cid:398)(cid:136)(cid:43)(cid:85)q1(cid:86)(cid:43)4qn-1³ (cid:43)(cid:126)(cid:397)
n n+1 1-q
①
S l S
0<q<1,q=2,q>1(cid:61)q¹2(cid:136)(cid:137)(cid:124)(cid:120)(cid:174) (cid:128)(cid:72)(cid:184)la ³S (cid:43)(cid:399)(cid:153)a (cid:106)(cid:107)(cid:298)(cid:296)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:124) n+2 £ × n+1 (cid:43)(cid:189)
n+1 n+2 n+1 S 4 S
n+1 n
②
l S
(cid:400)(cid:95)(cid:124)( )n-1 > 1 (cid:43)(cid:401)(cid:293)(cid:104)(cid:155)(cid:13)(cid:147)(cid:212)(cid:213)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:100)(cid:120)(cid:185)(cid:34).
4 S
2
(cid:87)(cid:119)(cid:120)(cid:90)(cid:26)1(cid:31)(cid:94)(cid:115)(cid:149)(cid:13)(cid:147)a (cid:40)(cid:7)(cid:149)(cid:76)d(cid:43)(cid:128)S =-9,S =-25(cid:43)(cid:124)3a +3d =-9,5a +10d =-25(cid:43)
n 3 5 1 1
(-1-2n+1)n
(cid:120)(cid:124)a =-1,d =-2(cid:43)(cid:77)a =-1+(n-1)(-2)=-2n+1,S = =-n2(cid:43)
1 n n 2
(cid:67)(cid:148)3a -S =3(-2n+1)+(n+1)2 =(n-2)2 ³0(cid:43)(cid:185)3a ³S (cid:43)
n n+1 n n+1
(cid:171)(cid:35)(cid:13)(cid:147)a (cid:316)(cid:172)(cid:117)(cid:118)P(3)(cid:25)
n
(cid:26)2(cid:31) (cid:128)(cid:13)(cid:147)a (cid:316)(cid:172)(cid:117)(cid:118)P(4)(cid:43)(cid:124)4a ³S (cid:43)(cid:126)(cid:115)(cid:292)(cid:13)(cid:147)a (cid:40)(cid:7)(cid:292)(cid:76)q(cid:43)
n n n+1 n
(cid:150)q=①1(cid:43)(cid:77)4a ³(n+1)a (cid:43)(cid:120)(cid:124)n£3(cid:43)(cid:71)n(cid:76)(cid:178)(cid:238)(cid:104)(cid:146)(cid:13)(cid:207)(cid:282)(cid:283)(cid:174)
1 1
1-qn+1 1-qn+1
(cid:85)q1(cid:86)(cid:43)4aqn-1³a × (cid:43)(cid:127)a >0(cid:43)(cid:146)(cid:15)(cid:124)4qn-1³ (cid:43)
1 1 1-q n 1-q
1 1
(cid:150)0<q<1(cid:43)(cid:77)qn-1³ (cid:43)(cid:120)(cid:124)n<1+log (cid:43)(cid:71)n(cid:76)(cid:178)(cid:238)(cid:104)(cid:146)(cid:13)(cid:207)(cid:282)(cid:283)(cid:174)
(q-2)2 q (q-2)2
(cid:150)q >1(cid:43)(cid:77)qn-1(q-2)2 £1(cid:43)(cid:85)q=2(cid:86)(cid:43)qn-1(q-2)2 £1(cid:402)(cid:37)(cid:213)(cid:43)(cid:63)(cid:64)(cid:21)(cid:238)(cid:174)
1 1
(cid:85)q >1(cid:61)q¹2(cid:86)(cid:43)qn-1£ (cid:43)(cid:120)(cid:124)n<1+log (cid:43)(cid:71)n(cid:76)(cid:178)(cid:238)(cid:104)(cid:146)(cid:13)(cid:207)(cid:282)(cid:283)(cid:174)
(q-2)2 q (q-2)2
(cid:171)(cid:35)q=2.
(cid:128)la ³S (cid:43)(cid:124)la ³S (cid:43)(cid:185)lS -S ³ S (cid:43)
n n+1 n+1 n+2 n+1 n n+2
②S l S
(cid:123)(cid:130)lS ³lS +S ³2 lS S (cid:43)(cid:185) n+2 £ × n+1 (cid:43)
n+1 n n+2 n n+2 S 4 S
n+1 n
S l S l S l S
(cid:77)(cid:172) n+1 £ × n £( )2× n-1 £L£( )n-1× 2 (cid:43)
S 4 S 4 S 4 S
n n-1 n-2 1
l S l S
(cid:128)(cid:13)(cid:147)a (cid:277)(cid:155)(cid:161)(cid:76)(cid:104)(cid:13)(cid:43)(cid:124)S <S (cid:43)(cid:151)(cid:127)1<( )n-1 2 (cid:43)(cid:185)( )n-1 > 1 (cid:43)
n n n+1 4 S 4 S
1 2
s
(cid:150)0<l<4(cid:43)(cid:77)n<1+log 1 (cid:43)(cid:71)n(cid:76)(cid:178)(cid:238)(cid:104)(cid:146)(cid:13)(cid:207)(cid:282)(cid:283)(cid:43)
l
s
4 2
l s
(cid:123)(cid:130)(cid:85)l³4(cid:86)(cid:43)( )n-1³1n-1 > 1 (cid:402)(cid:37)(cid:213)(cid:43)(cid:403)(cid:107)(cid:21)(cid:238)(cid:43)
4 s
2
(cid:171)(cid:35)l(cid:40)(cid:83)(cid:217)(cid:84)(cid:76)4(cid:25)
a (1-qn)
(cid:87)(cid:60)(cid:133)(cid:90)(cid:387)(cid:132)(cid:60)(cid:133)(cid:10)(cid:115)(cid:292)(cid:13)(cid:147){a }(cid:7)(cid:292)q(cid:114)(cid:125)(cid:72)(cid:43)(cid:45)(cid:273)n(cid:155)(cid:156)S (cid:73)(cid:183)(cid:109)(cid:7)(cid:116)S = 1 (cid:144)(cid:15)(cid:218)(cid:21)(cid:43)(cid:404)(cid:265)
n n n 1-q
(cid:121)q1(cid:40)(cid:136)(cid:137).
3(cid:25)(cid:26)2024·(cid:392)(cid:342)(cid:405)(cid:72)·(cid:236)(cid:344)(cid:31)(cid:78)(cid:406)(cid:115)(cid:13)(cid:137)(cid:49)(cid:43)(cid:121)(cid:67)(cid:66)(cid:67)1(cid:40)(cid:320)(cid:206)(cid:13)(cid:43)(cid:257)(cid:272)1(cid:156)(cid:254)(cid:320)(cid:407)(cid:263)(cid:43)(cid:114)(cid:166)(cid:159)(cid:45)(cid:254)(cid:320)(cid:206)(cid:13)
(cid:146)(cid:257)(cid:40)(cid:13)(cid:408)(cid:36)(cid:262)(cid:13)(cid:43)(cid:121)(cid:199)(cid:200)(cid:146)(cid:13)a(cid:156)(cid:146)(cid:13)b(cid:43)(cid:150)(cid:360)(cid:78)(cid:146)(cid:13)k(cid:173)(cid:124)b=ka(cid:43)(cid:77)(cid:168)a(cid:146)(cid:257)b.(cid:54)(cid:55)p(cid:43)q(cid:76)(cid:114)(cid:194)(cid:40)
(cid:154)(cid:164)(cid:262)(cid:13)(cid:43)(cid:13)(cid:147){a }(cid:148)(cid:7)(cid:149)(cid:76)p(cid:40)(cid:115)(cid:149)(cid:146)(cid:13)(cid:13)(cid:147)(cid:43)b (cid:76)q(cid:257)a (cid:171)(cid:124)(cid:40)(cid:158)(cid:13)(cid:43)S (cid:76)(cid:13)(cid:147){b }(cid:40)(cid:273)n(cid:155)(cid:156).
n n n n n
(1)(cid:150)a =1(cid:43)p=3(cid:43)q=2(cid:43)(cid:100)S (cid:174)
1 2024
(2)(cid:150)(cid:237)(cid:262)(cid:13)(cid:146)(cid:257)(cid:154)(cid:164)(cid:146)(cid:13)(cid:40)(cid:198)(cid:75)(cid:43)(cid:77)(cid:202)(cid:262)(cid:13)(cid:187)(cid:188)(cid:166)(cid:146)(cid:257)(cid:45)(cid:49)(cid:22)(cid:164)(cid:146)(cid:13)(cid:43)(cid:175)(cid:176)(cid:10)(cid:13)(cid:147){b }(cid:40)(cid:273)q(cid:155)(cid:49)(cid:178)(cid:238)(cid:154)
n
(cid:155)(cid:161)(cid:114)(cid:207)(cid:194)(cid:174)
(3)(cid:175)(cid:176)(cid:10)S +1(cid:76)(cid:409)(cid:241)(cid:160)(cid:97)(cid:13).
8q
(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(1)1012(cid:174)
(2)(cid:175)(cid:176)(cid:182)(cid:120)(cid:91)(cid:174)
(3)(cid:175)(cid:176)(cid:182)(cid:120)(cid:91).
(cid:87)(cid:53)(cid:91)(cid:90)(cid:26)1(cid:31)(cid:100)(cid:170)(cid:13)(cid:147){a }(cid:40)(cid:311)(cid:155)(cid:43)(cid:203)(cid:127)(cid:100)(cid:170){b }(cid:40)(cid:311)(cid:155)(cid:7)(cid:116)(cid:43)(cid:189)(cid:401)(cid:293)(cid:53)(cid:162)(cid:100)(cid:156)(cid:185)(cid:124).
n n
(cid:26)2(cid:31)(cid:108)(cid:109)(cid:410)(cid:175)(cid:112)(cid:43)(cid:106)(cid:107)(cid:146)(cid:257)(cid:339)(cid:262)(cid:13)(cid:40)(cid:117)(cid:118)(cid:280)(cid:170)(cid:282)(cid:283)(cid:185)(cid:34)(cid:124)(cid:175).
(cid:26)3(cid:31)(cid:108)(cid:109)(cid:26)2(cid:31)(cid:40)(cid:6)(cid:319)(cid:43)(cid:100)(cid:170)S (cid:43)(cid:189)(cid:108)(cid:109)b (cid:40)(cid:72)(cid:184)(cid:34)(cid:124)b =b (cid:185)(cid:34)(cid:100)(cid:156)(cid:124)(cid:175).
q n n+q n
(cid:87)(cid:119)(cid:120)(cid:90)(cid:26)1(cid:31)(cid:411)(cid:21)(cid:238)(cid:43)a =3n-2(cid:43)(cid:85)n(cid:76)(cid:352)(cid:13)(cid:86)(cid:43)a (cid:76)(cid:352)(cid:13)(cid:43)(cid:85)n(cid:76)(cid:351)(cid:13)(cid:86)(cid:43)a (cid:76)(cid:351)(cid:13)(cid:43)
n n n
ì1,n(cid:76)(cid:352)(cid:13)
(cid:127)q=2(cid:43)(cid:123)(cid:130)b =í (cid:43)
n î0,n(cid:76)(cid:351)(cid:13)
(cid:171)(cid:35)S =1012´1+1012´0=1012.
2024
(cid:26)2(cid:31)(cid:214)(cid:94)(cid:360)(cid:78)b = b (cid:43)i, jÎ{1,2,L,q}(cid:43)i j(cid:43)
i j
(cid:411)(cid:21)(cid:238)(cid:43)a =kq+b(cid:43)a =lq+b (cid:43)k,lÎZ(cid:43)
i i j j(cid:77)a -a =(i- j)p=(k-l)q(cid:43)(cid:123)(cid:130)q(cid:146)(cid:257)(i- j)p(cid:43)
i j
(cid:123)(cid:76)p(cid:43)q(cid:76)(cid:114)(cid:194)(cid:40)(cid:262)(cid:13)(cid:43)(cid:101)q(cid:114)(cid:146)(cid:257)p(cid:43)
(cid:126)(cid:123)(cid:76)0|i- j|£q-1<q(cid:43)(cid:101)q(cid:114)(cid:146)(cid:257)(i- j)(cid:43)
(cid:71)q(cid:146)(cid:257)(i- j)p(cid:282)(cid:283)(cid:43)(cid:101)(cid:214)(cid:94)(cid:132)(cid:105)(cid:43)
(cid:171)(cid:35)(cid:13)(cid:147){b }(cid:40)(cid:273)q(cid:155)(cid:49)(cid:178)(cid:238)(cid:154)(cid:155)(cid:161)(cid:114)(cid:207)(cid:194).
n
(cid:26)3(cid:31)(cid:128)(cid:26)2(cid:31)(cid:124)b Î{0,1,2,L,q-1}(cid:43)(cid:61)(cid:13)(cid:147){b }(cid:40)(cid:273)q(cid:155)(cid:49)(cid:178)(cid:238)(cid:154)(cid:155)(cid:161)(cid:114)(cid:207)(cid:194)(cid:43)
n n
q(q-1)
(cid:171)(cid:35)S =0+1+2+L+q-1= (cid:43)
q 2
(cid:94)a =k q+b (k ÎZ)(cid:43)(cid:77)a =(k + p)q+b (cid:43)(cid:101)b =b (cid:43)
n n n n n+q n n n+q n
(cid:171)(cid:35)S +1=8S +1=4q(q-1)+1=(2q-1)2(cid:76)(cid:409)(cid:241)(cid:160)(cid:97)(cid:13).
8q q
(cid:87)(cid:60)(cid:133)(cid:90)(cid:97)(cid:112)(cid:60)(cid:133)(cid:10)(cid:208)(cid:109)(cid:410)(cid:175)(cid:112)(cid:86)(cid:412)(cid:413)(cid:191)(cid:414)(cid:72)(cid:106)(cid:137)(cid:43)(cid:415)(cid:106)(cid:137)(cid:40)(cid:410)(cid:230)(cid:47)(cid:76)(cid:395)(cid:396)(cid:43)(cid:61)(cid:412)(cid:413)(cid:92)(cid:93)(cid:235)(cid:22)(cid:395)(cid:396)(cid:203)(cid:204)(cid:337)
(cid:15)(cid:43)(cid:414)(cid:77)(cid:43)(cid:201)(cid:414)(cid:72)(cid:106)(cid:137)(cid:43)(cid:114)(cid:151)(cid:106)(cid:137)(cid:40)(cid:410)(cid:230)(cid:170)(cid:329)(cid:203)(cid:204)(cid:337)(cid:15)(cid:43)(cid:223)(cid:114)(cid:148)(cid:410)(cid:175)(cid:112)(cid:25)(cid:171)(cid:382)(cid:282)(cid:283)(cid:284)(cid:140)(cid:285)(cid:10) (cid:71)(cid:54)(cid:55)(cid:395)(cid:396)
(cid:282)(cid:283)(cid:174) (cid:71)(cid:214)(cid:94)(cid:282)(cid:283)(cid:174) (cid:71)(cid:72)(cid:184)(cid:23)(cid:7)(cid:15)(cid:23)(cid:72)(cid:15)(cid:282)(cid:283)(cid:174) (cid:71)(cid:7)(cid:416)(cid:40)(cid:113)(cid:317)(cid:417)(cid:418)(cid:282)(cid:283)(cid:174) (cid:320)(cid:207)(cid:282)(cid:283).
①
4(cid:25)(cid:26)20②24·(cid:419)(cid:393)·(cid:145)(cid:344)(cid:31)(cid:94)③(cid:13)(cid:147)A:a,a ,a ,¼,a
 n³3,n④ÎN*
(cid:43)(cid:225)(cid:226)A(cid:49)(cid:277)(cid:155)(cid:397)(cid:22)(cid:72)⑤(cid:420)(cid:421)(cid:203)(cid:204)(cid:22)(cid:164)(cid:245)(cid:147)(cid:43)(cid:223)
1 2 3 n
(cid:124)(cid:68)(cid:22)(cid:164)(cid:172)(cid:421)(cid:13)(cid:162)G:b,b ,b ,¼,b (cid:25)(cid:150)(cid:172)(cid:421)(cid:13)(cid:162)Γ:b ,b ,b ,¼,b (cid:63)(cid:64)
1 2 3 n 1 2 3 n
b -b < b -b (iÎ{1,2,3,L,n-2})(cid:402)(cid:37)(cid:213)(cid:43)(cid:77)(cid:168)Γ:b,b ,b ,¼,b (cid:76)n(cid:422)(cid:350)(cid:69)(cid:13)(cid:162)(cid:174)(cid:150)(cid:172)(cid:421)(cid:13)(cid:162)
n 1 n i+1 1 2 3 n
G:b,b ,b ,¼,b (cid:63)(cid:64)b -b ³ b -b (iÎ{1,2,3,L,n-2})(cid:402)(cid:37)(cid:213)(cid:43)(cid:77)(cid:168)G:b,b ,b ,¼,b (cid:76)n(cid:422)(cid:199)(cid:350)(cid:69)(cid:13)
1 2 3 n n i n i+1 1 2 3 n
(cid:162)(cid:25)
(1)(cid:54)(cid:55)(cid:13)(cid:147)A:-1,3,2,-3(cid:43)(cid:423)(cid:73)(cid:183)(cid:169)(cid:170)(cid:202)(cid:13)(cid:147)(cid:49)(cid:40)(cid:13)(cid:162)(cid:37)(cid:40)(cid:171)(cid:172)4(cid:422)(cid:350)(cid:69)(cid:13)(cid:162)(cid:174)
(2)(cid:94)G:b,b ,b ,¼,b (cid:148)(cid:13)(cid:147)A:1,3,5,¼,2n-1  n³4,nÎN* (cid:40)(cid:22)(cid:164)(cid:172)(cid:421)(cid:13)(cid:162)(cid:43)(cid:150)G:b,b ,b ,¼,b (cid:76)n(cid:422)
1 2 3 n 1 2 3 n
(cid:199)(cid:350)(cid:69)(cid:13)(cid:162)(cid:43)(cid:61)G¢:b,b ,¼,b (cid:76)n-1(cid:422)(cid:199)(cid:350)(cid:69)(cid:13)(cid:162)(cid:43)(cid:423)(cid:73)(cid:183)(cid:169)(cid:170)4(cid:164)(cid:63)(cid:64)(cid:62)(cid:274)(cid:395)(cid:396)(cid:40)(cid:172)(cid:421)(cid:13)(cid:162)G(cid:174)
1 2 n-1
(3)(cid:54)(cid:55)(cid:115)(cid:292)(cid:13)(cid:147)A:a,a ,a ,¼,a (n³3)(cid:40)(cid:7)(cid:292)(cid:76)q(cid:43)(cid:175)(cid:176)(cid:10)(cid:85)q>0(cid:86)(cid:43)Γ:a ,a ,a ,¼,a (cid:76)n(cid:422)(cid:199)(cid:350)(cid:69)(cid:13)
1 2 3 n 1 2 3 n
(cid:162)(cid:25)
(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(1)Γ :-1,2,3,-3(cid:43)Γ :2,-1,-3,3(cid:43)Γ :3,-1,-3,2(cid:43)Γ :-3,2,3,-1 .
1 2 3 4
(2)2n-1,2n-3,2n-5,L,5,3,1,2n-1,2n-3,2n-5,L,5,1,3
1,3,5,L,2n-5,2n-3,2n-1,,1,3,5,L,2n-5,2n-1,2n-3,.
(3)(cid:175)(cid:176)(cid:182)(cid:120)(cid:91).
(cid:87)(cid:53)(cid:91)(cid:90)(cid:26)1(cid:31)(cid:92)(cid:93)(cid:21)(cid:49)n(cid:422)(cid:350)(cid:69)(cid:13)(cid:162)(cid:40)(cid:72)(cid:184)(cid:43)(cid:169)(cid:170)4(cid:422)(cid:350)(cid:69)(cid:13)(cid:162)(cid:43)(cid:222)(cid:139)(cid:140)(cid:405)(cid:175)(cid:172)(cid:421)(cid:13)(cid:162)G:b,b ,b ,b (cid:49)(cid:43)
1 2 3 4
b -b < b -b (cid:156) b -b < b -b (cid:402)(cid:37)(cid:213)(cid:185)(cid:34)(cid:43)(cid:53)(cid:249)(cid:424)b (cid:76)(cid:13)(cid:147)A(cid:49)(cid:40)(cid:163)(cid:22)(cid:164)(cid:84)(cid:185)(cid:34)(cid:124)(cid:170)(cid:106)(cid:226)(cid:174)
4 1 4 2 4 2 4 3 4
(cid:26)2(cid:31)(cid:92)(cid:93)(cid:21)(cid:253)(cid:49)n(cid:422)(cid:199)(cid:350)(cid:69)(cid:13)(cid:162)(cid:40)(cid:72)(cid:184)(cid:43)(cid:222)(cid:139)(cid:140)(cid:405)(cid:175)(cid:172)(cid:421)(cid:13)(cid:162)G:b,b ,b ,¼,b (cid:49)(cid:43)(cid:63)(cid:64)
1 2 3 nb -b ³ b -b (iÎ{1,2,3,L,n-2})(cid:156)(cid:172)(cid:421)(cid:13)(cid:162)G¢:b,b ,b ,¼,b (cid:49)(cid:43)(cid:63)(cid:64)
n i n i+1 1 2 3 n-1
b -b ³ b -b (iÎ{1,2,3,L,n-3})(cid:402)(cid:37)(cid:213)(cid:185)(cid:34).
n-1 i n-1 i+1
(cid:26)3(cid:31)(cid:108)(cid:109)(cid:53)(cid:91)(cid:112)(cid:203)(cid:204)(cid:425)(cid:426)(cid:410)(cid:427)(cid:346)(cid:337)(cid:43)(cid:83)(cid:99)(cid:124)(cid:175).
(cid:87)(cid:119)(cid:120)(cid:90)(cid:26)1(cid:31)4(cid:422)(cid:350)(cid:69)(cid:13)(cid:162)(cid:172)(cid:10)G :-1,2,3(cid:43)-3(cid:43)G :2,-1,-3(cid:43)3(cid:43)G :3,-1,-3(cid:43)2(cid:43)G :-3,2,3(cid:43)-1.
1 2 3 4
(cid:26)2(cid:31)(cid:63)(cid:64)(cid:395)(cid:396)(cid:40)(cid:172)(cid:421)(cid:13)(cid:162)G(cid:10)
2n-1,2n-3,2n-5,L,5,3,1,2n-1,2n-3,2n-5,L,5,1,3
1,3,5,L,2n-5,2n-3,2n-1,,1,3,5,L,2n-5,2n-1,2n-3,.
(cid:26)3(cid:31)(cid:175)(cid:176)(cid:10)(cid:94)a =aqn-1(cid:43)(cid:140)(cid:175)Γ:a ,a ,a ,¼,a (cid:76)n(cid:422)(cid:199)(cid:350)(cid:69)(cid:13)(cid:162)(cid:43)
n 1 1 2 3 n
(cid:139)(cid:175)(cid:176) a -a ³ a -a (iÎ{1,2,3,L,n-2})(cid:402)(cid:37)(cid:213)(cid:43)
n i n i+1
(cid:185)(cid:175) aqn-1-aqi-1 (cid:428) aqn-1-aqi (cid:43)
1 1 1 1
(cid:139)(cid:175) aqi-1 qn-i -1 ³ aqi-1 qn-i -q ,(cid:185) qn-i -1 ³ qn-i -q ,
1 1
(cid:139)(cid:175) qn-i -1 2 ³  qn-i -q 2 ,
(cid:185)(cid:175)q-1 2qn-i -q-1 (cid:428)0.
(cid:85)0<q£1(cid:86)(cid:43)(cid:123)(cid:76)n-i(cid:428)2(cid:43)(cid:77)q-1(cid:429)0(cid:43)
2qn-i -q-1=qn-i -1+qn-i -q£0(cid:43)
(cid:171)(cid:35)q-1 2qn-i -q-1 (cid:428)0(cid:174)
(cid:85)q >1(cid:86)(cid:43)(cid:123)(cid:76)n-i(cid:428)2(cid:43)(cid:77)q-1>0(cid:43)
2qn-i -q-1=qn-i -1+qn-i -q>0(cid:43)
(cid:171)(cid:35)q-1 2qn-i -q-1  >0(cid:174)
(cid:356)(cid:62)(cid:10)(cid:85)q>0(cid:86)(cid:43)Γ:a ,a ,a ,¼,a (cid:76)n(cid:422)(cid:199)(cid:350)(cid:69)(cid:13)(cid:162).
1 2 3 n
5(cid:25)(cid:26)2024·(cid:430)(cid:431)(cid:432)(cid:430)·(cid:236)(cid:344)(cid:31)(cid:54)(cid:55)(cid:13)(cid:147)a (cid:224)(cid:172)mm³2(cid:155)(cid:43)(cid:61)a ÎZ(cid:43)(cid:150)(cid:63)(cid:64) a -a £11£n£m-1(cid:43)
n n n+1 n
(cid:77)(cid:168)a (cid:76)“(cid:433)(cid:434)(cid:13)(cid:147)”.(cid:179)“(cid:433)(cid:434)(cid:13)(cid:147)” a (cid:40)(cid:171)(cid:172)(cid:155)(cid:40)(cid:156)(cid:76)S
.
n n m
(1)(cid:85)m=5(cid:86)(cid:43)(cid:169)(cid:170)(cid:171)(cid:172)(cid:63)(cid:64)a =a =1,S =6(cid:40)“(cid:433)(cid:434)(cid:13)(cid:147)”(cid:174)
1 5 5
(2)(cid:85)m=2000,a =25(cid:86)(cid:43)(cid:94)p:a =2024;q:“(cid:433)(cid:434)(cid:13)(cid:147)” a (cid:76)(cid:115)(cid:149)(cid:13)(cid:147).(cid:423)(cid:102)(cid:103)p(cid:148)q(cid:40)(cid:340)(cid:221)(cid:395)(cid:396)(cid:43)(cid:255)(cid:270)(cid:176)
1 2000 n
(cid:15)(cid:128)(cid:174)
æ m ö
(3)(cid:85)a =1,a =0ç1£k £ ,kÎN ÷(cid:86)(cid:43)(cid:100) S (cid:40)(cid:83)(cid:66)(cid:84).
1 2k è 2 + ø m
(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(1) 1,1,2,1,1(cid:174) 1,1,1,2,1(cid:174) 1,2,1,1,1
(2)p(cid:148)q(cid:40)(cid:435)
①
(cid:53)(cid:114)(cid:412)(cid:140)(cid:395)
②
(cid:396)(cid:43)(cid:15)(cid:128)(cid:182)(cid:120)
③
(cid:91)m-2km-2k+1
(3)k2+
2
(cid:87)(cid:53)(cid:91)(cid:90)(cid:26)1(cid:31)(cid:128)“(cid:433)(cid:434)(cid:13)(cid:147)”(cid:40)(cid:72)(cid:184)(cid:43)(cid:34)(cid:124)(cid:171)(cid:100).
(cid:26)2(cid:31)(cid:128)“(cid:433)(cid:434)(cid:13)(cid:147)”(cid:156)(cid:435)(cid:53)(cid:412)(cid:140)(cid:395)(cid:396)(cid:40)(cid:72)(cid:184)(cid:43)(cid:106)(cid:107)(cid:115)(cid:149)(cid:13)(cid:147)(cid:40)(cid:55)(cid:300)(cid:43)(cid:34)(cid:124)(cid:106)(cid:137).
æ m ö
(cid:26)3(cid:31)(cid:128)a =1,a =0ç1£k £ ,kÎN ÷(cid:43)(cid:140)(cid:173) S (cid:83)(cid:66)(cid:43)(cid:337)(cid:170)a ³0(cid:43)(cid:136)(cid:137)(cid:115)(cid:149)(cid:13)(cid:147)(cid:40)(cid:7)(cid:149)(cid:43)(cid:109)(cid:100)(cid:156)(cid:7)(cid:116)(cid:34)
1 2k è 2 + ø m n
(cid:120).
(cid:87)(cid:119)(cid:120)(cid:90)(cid:26)1(cid:31)(cid:85)m=5(cid:86)(cid:43)(cid:171)(cid:172)(cid:63)(cid:64)a =a =1,S =6(cid:40)“(cid:433)(cid:434)(cid:13)(cid:147)”(cid:172)(cid:10)
1 5 5
1,1,2,1,1(cid:174) 1,1,1,2,1(cid:174) 1,2,1,1,1.
①
(cid:26)2(cid:31)p(cid:148)q(cid:40)
②
(cid:435)(cid:53)(cid:114)(cid:412)(cid:140)(cid:395)
③
(cid:396).(cid:15)(cid:128)(cid:10)
(cid:85)a =2024(cid:86)(cid:43)Qa -a £1n=1,2,L,1999,\a -a £1.
2000 n+1 n n+1 n
①(cid:77)a =a -a +a -a +a -a +L+a -a +a £1999+a =2024(cid:43)
2000 2000 1999 1999 1998 1998 1997 2 1 1 1
(cid:85)(cid:61)(cid:201)(cid:85)a -a =a -a =a -a =L=a -a =1(cid:86)(cid:43)a =2024(cid:37)(cid:213)(cid:43)
2000 1999 1999 1998 1998 1997 2 1 2000
\“(cid:433)(cid:434)(cid:13)(cid:147)” a (cid:148)(cid:7)(cid:149)(cid:76)1(cid:40)(cid:115)(cid:149)(cid:13)(cid:147)
n
(cid:85)“(cid:433)(cid:434)(cid:13)(cid:147)” a (cid:148)(cid:115)(cid:149)(cid:13)(cid:147)(cid:86)(cid:43)(cid:128) a -a £1(cid:43)
n n+1 n
②(cid:124)a -a =1(cid:43)(cid:196)a -a =0(cid:43)(cid:196)a -a =-1(cid:43)
n+1 n n+1 n n+1 n
(cid:150)a -a =0(cid:43)(cid:77)a (cid:40)(cid:7)(cid:149)(cid:76)0,\a =a =25(cid:174)
n+1 n n 2000 1
(cid:150)a -a =-1(cid:43)(cid:77)a (cid:40)(cid:7)(cid:149)(cid:76)-1,\a =a -1999=-1974(cid:174)
n+1 n n 2000 1
(cid:150)a -a =1(cid:43)(cid:77)a (cid:40)(cid:7)(cid:149)(cid:76)1,\a =a +1999=2024(cid:43)
n+1 n n 2000 1
(cid:185)(cid:85)“(cid:433)(cid:434)(cid:13)(cid:147)” a (cid:148)(cid:115)(cid:149)(cid:13)(cid:147)(cid:86)(cid:43)a =25(cid:196)-1974(cid:196)2024.
n 2000
(cid:128) (cid:43)(cid:124)p(cid:148)q(cid:40)(cid:435)(cid:53)(cid:114)(cid:412)(cid:140)(cid:395)(cid:396).
(cid:26)①3(cid:31)②Qa =1,a =0,\(cid:140)(cid:173)(cid:124) S (cid:129)(cid:83)(cid:66)(cid:84)(cid:43)(cid:77)a ³0(cid:43)
1 2k m n
(cid:85)(cid:61)(cid:201)(cid:85)(cid:194)(cid:86)(cid:63)(cid:64)(cid:35)(cid:215)(cid:236)(cid:164)(cid:395)(cid:396)(cid:86)(cid:43) S (cid:129)(cid:83)(cid:66)(cid:84).
m
(cid:85)2£n£k(cid:86)(cid:43)a -a =1(cid:174) (cid:85)k+1£n£2k(cid:86)(cid:43)a -a =-1(cid:174)
n n-1 n n-1
①(cid:85)2k+1£n£m(cid:86)(cid:43)a -a =②1.
n n-1
③ ék1+k ù é m-2k+1m-2k ù
\S =ê ´2-kú+ê0´m-2k+1+ ´1ú
m max ë 2 û ë 2 û
m-2km-2k+1
=k2+ .
2
(cid:87)(cid:60)(cid:133)(cid:90)(cid:3)(cid:357)(cid:60)(cid:133)(cid:10)(cid:296)(cid:21)(cid:3)(cid:357)(cid:78)(cid:67)(cid:121)(cid:27)(cid:72)(cid:184)(cid:40)(cid:15)(cid:120)(cid:43)(cid:436)(cid:437)a ÎZ(cid:156) a -a £1(cid:203)(cid:204)(cid:53)(cid:291)(cid:136)(cid:137)(cid:34)(cid:100)(cid:120)(cid:79)(cid:145)(cid:218)(cid:174)
n n+1 n
(cid:79)(cid:236)(cid:218)(cid:3)(cid:357)(cid:78)(cid:67)(cid:92)(cid:93)a =1>0(cid:53)(cid:91) S (cid:129)(cid:124)(cid:83)(cid:66)(cid:84)(cid:40)(cid:395)(cid:396)(cid:43)(cid:206)(cid:99)(cid:53)(cid:367)(cid:100)(cid:156)(cid:34)(cid:124)..
1 m6(cid:25)(cid:26)2024·(cid:438)(cid:439)(cid:440)(cid:441)·(cid:236)(cid:344)(cid:31)(cid:78)(cid:160)(cid:230)(cid:131)(cid:43)(cid:150)(cid:73)(cid:51)l(cid:44)(cid:24)(cid:442)(cid:142)(cid:53)(cid:76)(cid:154)(cid:52)(cid:53)(cid:43)(cid:24)(cid:442)(cid:142)(cid:78)l(cid:154)(cid:443)(cid:40)(cid:444)(cid:60)(cid:68)(cid:73)(cid:51)l(cid:40)(cid:69)(cid:70)
x2 y2
(cid:74)(cid:156)(cid:207)(cid:115)(cid:43)(cid:77)(cid:168)l(cid:76)(cid:24)(cid:442)(cid:142)(cid:40)(cid:22)(cid:395)“(cid:115)(cid:51)”(cid:43)(cid:54)(cid:55)O(cid:76)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:43)(cid:445)(cid:50)(cid:51)E: - =1a>0,b>0(cid:40)(cid:446)(cid:23)(cid:447)(cid:448)
a2 b2
(cid:60)(cid:53)(cid:249)(cid:76)F,F ,E(cid:40)(cid:70)(cid:449)(cid:181)(cid:76)2(cid:43)(cid:60)P(cid:76)E(cid:447)(cid:450)(cid:62)(cid:22)(cid:122)(cid:60)(cid:43)(cid:73)(cid:51)m(cid:71)(cid:50)(cid:51)E(cid:207)(cid:451)(cid:67)(cid:60)P(cid:43)(cid:61)(cid:71)E(cid:40)(cid:452)(cid:453)(cid:51)(cid:379)
1 2
(cid:67)A,B(cid:154)(cid:60)(cid:43)(cid:85)PF ^x(cid:454)(cid:86)(cid:43)(cid:73)(cid:51)y=1(cid:76)(cid:455)PFF (cid:40)(cid:115)(cid:51).
2 1 2
(1)(cid:100)E(cid:40)(cid:97)(cid:98);
(2)(cid:150)y= 2x(cid:148)(cid:219)(cid:442)(cid:142)AFBF (cid:40)(cid:115)(cid:51)(cid:43)(cid:100)(cid:219)(cid:442)(cid:142)AFBF (cid:40)(cid:230)(cid:75);
1 2 1 2
uuur 1uuur
(3)(cid:94)OG= OP(cid:43)(cid:60)G(cid:40)(cid:456)(cid:457)(cid:76)(cid:50)(cid:51)G(cid:43)(cid:175)(cid:176):G(cid:78)(cid:60)G(cid:144)(cid:40)(cid:451)(cid:51)n(cid:76)(cid:455)AFF (cid:40)(cid:115)(cid:51)
3 1 2
y2
(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(1)x2- =1
3
(2)12
(3)(cid:175)(cid:176)(cid:182)(cid:120)(cid:91)
(cid:87)(cid:53)(cid:91)(cid:90)(cid:26)1(cid:31)(cid:108)(cid:109)(cid:54)(cid:55)(cid:115)(cid:458)(cid:3)(cid:331)(cid:212)(cid:213)(cid:97)(cid:98)(cid:43)(cid:100)(cid:120)(cid:277)(cid:164)(cid:261)(cid:262)(cid:43)(cid:124)(cid:68)(cid:445)(cid:50)(cid:51)(cid:97)(cid:98)(cid:185)(cid:34).
(cid:26)2(cid:31)(cid:108)(cid:109)(cid:271)(cid:72)(cid:72)(cid:184)(cid:43)(cid:100)(cid:120)(cid:3)(cid:357)(cid:60)(cid:40)(cid:57)(cid:58)(cid:43)(cid:83)(cid:99)(cid:124)(cid:68)(cid:219)(cid:442)(cid:142)(cid:230)(cid:75)(cid:185)(cid:34).
(cid:26)3(cid:31)(cid:108)(cid:109)(cid:271)(cid:72)(cid:395)(cid:396)(cid:156)(cid:27)(cid:72)(cid:184)(cid:175)(cid:176)(cid:185)(cid:34).
æ b2 ö
(cid:87)(cid:119)(cid:120)(cid:90)(cid:26)1(cid:31)(cid:128)(cid:21)(cid:238)(cid:55)Pçc, ÷,F -c,0,F c,0(cid:43)(cid:386)(cid:206)(cid:60)P(cid:78)(cid:73)(cid:51)y=1(cid:40)(cid:62)(cid:97)(cid:43)
è a ø 1 2
b2 c
(cid:123)(cid:76)(cid:73)(cid:51)y=1(cid:76)(cid:455)PFF (cid:40)(cid:115)(cid:51)(cid:43)(cid:171)(cid:35) -1=2,e= =2,c2 =a2+b2(cid:43)
1 2
a a
y2
(cid:120)(cid:124)a=1(cid:43)b= 3(cid:43)(cid:171)(cid:35)E(cid:40)(cid:97)(cid:98)(cid:76)x2- =1
3
(cid:26)2(cid:31)(cid:94)Px ,y (cid:43)(cid:451)(cid:51)m:y-y =kx-x (cid:43)(cid:95)(cid:96)x2-
y2
=1(cid:124):
0 0 0 0
3
 3-k2 x2+2kkx -y x-  k2x2+y2-2kx y +3  =0(cid:43)
0 0 0 0 0 0
(cid:101)é ë2kkx 0 -y 0 ù û 2 +4  3-k2 k2x 0 2+y 0 2-2kx 0 y 0 +3  =0(cid:43)
(cid:202)(cid:116)(cid:34)(cid:35)(cid:46)(cid:47)(cid:3)(cid:67)k(cid:40)(cid:22)(cid:261)(cid:145)(cid:177)(cid:97)(cid:98)  x 2-1  k2-2x y k+y 2+3=0(cid:43)
0 0 0 0
x y x y 3x
k = 0 0 = 0 0 = 0 y y
(cid:171)(cid:35) x2-1 æ y2 ö y (cid:43)(cid:185)m(cid:97)(cid:98)(cid:76)x x- 0 =1*
0 ç1+ 0 ÷-1 0 0 3
è 3 ø
(cid:85)m(cid:40)(cid:459)(cid:181)(cid:114)(cid:360)(cid:78)(cid:86)(cid:43)(cid:374)(cid:37)(cid:213)
(cid:452)(cid:453)(cid:51)(cid:97)(cid:98)(cid:76)y=± 3x(cid:43)(cid:114)(cid:211)(cid:94)A(cid:78)B(cid:62)(cid:97)(cid:43)1 1 1 1
x = ,x = x +x = + =2x
(cid:330)(cid:213)(cid:124) A y B y (cid:43)(cid:101) A B y y 0(cid:43)
x - 0 x + 0 x - 0 x + 0
0 0 0 0
3 3 3 3
(cid:171)(cid:35)P(cid:148)(cid:51)(cid:367)AB(cid:40)(cid:49)(cid:60)(cid:43)(cid:123)(cid:76)F,F (cid:68)(cid:56)O(cid:40)(cid:73)(cid:51)(cid:69)(cid:70)(cid:207)(cid:115)(cid:43)
1 2
(cid:77)(cid:56)O(cid:60)(cid:40)(cid:115)(cid:51)(cid:412)(cid:72)(cid:63)(cid:64):A,B(cid:68)(cid:202)(cid:115)(cid:51)(cid:69)(cid:70)(cid:207)(cid:115)(cid:43)
(cid:61)(cid:53)(cid:460)(cid:154)(cid:443)(cid:43)(cid:171)(cid:35)(cid:202)(cid:115)(cid:51)(cid:412)(cid:56)(cid:60)P(cid:43)(cid:185)OP(cid:40)(cid:97)(cid:98)(cid:76)y= 2x(cid:43)
ìy= 2x
ï ì ïx= 3  
(cid:128)í y2 (cid:43)(cid:120)(cid:124)í (cid:43)(cid:101)P 3, 6 .
ïx2- =1 ïîy= 6
î 3
3 3
y = 3x = = = 6+3
(cid:171)(cid:35) A A y 3x -y (cid:43)
x - 0 0 0
0
3
3 -3
y =- 3x =- = = 6-3
(cid:171)(cid:35) B B y 3x +y (cid:43)
x + 0 0 0
0
3
1
(cid:171)(cid:35) y -y =6(cid:43)(cid:171)(cid:35)S = FF × y -y =2 y -y =12
A B ABCD 2 1 2 A B A B
(cid:26)3(cid:31)
uuur 1uuur
(cid:94)Gx,y(cid:43)(cid:128)OG= OP(cid:43)(cid:171)(cid:35)x =3x,y =3y(cid:43)
3 0 0
(cid:101)(cid:50)(cid:51)G(cid:40)(cid:97)(cid:98)(cid:76)9x2-3y2 =1x>0
9x 3y y y y 1
(cid:128)(cid:26)*(cid:31)(cid:55)(cid:451)(cid:51)(cid:76)n(cid:43)(cid:374)(cid:76) 0 x- 0 =1(cid:43)(cid:185)x x- 0 = (cid:43)(cid:185)3x x-y y-1=0
3 3 0 3 3 0 0
(cid:387)(cid:55)A(cid:71)F (cid:78)n(cid:40)(cid:447)(cid:443)(cid:43)F(cid:78)n(cid:40)(cid:446)(cid:443)(cid:43)(cid:53)(cid:249)(cid:179)F,F ,A(cid:68)n(cid:40)(cid:69)(cid:70)(cid:76)d ,d ,d (cid:43)
2 1 1 2 1 2 3
1 1 3
x = (cid:43)y = 3× =
(cid:128)(cid:26)2(cid:31)(cid:55) A y A y y (cid:43)
x - 0 x - 0 x - 0
0 0 0
3 3 3y 2y
3x - 3y -x + 0 2x - 0
3x 3y 0 0 0 3 0 3
0 - 0 -1
(cid:171)(cid:35) y y y y
x - 0 x - 0 x - 0 x - 0
0 3 0 3 0 3 0 3 2
d = = = =
3 9x2+y2 9x2+y2 9x2+y2 9x2+y2
0 0 0 0 0 0 0 0
-6x -1 6x +1 6x -1 6x -1
(cid:128)x ³1(cid:124)d = 0 = 0 ,d = 0 = 0
0 1 9x2+y2 9x2+y2 2 9x2+y2 9x2+y2
0 0 0 0 0 0 0 0
6x -1 2 6x +1
(cid:123)(cid:76)d +d = 0 + = 0 =d (cid:43)
2 3 9x2+y2 9x2+y2 9x2+y2 1
0 0 0 0 0 0
(cid:171)(cid:35)(cid:73)(cid:51)n(cid:76)(cid:455)AFF (cid:40)(cid:115)(cid:51) .
1 2
(cid:87)(cid:60)(cid:133)(cid:90)(cid:3)(cid:357)(cid:60)(cid:60)(cid:133)(cid:10)(cid:296)(cid:21)(cid:29)(cid:297)(cid:120)(cid:91)(cid:461)(cid:378)(cid:43)(cid:120)(cid:21)(cid:3)(cid:357)(cid:148)(cid:108)(cid:109)(cid:271)(cid:72)(cid:72)(cid:184)(cid:156)(cid:395)(cid:396)(cid:43)(cid:206)(cid:99)(cid:106)(cid:107)(cid:273)(cid:218)(cid:106)(cid:137)(cid:43)(cid:124)(cid:68)
d +d =d (cid:43)(cid:175)(cid:176)(cid:185)(cid:34)(cid:25)
2 3 1
π
7(cid:25)(cid:26)2024·(cid:462)(cid:430)·(cid:236)(cid:344)(cid:31)(cid:78)(cid:160)(cid:230)(cid:73)(cid:463)(cid:57)(cid:58)(cid:331)(cid:49)(cid:43)(cid:225)(cid:226)(cid:44)(cid:464)(cid:13)y= f(x)(cid:40)(cid:48)(cid:80)(cid:465)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:466)(cid:86)(cid:467)(cid:468)(cid:315)a(0<a£ )
2
(cid:99)(cid:43)(cid:171)(cid:124)(cid:50)(cid:51)(cid:469)(cid:206)(cid:148)(cid:237)(cid:164)(cid:464)(cid:13)(cid:40)(cid:48)(cid:80)(cid:43)(cid:77)(cid:168) f x(cid:76)“a(cid:468)(cid:315)(cid:464)(cid:13)”.
π
(1)(cid:102)(cid:103)(cid:464)(cid:13)y= 3x(cid:148)(cid:414)(cid:76)“ (cid:468)(cid:315)(cid:464)(cid:13)”(cid:43)(cid:255)(cid:270)(cid:176)(cid:15)(cid:128)(cid:174)
6
(2)(cid:54)(cid:55)(cid:464)(cid:13) f x=ln2x+1x>0(cid:148)“a(cid:468)(cid:315)(cid:464)(cid:13)”(cid:43)(cid:100)tana(cid:40)(cid:83)(cid:66)(cid:84)(cid:174)
x2 π
(3)(cid:150)(cid:464)(cid:13)gx=mx-1ex-xlnx- (cid:148)“ (cid:468)(cid:315)(cid:464)(cid:13)”(cid:43)(cid:100)m(cid:40)(cid:129)(cid:84)(cid:383)(cid:384).
2 4
(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(1)(cid:114)(cid:148)(cid:43)(cid:15)(cid:128)(cid:182)(cid:120)(cid:91)
1
(2)
2
(3)m³e
(cid:87)(cid:53)(cid:91)(cid:90)(cid:26)1(cid:31)(cid:92)(cid:93)(cid:464)(cid:13)(cid:40)(cid:72)(cid:184)(cid:73)(cid:183)(cid:102)(cid:103)(cid:185)(cid:34).
(cid:26)2(cid:31)(cid:44)(cid:54)(cid:55)(cid:395)(cid:396)(cid:315)(cid:16)(cid:76)(cid:464)(cid:13)(cid:71)(cid:73)(cid:51)y=kx+b(cid:83)(cid:24)(cid:22)(cid:164)(cid:379)(cid:60)(cid:43)(cid:108)(cid:109)(cid:154)(cid:164)(cid:464)(cid:13)(cid:48)(cid:80)(cid:40)(cid:379)(cid:60)(cid:71)(cid:121)(cid:208)(cid:97)(cid:98)(cid:92)(cid:40)(cid:3)(cid:331)(cid:43)
(cid:53)(cid:70)b(cid:43)(cid:167)(cid:32)(cid:27)(cid:464)(cid:13)(cid:43)(cid:315)(cid:16)(cid:76)(cid:27)(cid:464)(cid:13)(cid:78)0(cid:43)+¥(cid:62)(cid:317)(cid:470)(cid:43)(cid:203)(cid:127)(cid:100)(cid:120).
(cid:26)3(cid:31)(cid:194)(cid:218)(cid:21)(cid:26)2(cid:31)(cid:92)(cid:93)(cid:54)(cid:55)(cid:395)(cid:396)(cid:167)(cid:32)(cid:27)(cid:464)(cid:13)(cid:43)(cid:315)(cid:16)(cid:76)(cid:27)(cid:464)(cid:13)(cid:78)0(cid:43)+¥(cid:62)(cid:317)(cid:470)(cid:43)(cid:100)(cid:280)(cid:43)(cid:53)(cid:70)(cid:471)(cid:13)(cid:43)(cid:315)(cid:16)(cid:76)(cid:402)
(cid:37)(cid:213)(cid:218)(cid:21)(cid:100)(cid:83)(cid:84)(cid:185)(cid:34).
π
(cid:87)(cid:119)(cid:120)(cid:90)(cid:26)1(cid:31)(cid:464)(cid:13)y= 3x(cid:114)(cid:148)“ (cid:468)(cid:315)(cid:464)(cid:13)”(cid:43)(cid:15)(cid:128)(cid:225)(cid:215)(cid:10)
6
π
y= 3x(cid:466)(cid:86)(cid:467)(cid:468)(cid:315) (cid:99)(cid:71)y(cid:454)(cid:472)(cid:107)(cid:43)
6
(cid:85)x=0(cid:86)(cid:43)(cid:172)(cid:375)(cid:13)(cid:164)y(cid:71)(cid:74)(cid:121)(cid:208)(cid:43)(cid:71)(cid:464)(cid:13)(cid:40)(cid:180)(cid:286)(cid:282)(cid:283)(cid:43)
π
(cid:123)(cid:130)(cid:464)(cid:13)y= 3x(cid:114)(cid:148)“ (cid:468)(cid:315)(cid:464)(cid:13)”.
6(cid:26)2(cid:31)(cid:128)(cid:21)(cid:238)(cid:34)(cid:124)
(cid:464)(cid:13) f x=ln2x+1x>0(cid:71)(cid:464)(cid:13)y=kx+b(cid:83)(cid:24)(cid:172)1(cid:164)(cid:379)(cid:60)(cid:43)
æπ ö
(cid:61)k =tanç -a÷(cid:43)
è2 ø
(cid:171)(cid:35)ln2x+1=kx+bx>0(cid:83)(cid:24)(cid:172)(cid:22)(cid:164)(cid:92)(cid:43)
(cid:185)ln2x+1-kx=bx>0(cid:83)(cid:24)(cid:172)(cid:22)(cid:164)(cid:92)(cid:43)
(cid:123)(cid:130)(cid:464)(cid:13)y=ln2x+1-kxx>0(cid:71)(cid:464)(cid:13)y=b(bÎR)(cid:83)(cid:24)(cid:172)1(cid:164)(cid:379)(cid:60)(cid:43)
(cid:185)(cid:464)(cid:13)y=ln2x+1-kx(cid:78)0,+¥(cid:62)(cid:317)(cid:470)(cid:43)
2 2
(cid:123)(cid:76)y¢= -k(cid:43)(cid:61)x>0, Î0,2(cid:43)
2x+1 2x+1
2 2
(cid:171)(cid:35)y¢= -k £0,k ³ (cid:43)(cid:171)(cid:35)k ³2(cid:43)
2x+1 2x+1
(cid:185)tan æ ç π -a ö ÷³2(cid:43)tana£ 1 (cid:43)(cid:185)tana(cid:40)(cid:83)(cid:66)(cid:84)(cid:76) 1 .
è2 ø 2 2
x2
(cid:26)3(cid:31)(cid:128)(cid:21)(cid:238)(cid:34)(cid:124)(cid:464)(cid:13)gx=mx-1ex-xlnx- (cid:71)(cid:464)(cid:13)y=x+b(cid:83)(cid:24)(cid:172)1(cid:164)(cid:379)(cid:60)(cid:43)
2
x2 x2
(cid:185)mx-1ex-xlnx- =x+bÞmx-1ex-xlnx- -x=b(cid:43)
2 2
x2
(cid:185)(cid:464)(cid:13)y=mx-1ex-xlnx- -x(cid:71)(cid:464)(cid:13)y=b(cid:83)(cid:24)(cid:172)1(cid:164)(cid:379)(cid:60)(cid:43)
2
(cid:185)(cid:464)(cid:13)y=mx-1ex-xlnx-
x2
-x(cid:78)0,+¥(cid:62)(cid:317)(cid:470)(cid:43)
2
y¢=mxex-lnx-x-2(cid:43)(cid:85)x0(cid:86)(cid:43)y¢+¥(cid:43)
ælnx+x+2ö
(cid:171)(cid:35)y¢³0Þm³ç ÷ (cid:43)
è xex ø
max
lnx+x+2 x+1-lnx-x-1
(cid:424)jx= (cid:43)(cid:77)j¢x= (cid:43)
xex x2ex
æ1ö
(cid:123)(cid:76)t =-lnx-x-1(cid:78)0,+¥(cid:62)(cid:317)(cid:470)(cid:350)(cid:43)(cid:61)tç ÷>0(cid:43)t1<0(cid:43)
è4ø
æ1 ö
(cid:171)(cid:35)(cid:360)(cid:78)x Îç ,1÷(cid:43)(cid:173)tx =0(cid:43)
0 è4 ø 0
(cid:185)lnx +x =-1Þln  x ×ex0  =-1Þx ×ex0 = 1 (cid:43)
0 0 0 0 e
(cid:171)(cid:35)jx(cid:78)0,x (cid:317)(cid:470)(cid:346)(cid:347)(cid:43)x ,+¥(cid:317)(cid:470)(cid:346)(cid:350)(cid:43)
0 0
lnx +x +2 1
(cid:171)(cid:35)j x=jx = 0 0 = =e(cid:43)
max 0 x ex0 x ex0
0 0(cid:185)m³e.
(cid:87)(cid:60)(cid:133)(cid:90)(cid:97)(cid:112)(cid:60)(cid:133)(cid:10)(cid:108)(cid:109)(cid:464)(cid:13)(cid:40)(cid:200)(cid:60)(cid:71)(cid:121)(cid:208)(cid:97)(cid:98)(cid:40)(cid:92)(cid:40)(cid:3)(cid:331)(cid:43)(cid:192)(cid:193)(cid:264)(cid:394)(cid:203)(cid:204)(cid:473)(cid:474)(cid:315)(cid:16)(cid:10)
(cid:464)(cid:13)y= f(x)-g(x)(cid:40)(cid:200)(cid:60)(cid:164)(cid:13)Û(cid:97)(cid:98) f(x)-g(x)=0(cid:40)(cid:92)(cid:40)(cid:164)(cid:13)Û(cid:464)(cid:13)y= f(x)(cid:71)y=g(x)(cid:48)(cid:80)(cid:40)(cid:379)(cid:60)
(cid:40)(cid:164)(cid:13)(cid:174)
(cid:355)(cid:263)(cid:43)(cid:402)(cid:37)(cid:213)(cid:100)(cid:471)(cid:13)(cid:383)(cid:384)(cid:218)(cid:21)(cid:475)(cid:475)(cid:53)(cid:70)(cid:471)(cid:13)(cid:43)(cid:167)(cid:32)(cid:464)(cid:13)(cid:43)(cid:311)(cid:56)(cid:100)(cid:167)(cid:32)(cid:464)(cid:13)(cid:40)(cid:83)(cid:84)(cid:143)(cid:100)(cid:170)(cid:471)(cid:13)(cid:383)(cid:384)(cid:43)(cid:111)(cid:10)(cid:150)
"xÎ(a,b),m³ f(x)(cid:402)(cid:37)(cid:213)(cid:43)(cid:222)(cid:139)m³ f(x) (cid:43)"xÎ(a,b),m£ f(x)(cid:402)(cid:37)(cid:213)(cid:43)(cid:222)(cid:139)m£ f(x) .
max min
8(cid:25)(cid:26)2024·(cid:62)(cid:419)·(cid:236)(cid:344)(cid:31)(cid:94)t>0(cid:43)(cid:464)(cid:13)y= f(x)(cid:40)(cid:72)(cid:184)(cid:476)(cid:76)R(cid:25)(cid:150)(cid:121)(cid:63)(cid:64)x -x >t(cid:40)(cid:178)(cid:238)x(cid:23)x (cid:43)(cid:161)(cid:172)
2 1 1 2
f(x )- f(x )>t(cid:43)(cid:77)(cid:168)(cid:464)(cid:13)y= f(x)(cid:316)(cid:172)“P(t)(cid:117)(cid:118)”(cid:25)
2 1
(1)(cid:78)(cid:215)(cid:274)(cid:395)(cid:396)(cid:215)(cid:43)(cid:53)(cid:249)(cid:102)(cid:103)(cid:464)(cid:13)y= f(x)(cid:148)(cid:414)(cid:316)(cid:172)P(2)(cid:117)(cid:118)(cid:43)(cid:255)(cid:270)(cid:176)(cid:15)(cid:128)(cid:174)
3
f(x)= x(cid:174) f(x)=10sin2x(cid:174)
2
① ②
(2)(cid:54)(cid:55) f(x)=ax3(cid:43)(cid:61)(cid:464)(cid:13)y= f(x)(cid:316)(cid:172)P(1)(cid:117)(cid:118)(cid:43)(cid:100)(cid:418)(cid:13)a(cid:40)(cid:129)(cid:84)(cid:383)(cid:384)(cid:174)
(3)(cid:175)(cid:176)(cid:10)“(cid:464)(cid:13)y= f(x)-x(cid:76)(cid:347)(cid:464)(cid:13)”(cid:148)“(cid:121)(cid:178)(cid:238)t>0(cid:43)(cid:464)(cid:13)y= f(x)(cid:161)(cid:316)(cid:172)P(t)(cid:117)(cid:118)”(cid:40)(cid:435)(cid:140)(cid:395)(cid:396)(cid:25)
(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(1) (cid:148)(cid:43) (cid:114)(cid:148)(cid:43)(cid:15)(cid:128)(cid:182)(cid:120)(cid:91)
(2)a³4
① ②
(3)(cid:175)(cid:176)(cid:182)(cid:120)(cid:91)
(cid:87)(cid:53)(cid:91)(cid:90)(cid:26)1(cid:31)(cid:92)(cid:93)(cid:464)(cid:13)y= f(x)(cid:316)(cid:172)P(2)(cid:117)(cid:118)(cid:40)(cid:395)(cid:396)(cid:102)(cid:103) (cid:174)(cid:312)(cid:410)(cid:111)(cid:34)(cid:102)(cid:103) (cid:174)
(cid:26)2(cid:31)(cid:59)(cid:218)(cid:21)(cid:115)(cid:477)(cid:67)(cid:85)m> 1(cid:86)(cid:43)
am3
>1(cid:402)(cid:37)(cid:213)(cid:43)(cid:185)a>
4①(cid:402)(cid:37)(cid:213)(cid:43)(cid:124)a³4(cid:174)②
4 m3
(cid:26)3(cid:31)(cid:108)(cid:109)(cid:464)(cid:13)(cid:40)(cid:317)(cid:470)(cid:117)(cid:35)(cid:339)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:40)(cid:117)(cid:118)(cid:102)(cid:103)(cid:435)(cid:53)(cid:117)(cid:43)(cid:108)(cid:109)(cid:410)(cid:175)(cid:112)(cid:102)(cid:103)(cid:412)(cid:140)(cid:117).
3
(cid:87)(cid:119)(cid:120)(cid:90)(cid:26)1(cid:31) (cid:148)(cid:43)(cid:121)(cid:178)(cid:238)x -x >2(cid:43) f(x )- f(x)= (x -x)>3>2(cid:43)(cid:403)(cid:107)(cid:72)(cid:184)(cid:174)
2 1 2 1 2 2 1
①3π
π
(cid:114)(cid:148)(cid:43)(cid:424)x = ,x = ,x -x =π>2 (cid:43) f(x )- f(x )=10sin3π-10sinπ=0<2(cid:43)
2 2 1 2 2 1 2 1
②(cid:101)(cid:114)(cid:403)(cid:107)(cid:21)(cid:238).
(cid:26)2(cid:31)(cid:386)(cid:206)a>0(cid:43)(cid:94)x -x =m>0(cid:43)
2 1
(cid:77) f(x )- f(x)=ax 3-ax3 =a(3mx2+3m2x +m3)(cid:43)
2 1 2 1 1 1
m am3
(cid:85)x =- (cid:86)(cid:43)(cid:129) f(x )- f(x )(cid:83)(cid:217)(cid:84) (cid:43)
1 2 2 1 4
am3 4
(cid:59)(cid:218)(cid:21)(cid:115)(cid:477)(cid:67)(cid:85)m> 1(cid:86)(cid:43) >1(cid:402)(cid:37)(cid:213)(cid:43)(cid:185)a> (cid:402)(cid:37)(cid:213)(cid:43)(cid:124)a³4(cid:174)
4 m3
(cid:26)3(cid:31)(cid:175)(cid:176)(cid:10)(cid:435)(cid:53)(cid:117)(cid:10)
(cid:150)(cid:464)(cid:13)y= f(x)-x(cid:76)(cid:347)(cid:464)(cid:13)(cid:43)(cid:77)(cid:121)(cid:178)(cid:238)x >x (cid:161)(cid:172) f(x )-x ³ f(x)-x (cid:43)
2 1 2 2 1 1
(cid:185) f(x )- f(x)³x -x (cid:43)(cid:123)(cid:130)(cid:43)(cid:121)(cid:178)(cid:238)t>0(cid:43)(cid:150)x -x >t(cid:43)
2 1 2 1 2 1
(cid:77) f(x )- f(x )>t(cid:43)(cid:464)(cid:13)y= f(x)(cid:316)(cid:172)P(t)(cid:117)(cid:118)(cid:43)(cid:435)(cid:53)(cid:117)(cid:124)(cid:175)(cid:174)
2 1(cid:412)(cid:140)(cid:117)(cid:10)
(cid:150)(cid:121)(cid:178)(cid:238)t>0(cid:43)(cid:464)(cid:13)y= f(x)(cid:161)(cid:316)(cid:172)P(t)(cid:117)(cid:118)(cid:43)
(cid:214)(cid:94)(cid:464)(cid:13)y= f(x)-x(cid:114)(cid:148)(cid:347)(cid:464)(cid:13)(cid:43)(cid:77)(cid:360)(cid:78)x >x (cid:43)(cid:63)(cid:64) f(x )-x < f(x )-x (cid:43)
2 1 2 2 1 1
f(x )- f(x)+x -x
(cid:185) f(x )- f(x )<x -x (cid:43)(cid:129)t = 2 1 2 1 (cid:43)
2 1 2 1 0 2
(cid:77)(cid:386)(cid:206) f(x )- f(x)<t <x -x (cid:43)
2 1 0 2 1
(cid:185)(cid:121)(cid:67)t (cid:43)(cid:360)(cid:78)x -x >t (cid:43)(cid:279)(cid:148) f(x )- f(x)<t (cid:43)
0 2 1 0 2 1 0
(cid:71)“(cid:121)(cid:178)(cid:238)t>0(cid:43)(cid:464)(cid:13)y= f(x)(cid:161)(cid:316)(cid:172)P(t)(cid:117)(cid:118)”(cid:282)(cid:283)(cid:43)(cid:123)(cid:130)(cid:214)(cid:94)(cid:114)(cid:37)(cid:213)(cid:43)
(cid:185)(cid:464)(cid:13)y= f(x)-x(cid:76)(cid:347)(cid:464)(cid:13)(cid:43)(cid:412)(cid:140)(cid:117)(cid:124)(cid:175)(cid:25)
(cid:87)(cid:60)(cid:133)(cid:90)(cid:27)(cid:72)(cid:184)(cid:21)(cid:33)(cid:40)(cid:110)(cid:60)(cid:148)(cid:10)(cid:311)(cid:56)(cid:271)(cid:170)(cid:22)(cid:164)(cid:27)(cid:180)(cid:286)(cid:43)(cid:196)(cid:433)(cid:72)(cid:22)(cid:232)(cid:27)(cid:287)(cid:288)(cid:43)(cid:196)(cid:271)(cid:170)(cid:461)(cid:164)(cid:27)(cid:344)(cid:33)(cid:143)(cid:478)(cid:94)(cid:241)(cid:27)
(cid:40)(cid:218)(cid:21)(cid:233)(cid:479)(cid:43)(cid:140)(cid:100)(cid:29)(cid:480)(cid:78)(cid:481)(cid:482)(cid:15)(cid:120)(cid:40)(cid:298)(cid:299)(cid:62)(cid:43)(cid:411)(cid:93)(cid:21)(cid:483)(cid:484)(cid:485)(cid:40)(cid:6)(cid:319)(cid:43)(cid:330)(cid:331)(cid:171)(cid:11)(cid:40)(cid:55)(cid:300)(cid:156)(cid:97)(cid:112)(cid:43)(cid:418)(cid:269)(cid:6)(cid:319)(cid:40)
(cid:486)(cid:487)(cid:43)(cid:323)(cid:68)(cid:473)(cid:474)(cid:120)(cid:21)(cid:40)(cid:483)(cid:40).(cid:488)(cid:68)(cid:27)(cid:72)(cid:184)(cid:218)(cid:21)(cid:43)(cid:208)(cid:489)(cid:449)(cid:482)(cid:21)(cid:43)(cid:53)(cid:91)(cid:27)(cid:72)(cid:184)(cid:40)(cid:110)(cid:60)(cid:43)(cid:490)(cid:325)(cid:27)(cid:72)(cid:184)(cid:40)(cid:117)(cid:118)(cid:43)(cid:397)(cid:27)
(cid:72)(cid:184)(cid:40)(cid:140)(cid:100)(cid:43)“(cid:491)(cid:492)(cid:493)(cid:417)”(cid:43)(cid:425)(cid:395)(cid:53)(cid:91)(cid:23)(cid:186)(cid:175)(cid:23)(cid:287)(cid:288)(cid:43)(cid:173)(cid:218)(cid:21)(cid:124)(cid:35)(cid:120)(cid:289).
9(cid:25)(cid:26)2024·(cid:27)(cid:494)(cid:495)(cid:340)·(cid:236)(cid:344)(cid:31)(cid:54)(cid:55)(cid:72)(cid:184)(cid:476)(cid:76)R(cid:40)(cid:464)(cid:13) f x(cid:63)(cid:64)(cid:10)(cid:121)(cid:67)(cid:178)(cid:238)(cid:40)xÎR(cid:43)(cid:165)(cid:172)
f x+2π= f x+ f 2π(cid:43)(cid:77)(cid:168)(cid:464)(cid:13) f x(cid:316)(cid:172)(cid:117)(cid:118)P(cid:25)
(1)(cid:102)(cid:103)(cid:464)(cid:13)gx=x(cid:43)hx=sinx(cid:148)(cid:414)(cid:316)(cid:172)(cid:117)(cid:118)P(cid:174)(cid:26)(cid:73)(cid:183)(cid:169)(cid:170)(cid:106)(cid:137)(cid:31)
3 5 π
(2)(cid:54)(cid:55)(cid:464)(cid:13) f x=sinwx+j(cid:26) <j< (cid:43)j< (cid:31)(cid:43)(cid:102)(cid:103)(cid:148)(cid:414)(cid:360)(cid:78)w(cid:43)j(cid:43)(cid:173)(cid:464)(cid:13) f x(cid:316)(cid:172)(cid:117)(cid:118)P(cid:496)(cid:150)
2 2 2
(cid:360)(cid:78)(cid:43)(cid:100)(cid:170)w(cid:43)j(cid:40)(cid:84)(cid:174)(cid:150)(cid:114)(cid:360)(cid:78)(cid:43)(cid:270)(cid:176)(cid:15)(cid:128)(cid:174)
(3)(cid:94)(cid:464)(cid:13) f x(cid:316)(cid:172)(cid:117)(cid:118)P(cid:43)(cid:61)(cid:78)(cid:497)(cid:498) 0,2π (cid:62)(cid:40)(cid:84)(cid:476)(cid:76)é ëf 0, f 2πù û (cid:25)(cid:464)(cid:13)gx=sin  f x (cid:43)(cid:63)(cid:64)
gx+2π=gx(cid:43)(cid:61)(cid:78)(cid:497)(cid:498)0,2π(cid:62)(cid:172)(cid:61)(cid:222)(cid:172)(cid:22)(cid:164)(cid:200)(cid:60)(cid:25)(cid:100)(cid:175)(cid:10) f 2π=2π(cid:25)
(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(1)h(x)=sinx(cid:316)(cid:172)(cid:117)(cid:118)P
(2)(cid:360)(cid:78)(cid:43)w=2(cid:43)j=0
(3)(cid:175)(cid:176)(cid:182)(cid:120)(cid:91)
(cid:87)(cid:53)(cid:91)(cid:90)(cid:26)1(cid:31)(cid:108)(cid:109)(cid:72)(cid:184)(cid:73)(cid:183)(cid:102)(cid:103)(cid:185)(cid:34)(cid:174)
(cid:26)2(cid:31)(cid:214)(cid:94)(cid:464)(cid:13) f x(cid:316)(cid:172)(cid:117)(cid:118)P(cid:43)(cid:34)(cid:100)(cid:170)j=0(cid:43)(cid:203)(cid:127)(cid:124)(cid:68)w=2(cid:43)(cid:189)(cid:92)(cid:93)(cid:72)(cid:184)(cid:186)(cid:175)(cid:185)(cid:34)(cid:174)
(cid:26)3(cid:31)(cid:53)(cid:91)(cid:34)(cid:55)(cid:464)(cid:13) f x(cid:78) 0,2π (cid:40)(cid:84)(cid:476)(cid:76)[0,kπ](cid:43)(cid:128)gx(cid:78)(cid:497)(cid:498)0,2π(cid:62)(cid:172)(cid:61)(cid:201)(cid:172)(cid:22)(cid:164)(cid:200)(cid:60)(cid:34)(cid:55)k >2(cid:86)
(cid:114)(cid:107)(cid:21)(cid:238)(cid:43)(cid:189)(cid:100)(cid:120)(cid:85)k=1(cid:86)(cid:43)(cid:71)(cid:464)(cid:13)gx(cid:148)(cid:35)2π(cid:76)(cid:499)(cid:500)(cid:40)(cid:499)(cid:500)(cid:464)(cid:13)(cid:282)(cid:283)(cid:43)(cid:128)(cid:130)(cid:34)(cid:124)k =2(cid:43)(cid:203)(cid:127)(cid:124)(cid:175)(cid:25)
(cid:87)(cid:119)(cid:120)(cid:90)(cid:26)1(cid:31)(cid:123)(cid:76)g(x)=x(cid:43)(cid:77)gx+2π=x+2π(cid:43)(cid:126)g2π=2π(cid:43)
(cid:171)(cid:35)gx+2π=gx+g2π(cid:43)(cid:101)(cid:464)(cid:13)g(x)=x(cid:316)(cid:172)(cid:117)(cid:118)P(cid:174)
(cid:123)(cid:76)h(x)=sinx(cid:43)(cid:77)hx+2π=sinx+2π=sinx(cid:43)(cid:126)h2π=sin2π=0(cid:43)hx+h2π=sinx=hx+2π(cid:43)(cid:101)h(x)=sinx(cid:316)(cid:172)(cid:117)(cid:118)P(cid:25)
(cid:26)2(cid:31)(cid:150)(cid:464)(cid:13) f x(cid:316)(cid:172)(cid:117)(cid:118)P(cid:43)(cid:77) f 0+2π= f(0)+ f(2π)(cid:43)(cid:185) f(0)=sinj=0(cid:43)
(cid:123)(cid:76)j< π (cid:43)(cid:171)(cid:35)j=0(cid:43)(cid:171)(cid:35) f x=sin(wx)(cid:174)
2
(cid:150) f(2π)0(cid:43)(cid:114)(cid:211)(cid:94) f(2π)>0(cid:43)(cid:128) f x+2π= f(x)+ f(2π)(cid:43)
(cid:124) f 2kπ= f(0)+kf(2π)=kf(2π)(kÎZ)(cid:26)*(cid:31)(cid:43)
(cid:222)(cid:140)k(cid:435)(cid:53)(cid:66)(cid:86)(cid:43)kf(2π)(cid:44)(cid:66)(cid:67)1(cid:43)(cid:127) f x(cid:40)(cid:84)(cid:476)(cid:76)[-1,1](cid:43)
(cid:101)(cid:115)(cid:116)(cid:26)*(cid:31)(cid:114)(cid:34)(cid:166)(cid:37)(cid:213)(cid:43)(cid:171)(cid:35)(cid:412)(cid:172) f(2π)=0(cid:37)(cid:213)(cid:43)
3 5
(cid:185)sin(2wπ)=0(cid:43)(cid:123)(cid:76) <w< (cid:43)(cid:171)(cid:35)3π<2wπ<5π(cid:43)
2 2
(cid:171)(cid:35)2wπ=4π(cid:43)(cid:77)w=2(cid:43)(cid:130)(cid:86) f x=sin2x(cid:43)
(cid:77) f x+2π=sin2(x+2π)=sin2x(cid:43)
(cid:127) f(x)+ f(2π)=sin2x+sin4π=sin2x(cid:43)(cid:185)(cid:172) f x+2π= f(x)+ f(2π)(cid:37)(cid:213)(cid:43)
(cid:171)(cid:35)(cid:360)(cid:78)w=2(cid:43)j=0(cid:173)(cid:464)(cid:13) f x(cid:316)(cid:172)(cid:117)(cid:118)P(cid:25)
(cid:26)3(cid:31)(cid:175)(cid:176)(cid:10)(cid:128)(cid:464)(cid:13) f x(cid:316)(cid:172)(cid:117)(cid:118)P(cid:339)(cid:26)2(cid:31)(cid:34)(cid:55)(cid:43) f(0)=0(cid:43)
(cid:128)gx+2π=gx(cid:34)(cid:55)(cid:464)(cid:13)gx(cid:148)(cid:35)2π(cid:76)(cid:499)(cid:500)(cid:40)(cid:499)(cid:500)(cid:464)(cid:13)(cid:43)(cid:77)g2π=g(0)(cid:43)
(cid:185)sin(f(2π))=sin(f(0))=0(cid:43)(cid:171)(cid:35) f(2π)=kπ(cid:43)kÎZ(cid:174)
(cid:128) f(0)=0(cid:43) f(2π)=kπ(cid:35)(cid:339)(cid:21)(cid:94)(cid:34)(cid:55)(cid:43)
(cid:464)(cid:13) f x(cid:78) 0,2π (cid:40)(cid:84)(cid:476)(cid:76) 0,kπ (cid:43)(cid:171)(cid:35)kÎZ(cid:61)k >0(cid:174)
(cid:85)k >2(cid:43) f x=π(cid:339) f x=2π(cid:86)(cid:43)(cid:161)(cid:172)gx=sin  f x=0(cid:43)
(cid:235)(cid:71)gx(cid:78)(cid:497)(cid:498)0,2π(cid:62)(cid:172)(cid:61)(cid:222)(cid:172)(cid:22)(cid:164)(cid:200)(cid:60)(cid:282)(cid:283)(cid:43)(cid:123)(cid:130)k=1(cid:196)k =2(cid:174)
(cid:85)k=1(cid:86)(cid:43) f(2π)=π(cid:43)(cid:464)(cid:13) f x(cid:78) 0,2π (cid:40)(cid:84)(cid:476)(cid:76) 0,π (cid:43)
(cid:130)(cid:86)(cid:464)(cid:13)gx(cid:40)(cid:84)(cid:476)(cid:76)
0,1
(cid:43)
(cid:127) f x+2π= f(x)+π(cid:43)(cid:67)(cid:148)(cid:464)(cid:13) f x(cid:78) 2π,4π (cid:40)(cid:84)(cid:476)(cid:76) π,2π (cid:43)
(cid:130)(cid:86)(cid:464)(cid:13)gx(cid:40)(cid:84)(cid:476)(cid:76)-1,0 (cid:43)
(cid:464)(cid:13)gx=sin  f x (cid:78)(cid:85)xÎ 0,2π (cid:86)(cid:156)xÎ 2π,4π (cid:86)(cid:40)(cid:129)(cid:84)(cid:383)(cid:384)(cid:114)(cid:194)(cid:43)
(cid:71)(cid:464)(cid:13)gx(cid:148)(cid:35)2π(cid:76)(cid:499)(cid:500)(cid:40)(cid:499)(cid:500)(cid:464)(cid:13)(cid:282)(cid:283)(cid:43)
(cid:101)k =2(cid:43)(cid:185) f(2π)=2π(cid:43)(cid:231)(cid:21)(cid:124)(cid:175)(cid:25)
(cid:87)(cid:60)(cid:133)(cid:90)(cid:97)(cid:112)(cid:60)(cid:133)(cid:10)(cid:121)(cid:67)(cid:35)(cid:464)(cid:13)(cid:76)(cid:501)(cid:479)(cid:40)(cid:27)(cid:72)(cid:184)(cid:218)(cid:21)(cid:40)(cid:100)(cid:120)(cid:502)(cid:228)(cid:10)
1(cid:23)(cid:503)(cid:504)(cid:27)(cid:72)(cid:184)(cid:43)(cid:190)(cid:191)(cid:53)(cid:91)(cid:27)(cid:72)(cid:184)(cid:40)(cid:110)(cid:60)(cid:43)(cid:415)(cid:449)(cid:72)(cid:184)(cid:171)(cid:505)(cid:274)(cid:40)(cid:218)(cid:21)(cid:40)(cid:296)(cid:118)(cid:490)(cid:325)(cid:506)(cid:43)(cid:208)(cid:109)(cid:68)(cid:316)(cid:242)(cid:40)(cid:120)(cid:21)(cid:56)(cid:98)(cid:49)(cid:174)2(cid:23)(cid:109)(cid:268)(cid:464)(cid:13)(cid:40)(cid:117)(cid:118)(cid:43)(cid:120)(cid:21)(cid:86)(cid:140)(cid:507)(cid:67)(cid:151)(cid:508)(cid:21)(cid:49)(cid:329)(cid:269)(cid:34)(cid:35)(cid:173)(cid:109)(cid:40)(cid:464)(cid:13)(cid:40)(cid:117)(cid:118)(cid:40)(cid:22)(cid:250)(cid:123)(cid:262).
10(cid:25)(cid:26)2024·(cid:509)(cid:510)(cid:511)(cid:512)(cid:513)·(cid:236)(cid:344)(cid:31)(cid:150)(cid:464)(cid:13) f x(cid:78) a,b (cid:62)(cid:172)(cid:72)(cid:184)(cid:43)(cid:61)(cid:121)(cid:67)(cid:178)(cid:238)(cid:114)(cid:194)(cid:40)x,x Î a,b (cid:43)(cid:165)(cid:172)
1 2
f x - f x  <k x -x (cid:43)(cid:77)(cid:168) f x(cid:76) a,b (cid:62)(cid:40)“k(cid:291)(cid:464)(cid:13)”
1 2 1 2
(1)(cid:150) f x=x2(cid:43)(cid:102)(cid:103) f x(cid:148)(cid:414)(cid:76)1,2(cid:62)(cid:40)“4(cid:291)(cid:464)(cid:13)”(cid:174)
(2)(cid:150) f x= 2 lnx+a+1x+ 1 (cid:76) 1,e (cid:62)(cid:40)“2(cid:291)(cid:464)(cid:13)”(cid:43)(cid:100)(cid:418)(cid:13)a(cid:40)(cid:129)(cid:84)(cid:383)(cid:384)(cid:174)
e x
(3)(cid:150) f x(cid:76)1,2(cid:62)(cid:40)“2(cid:291)(cid:464)(cid:13)”(cid:61) f 1= f 2(cid:43)(cid:175)(cid:176)(cid:10)"x (cid:43)x Î 1,2 (cid:43) fx - fx  <1.
1 2 1 2
(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(1)(cid:148)
ì 2 1 ü
(2)ía -2- £a£1- ý
î e e2þ
(3)(cid:175)(cid:176)(cid:182)(cid:120)(cid:91)
(cid:87)(cid:53)(cid:91)(cid:90)(cid:26)1(cid:31)(cid:128)(cid:27)(cid:72)(cid:184)(cid:34)(cid:55)(cid:43)(cid:108)(cid:109)(cid:47)(cid:149)(cid:339)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:40)(cid:117)(cid:118)(cid:175)(cid:176) f x - f x  <4 x -x (cid:185)(cid:34)(cid:174)
1 2 1 2
(cid:26)2(cid:31)(cid:128)(cid:54)(cid:55)(cid:395)(cid:396)(cid:315)(cid:16)(cid:76)(cid:121)(cid:67)(cid:178)(cid:238)xÎ1,e(cid:43)(cid:165)(cid:172)-2< f¢x<2(cid:43)(cid:121)(cid:464)(cid:13)(cid:100)(cid:280)(cid:99)(cid:203)(cid:204)(cid:53)(cid:70)(cid:471)(cid:13)(cid:43)(cid:108)(cid:109)(cid:280)(cid:464)(cid:13)
(cid:514)(cid:515)(cid:464)(cid:13)(cid:40)(cid:317)(cid:470)(cid:117)(cid:156)(cid:83)(cid:84)(cid:185)(cid:34)(cid:174)
1 1
(cid:26)3(cid:31)(cid:53)|x -x |< (cid:156) £|x -x |<1(cid:154)(cid:232)(cid:233)(cid:234)(cid:203)(cid:204)(cid:175)(cid:176)(cid:43) f 1= f 2(cid:43)(cid:109)(cid:516)(cid:517)(cid:112)
1 2 2 2 1 2
f x - f x  = f x - f 1+ f 2- f x  £ f x - f 1 + f 2- f x  (cid:203)(cid:204)(cid:175)(cid:176)(cid:185)(cid:34).
1 2 1 2 1 2
(cid:87)(cid:119)(cid:120)(cid:90)(cid:26)1(cid:31)(cid:464)(cid:13) f x=x2(cid:148)1,2(cid:62)(cid:40)“4(cid:291)(cid:464)(cid:13)”(cid:43)(cid:15)(cid:128)(cid:225)(cid:215)(cid:10)
(cid:114)(cid:211)(cid:94)x,x Î 1,2 (cid:43)(cid:171)(cid:35)2<x +x <4(cid:43)
1 2 1 2
f x - f x  = x2-x2 = x -x x +x  <4 x -x (cid:43)
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
(cid:171)(cid:35) f x=x2(cid:148)1,2(cid:62)(cid:40)“4(cid:291)(cid:464)(cid:13)”(cid:174)
2 1 1 2
(cid:26)2(cid:31) f x= lnx+a+1x+ (cid:43) f¢x=- + +a+1(cid:43)
e x x2 ex
(cid:128)(cid:21)(cid:238)(cid:55)(cid:43)(cid:121)(cid:67)(cid:178)(cid:238)(cid:114)(cid:194)(cid:40)x,x Î 1,e (cid:165)(cid:172) f x - f x  <2 x -x (cid:43)
1 2 1 2 1 2
(cid:114)(cid:211)(cid:94)x <x (cid:43)(cid:77)-2x -x < f x - f x <2x -x (cid:43)
1 2 2 1 1 2 2 1
(cid:101) f x +2x < f x +2x (cid:61) f x -2x > f x -2x (cid:43)
1 1 2 2 1 1 2 2
(cid:171)(cid:35) f x+2x(cid:76) 1,e (cid:62)(cid:40)(cid:347)(cid:464)(cid:13)(cid:43) f x-2x(cid:76) 1,e (cid:62)(cid:40)(cid:350)(cid:464)(cid:13)(cid:43)
(cid:171)(cid:35)(cid:121)(cid:178)(cid:238)(cid:40)xÎ1,e(cid:43)(cid:185)-2£ f¢x£2(cid:43)
1 2 1 2
(cid:128) f¢x£2Þa£ - +1(cid:43)(cid:424)gx= - +1(cid:43)(cid:77)a£gx (cid:43)xÎ1,e(cid:43)
x2 ex x2 ex min1 é1 ù 2 é1 ù 1
(cid:424) =tÎ
ê
,1
ú
(cid:124)y=t2- t+1(cid:78)
ê
,1
ú
(cid:62)(cid:317)(cid:470)(cid:346)(cid:347)(cid:43)gx =1- (cid:43)
x ëe û e ëe û min e2
1 2 1 2
(cid:128) f¢x³-2Þa³ - -3(cid:43)(cid:424)hx= - -3(cid:43)
x2 ex x2 ex
(cid:222)(cid:139)a³hx (cid:43)xÎ1,e(cid:43)
max
1 é1 ù 2 é1 ù
(cid:424) =tÎ
ê
,1
ú
(cid:124)y=t2- t-3(cid:78)
ê
,1
ú
(cid:317)(cid:470)(cid:346)(cid:347)(cid:43)
x ëe û e ëe û
2
(cid:171)(cid:35)hx =h1=-2- (cid:43)
max e
ì 2 1 ü
(cid:356)(cid:62)(cid:171)(cid:274)(cid:43)(cid:418)(cid:13)a(cid:40)(cid:129)(cid:84)(cid:383)(cid:384)(cid:76)ía -2- £a£1- ý(cid:174)
î e e2þ
(cid:26)3(cid:31)(cid:175)(cid:176)(cid:10)(cid:123)(cid:76) f x(cid:76)1,2(cid:62)(cid:40)“2(cid:291)(cid:464)(cid:13)”(cid:43)(cid:171)(cid:35) f x - f x  <2 x -x (cid:43)
1 2 1 2
1
(cid:114)(cid:211)(cid:94)1£x <x £2(cid:43)(cid:85) x -x < (cid:86)(cid:43) f x - f x  <2 x -x <1(cid:174)
1 2 1 2 2 1 2 1 2
1 1
(cid:85) £ x -x <1(cid:86)(cid:43)(cid:123)(cid:76) f 1= f 2(cid:43)-1<x -x £-
2 1 2 1 2 2
(cid:171)(cid:35) f x - f x  = f x - f 1+ f 2- f x  £ f x - f 1 + f 2- f x 
1 2 1 2 1 2
æ 1 ö
<2x -1+22-x =2x -x +1£2ç- +1÷=1(cid:43)
1 2 1 2 è 2 ø
(cid:356)(cid:62)(cid:171)(cid:274)(cid:43)"x (cid:43)x Î 1,2 (cid:43) fx - fx  <1.
1 2 1 2
(cid:87)(cid:60)(cid:133)(cid:90)(cid:97)(cid:112)(cid:60)(cid:133)(cid:10)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:402)(cid:37)(cid:213)(cid:218)(cid:21)(cid:394)(cid:182)(cid:97)(cid:112)(cid:10) (cid:53)(cid:70)(cid:471)(cid:13)a³ f x(cid:402)(cid:37)(cid:213)  a³ f x  (cid:196)a£ f x(cid:402)
max
(cid:37)(cid:213)  a£ f x  (cid:174) (cid:13)(cid:142)(cid:106)(cid:107)(cid:26)y= f x(cid:40)(cid:48)(cid:80)(cid:78)①y=gx(cid:62)(cid:97)(cid:185)(cid:34)(cid:31)(cid:174) (cid:136)(cid:137)(cid:83)(cid:84) f x £0(cid:196)
min max
f x ³0(cid:402)(cid:37)(cid:213)(cid:174)②(cid:136)(cid:137)(cid:471)(cid:13)(cid:43)(cid:245)(cid:257)(cid:114)(cid:107)(cid:21)(cid:238)(cid:40)(cid:471)(cid:13)(cid:383)(cid:384)(cid:43)(cid:518)(cid:20)(cid:170)(cid:403)(cid:107)(cid:21)③(cid:238)(cid:40)(cid:471)(cid:13)(cid:383)(cid:384).
min
11(cid:25)(cid:26)2024·(cid:430)(cid:431)(cid:393)(cid:519)·④(cid:236)(cid:344)(cid:31)(cid:271)(cid:72)(cid:13)(cid:147){A}(cid:43)(cid:150)(cid:121)(cid:178)(cid:238)m(cid:43)nÎN*(cid:61)mn(cid:43)A +A (cid:148){A}(cid:49)(cid:40)(cid:155)(cid:43)(cid:77)(cid:168){A}
n m n n n
(cid:76)“H(cid:13)(cid:147)”(cid:25)(cid:94)(cid:13)(cid:147){a }(cid:40)(cid:273)n(cid:155)(cid:156)(cid:76)S .
n n
(1)(cid:150)S =n2+n(cid:43)(cid:508)(cid:102)(cid:103)(cid:13)(cid:147){a }(cid:148)(cid:414)(cid:76)“H(cid:13)(cid:147)”(cid:43)(cid:255)(cid:270)(cid:176)(cid:15)(cid:128)(cid:174)
n n
(2)(cid:94){a }(cid:520)(cid:148)(cid:115)(cid:149)(cid:13)(cid:147)(cid:126)(cid:148)“H(cid:13)(cid:147)”(cid:43)(cid:61)a =6(cid:43)a ÎN*(cid:43)a >6(cid:43)(cid:100)(cid:7)(cid:149)d(cid:40)(cid:171)(cid:172)(cid:34)(cid:166)(cid:84)(cid:174)
n 1 2 2
(3)(cid:94){a }(cid:148)(cid:115)(cid:149)(cid:13)(cid:147)(cid:43)(cid:61)(cid:121)(cid:178)(cid:238)nÎN*(cid:43)S (cid:148){a }(cid:49)(cid:40)(cid:155)(cid:43)(cid:100)(cid:175)(cid:10){a }(cid:148)“H(cid:13)(cid:147)”(cid:25)
n n n n
(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(1)(cid:148)“H(cid:13)(cid:147)”(cid:174)(cid:15)(cid:128)(cid:182)(cid:120)(cid:91)
(2)1(cid:43)2(cid:43)3(cid:43)6(cid:174)
(3)(cid:175)(cid:176)(cid:182)(cid:120)(cid:91)
(cid:87)(cid:53)(cid:91)(cid:90)(cid:26)1(cid:31)(cid:92)(cid:93)“H(cid:13)(cid:147)”(cid:72)(cid:184)(cid:102)(cid:103)(cid:185)(cid:34).
(cid:26)2(cid:31)(cid:128)(cid:115)(cid:149)(cid:13)(cid:147)(cid:156)“H(cid:13)(cid:147)”(cid:40)(cid:72)(cid:184)(cid:124)(cid:68)(cid:7)(cid:149)d(cid:40)(cid:115)(cid:116)(cid:3)(cid:331)(cid:185)(cid:34)(cid:100)(cid:120).(cid:26)3(cid:31)(cid:128)(cid:115)(cid:149)(cid:13)(cid:147)(cid:40)(cid:72)(cid:184)(cid:71)(cid:100)(cid:156)(cid:7)(cid:116)(cid:43)(cid:203)(cid:204)(cid:53)(cid:233)(cid:234)(cid:136)(cid:137)(cid:43)(cid:185)(cid:34)(cid:175)(cid:176){a }(cid:148)“H(cid:13)(cid:147)”.
n
(cid:87)(cid:119)(cid:120)(cid:90)(cid:26)1(cid:31)(cid:123)(cid:76)S =n2+n(cid:43)(cid:85)n³2(cid:86)(cid:43)a =S -S =2n(cid:43)
n n n n-1
(cid:85)n=1(cid:86)(cid:43)a =S =2(cid:374)(cid:37)(cid:213)(cid:43)
1 1
(cid:171)(cid:35)a =2n(cid:43)
n
(cid:121)(cid:178)(cid:238)m(cid:43)nÎN*(cid:61)mn(cid:43)a +a =2m+2n=2m+n=a (cid:43)
m n m+n
\{a }(cid:148)“H(cid:13)(cid:147)”.
n
(cid:26)2(cid:31)(cid:123)(cid:76) a =6(cid:43)a ÎN*(cid:43)a >6(cid:43)
1 2 2
(cid:171)(cid:35)dÎN*(cid:43)(cid:171)(cid:35)a =6+n-1d (cid:43)
n
(cid:128)(cid:54)(cid:55)(cid:124)a +a =6+m-1d+6+n-1d(cid:374)(cid:76)(cid:13)(cid:147)(cid:49)(cid:40)(cid:155)(cid:43)
m n
(cid:424)a +a =a  kÎN* (cid:43)(cid:185)6+m-1d+6+n-1d =6+k-1d(cid:43)
m n k
6
(cid:171)(cid:35)k= +m+n-1(cid:43)(cid:171)(cid:35)d(cid:76)6(cid:40)(cid:104)(cid:123)(cid:13)(cid:43)
d
(cid:101)d(cid:40)(cid:171)(cid:172)(cid:34)(cid:166)(cid:84)(cid:76)1(cid:43)2(cid:43)3(cid:43)6.
nn-1
(cid:26)3(cid:31)(cid:94)(cid:13)(cid:147){a }(cid:40)(cid:7)(cid:149)(cid:76)d(cid:43)(cid:171)(cid:35)(cid:360)(cid:78)kÎN*(cid:43)(cid:121)(cid:178)(cid:238)nÎN*(cid:43)S =a (cid:43)(cid:185)na + d =a +k-1d (cid:43)
n n k 1 2 1
(cid:85)d = 0(cid:86)(cid:43)(cid:77)a =0(cid:43)(cid:101)a =0(cid:43)(cid:130)(cid:86)(cid:13)(cid:147)(cid:76)“H(cid:13)(cid:147)”(cid:174)
1 k
a
nn-1
a a a
(cid:85)d 0(cid:86)(cid:43)k =n-1 1 + +1(cid:43)(cid:129)n=2(cid:43)(cid:77)k= 1 +2(cid:43)(cid:171)(cid:35) 1 ³-1(cid:43) 1ÎZ(cid:43)
d 2 d d d
a nn-3
(cid:85) 1 =-1(cid:86)(cid:43)k = +2(cid:161)(cid:76)(cid:104)(cid:146)(cid:13)(cid:43)(cid:403)(cid:107)(cid:21)(cid:238)(cid:43)
d 2
a a
nn-1
(cid:85) 1ÎN(cid:86)(cid:43)k =n-1 1 + +1(cid:161)(cid:76)(cid:104)(cid:146)(cid:13)(cid:43)(cid:403)(cid:107)(cid:21)(cid:238)(cid:43)
d d 2
a a
(cid:171)(cid:35) 1 ³-1(cid:43) 1ÎZ(cid:43)
d d
a
(cid:94) 1 =s(cid:43)s³-1(cid:43)sÎZ(cid:43)(cid:185)a =sd(cid:43)
d 1
(cid:171)(cid:35)(cid:178)(cid:238)m(cid:43)nÎN*(cid:61)mn(cid:43)a +a =sd+s+m+n-2d (cid:43)
m n
(cid:386)(cid:206)s+m+n-2ÎN(cid:43)(cid:171)(cid:35)a +a (cid:76)(cid:13)(cid:147)(cid:49)(cid:40)(cid:155)(cid:43)
m n
\{a }(cid:148)“H(cid:13)(cid:147)”.
n
(cid:87)(cid:60)(cid:133)(cid:90)(cid:3)(cid:357)(cid:60)(cid:60)(cid:133)(cid:10)(cid:296)(cid:21)(cid:29)(cid:297)(cid:13)(cid:147)(cid:72)(cid:184)(cid:218)(cid:21).(cid:45)(cid:49)(cid:3)(cid:357)(cid:60)(cid:148)(cid:15)(cid:120)“H(cid:13)(cid:147)”(cid:72)(cid:184)(cid:43)(cid:255)(cid:71)(cid:54)(cid:11)(cid:55)(cid:300)(cid:115)(cid:149)(cid:13)(cid:147)(cid:203)
(cid:204)(cid:106)(cid:107)(cid:43)(cid:108)(cid:109)(cid:115)(cid:149)(cid:13)(cid:147)(cid:40)(cid:72)(cid:184)(cid:71)(cid:100)(cid:156)(cid:7)(cid:116)(cid:43)(cid:53)(cid:233)(cid:234)(cid:136)(cid:137)(cid:185)(cid:34)(cid:175)(cid:176)(cid:106)(cid:137).
12(cid:25)(cid:26)2024·(cid:521)(cid:522)(cid:430)·(cid:236)(cid:344)(cid:31)(cid:225)(cid:226)n(cid:155)(cid:172)(cid:364)(cid:13)(cid:147)a (cid:63)(cid:64)a =a (cid:43)a =a (cid:43)…(cid:43)a =a (cid:43)(cid:185)
n 1 n 2 n-1 n 1
a =a i=1,2,L,n(cid:43)(cid:77)(cid:168)(cid:172)(cid:364)(cid:13)(cid:147)a (cid:76)“(cid:121)(cid:168)(cid:13)(cid:147)”.
i n-i+1 n
(1)(cid:94)(cid:13)(cid:147)b (cid:148)(cid:155)(cid:13)(cid:76)7(cid:40)“(cid:121)(cid:168)(cid:13)(cid:147)”(cid:43)(cid:45)(cid:49)b,b ,b ,b (cid:37)(cid:115)(cid:149)(cid:13)(cid:147)(cid:43)(cid:61)b =3,b =5(cid:43)(cid:411)(cid:177)(cid:169)(cid:170)(cid:13)(cid:147)b (cid:40)
n 1 2 3 4 2 5 n(cid:163)(cid:22)(cid:155)(cid:174)
(2)(cid:94)(cid:13)(cid:147)c
n
(cid:148)(cid:155)(cid:13)(cid:76)2k-1(kÎN*(cid:61)k ³2)(cid:40)“(cid:121)(cid:168)(cid:13)(cid:147)”(cid:43)(cid:61)(cid:63)(cid:64) c
n+1
-c
n
=2(cid:43)(cid:179)S
n
(cid:76)(cid:13)(cid:147)c
n
(cid:40)(cid:273)n(cid:155)
(cid:156).
(cid:150)c (cid:43)c (cid:43)…(cid:43)c (cid:167)(cid:37)(cid:317)(cid:470)(cid:346)(cid:347)(cid:13)(cid:147)(cid:43)(cid:61)c =2023.(cid:85)k(cid:76)(cid:378)(cid:84)(cid:86)(cid:43)S (cid:129)(cid:124)(cid:83)(cid:66)(cid:84)?
1 2 k k 2k-1
①(cid:150)c =2024(cid:43)(cid:61)S =2024(cid:43)(cid:100)k(cid:40)(cid:83)(cid:217)(cid:84).
1 2k-1
(cid:87)②(cid:88)(cid:89)(cid:90)(1)1(cid:43)3(cid:43)5(cid:43)7(cid:43)5(cid:43)3(cid:43)1
(2) 1012(cid:174) 2025
① ②
(cid:87)(cid:53)(cid:91)(cid:90)(cid:26)1(cid:31)(cid:92)(cid:93)(cid:27)(cid:72)(cid:184)“(cid:121)(cid:168)(cid:13)(cid:147)”(cid:40)(cid:72)(cid:184)(cid:156)(cid:54)(cid:55)(cid:395)(cid:396)(cid:34)(cid:100)(cid:124)(cid:7)(cid:292)(cid:43)(cid:203)(cid:127)(cid:100)(cid:124)(cid:106)(cid:226)(cid:174)
(cid:26)2(cid:31) (cid:92)(cid:93)(cid:121)(cid:168)(cid:13)(cid:147)(cid:40)(cid:72)(cid:184)(cid:34)(cid:124)(cid:13)(cid:147)(cid:76)(cid:115)(cid:149)(cid:13)(cid:147)(cid:43)(cid:206)(cid:99)(cid:92)(cid:93)(cid:145)(cid:177)(cid:464)(cid:13)(cid:40)(cid:117)(cid:118)(cid:143)(cid:100)(cid:120)(cid:174) (cid:128)(cid:395)(cid:396)(cid:124)(cid:68)(cid:13)(cid:147)
(cid:207)(cid:523)(cid:154)(cid:155)(cid:498)(cid:40)(cid:66)(cid:217)(cid:3)(cid:331)(cid:43)(cid:255)(cid:106)(cid:107)(cid:72)(cid:184)(cid:100)(cid:124)(cid:40)(cid:129)(cid:84)(cid:383)(cid:384)(cid:43)(cid:206)(cid:99)(cid:106)(cid:107)(cid:54)(cid:55)(cid:395)(cid:396)(cid:125)(cid:72)(cid:170)(cid:83)(cid:99)(cid:40)(cid:106)(cid:226)
① ②
(cid:87)(cid:119)(cid:120)(cid:90)(cid:26)1(cid:31)(cid:123)(cid:76)(cid:13)(cid:147)b (cid:148)(cid:155)(cid:13)(cid:76)7(cid:40)“(cid:121)(cid:168)(cid:13)(cid:147)”(cid:43)(cid:171)(cid:35)b =b =5(cid:43)
n 5 3
(cid:126)(cid:123)(cid:76)b,b ,b ,b (cid:37)(cid:115)(cid:149)(cid:13)(cid:147)(cid:43)(cid:45)(cid:7)(cid:149)d =b -b =2(cid:43)…
1 2 3 4 3 2
(cid:171)(cid:35)(cid:13)(cid:147)b (cid:40)7(cid:155)(cid:411)(cid:177)(cid:76)1(cid:43)3(cid:43)5(cid:43)7(cid:43)5(cid:43)3(cid:43)1(cid:174)
n
(cid:26)2(cid:31) (cid:128)c (cid:43)c (cid:43)…(cid:43)c (cid:148)(cid:317)(cid:470)(cid:346)(cid:347)(cid:13)(cid:147)(cid:43)(cid:13)(cid:147)c (cid:148)(cid:155)(cid:13)(cid:76)2k-1(cid:40)“(cid:121)(cid:168)(cid:13)(cid:147)”(cid:61)(cid:63)(cid:64) c -c =2(cid:43)
1 2 k n n+1 n
(cid:34)(cid:55)c①(cid:43)c (cid:43)…(cid:43)c (cid:167)(cid:37)(cid:7)(cid:149)(cid:76)2(cid:40)(cid:115)(cid:149)(cid:13)(cid:147)(cid:43)c (cid:43)c (cid:43)…(cid:43)c (cid:167)(cid:37)(cid:7)(cid:149)(cid:76)-2(cid:40)(cid:115)(cid:149)(cid:13)(cid:147)(cid:43)
1 2 k k k+1 2k-1
(cid:101)S =c +c +...+c =2c +c +...+c -c
2k-1 1 2 2k-1 k k-1 2k-1 k
é k(k-1) ù
=2 2023k+ ´(-2) -2023=-2k2+4048k-2023(cid:43)
ê ú
ë 2 û
4048
(cid:171)(cid:35)(cid:85)k =- =1012(cid:86)(cid:43)S (cid:129)(cid:124)(cid:83)(cid:66)(cid:84)(cid:174)
-4 2k-1
(cid:123)(cid:76) c -c =2(cid:185)c -c =±2(cid:43)
n+1 n n+1 n
②(cid:171)(cid:35)c -c ³-2(cid:185)c ³c -2(cid:43)
n+1 n n+1 n
(cid:67)(cid:148)c ³c -2³c -4³… ³c -2(k-1)(cid:43)
k k-1 k-2 1
(cid:123)(cid:76)(cid:13)(cid:147){c }(cid:148)“(cid:121)(cid:168)(cid:13)(cid:147)”(cid:43)
n
(cid:171)(cid:35)S =c +c +...+c =2c +c +...+c +c
2k-1 1 2 2k-1 1 2 k-1 k
³(2k-1)c -2(k-2)(k-1)-2(k-1)=-2k2+4052k-2026(cid:43)
1
(cid:123)(cid:76)S =2024(cid:43)(cid:101)-2k2+4052k-2026£2024(cid:43)
2k-1
(cid:120)(cid:124)k£1(cid:196)k ³2025(cid:43)(cid:171)(cid:35)k ³2025(cid:43)
(cid:85)c (cid:43)c (cid:43)…(cid:43)c (cid:167)(cid:37)(cid:7)(cid:149)(cid:76)-2(cid:40)(cid:115)(cid:149)(cid:13)(cid:147)(cid:86)(cid:43)(cid:63)(cid:64)c =2024(cid:43)
1 2 k 1
(cid:61)S =2024(cid:43)(cid:130)(cid:86)k =2025(cid:43)(cid:171)(cid:35)k(cid:40)(cid:83)(cid:217)(cid:84)(cid:76)2025.
2k-1
(cid:87)(cid:60)(cid:133)(cid:90)(cid:3)(cid:357)(cid:60)(cid:60)(cid:133)(cid:10)(cid:296)(cid:21)(cid:3)(cid:357)(cid:148)(cid:15)(cid:120)(cid:121)(cid:168)(cid:13)(cid:147)(cid:40)(cid:72)(cid:184)(cid:43)(cid:79)(cid:145)(cid:218) (cid:3)(cid:357)(cid:148)(cid:124)(cid:68)c (cid:43)c (cid:43)…(cid:43)c (cid:167)(cid:37)(cid:7)
k k+1 2k-1
①(cid:149)(cid:76)-2(cid:40)(cid:115)(cid:149)(cid:13)(cid:147).
13(cid:25)(cid:26)2024·(cid:524)(cid:525)·(cid:236)(cid:344)(cid:31)(cid:54)(cid:55)(cid:13)(cid:147)a (cid:40)(cid:273)n(cid:155)(cid:156)(cid:76)S (cid:43)(cid:150)(cid:13)(cid:147)a (cid:63)(cid:64)(cid:10)
n n n
(cid:13)(cid:147)a (cid:76)(cid:172)(cid:364)(cid:13)(cid:147)(cid:174)
n
①(cid:13)(cid:147)a (cid:76)(cid:346)(cid:347)(cid:13)(cid:147)(cid:174)
n
②"k ³2(cid:43)kÎN*(cid:43)$p,qÎN*(cid:43)(cid:173)(cid:124)a =a +a (cid:174)
k p q
(cid:77)③(cid:168)(cid:13)(cid:147)a (cid:316)(cid:172)“(cid:156)(cid:117)(cid:118)”.
n
(1)(cid:54)(cid:55)S =n2+n1£n£100(cid:43)(cid:100)(cid:13)(cid:147)a (cid:40)(cid:311)(cid:155)(cid:7)(cid:116)(cid:43)(cid:255)(cid:102)(cid:103)(cid:13)(cid:147)a (cid:148)(cid:414)(cid:316)(cid:172)“(cid:156)(cid:117)(cid:118)”(cid:174)(cid:26)(cid:102)(cid:103)(cid:148)(cid:414)(cid:316)
n n n
(cid:172)“(cid:156)(cid:117)(cid:118)”(cid:86)(cid:114)(cid:412)(cid:270)(cid:176)(cid:15)(cid:128)(cid:43)(cid:73)(cid:183)(cid:271)(cid:170)(cid:106)(cid:137)(cid:31)
(2)(cid:150)(cid:190)(cid:155)(cid:76)1(cid:40)(cid:13)(cid:147)a (cid:316)(cid:172)“(cid:156)(cid:117)(cid:118)”.
n
S +1
(cid:26)ⅰ(cid:31)(cid:292)(cid:328)a (cid:71) n (cid:40)(cid:66)(cid:217)(cid:3)(cid:331)(cid:43)(cid:255)(cid:270)(cid:176)(cid:15)(cid:128)(cid:174)
n 2
(cid:26)ⅱ(cid:31)(cid:150)(cid:13)(cid:147)a (cid:40)(cid:526)(cid:155)(cid:76)36(cid:43)(cid:100)S (cid:40)(cid:83)(cid:217)(cid:84).
n n
(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(1)a =2n1£n£100(cid:43)(cid:316)(cid:172)
n
S +1
(2)(cid:26)ⅰ(cid:31)a £ n (cid:43)(cid:15)(cid:128)(cid:182)(cid:120)(cid:91)(cid:174)(cid:26)ⅱ(cid:31)75
n 2
(cid:87)(cid:53)(cid:91)(cid:90)(cid:26)1(cid:31)(cid:108)(cid:109)(cid:13)(cid:147)(cid:40)(cid:273)n(cid:155)(cid:156)(cid:339)S (cid:71)a (cid:40)(cid:3)(cid:331)(cid:124)(cid:13)(cid:147)a (cid:40)(cid:311)(cid:155)(cid:7)(cid:116)(cid:43)(cid:189)(cid:108)(cid:109)(cid:21)(cid:483)(cid:171)(cid:271)(cid:72)(cid:184)(cid:121)(cid:13)(cid:147)a 
n n n n
(cid:148)(cid:414)(cid:316)(cid:172)“(cid:156)(cid:117)(cid:118)”(cid:203)(cid:204)(cid:102)(cid:103)(cid:174)
(cid:26)2(cid:31)(cid:26)ⅰ(cid:31)(cid:108)(cid:109)(cid:21)(cid:483)(cid:171)(cid:271)(cid:72)(cid:184)(cid:124)a £2a ,a £2a ,a £2a ,×××,a £2a ,a £2a (cid:43)(cid:189)(cid:108)(cid:109)(cid:13)(cid:147)(cid:40)(cid:273)n(cid:155)
n n-1 n-1 n-2 n-2 n-3 3 2 2 1
(cid:156)(cid:124)(cid:106)(cid:137)(cid:174)
(cid:26)ⅱ(cid:31)(cid:167)(cid:32)(cid:316)(cid:172)“(cid:156)(cid:117)(cid:118)”(cid:40)(cid:13)(cid:147)a (cid:10)1(cid:43)2(cid:43)3(cid:43)6(cid:43)9(cid:43)18(cid:43)36(cid:196)(cid:13)(cid:147)a (cid:10)1(cid:43)2(cid:43)4(cid:43)5(cid:43)9(cid:43)18(cid:43)36(cid:43)(cid:130)
n n
(cid:86)S =75(cid:43)(cid:189)(cid:108)(cid:109)(cid:410)(cid:175)(cid:112)(cid:124)(cid:316)(cid:172)“(cid:156)(cid:117)(cid:118)”(cid:40)(cid:13)(cid:147)a (cid:43)(cid:114)(cid:34)(cid:166)(cid:360)(cid:78)(cid:292)75(cid:353)(cid:217)(cid:40)S (cid:43)(cid:151)(cid:127)(cid:124)(cid:106)(cid:137).
n n n
(cid:87)(cid:119)(cid:120)(cid:90)(cid:26)1(cid:31)(cid:123)(cid:76)S =n2+n1£n£100(cid:43)
n
(cid:171)(cid:35)(cid:85)n=1(cid:86)(cid:43)a =S =2(cid:174)
1 1
(cid:85)2£n£100(cid:86)(cid:43)
a =S -S =n2+n-n-12-n-1=2n(cid:43)
n n n-1
(cid:127)(cid:85)n=1(cid:86)(cid:43)(cid:63)(cid:64)a =S =2(cid:43)
1 1
(cid:123)(cid:130)(cid:13)(cid:147)a (cid:40)(cid:311)(cid:155)(cid:7)(cid:116)(cid:76)a =2n1£n£100
n n
(cid:202)(cid:13)(cid:147)(cid:316)(cid:172)“(cid:156)(cid:117)(cid:118)”.
(cid:26)2(cid:31)(cid:26)ⅰ(cid:31)(cid:123)(cid:76)(cid:190)(cid:155)(cid:76)1(cid:40)(cid:13)(cid:147)a (cid:316)(cid:172)“(cid:156)(cid:117)(cid:118)”(cid:43)
n
(cid:171)(cid:35)"k ³2(cid:43)kÎN*(cid:43)$p,qÎN*(cid:43)(cid:173)(cid:124)a =a +a (cid:43)(cid:61)1=a <a <×××<a (cid:43)n³2(cid:43)
k p q 1 2 n
(cid:123)(cid:130)a £a (cid:43)a £a (cid:43)
p k-1 q k-1
(cid:171)(cid:35)a =a +a £2a (cid:174)
k p q k-1
(cid:123)(cid:130)a £2a ,a £2a ,a £2a ,×××,a £2a ,a £2a (cid:43)
n n-1 n-1 n-2 n-2 n-3 3 2 2 1
(cid:171)(cid:35)(cid:44)(cid:62)(cid:274)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:207)(cid:195)(cid:124)(cid:10)a +×××+a +a £2a +a +×××+a (cid:43)
2 n-1 n 1 2 n-1
(cid:185)a £2a +a +×××+a .
n 1 2 n-1
(cid:123)(cid:76)a =1(cid:43)
1
(cid:171)(cid:35)2a £1+a +a +×××+a +a =S +1(cid:43)
n 1 2 n-1 n n
S +1
(cid:123)(cid:130)a £ n .
n 2
(cid:26)ⅱ(cid:31)(cid:123)(cid:76)(cid:13)(cid:147)a (cid:316)(cid:172)“(cid:156)(cid:117)(cid:118)”(cid:43)
n
(cid:171)(cid:35)(cid:128) (cid:124)(cid:10)a =2a =2(cid:43)(cid:123)(cid:130)(cid:13)(cid:147)a (cid:49)(cid:40)(cid:155)(cid:161)(cid:76)(cid:146)(cid:13).
2 1 n
(cid:167)(cid:32)(cid:13)③(cid:147)a (cid:10)1(cid:43)2(cid:43)3(cid:43)6(cid:43)9(cid:43)18(cid:43)36(cid:196)(cid:13)(cid:147)a (cid:10)1(cid:43)2(cid:43)4(cid:43)5(cid:43)9(cid:43)18(cid:43)36(cid:43)
n n
(cid:123)(cid:130)(cid:235)(cid:154)(cid:164)(cid:13)(cid:147)(cid:316)(cid:172)“(cid:156)(cid:117)(cid:118)”(cid:43)(cid:130)(cid:86)S =75.
n
(cid:215)(cid:230)(cid:175)(cid:176)S (cid:40)(cid:83)(cid:217)(cid:84)(cid:76)75(cid:43)
n
(cid:185)(cid:175)(cid:176)(cid:114)(cid:34)(cid:166)(cid:360)(cid:78)(cid:292)75(cid:353)(cid:217)(cid:40)S .
n
(cid:214)(cid:94)S £75(cid:26)(cid:360)(cid:78)(cid:117)(cid:386)(cid:206)(cid:43)(cid:123)(cid:76)(cid:63)(cid:64)S £75(cid:40)(cid:13)(cid:147)a (cid:222)(cid:172)(cid:172)(cid:81)(cid:164)(cid:31).
n n n
(cid:79)(cid:22)(cid:426)(cid:10)(cid:190)(cid:191)(cid:270)(cid:176)(cid:172)(cid:364)(cid:13)(cid:147)a (cid:49)(cid:187)(cid:188)(cid:172)7(cid:164)(cid:261)(cid:262).
n
(cid:94)(cid:172)(cid:364)(cid:13)(cid:147)a (cid:49)(cid:261)(cid:262)(cid:162)(cid:107)(cid:40)(cid:229)(cid:107)(cid:76)A(cid:43)
n
(cid:128)(cid:26)ⅰ(cid:31)(cid:55)(cid:10)a £2a,a £2a ,×××(cid:43)(cid:127)a =1(cid:43)
2 1 3 2 1
(cid:123)(cid:130)a £2(cid:43)a £4(cid:43)a £8(cid:43)a £16(cid:43)a £32<36(cid:43)
2 3 4 5 6
(cid:171)(cid:35)n³7.
(cid:79)(cid:145)(cid:426)(cid:10)(cid:175)(cid:176)a =18(cid:43)a =9.
n-1 n-2
(cid:150)18ÎA(cid:43)(cid:94)a =18.
i
(cid:123)(cid:76)a =36=18+18(cid:43)
n
(cid:171)(cid:35)(cid:76)(cid:272)(cid:173)(cid:124)S (cid:83)(cid:217)(cid:43)
n
(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:147)a (cid:49)(cid:22)(cid:72)(cid:114)(cid:247)(cid:172)a (cid:43)(cid:173)(cid:124)18<a <36(cid:43)
n k k
(cid:123)(cid:130)a =18.
n-1
(cid:214)(cid:94)18ÏA(cid:43)(cid:92)(cid:93)“(cid:156)(cid:117)(cid:118)”(cid:43)
(cid:121)a =36(cid:43)(cid:172)a (cid:43)a (cid:43)(cid:173)(cid:124)a =36=a +a .
n p q n p q(cid:386)(cid:206)a a (cid:43)(cid:123)(cid:130)a +a +a =36+36=72(cid:43)
p q n p q
(cid:171)(cid:35)(cid:128)(cid:172)(cid:364)(cid:13)(cid:147)a (cid:49)(cid:187)(cid:188)(cid:172)7(cid:164)(cid:261)(cid:262)(cid:124)(cid:10)
n
(cid:229)(cid:107)A(cid:49)(cid:187)(cid:188)(cid:290)(cid:172)4(cid:164)(cid:114)(cid:194)(cid:67)a (cid:43)a (cid:43)a (cid:40)(cid:261)(cid:262)(cid:43)
n p q
 
(cid:123)(cid:130)S > a +a +a +4a =76(cid:43)(cid:71)S £75(cid:282)(cid:283)(cid:43)
n n p q 1 n
(cid:171)(cid:35)18ÎA(cid:43)(cid:61)a =18.
n-1
(cid:194)(cid:15)(cid:34)(cid:175)(cid:10)a =9.
n-2
(cid:92)(cid:93)“(cid:156)(cid:117)(cid:118)”(cid:124)(cid:10)(cid:360)(cid:78)a (cid:23)a (cid:43)(cid:173)(cid:124)9=a +a .
p q p q
(cid:192)(cid:193)(cid:139)(cid:140)(cid:29)(cid:275)(cid:225)(cid:215)(cid:461)(cid:232)(cid:233)(cid:142)(cid:10)
(cid:85)a =8(cid:43)a =1(cid:86)(cid:43)(cid:187)(cid:188)(cid:290)(cid:139)(cid:140)(cid:22)(cid:164)(cid:66)(cid:67)(cid:115)(cid:67)4(cid:40)a (cid:43)(cid:305)(cid:166)(cid:124)(cid:68)8(cid:43)(cid:123)(cid:130)S >76(cid:174)
p q k
①(cid:85)a =7(cid:43)a =2(cid:86)(cid:43)(cid:187)(cid:188)(cid:290)(cid:139)(cid:140)(cid:22)(cid:164)(cid:66)(cid:67)4(cid:40)a (cid:43)(cid:305)(cid:166)(cid:124)(cid:68)7(cid:43)(cid:77)S >76(cid:174)
p q k
②(cid:85)a =6(cid:43)a =3(cid:86)(cid:43)(cid:130)(cid:86)a (cid:76)(cid:10)1(cid:43)2(cid:43)3(cid:43)6(cid:43)9(cid:43)18(cid:43)36(cid:43)(cid:123)(cid:130)S =75(cid:174)
p q n n
③(cid:85)a =5(cid:43)a =4(cid:86)(cid:43)(cid:130)(cid:86)a (cid:76)(cid:10)1(cid:43)2(cid:43)4(cid:43)5(cid:43)9(cid:43)18(cid:43)36(cid:43)(cid:123)(cid:130)S =75(cid:174)
p q n n
④(cid:356)(cid:62)(cid:171)(cid:274)(cid:43)S (cid:40)(cid:83)(cid:217)(cid:84)(cid:76)75.
n
(cid:87)(cid:60)(cid:133)(cid:90)(cid:3)(cid:357)(cid:60)(cid:60)(cid:133)(cid:10)(cid:296)(cid:21)(cid:29)(cid:297)(cid:272)(cid:13)(cid:147)(cid:40)(cid:273)n(cid:155)(cid:156)(cid:339)S (cid:71)a (cid:40)(cid:3)(cid:331)(cid:156)(cid:13)(cid:147)(cid:40)(cid:27)(cid:72)(cid:184)(cid:218)(cid:21)(cid:43)(cid:120)(cid:21)(cid:3)(cid:357)(cid:78)(cid:67)(cid:527)
n n
S (cid:71)a (cid:40)(cid:3)(cid:331)(cid:35)(cid:339)(cid:490)(cid:325)(cid:27)(cid:72)(cid:184)(cid:40)“(cid:156)(cid:117)(cid:118)”(cid:174)(cid:189)(cid:108)(cid:109)(cid:21)(cid:483)(cid:171)(cid:271)(cid:72)(cid:184)(cid:124)a £2a (cid:43)(cid:255)(cid:108)(cid:109)(cid:13)(cid:147)(cid:40)(cid:273)n(cid:155)(cid:156)(cid:124)(cid:106)
n n n n-1
(cid:137)(cid:174)(cid:83)(cid:99)(cid:167)(cid:32)(cid:316)(cid:172)“(cid:156)(cid:117)(cid:118)”(cid:40)(cid:13)(cid:147)a (cid:43)(cid:108)(cid:109)(cid:410)(cid:175)(cid:112)(cid:124)(cid:316)(cid:172)“(cid:156)(cid:117)(cid:118)”(cid:40)(cid:13)(cid:147)a (cid:43)(cid:114)(cid:34)(cid:166)(cid:360)(cid:78)(cid:292)75(cid:353)(cid:217)(cid:40)
n n
S (cid:43)(cid:151)(cid:127)(cid:124)(cid:106)(cid:137).
n
14(cid:25)(cid:26)2024·(cid:528)(cid:342)(cid:529)(cid:510)·(cid:236)(cid:344)(cid:31)(cid:121)(cid:67)(cid:13)(cid:147)x (cid:43)(cid:225)(cid:226)(cid:360)(cid:78)(cid:22)(cid:164)(cid:104)(cid:146)(cid:13)m(cid:43)(cid:173)(cid:124)(cid:121)(cid:178)(cid:238)n  nÎN* (cid:43)(cid:165)(cid:172)x =x
n n+m n
(cid:37)(cid:213)(cid:43)(cid:220)(cid:221)(cid:223)(cid:415)(cid:235)(cid:276)(cid:40)(cid:22)(cid:291)(cid:13)(cid:147)x (cid:168)(cid:47)(cid:499)(cid:500)(cid:76)m(cid:40)(cid:499)(cid:500)(cid:13)(cid:147)(cid:43)m(cid:40)(cid:83)(cid:217)(cid:84)(cid:168)(cid:47)(cid:13)(cid:147)x (cid:40)(cid:83)(cid:217)(cid:104)(cid:499)(cid:500)(cid:43)
n n
(cid:113)(cid:168)(cid:499)(cid:500).
ì2,n=1
ï
(1)(cid:102)(cid:103)(cid:13)(cid:147)x =sinnπ(cid:156)y =í3,n=2 (cid:148)(cid:414)(cid:76)(cid:499)(cid:500)(cid:13)(cid:147)(cid:43)(cid:225)(cid:226)(cid:148)(cid:43)(cid:169)(cid:170)(cid:202)(cid:13)(cid:147)(cid:40)(cid:499)(cid:500)(cid:43)(cid:225)(cid:226)(cid:114)(cid:148)(cid:43)
n n
ï
îy -y +1,n³3
n-1 n-2
(cid:270)(cid:176)(cid:15)(cid:128).
S
(2)(cid:94)(cid:26)1(cid:31)(cid:49)(cid:13)(cid:147)y (cid:273)n(cid:155)(cid:156)(cid:76)S (cid:43)(cid:508)(cid:218)(cid:148)(cid:414)(cid:360)(cid:78)p,q(cid:43)(cid:173)(cid:121)(cid:178)(cid:238)nÎN*(cid:43)(cid:165)(cid:172)p£(-1)n× n £q(cid:37)(cid:213)(cid:43)(cid:150)
n n n
(cid:360)(cid:78)(cid:43)(cid:100)(cid:170)p,q(cid:40)(cid:129)(cid:84)(cid:383)(cid:384)(cid:43)(cid:150)(cid:114)(cid:360)(cid:78)(cid:43)(cid:270)(cid:176)(cid:15)(cid:128).
ìb =1,b =a
ï 1 2
(3)(cid:150)(cid:13)(cid:147)a (cid:156)b (cid:63)(cid:64)b =a -a (cid:43)(cid:61)í b (cid:43)(cid:148)(cid:414)(cid:360)(cid:78)(cid:199)(cid:200)(cid:394)(cid:13)a(cid:43)(cid:173)(cid:124)a (cid:148)(cid:499)(cid:500)
n n n n+1 n b = n+1n³1,nÎN n
ï
î
n+2
b
n
(cid:13)(cid:147)(cid:496)(cid:150)(cid:360)(cid:78)(cid:43)(cid:423)(cid:100)(cid:170)(cid:171)(cid:172)(cid:63)(cid:64)(cid:395)(cid:396)(cid:40)(cid:394)(cid:13)a(cid:174)(cid:150)(cid:114)(cid:360)(cid:78)(cid:43)(cid:423)(cid:270)(cid:176)(cid:15)(cid:128).
(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(1)(cid:13)(cid:147)x (cid:148)(cid:499)(cid:500)(cid:13)(cid:147)(cid:43)(cid:45)(cid:499)(cid:500)(cid:76)1(cid:174)(cid:13)(cid:147)y (cid:148)(cid:499)(cid:500)(cid:13)(cid:147)(cid:43)(cid:45)(cid:499)(cid:500)(cid:76)6
n n7 5
(2)(cid:360)(cid:78)(cid:43) p£- ,q³
3 2
(3)(cid:114)(cid:360)(cid:78)(cid:43)(cid:15)(cid:128)(cid:182)(cid:120)(cid:91)
(cid:87)(cid:53)(cid:91)(cid:90)(cid:26)1(cid:31)(cid:92)(cid:93)(cid:499)(cid:500)(cid:13)(cid:147)(cid:40)(cid:72)(cid:184)(cid:203)(cid:204)(cid:102)(cid:103)(cid:185)(cid:34)(cid:174)
(cid:26)2(cid:31)(cid:128)(cid:26)1(cid:31)(cid:34)(cid:55)(cid:43)y (cid:148)(cid:499)(cid:500)(cid:76)6(cid:40)(cid:13)(cid:147)(cid:43)(cid:124)(cid:68)(cid:13)(cid:147)y (cid:43)(cid:100)(cid:170)S (cid:43)(cid:311)(cid:56)(cid:136)(cid:137)(cid:124)(cid:68)p,q(cid:40)(cid:129)(cid:84)(cid:383)(cid:384)(cid:174)
n n n
(cid:26)3(cid:31)(cid:214)(cid:94)(cid:360)(cid:78)(cid:199)(cid:200)(cid:394)(cid:13)a(cid:43)(cid:173)(cid:124)a (cid:148)(cid:499)(cid:500)(cid:76)T(cid:40)(cid:13)(cid:147)(cid:43)(cid:337)(cid:280)(cid:170)(cid:13)(cid:147)b (cid:148)(cid:499)(cid:500)(cid:76)T(cid:40)(cid:499)(cid:500)(cid:13)(cid:147)(cid:43)(cid:203)(cid:22)(cid:426)
n n
6 2
(cid:124)(cid:68)(cid:13)(cid:147)b (cid:40)(cid:499)(cid:500)(cid:76)T =6(cid:43)(cid:337)(cid:103)(cid:170)åb =2+2a+ =0(cid:43)(cid:127)(cid:202)(cid:97)(cid:98)(cid:375)(cid:120)(cid:43)(cid:171)(cid:35)(cid:43)(cid:114)(cid:360)(cid:78)(cid:199)(cid:200)(cid:394)(cid:13)a(cid:43)(cid:173)
n i a
i=1
(cid:124)a (cid:148)(cid:499)(cid:500)(cid:13)(cid:147).
n
(cid:87)(cid:119)(cid:120)(cid:90)(cid:26)1(cid:31)x ､y (cid:161)(cid:148)(cid:499)(cid:500)(cid:13)(cid:147)(cid:43)(cid:15)(cid:128)(cid:225)(cid:215)(cid:10)
n n
(cid:123)(cid:76)x =sinn+1π=0=sinnπ=x (cid:43)
n+1 n
(cid:171)(cid:35)(cid:13)(cid:147)x (cid:148)(cid:499)(cid:500)(cid:13)(cid:147)(cid:43)(cid:45)(cid:499)(cid:500)(cid:76)1(cid:43)
n
(cid:123)(cid:76)y = y -y +1,y = y -y +1(cid:43)
n+3 n+2 n+1 n+2 n+1 n
(cid:171)(cid:35)y =-y +2.(cid:77)y =-y +2(cid:43)(cid:171)(cid:35)y = y (cid:43)
n+3 n n+6 n+3 n+6 n
(cid:171)(cid:35)(cid:13)(cid:147)y (cid:148)(cid:499)(cid:500)(cid:13)(cid:147)(cid:43)(cid:45)(cid:499)(cid:500)(cid:76)6(cid:174)
n
(cid:26)2(cid:31)(cid:128)(cid:26)1(cid:31)(cid:34)(cid:55)(cid:43)y (cid:148)(cid:499)(cid:500)(cid:76)6(cid:40)(cid:13)(cid:147)(cid:43)
n
(cid:530)(cid:288)(cid:13)(cid:147)(cid:76)(cid:10)2,3,2,0,-1,0,2,3LL(cid:43)
ì n,n=6k+6
ï
n+1,n=6k+1
ï
ïn+3,n=6k+2
(cid:101)S =í ,kÎN(cid:43)
n ïn+4,n=6k+3
ïn+3,n=6k+4
ï
în+1,n=6k+5
S
(cid:85)n=6k+6(cid:86)(cid:43)(-1)n× n =1(cid:43)(cid:101)p£1,q³1(cid:174)
n
S n+1
(cid:85)n=6k+1(cid:86)(cid:43)-2£(-1)n× n =- <-1(cid:43)(cid:101)p£-2,q³-1(cid:174)
n n
S n+3 5 5
(cid:85)n=6k+2(cid:86)(cid:43)1<(-1)n× n = £ (cid:43)(cid:101)p£1,q³ (cid:174)
n n 2 2
7 S n+4 7
(cid:85)n=6k+3(cid:86)(cid:43)- £(-1)n× n =- <-1(cid:43)(cid:101)p£- ,q³-1(cid:174)
3 n n 3
S n+3 7 7
(cid:85)n=6k+4(cid:86)(cid:43)1<(-1)n× n = £ (cid:43)(cid:101)p£1,q³ (cid:174)
n n 4 4
6 S n+1 6
(cid:85)n=6k+5(cid:86)(cid:43)- £(-1)n× n =- <-1(cid:43)(cid:101)p£- ,q³-1(cid:174)
5 n n 57 5
(cid:356)(cid:62)(cid:171)(cid:274)(cid:10)(cid:360)(cid:78)(cid:43)(cid:61)p£- ,q³ .
3 2
(cid:26)3(cid:31)(cid:214)(cid:94)(cid:360)(cid:78)(cid:199)(cid:200)(cid:394)(cid:13)a(cid:43)(cid:173)(cid:124)a (cid:148)(cid:499)(cid:500)(cid:76)T(cid:40)(cid:13)(cid:147)(cid:43)
n
(cid:171)(cid:35)a =a (cid:43)(cid:185)a -a =0(cid:43)
n+T n n+T n
(cid:171)(cid:35)(cid:43)a =a ,a =a (cid:43)(cid:185)a -a =a -a =0(cid:43)
n+T+1 n+1 n+T n n+T+1 n+1 n+T n
(cid:171)(cid:35)(cid:43)a -a =a -a (cid:43)(cid:185)b =a -a =a -a =b (cid:43)
n+T+1 n+T n+1 n n+T n+T+1 n+T n+1 n n
(cid:171)(cid:35)(cid:13)(cid:147)b (cid:148)(cid:499)(cid:500)(cid:76)T(cid:40)(cid:499)(cid:500)(cid:13)(cid:147)(cid:43)
n
T
(cid:123)(cid:76)a -a =a -a +a -a +L+a -a +a -a =b +b +L+b +b =0(cid:43)(cid:185)åb =0(cid:43)
1+T 1 1+T T T T-1 3 2 2 1 T T-1 2 1 i
i=1
ìb =1,b =a
ï 1 2
(cid:123)(cid:76)í b (cid:43)
b = n+1n³1,nÎN
ï
î
n+2
b
n
b b b 1 b 1 b b b
(cid:171)(cid:35)(cid:43)b = 2 =a,b = 3 =1,b = 4 = ,b = 5 = (cid:43)b = 6 =1,b = 7 =a,b = 8 =a,LL(cid:43)
3 b 4 b 5 b a 6 b a 7 b 8 b 9 b
1 2 3 4 5 6 7
(cid:171)(cid:35)(cid:13)(cid:147)b (cid:40)(cid:499)(cid:500)(cid:76)T =6(cid:43)
n
(cid:171)(cid:35)å i= 6 1 b i =2+2a+ a 2 =0(cid:43)(cid:185)a2+a+1= æ ç è a+ 1 2 ö ÷ ø 2 + 4 3 =0(cid:43)(cid:386)(cid:206)(cid:97)(cid:98)(cid:375)(cid:120)(cid:43)
(cid:171)(cid:35)(cid:43)(cid:114)(cid:360)(cid:78)(cid:199)(cid:200)(cid:394)(cid:13)a(cid:43)(cid:173)(cid:124)a (cid:148)(cid:499)(cid:500)(cid:13)(cid:147).
n
(cid:87)(cid:60)(cid:133)(cid:90)(cid:3)(cid:357)(cid:60)(cid:60)(cid:133)(cid:10)(cid:26)2(cid:31)(cid:128)(cid:26)1(cid:31)(cid:34)(cid:55)(cid:43)y (cid:148)(cid:499)(cid:500)(cid:76)6(cid:40)(cid:13)(cid:147)(cid:43)(cid:100)S (cid:86)(cid:140)(cid:44)n(cid:53)(cid:37)(cid:511)(cid:291)(cid:43)(cid:100)p,q(cid:40)(cid:129)(cid:84)
n n
(cid:383)(cid:384)(cid:86)(cid:374)(cid:140)(cid:53)(cid:511)(cid:291)(cid:136)(cid:137)(cid:174)(cid:26)3(cid:31)(cid:191)(cid:214)(cid:94)(cid:360)(cid:78)(cid:199)(cid:200)(cid:394)(cid:13)a(cid:43)(cid:173)(cid:124)a (cid:148)(cid:499)(cid:500)(cid:76)T(cid:40)(cid:13)(cid:147)(cid:43)(cid:337)(cid:280)(cid:170)(cid:13)(cid:147)b (cid:40)(cid:499)
n n
6 2
(cid:500)(cid:76)T =6(cid:43)(cid:337)(cid:103)(cid:170)åb =2+2a+ =0(cid:43)(cid:311)(cid:56)(cid:202)(cid:97)(cid:98)(cid:375)(cid:120)(cid:43)(cid:124)(cid:68)(cid:114)(cid:360)(cid:78)(cid:199)(cid:200)(cid:394)(cid:13)a(cid:43)(cid:173)(cid:124)a (cid:148)(cid:499)(cid:500)(cid:13)(cid:147).
i a n
i=1
15(cid:25)(cid:26)2024·(cid:524)(cid:525)(cid:531)(cid:528)·(cid:236)(cid:344)(cid:31)(cid:150)(cid:13)(cid:147)a (cid:40)(cid:277)(cid:155)(cid:161)(cid:76)(cid:104)(cid:13)(cid:43)(cid:61)(cid:121)(cid:178)(cid:238)(cid:40)(cid:207)(cid:523)(cid:236)(cid:155)a ,a,a (cid:43)(cid:165)(cid:63)(cid:64)
n t-1 t t+1
a a £a2(cid:43)(cid:77)(cid:168)(cid:202)(cid:13)(cid:147)(cid:76)“(cid:121)(cid:13)(cid:117)(cid:532)(cid:13)(cid:147)”(cid:43)(cid:150)(cid:121)(cid:178)(cid:238)(cid:40)(cid:207)(cid:523)(cid:236)(cid:155)a ,a,a (cid:43)(cid:165)(cid:63)(cid:64)a +a £2a (cid:77)(cid:168)(cid:202)
t-1 t+1 t t-1 t t+1 t-1 t+1 t
(cid:13)(cid:147)(cid:76)“(cid:532)(cid:13)(cid:147)”(cid:25)
(1)(cid:54)(cid:55)(cid:104)(cid:155)(cid:13)(cid:147)c (cid:148)(cid:22)(cid:164)“(cid:532)(cid:13)(cid:147)”(cid:43)(cid:61)a =ec n(cid:43)(cid:26)(cid:45)(cid:49)e(cid:76)(cid:320)(cid:206)(cid:394)(cid:13)(cid:43)nÎN*(cid:31)(cid:43)(cid:175)(cid:176)(cid:10)(cid:13)(cid:147)a (cid:148)(cid:22)(cid:164)
n n n
“(cid:121)(cid:13)(cid:117)(cid:532)(cid:13)(cid:147)”(cid:43)(cid:61)(cid:172)aa £a a (cid:174)
1 10 5 6
(2)(cid:150)(cid:3)(cid:67)x(cid:40)(cid:464)(cid:13) f x=b +b x+b x2+b x3(cid:172)(cid:236)(cid:164)(cid:200)(cid:60)(cid:43)(cid:45)(cid:49)b >0i=1(cid:43)2(cid:43)3(cid:43)4(cid:25)(cid:175)(cid:176)(cid:10)(cid:13)(cid:147)b,b ,b ,b (cid:148)
1 2 3 4 i 1 2 3 4
(cid:22)(cid:164)“(cid:121)(cid:13)(cid:117)(cid:532)(cid:13)(cid:147)”(cid:10)
æ 1 n öæ 1 n-1 ö æ1 n-1 öæ1 n ö
(3)(cid:94)(cid:104)(cid:155)(cid:13)(cid:147)a ,a(cid:43)L,a (cid:148)(cid:22)(cid:164)“(cid:121)(cid:13)(cid:117)(cid:532)(cid:13)(cid:147)”(cid:43)(cid:100)(cid:175)(cid:10)ç åa ÷ç åa ÷³ç åa ÷ç åa ÷
0 1 n èn+1 i=0 i øèn-1 j=1 j ø èn i=0 i øèn j=1 j ø
(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(1)(cid:175)(cid:176)(cid:182)(cid:120)(cid:91)
(2)(cid:175)(cid:176)(cid:182)(cid:120)(cid:91)(3)(cid:175)(cid:176)(cid:182)(cid:120)(cid:91)
(cid:87)(cid:53)(cid:91)(cid:90)(cid:26)1(cid:31)(cid:92)(cid:93)c (cid:40)(cid:117)(cid:118)(cid:43)(cid:128)(cid:115)(cid:458)(cid:3)(cid:331)(cid:95)(cid:209)(cid:37)(cid:3)(cid:67)a (cid:40)(cid:106)(cid:137)(cid:43)(cid:503)(cid:504)(cid:72)(cid:184)(cid:43)(cid:185)(cid:34)(cid:175)(cid:176)(cid:174)
n n
(cid:26)2(cid:31)(cid:128)(cid:59)(cid:464)(cid:13)(cid:172)(cid:236)(cid:164)(cid:200)(cid:60)(cid:43)(cid:61)(cid:280)(cid:464)(cid:13)(cid:76)(cid:145)(cid:177)(cid:464)(cid:13)(cid:43)(cid:53)(cid:91)(cid:170)(cid:280)(cid:464)(cid:13)(cid:172)(cid:154)(cid:164)(cid:200)(cid:60)(cid:43)(cid:102)(cid:249)(cid:116)(cid:66)(cid:67)(cid:200)(cid:43)(cid:337)(cid:124)
æ1ö
b2>bb (cid:174) f ç ÷(cid:172)(cid:236)(cid:164)(cid:200)(cid:60)(cid:43)(cid:124)(cid:68)gx=bx3+b x2+b x+b (cid:172)(cid:236)(cid:164)(cid:200)(cid:60)(cid:43)(cid:189)(cid:177)(cid:401)(cid:293)(cid:280)(cid:464)(cid:13)(cid:40)(cid:200)(cid:60)(cid:164)(cid:13)(cid:43)
3 2 4 èxø 1 2 3 4
(cid:34)(cid:35)(cid:124)(cid:68)b2 >bb (cid:43)(cid:185)(cid:34)(cid:124)(cid:175)(cid:174)
2 1 3
(cid:26)3(cid:31)(cid:179)S =a +a +L+a (cid:43)(cid:108)(cid:109)(cid:53)(cid:91)(cid:112)(cid:43)(cid:222)(cid:139)(cid:175)S+a S+a ³n2a a (cid:43)(cid:128)(cid:13)(cid:147)a (cid:76)(cid:121)(cid:13)(cid:117)(cid:532)(cid:13)(cid:147)(cid:43)
1 2 n-1 0 n 0 n n
a a a a
(cid:124)(cid:68) n £ n-1 £L 2 £ 1 (cid:43)a a £aa £a a £L(cid:43)(cid:189)(cid:109)(cid:298)(cid:296)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:175)(cid:176)(cid:185)(cid:34).
a a a a 0 n 1 n-1 2 n-2
n-1 n-2 1 0
(cid:87)(cid:119)(cid:120)(cid:90)(cid:26)1(cid:31)(cid:123)(cid:76)a =ec n(cid:43)(cid:171)(cid:35)c =lna a >0(cid:43)(cid:123)(cid:76)(cid:104)(cid:155)(cid:13)(cid:147)c (cid:148)(cid:22)(cid:164)“(cid:532)(cid:13)(cid:147)”(cid:43)
n n n n n
(cid:171)(cid:35)c +c £2c (cid:43)(cid:171)(cid:35)lna +lna £2lna (cid:43)(cid:171)(cid:35)a a £a2(cid:43)
t-1 t+1 t t-1 t+1 t t-1 t+1 t
a a
(cid:171)(cid:35)(cid:13)(cid:147)a (cid:148)(cid:22)(cid:164)“(cid:121)(cid:13)(cid:117)(cid:532)(cid:13)(cid:147)”(cid:43) t+1 £ t (cid:43)
n a a
t t-1
a a a a
(cid:171)(cid:35) 10 £ 9 £L£ 3 £ 2 (cid:43)(cid:141)(cid:142)(cid:34)(cid:124)(cid:68)aa £aa £aa £aa £aa (cid:43)
a a a a 1 10 2 9 3 8 4 7 5 6
9 8 2 1
(cid:171)(cid:35)(cid:13)(cid:147)a (cid:148)(cid:22)(cid:164)“(cid:121)(cid:13)(cid:117)(cid:532)(cid:13)(cid:147)”(cid:43)(cid:61)(cid:172)aa £a a .
n 1 10 5 6
(cid:26)2(cid:31)(cid:123)(cid:76) f x=b +b x+b x2+b x3(cid:172)(cid:236)(cid:164)(cid:200)(cid:60)(cid:43)
1 2 3 4
(cid:171)(cid:35) f¢x=b +2b x+3b x2(cid:172)(cid:154)(cid:164)(cid:114)(cid:115)(cid:418)(cid:13)(cid:92)(cid:43)
2 3 4
(cid:171)(cid:35)D =4b2-4´3bb >0Þb2 >3bb (cid:43)
1 3 2 4 3 2 4
(cid:126)b >0i=1(cid:43)2(cid:43)3(cid:43)4(cid:43)(cid:171)(cid:35)b2 >3bb >bb (cid:174)
i 3 2 4 2 4
x=0(cid:86)(cid:43) f  0 =b >0(cid:43)(cid:171)(cid:35)x=0(cid:114)(cid:148) f x(cid:40)(cid:200)(cid:60)(cid:43)
1
2 3
æ1ö æ1ö æ1ö æ1ö
(cid:126) f ç ÷=b +b ç ÷+b ç ÷ +b ç ÷ (cid:43)
èxø 1 2èxø 3èxø 4èxø
1
(cid:424)t= (cid:43)(cid:77) f t=b +bt+bt2+bt3(cid:374)(cid:172)(cid:236)(cid:164)(cid:200)(cid:60)(cid:43)
x 1 2 3 4
æ1ö bx3+b x2+b x+b
(cid:185) f ç ÷= 1 2 3 4 (cid:172)(cid:236)(cid:164)(cid:200)(cid:60)(cid:43)
èxø x3
(cid:424)gx=bx3+b x2+b x+b (cid:43)(cid:77)gx(cid:172)(cid:236)(cid:164)(cid:200)(cid:60)(cid:43)
1 2 3 4
(cid:171)(cid:35)g¢x=3bx2+2b x+b (cid:172)(cid:154)(cid:164)(cid:200)(cid:60)(cid:43)
1 2 3
(cid:171)(cid:35)D =4b2-4´3bb >0Þb2 >3bb >bb (cid:43)
2 2 1 3 2 1 3 1 3
(cid:123)(cid:76)bb <b2,bb <b2(cid:43)
2 4 3 1 3 2(cid:171)(cid:35)(cid:104)(cid:155)(cid:13)(cid:147)b,b ,b ,b (cid:121)(cid:178)(cid:238)(cid:40)(cid:207)(cid:523)(cid:236)(cid:155)b ,b,b (cid:43)(cid:165)(cid:63)(cid:64)b b £b2(cid:43)
1 2 3 4 t-1 t t+1 t-1 t+1 t
(cid:171)(cid:35)(cid:13)(cid:147)b,b ,b ,b (cid:148)(cid:22)(cid:164)“(cid:121)(cid:13)(cid:117)(cid:532)(cid:13)(cid:147)”.
1 2 3 4
æ 1 n öæ 1 n-1 ö æ1 n-1 öæ1 n ö
(cid:26)3(cid:31)(cid:179)S =a 1 +a 2 +L+a n-1 (cid:43)(cid:77)(cid:140)(cid:175)ç èn+1 å i=0 a i ÷ ø ç èn-1 å j=1 a j ÷ ø ³ç èn å i=0 a i ÷ ø ç èn å j=1 a j ÷ ø (cid:43)
a +a +S S S +a S +a
(cid:185)(cid:175) 0 n × ³ 0 × n (cid:43)
n+1 n-1 n n
(cid:185)n2S+a +a S ³  n2-1 S+a S+a (cid:43)(cid:185)S+a S+a ³n2a a (cid:43)
0 n 0 n 0 n 0 n
a a ①
(cid:123)(cid:76)(cid:13)(cid:147)a (cid:76)(cid:121)(cid:13)(cid:117)(cid:532)(cid:13)(cid:147)(cid:43)(cid:171)(cid:35)a a £a2(cid:43) t+1 £ t (cid:43)
n t-1 t+1 t a a
t t-1
a a a a
(cid:171)(cid:35) n £ n-1 £L 2 £ 1 (cid:43)(cid:171)(cid:35)a a £aa £a a £L(cid:43)
a a a a 0 n 1 n-1 2 n-2
n-1 n-2 1 0
n-1a +a n-1
S =a +a +L+a =å k n-k ³å a a ³n-1 a a (cid:43)
1 2 n-1 2 k n-k 0 n
k=1 k=1
(cid:127)a +a ³2 a a (cid:43)
0 n 0 n
 2
(cid:171)(cid:35)S+a S+a =S2+a +a S+a a ³S2+2 a a S+ a a
0 n 0 n o n 0 n 0 n
 2  2
= S+ a a ³ n a a =n2a a (cid:43)
0 n 0 n 0 n
(cid:85)(cid:61)(cid:201)(cid:85)a =a (k=0,1,2,...,n)(cid:86)(cid:115)(cid:9)(cid:37)(cid:213)(cid:43)
k n-k
(cid:101)(cid:116) (cid:37)(cid:213)(cid:43)(cid:171)(cid:35)(cid:59)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:37)(cid:213)(cid:25)
(cid:87)(cid:60)(cid:133)(cid:90)(cid:97)(cid:112)(cid:60)(cid:133)(cid:10)(cid:120)(cid:289)(cid:13)(cid:147)(cid:27)(cid:72)(cid:184)(cid:21)(cid:33)(cid:43)(cid:139)(cid:140)(cid:489)(cid:449)(cid:482)(cid:21)(cid:43)(cid:53)(cid:91)(cid:27)(cid:72)(cid:184)(cid:40)(cid:110)(cid:60)(cid:43)(cid:490)(cid:325)(cid:27)(cid:72)(cid:184)(cid:40)(cid:117)(cid:118)(cid:43)(cid:397)(cid:491)
①
(cid:27)(cid:72)(cid:184)(cid:40)(cid:140)(cid:100)(cid:43)(cid:106)(cid:107)(cid:171)(cid:11)(cid:533)(cid:56)(cid:40)(cid:55)(cid:300)(cid:60)(cid:43)(cid:425)(cid:22)(cid:53)(cid:91)(cid:23)(cid:175)(cid:176)(cid:23)(cid:100)(cid:120).
16(cid:25)(cid:26)2024·(cid:528)(cid:393)·(cid:145)(cid:344)(cid:31)(cid:73)(cid:51)(cid:534)(cid:148)(cid:285)(cid:316)(cid:172)(cid:237)(cid:232)(cid:224)(cid:194)(cid:117)(cid:118)(cid:40)(cid:73)(cid:51)(cid:40)(cid:241)(cid:242)(cid:43)(cid:111)(cid:225)x=ty+1(cid:248)(cid:345)(cid:56)(cid:60)(1,0)(cid:40)(cid:73)(cid:51)(cid:43)
(cid:73)(cid:51)(cid:40)(cid:246)(cid:535)(cid:50)(cid:51)(cid:72)(cid:184)(cid:76)(cid:10)(cid:73)(cid:51)(cid:534)(cid:49)(cid:40)(cid:163)(cid:22)(cid:395)(cid:73)(cid:51)(cid:165)(cid:148)(cid:202)(cid:50)(cid:51)(cid:62)(cid:237)(cid:60)(cid:144)(cid:40)(cid:451)(cid:51)(cid:43)(cid:61)(cid:202)(cid:50)(cid:51)(cid:62)(cid:40)(cid:163)(cid:22)(cid:60)(cid:144)(cid:40)(cid:451)
(cid:51)(cid:165)(cid:148)(cid:202)(cid:73)(cid:51)(cid:534)(cid:49)(cid:40)(cid:237)(cid:395)(cid:73)(cid:51).
(1)(cid:150)(cid:536)C :x2+y2 =1(cid:148)(cid:73)(cid:51)(cid:534)mx+ny=1(m,nÎR)(cid:40)(cid:246)(cid:535)(cid:50)(cid:51)(cid:43)(cid:100)m,n(cid:63)(cid:64)(cid:40)(cid:3)(cid:331)(cid:116)(cid:174)
1
(2)(cid:150)(cid:60)Px ,y (cid:114)(cid:78)(cid:73)(cid:51)(cid:534)(cid:10)Ω(2a-4)x+4y+(a-2)2 =0(aÎR)(cid:40)(cid:178)(cid:238)(cid:22)(cid:395)(cid:73)(cid:51)(cid:62)(cid:43)(cid:100)y (cid:40)(cid:129)(cid:84)(cid:383)(cid:384)(cid:156)(cid:73)
0 0 : 0
(cid:51)(cid:534)Ω(cid:40)(cid:246)(cid:535)(cid:50)(cid:51)E(cid:174)
(3)(cid:78)(cid:26)2(cid:31)(cid:40)(cid:395)(cid:396)(cid:215)(cid:43)(cid:56)(cid:50)(cid:51)E(cid:62)A,B(cid:154)(cid:60)(cid:47)(cid:50)(cid:51)E(cid:40)(cid:451)(cid:51)l,l (cid:43)(cid:45)(cid:379)(cid:60)(cid:76)P.(cid:54)(cid:55)(cid:60)C0,1(cid:43)(cid:150)A,B,C(cid:236)(cid:60)
1 2
(cid:114)(cid:224)(cid:51)(cid:43)(cid:398)(cid:515)ÐPCA=ÐPCB(cid:148)(cid:414)(cid:37)(cid:213)(cid:496)(cid:423)(cid:270)(cid:176)(cid:15)(cid:128).
(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(1)m2+n2 =1
x2 x2
(2)y > 0 ,y=
0 4 4
(3)(cid:37)(cid:213)(cid:43)(cid:15)(cid:128)(cid:182)(cid:120)(cid:91)(cid:87)(cid:53)(cid:91)(cid:90)(cid:26)1(cid:31)(cid:92)(cid:93)(cid:246)(cid:535)(cid:50)(cid:51)(cid:40)(cid:72)(cid:184)(cid:108)(cid:109)(cid:73)(cid:51)(cid:156)(cid:536)(cid:207)(cid:451)(cid:185)(cid:34)(cid:124)m2+n2 =1(cid:174)
(cid:26)2(cid:31)(cid:387)(cid:55)(cid:97)(cid:98)2a-4x +4y +(a-2)2 =0(cid:375)(cid:120)(cid:43)(cid:92)(cid:93)(cid:102)(cid:249)(cid:116)(cid:34)(cid:124)y > x 0 2 (cid:43)(cid:175)(cid:176)(cid:34)(cid:124)(cid:73)(cid:51)(cid:534)Ω(cid:40)(cid:246)(cid:535)(cid:50)(cid:51)E
0 0 0 4
x2
(cid:76)y = (cid:174)
4
æx +x xx ö
(cid:26)3(cid:31)(cid:112)(cid:22)(cid:10)(cid:100)(cid:170)A,B(cid:154)(cid:60)(cid:144)(cid:50)(cid:51)E(cid:40)(cid:451)(cid:51)l,l (cid:40)(cid:97)(cid:98)(cid:43)(cid:120)(cid:124)Pç 1 2 , 1 2 ÷(cid:43)(cid:92)(cid:93)(cid:160)(cid:230)(cid:427)(cid:458)(cid:537)(cid:463)(cid:40)(cid:248)(cid:323)(cid:116)
1 2 è 2 4 ø
uuur uuur uuur uuur
CA×CP CB×CP
(cid:185)(cid:34)(cid:124) uuur uuur = uuur uuur (cid:43)(cid:185)ÐPCA=ÐPCB(cid:174)
CA×CP CB×CP
(cid:112)(cid:145)(cid:10)(cid:56)A,B(cid:53)(cid:249)(cid:47)(cid:538)(cid:51)(cid:40)(cid:539)(cid:51)AA¢,BB¢(cid:43)(cid:251)(cid:183)A¢P,B¢P(cid:43)(cid:128)(cid:280)(cid:13)(cid:100)(cid:124)(cid:451)(cid:51)(cid:459)(cid:181)(cid:255)(cid:108)(cid:109)(cid:540)(cid:14)(cid:51)(cid:72)(cid:184)(cid:156)(cid:236)(cid:463)(cid:142)
(cid:131)(cid:463)(cid:3)(cid:331)(cid:185)(cid:34)(cid:175)(cid:176)ÐPCA=ÐPCB.
(cid:87)(cid:119)(cid:120)(cid:90)(cid:26)1(cid:31)(cid:128)(cid:72)(cid:184)(cid:34)(cid:55)(cid:43)mx+ny=1(cid:71)x2+y2 =1(cid:207)(cid:451)(cid:43)
(cid:77)(cid:536)C (cid:40)(cid:536)(cid:449)0,0(cid:68)(cid:73)(cid:51)mx+ny=1(cid:40)(cid:69)(cid:70)(cid:115)(cid:67)1(cid:43)
1
1
(cid:77)d = =1(cid:43)m2+n2 =1.
m2+n2
(cid:26)2(cid:31)(cid:60)Px ,y (cid:114)(cid:78)(cid:73)(cid:51)(cid:534)Ω:2a-4x+4y+(a-2)2 =0aÎR (cid:40)(cid:178)(cid:238)(cid:22)(cid:395)(cid:73)(cid:51)(cid:62)(cid:43)
0 0
(cid:171)(cid:35)(cid:375)(cid:137)a(cid:129)(cid:378)(cid:84)(cid:86)(cid:43)2a-4x +4y +(a-2)2 =0(cid:375)(cid:120).
0 0
(cid:44)2a-4x +4y +(a-2)2 =0(cid:146)(cid:15)(cid:37)(cid:3)(cid:67)a(cid:40)(cid:22)(cid:261)(cid:145)(cid:177)(cid:97)(cid:98)(cid:43)
0 0
(cid:185)a2+2x -4a+4+4y -4x =0.
0 0 0
x2
(cid:150)(cid:202)(cid:97)(cid:98)(cid:375)(cid:120)(cid:43)(cid:77)Δ=2x -42-44+4y -4x <0(cid:43)(cid:185)y > 0 .
0 0 0 0 4
x2 æ x2 ö x2 x
(cid:175)(cid:176)(cid:10)(cid:78)y = (cid:62)(cid:178)(cid:129)(cid:22)(cid:60)Qçx, 1 ÷,y= (cid:78)(cid:202)(cid:60)(cid:144)(cid:40)(cid:451)(cid:51)(cid:459)(cid:181)(cid:76)k = 1(cid:43)
4 è 1 4 ø 4 2
x2 æ x2 ö x x2
(cid:67)(cid:148)(cid:34)(cid:35)(cid:124)(cid:68)y = (cid:78)Qçx, 1 ÷(cid:60)(cid:144)(cid:40)(cid:451)(cid:51)(cid:97)(cid:98)(cid:76)(cid:10)y= 1 x- 1 (cid:43)
4 è 1 4 ø 2 4
(cid:185)-2xx+4y+x2 =0.
1 1
(cid:541)(cid:73)(cid:51)(cid:534)Ω:2a-4x+4y+(a-2)2 =0(cid:49)2a-4=-2x (cid:43)
1
(cid:77)(cid:73)(cid:51)(cid:76)-2xx+4y+x2 =0(cid:43)
1 1
(cid:171)(cid:35)(cid:202)(cid:50)(cid:51)(cid:62)(cid:40)(cid:163)(cid:22)(cid:60)(cid:144)(cid:40)(cid:451)(cid:51)(cid:165)(cid:148)(cid:202)(cid:73)(cid:51)(cid:534)(cid:49)(cid:40)(cid:237)(cid:395)(cid:73)(cid:51)(cid:43)
æ (2-a)2 ö
(cid:127)(cid:121)(cid:178)(cid:238)aÎR,2a-4x+4y+(a-2)2 =0(cid:165)(cid:148)(cid:540)(cid:14)(cid:51)(cid:78)(cid:60)ç2-a, ÷(cid:144)(cid:40)(cid:451)(cid:51).
è 4 ø
x2
(cid:171)(cid:35)(cid:73)(cid:51)(cid:534)Ω(cid:40)(cid:246)(cid:535)(cid:50)(cid:51)E(cid:76)y = .
4(cid:26)3(cid:31)(cid:112)(cid:22)(cid:10)(cid:54)(cid:55)C0,1(cid:43)(cid:94)Ax,y ,Bx ,y (cid:43)
1 1 2 2
(cid:77)C uu A ur =x,y -1,C uu B ur =x ,y -1(cid:43) C uu A ur = x 1 2 +1,C uu B ur = x 2 2 +1(cid:174)
1 1 2 2
4 4
(cid:128)(cid:26)2(cid:31)(cid:55)y = x2 (cid:78)(cid:60)Ax,y (cid:144)(cid:40)(cid:451)(cid:51)(cid:97)(cid:98)(cid:76)y= x 1 x- x 1 2 (cid:174)
1 1
4 2 4
(cid:194)(cid:15)y = x2 (cid:78)(cid:60)Bx ,y (cid:144)(cid:40)(cid:451)(cid:51)(cid:97)(cid:98)(cid:76)y= x 2 x- x 2 2 (cid:174)
2 2
4 2 4
ì x x2
ïy= 1 x- 1
ï 2 4 æx +x xx ö uuur æx +x xx ö
(cid:330)(cid:213)í (cid:34)(cid:124)Pç 1 2 , 1 2 ÷(cid:43)(cid:171)(cid:35)CP=ç 1 2 , 1 2 -1÷.
ï x x2 è 2 4 ø è 2 4 ø
y= 2 x- 2
ïî
2 4
uuur uuur æx +x ö æxx öæx2 ö x2 xx x8x æx2 öæxx ö
(cid:123)(cid:130)CA×CP=x ×ç 1 2 ÷+ç 1 2 -1÷ç 1 -1÷= 1 + 1 2 + 1 2 +1=ç 1 +1÷ç 1 2 +1÷(cid:43)
1 è 2 ø è 4 øè 4 ø 4 4 16 è 4 øè 4 ø
uuur uuur æx2 öæxx ö
(cid:194)(cid:15)CB×CP=ç 2 +1÷ç 1 2 +1÷.
è 4 øè 4 ø
æx2 öæxx ö æxx ö æx2 öæxx ö æxx ö
uuur uuur ç 1 +1÷ç 1 2 +1÷ ç 1 2 +1÷ uuur uuur ç 2 +1÷ç 1 2 +1÷ ç 1 2 +1÷
CA×CP è 4 øè 4 ø è 4 ø CB×CP è 4 øè 4 ø è 4 ø
(cid:171)(cid:35) uuur uuur = = uuur (cid:43) uuur uuur = = uuur (cid:43)
CA×CP uuur æx2 ö CP CB×CP uuur æx2 ö CP
CP ç 1 +1÷ CP ç 2 +1÷
è 4 ø è 4 ø
uuur uuur uuur uuur
CA×CP CB×CP
(cid:185) uuur uuur = uuur uuur (cid:43)(cid:34)(cid:124)cosÐPCA=cosÐPCB(cid:43)
CA×CP CB×CP
(cid:171)(cid:35)ÐPCA=ÐPCB(cid:37)(cid:213).
(cid:112)(cid:145)(cid:10)(cid:56)A,B(cid:53)(cid:249)(cid:47)(cid:538)(cid:51)(cid:40)(cid:539)(cid:51)AA¢,BB¢(cid:43)(cid:251)(cid:183)A¢P,B¢P(cid:43)(cid:225)(cid:48)(cid:171)(cid:345)(cid:10)
x -1-1 -2
(cid:77)A¢x ,-1(cid:43)(cid:123)(cid:76)k = y¢| = A,k = = (cid:43)(cid:386)(cid:206)k ×k =-1.
A PA x=xA 2 A¢C x x BA A¢C
A A
(cid:126)(cid:128)(cid:540)(cid:14)(cid:51)(cid:72)(cid:184)(cid:124)AA¢= AC(cid:43)(cid:101)PA(cid:76)(cid:51)(cid:367)A¢C(cid:40)(cid:49)(cid:539)(cid:51)(cid:43)(cid:124)(cid:68)PA¢=PC(cid:43)(cid:185)ÐPA¢A=ÐPCA.
(cid:194)(cid:15)(cid:34)(cid:55)ÐPB¢B=ÐPCB,PB¢=PC(cid:43)
(cid:171)(cid:35)PA¢=PC =PB¢(cid:43)(cid:185)ÐPA¢B¢=ÐPB¢A¢.
(cid:77)ÐPA¢A=ÐPA¢B¢+90o =ÐPB¢A¢+90o =ÐPB¢B.
(cid:171)(cid:35)ÐPCA=ÐPCB(cid:37)(cid:213).(cid:87)(cid:60)(cid:133)(cid:90)(cid:3)(cid:357)(cid:60)(cid:60)(cid:133)(cid:10)(cid:296)(cid:21)(cid:3)(cid:357)(cid:78)(cid:67)(cid:15)(cid:120)(cid:246)(cid:535)(cid:50)(cid:51)(cid:40)(cid:72)(cid:184)(cid:43)(cid:108)(cid:109)(cid:73)(cid:51)(cid:156)(cid:50)(cid:51)(cid:207)(cid:451)(cid:100)(cid:170)(cid:246)(cid:535)(cid:50)(cid:51)E(cid:40)(cid:97)(cid:98)(cid:76)
x2
y = (cid:255)(cid:203)(cid:204)(cid:175)(cid:176)(cid:43)(cid:189)(cid:108)(cid:109)(cid:540)(cid:14)(cid:51)(cid:72)(cid:184)(cid:156)(cid:117)(cid:118)(cid:185)(cid:34)(cid:124)(cid:170)(cid:106)(cid:137).
4
x2 y2 6
17(cid:25)(cid:26)2024·(cid:430)(cid:542)(cid:393)(cid:311)·(cid:145)(cid:344)(cid:31)(cid:78)(cid:160)(cid:230)(cid:73)(cid:463)(cid:57)(cid:58)(cid:331)xOy(cid:49)(cid:43)(cid:54)(cid:55)(cid:543)(cid:536)Γ(cid:10) + =1(a>b>0)(cid:40)(cid:70)(cid:449)(cid:181)(cid:76) (cid:43)
a2 b2 3
(cid:73)(cid:51)l(cid:71)Γ(cid:207)(cid:451)(cid:43)(cid:71)(cid:536)O(cid:10)x2+y2 =3a2(cid:207)(cid:379)(cid:67)A(cid:43)B(cid:154)(cid:60).(cid:85)l(cid:539)(cid:73)(cid:67)x(cid:454)(cid:86)(cid:43)|AB|=2 6.
(1)(cid:100)Γ(cid:40)(cid:97)(cid:98)(cid:174)
(2)(cid:121)(cid:67)(cid:271)(cid:72)(cid:40)(cid:60)(cid:229)M(cid:43)N(cid:43)(cid:150)M(cid:49)(cid:40)(cid:163)(cid:164)(cid:60)(cid:78)N(cid:49)(cid:165)(cid:360)(cid:78)(cid:69)(cid:70)(cid:83)(cid:217)(cid:40)(cid:60)(cid:43)(cid:61)(cid:171)(cid:172)(cid:83)(cid:217)(cid:69)(cid:70)(cid:40)(cid:83)(cid:66)(cid:84)(cid:360)(cid:78)(cid:43)
(cid:77)(cid:179)(cid:130)(cid:83)(cid:66)(cid:84)(cid:76)d(M,N).
(cid:26)ⅰ(cid:31)(cid:150)M(cid:43)N(cid:53)(cid:249)(cid:76)(cid:51)(cid:367)AB(cid:71)(cid:536)O(cid:62)(cid:178)(cid:238)(cid:22)(cid:60)(cid:43)P(cid:76)(cid:536)O(cid:62)(cid:22)(cid:60)(cid:43)(cid:85)VPAB(cid:40)(cid:230)(cid:75)(cid:83)(cid:66)(cid:86)(cid:43)(cid:100)d(M,N)(cid:174)
(cid:26)ⅱ(cid:31)(cid:150)d(M,N)(cid:43)d(N,M)(cid:161)(cid:360)(cid:78)(cid:43)(cid:179)(cid:154)(cid:197)(cid:49)(cid:40)(cid:328)(cid:66)(cid:197)(cid:76)H(M,N).(cid:54)(cid:55)H(X,Y)(cid:43)H(Y,Z)(cid:43)H(X,Z)(cid:161)(cid:360)
(cid:78)(cid:43)(cid:175)(cid:176)(cid:10)H(X,Z)+H(Y,Z)(cid:428)H(X,Y).
x2
(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(1) +y2 =1(cid:174)
3
3
(2)(cid:26)ⅰ(cid:31) (cid:174)(cid:26)ⅱ(cid:31)(cid:175)(cid:176)(cid:182)(cid:120)(cid:91).
2
(cid:87)(cid:53)(cid:91)(cid:90)(cid:26)1(cid:31)(cid:92)(cid:93)(cid:271)(cid:72)(cid:395)(cid:396)(cid:43)(cid:100)(cid:170)a(cid:43)(cid:189)(cid:106)(cid:107)(cid:70)(cid:449)(cid:181)(cid:100)(cid:170)b(cid:185)(cid:124).
(cid:26)2(cid:31)(cid:26)ⅰ(cid:31)(cid:78)(cid:73)(cid:51)l(cid:40)(cid:459)(cid:181)(cid:360)(cid:78)(cid:86)(cid:43)(cid:94)(cid:170)(cid:73)(cid:51)(cid:97)(cid:98)(cid:255)(cid:71)(cid:543)(cid:536)(cid:97)(cid:98)(cid:330)(cid:213)(cid:43)(cid:401)(cid:293)(cid:102)(cid:249)(cid:116)(cid:100)(cid:170)(cid:536)(cid:449)O(cid:68)l(cid:69)(cid:70)(cid:43)(cid:147)
(cid:170)VPAB(cid:40)(cid:230)(cid:75)(cid:3)(cid:331)(cid:100)(cid:120)(cid:43)(cid:189)(cid:186)(cid:175)(cid:459)(cid:181)(cid:114)(cid:360)(cid:78)(cid:40)(cid:233)(cid:234)(cid:174)(cid:26)ⅱ(cid:31)(cid:108)(cid:109)(cid:27)(cid:72)(cid:184)(cid:43)(cid:106)(cid:107)(cid:121)(cid:168)(cid:117)(cid:337)(cid:15)(cid:185)(cid:124).
(cid:87)(cid:119)(cid:120)(cid:90)(cid:26)1(cid:31)(cid:123)(cid:76)(cid:85)l(cid:539)(cid:73)(cid:67)x(cid:454)(cid:86)(cid:43)|AB|=2 6(cid:43)(cid:127)(cid:73)(cid:51)l:x=±a(cid:71)Γ(cid:207)(cid:451)(cid:43)(cid:77) 2 3a2-a2 =2 6 (cid:43)(cid:120)(cid:124)
a= 3(cid:43)
6
(cid:126)(cid:543)(cid:536)G(cid:40)(cid:70)(cid:449)(cid:181)(cid:76) (cid:43)(cid:77)(cid:543)(cid:536)G(cid:40)(cid:544)(cid:448)(cid:69)c= 2(cid:43) b= a2-c2 =1 (cid:43)
3
x2
(cid:171)(cid:35)G(cid:40)(cid:97)(cid:98)(cid:76) +y2 =1.
3
(cid:26)2(cid:31)(cid:26)i(cid:31)(cid:85)l(cid:40)(cid:459)(cid:181)(cid:360)(cid:78)(cid:86)(cid:43)(cid:94)l(cid:40)(cid:97)(cid:98)(cid:76)(cid:10)y=kx+m(cid:43)
ìy=kx+m
(cid:128)í (cid:399)(cid:153)y(cid:124)(cid:10)(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3=0(cid:43)
îx2+3y2 =3
(cid:128)(cid:73)(cid:51)l(cid:71)(cid:543)(cid:536)G(cid:207)(cid:451)(cid:43)(cid:124)D=(6km)2-4(3k2+1)(3m2-3)=0(cid:43)(cid:146)(cid:15)(cid:124)m2 =3k2+1(cid:43)
|m| 3k2+1 2
(cid:67)(cid:148)(cid:536)(cid:449)O(cid:68)(cid:73)(cid:51)l(cid:40)(cid:69)(cid:70)d = = = 3- Î[1,3)(cid:43)
k2+1 k2+1 k2+1
1 1
(cid:77)VPAB(cid:40)(cid:230)(cid:75)(cid:76)S £ (d+3)×|AB|= (d+3)×2 9-d2 = (3-d)(d+3)3 (cid:43)
VPAB 2 2
(cid:94) f(d)=(3-d)(d+3)3,1£d < 3(cid:43)(cid:100)(cid:280)(cid:124) f¢(d)=2(d+3)2(3-2d)(cid:43)3 3
(cid:85)1£d < (cid:86)(cid:43) f¢(d)>0(cid:43)(cid:464)(cid:13) f(d)(cid:317)(cid:470)(cid:346)(cid:347)(cid:43)(cid:85) <d < 3(cid:86)(cid:43) f¢(d)<0(cid:43)(cid:464)(cid:13) f(d)(cid:317)(cid:470)(cid:346)(cid:350)(cid:43)
2 2
3 27 3
(cid:123)(cid:130)(cid:85)d = (cid:86)(cid:43) f(d)(cid:129)(cid:124)(cid:83)(cid:66)(cid:84)(cid:43)(cid:130)(cid:86)(S ) = (cid:43)
2 VPAB max 4
1
(cid:85)l(cid:40)(cid:459)(cid:181)(cid:114)(cid:360)(cid:78)(cid:86)(cid:43)(cid:128)(cid:26)1(cid:31)(cid:55)(cid:43)S £ ´( 3+3)´2 6 =3 2+3 6(cid:43)
2
9 3 115 27 3 3
(cid:128)( )2-( 2+ 6)2 = -4 3>7-4 3>0(cid:43)(cid:124) >3 2+3 6(cid:43)(cid:77)d = .
4 16 4 2
(cid:121)(cid:67)(cid:51)(cid:367)AB(cid:62)(cid:178)(cid:238)(cid:60)E(cid:43)(cid:251)(cid:183)OE(cid:255)(cid:545)(cid:348)(cid:71)(cid:536)O(cid:379)(cid:67)(cid:60)F (cid:43)(cid:77)F (cid:148)(cid:536)(cid:62)(cid:71)E(cid:83)(cid:453)(cid:40)(cid:60)(cid:43)
3 3
(cid:85)E(cid:76)(cid:51)(cid:367)AB(cid:40)(cid:49)(cid:60)(cid:86)(cid:43)EF (cid:129)(cid:124)(cid:83)(cid:66)(cid:84) (cid:43)(cid:171)(cid:35)d(M,N)= .
2 2
(cid:26)ii(cid:31)(cid:123)(cid:76)H(X,Y),H(Y,Z),H(X,Z)(cid:161)(cid:360)(cid:78)(cid:43)
(cid:94)(cid:60)X ,X ÎX,Y,Y ÎY,Z ,Z ÎZ(cid:43)(cid:61)H(X,Z)= X Z ,H(Y,Z)= YZ ,H(X,Y)= X Y (cid:43)
1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2
(cid:94)Y (cid:148)(cid:229)(cid:107)Y(cid:49)(cid:68)X (cid:40)(cid:83)(cid:453)(cid:60)(cid:43)(cid:92)(cid:93)(cid:121)(cid:168)(cid:117)(cid:43)(cid:114)(cid:211)(cid:94)H(X,Y)=d(X,Y)= X Y (cid:43)
2 2 2 2
(cid:424)(cid:60)X (cid:68)(cid:229)(cid:107)Z(cid:40)(cid:83)(cid:453)(cid:60)(cid:76)Z (cid:43)(cid:60)Z (cid:68)(cid:229)(cid:107)Y(cid:40)(cid:83)(cid:453)(cid:60)(cid:76)Y (cid:43)
2 3 3 3
(cid:123)(cid:76) X Z (cid:148)(cid:229)(cid:107)X (cid:49)(cid:171)(cid:172)(cid:60)(cid:68)(cid:229)(cid:107)Z(cid:83)(cid:453)(cid:60)(cid:69)(cid:70)(cid:40)(cid:83)(cid:66)(cid:84)(cid:43)(cid:77) X Z ³ X Z (cid:43)
1 1 1 1 2 3
(cid:123)(cid:76)YZ (cid:148)(cid:229)(cid:107)Y(cid:49)(cid:171)(cid:172)(cid:60)(cid:68)(cid:229)(cid:107)Z(cid:83)(cid:453)(cid:60)(cid:69)(cid:70)(cid:40)(cid:83)(cid:66)(cid:84)(cid:43)(cid:77)YZ ³ YZ (cid:43)
1 2 1 2 3 3
(cid:123)(cid:130)H(X,Z)+H(Y,Z)= X Z +YZ ³ X Z +YZ (cid:43)
1 1 1 2 2 3 3 3
(cid:127)(cid:78)(cid:57)(cid:58)(cid:160)(cid:230)(cid:49)(cid:43) X Z +YZ ³ X Y (cid:43)(cid:126)(cid:60)Y (cid:148)(cid:229)(cid:107)Y(cid:49)(cid:68)(cid:60)X (cid:40)(cid:83)(cid:453)(cid:60)(cid:43)(cid:77) X Y ³ X Y (cid:43)
2 3 3 3 2 3 2 2 2 3 2 2
(cid:171)(cid:35)H(X,Z)+H(Y,Z)(cid:428)H(X,Y).
(cid:87)(cid:60)(cid:133)(cid:90)(cid:3)(cid:357)(cid:60)(cid:133)(cid:10)(cid:296)(cid:21)(cid:79)(cid:26)2(cid:31)(cid:218)(cid:546)(cid:339)(cid:27)(cid:72)(cid:184)(cid:218)(cid:21)(cid:43)(cid:410)(cid:547)(cid:416)(cid:548)(cid:482)(cid:21)(cid:43)(cid:15)(cid:120)(cid:83)(cid:217)(cid:69)(cid:70)(cid:40)(cid:83)(cid:66)(cid:84)(cid:40)(cid:247)(cid:184)(cid:148)(cid:120)(cid:21)
(cid:40)(cid:3)(cid:357).
18(cid:25)(cid:26)2024·(cid:27)(cid:494)(cid:549)(cid:550)(cid:551)(cid:552)·(cid:145)(cid:344)(cid:31)(cid:78)(cid:160)(cid:230)(cid:73)(cid:463)(cid:57)(cid:58)(cid:331)xOy(cid:49)(cid:43)(cid:472)(cid:27)(cid:72)(cid:184)(cid:154)(cid:60)Ax,y ,Bx ,y (cid:74)(cid:498)(cid:40)“(cid:69)(cid:70)”
1 1 2 2
(cid:76) AB = x -x + y -y (cid:43)(cid:192)(cid:193)(cid:415)(cid:68)(cid:154)(cid:72)(cid:60)F -c,0,F c,0c>0(cid:40)“(cid:69)(cid:70)”(cid:74)(cid:156)(cid:76)(cid:394)(cid:13)2aa>c(cid:40)(cid:60)(cid:40)(cid:456)
2 1 2 1 1 2
(cid:457)(cid:408)“(cid:543)(cid:536)”(cid:25)
(1)(cid:100)“(cid:543)(cid:536)”(cid:40)(cid:97)(cid:98)(cid:174)
(2)(cid:92)(cid:93)“(cid:543)(cid:536)”(cid:40)(cid:97)(cid:98)(cid:43)(cid:514)(cid:515)“(cid:543)(cid:536)”(cid:40)(cid:383)(cid:384)(cid:23)(cid:121)(cid:168)(cid:117)(cid:43)(cid:255)(cid:270)(cid:176)(cid:15)(cid:128)(cid:174)(3)(cid:94)c=1,a=2(cid:43)(cid:47)(cid:170)“(cid:543)(cid:536)”(cid:40)(cid:48)(cid:142)(cid:43)(cid:94)(cid:130)“(cid:543)(cid:536)”(cid:40)(cid:263)(cid:183)(cid:543)(cid:536)(cid:76)C,C(cid:40)(cid:446)(cid:444)(cid:60)(cid:76)A(cid:43)(cid:56)F (cid:47)(cid:73)(cid:51)(cid:379)C(cid:67)M,N
2
(cid:154)(cid:60)(cid:43)VAMN (cid:40)(cid:263)(cid:449)(cid:76)Q(cid:43)(cid:100)(cid:175)(cid:10)(cid:73)(cid:51)OQ(cid:71)MN(cid:40)(cid:459)(cid:181)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:72)(cid:84)(cid:25)
(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(1) x+c + x-c +2 y =2aa>c>0
(2)(cid:88)(cid:89)(cid:182)(cid:120)(cid:91)
(3)(cid:175)(cid:176)(cid:182)(cid:120)(cid:91)
(cid:87)(cid:53)(cid:91)(cid:90)(cid:26)1(cid:31)(cid:94)“(cid:543)(cid:536)”(cid:62)(cid:178)(cid:238)(cid:22)(cid:60)(cid:76)Px,y(cid:43)(cid:77) PF + PF =2a(cid:43)(cid:189)(cid:92)(cid:93)(cid:154)(cid:60)(cid:74)(cid:498)(cid:40)“(cid:69)(cid:70)”(cid:124)(cid:27)(cid:72)(cid:184)(cid:185)(cid:34)
1 2
(cid:124)(cid:120)(cid:174)
(cid:26)2(cid:31)(cid:44)(cid:60)(cid:53)(cid:249)(cid:95)(cid:96)(cid:185)(cid:34)(cid:102)(cid:103)(cid:45)(cid:121)(cid:168)(cid:117)(cid:43)(cid:129)(cid:361)(cid:121)(cid:84)(cid:403)(cid:9)(cid:43)(cid:203)(cid:127)(cid:34)(cid:124)(cid:170)(cid:383)(cid:384)(cid:174)
(cid:26)3(cid:31)(cid:191)(cid:100)(cid:170)(cid:543)(cid:536)(cid:97)(cid:98)(cid:43)(cid:94)(cid:73)(cid:51)MN(cid:40)(cid:97)(cid:98)(cid:76)x=my+1m0,Mx,y ,Nx ,y (cid:43)(cid:330)(cid:213)(cid:97)(cid:98)(cid:43)(cid:108)(cid:109)(cid:553)(cid:323)(cid:72)
1 1 2 2
y
(cid:15)(cid:100)(cid:170)y +y ,y y (cid:43)(cid:53)(cid:249)(cid:100)(cid:170)(cid:73)(cid:51)AM,AN (cid:40)(cid:97)(cid:98)(cid:43)(cid:94)Qx ,y (cid:43)(cid:189)(cid:177)(cid:100)(cid:170)y ,y (cid:40)(cid:3)(cid:331)(cid:43)(cid:203)(cid:127)(cid:100)(cid:170) 0 (cid:43)(cid:151)
1 2 1 2 0 0 1 2 x
0
(cid:127)(cid:34)(cid:124)(cid:170)(cid:106)(cid:137).
(cid:87)(cid:119)(cid:120)(cid:90)(cid:26)1(cid:31)(cid:94)“(cid:543)(cid:536)”(cid:62)(cid:178)(cid:238)(cid:22)(cid:60)(cid:76)Px,y(cid:43)(cid:77) PF + PF =2a(cid:43)
1 2
(cid:185) x+c + y + x-c + y =2a(cid:43)(cid:185) x+c + x-c +2 y =2aa>c>0(cid:43)
(cid:171)(cid:35)“(cid:543)(cid:536)”(cid:40)(cid:97)(cid:98)(cid:76) x+c + x-c +2 y =2aa>c>0(cid:174)
(cid:26)2(cid:31)(cid:128)(cid:97)(cid:98) x+c + x-c +2 y =2a(cid:43)(cid:124)2 y =2a- x+c - x-c (cid:43)
(cid:123)(cid:76) y ³0(cid:43)(cid:171)(cid:35)2a- x+c - x-c ³0(cid:43)(cid:185)2a³ x+c + x-c (cid:43)
ìx£-c ì-c<x<c ìx³c
(cid:171)(cid:35)í (cid:196)í (cid:196)í (cid:43)
î-x-c-x+c£2a îx+c-x+c£2a îx+c+x-c£2a
(cid:120)(cid:124)-a£x£a(cid:43)
(cid:128)(cid:97)(cid:98) x+c + x-c +2 y =2a(cid:43)(cid:124) x+c + x-c =2a-2 y (cid:43)
ì-2x,x£-c
ï
(cid:185)2a-2 y =í2c,-c<x<c(cid:43)(cid:171)(cid:35)2a-2 y ³2c(cid:43)(cid:171)(cid:35)c-a£ y£a-c(cid:43)
ï
î2x,x³c
(cid:171)(cid:35)“(cid:543)(cid:536)”(cid:40)(cid:383)(cid:384)(cid:76)-a£x£a(cid:43)c-a£ y£a-c(cid:43)
(cid:44)(cid:60)-x,y(cid:95)(cid:96)(cid:124)(cid:43) -x+c + -x-c +2 y =2a(cid:43)
(cid:185) x+c + x-c +2 y =2a(cid:43)(cid:97)(cid:98)(cid:114)(cid:141)(cid:43)(cid:171)(cid:35)“(cid:543)(cid:536)”(cid:3)(cid:67)y(cid:454)(cid:121)(cid:168)(cid:43)
(cid:44)(cid:60)x,-y(cid:95)(cid:96)(cid:124)(cid:43) x+c + x-c +2 -y =2a(cid:43)
(cid:185) x+c + x-c +2 y =2a(cid:43)(cid:97)(cid:98)(cid:114)(cid:141)(cid:43)(cid:171)(cid:35)“(cid:543)(cid:536)”(cid:3)(cid:67)x(cid:454)(cid:121)(cid:168)(cid:43)
(cid:44)(cid:60)-x,-y(cid:95)(cid:96)(cid:124)(cid:43) -x+c + -x-c +2 -y =2a(cid:43)
(cid:185) x+c + x-c +2 y =2a(cid:43)(cid:97)(cid:98)(cid:114)(cid:141)(cid:43)(cid:171)(cid:35)“(cid:543)(cid:536)”(cid:3)(cid:67)(cid:59)(cid:60)(cid:121)(cid:168)(cid:43)(cid:171)(cid:35)“(cid:543)(cid:536)”(cid:3)(cid:67)x(cid:454)(cid:43)y(cid:454)(cid:43)(cid:59)(cid:60)(cid:121)(cid:168)(cid:174)
x2 y2
(cid:26)3(cid:31)(cid:128)(cid:21)(cid:238)(cid:34)(cid:94)(cid:543)(cid:536)C(cid:40)(cid:97)(cid:98)(cid:76) + =1(cid:43)
4 b2
1 1 3
(cid:44)(cid:60)1,1(cid:95)(cid:96)(cid:124) + =1(cid:43)(cid:120)(cid:124)b2 = (cid:43)
4 b2 4
(cid:171)(cid:35)(cid:543)(cid:536)C(cid:40)(cid:97)(cid:98)(cid:76)
x2
+
3y2
=1(cid:43)F 1,0,A-2,0(cid:43)
2
4 4
(cid:128)(cid:21)(cid:238)(cid:34)(cid:94)(cid:73)(cid:51)MN(cid:40)(cid:97)(cid:98)(cid:76)x=my+1m0,Mx,y ,Nx ,y (cid:43)
1 1 2 2
ìx=my+1
(cid:330)(cid:213) ï íx2 3y2 (cid:43)(cid:124)  m2+3  y2+2my-3=0(cid:43)
ï + =1
î 4 4
Δ=4m2+12  m2+3  =16m2+36>0(cid:402)(cid:37)(cid:213)(cid:43)
2m 3
(cid:77)y +y =- ,y y =- (cid:43)
1 2 m2+3 1 2 m2+3
æx -2 y ö y y
(cid:123)(cid:76)AM (cid:40)(cid:49)(cid:60)(cid:76)ç 1 , 1÷,k = 1 = 1 (cid:43)
è 2 2 ø AM x +2 my +3
1 1
my +3
(cid:171)(cid:35)(cid:73)(cid:51)AM (cid:40)(cid:49)(cid:539)(cid:51)(cid:40)(cid:97)(cid:98)(cid:76)y=- 1 x-y (cid:43)
y 1
1
my +3
(cid:194)(cid:15)(cid:73)(cid:51)AN(cid:40)(cid:49)(cid:539)(cid:51)(cid:40)(cid:97)(cid:98)(cid:76)y=- 2 x-y (cid:43)
y 2
2
my+3
(cid:94)Qx ,y (cid:43)(cid:77)y ,y (cid:148)(cid:97)(cid:98)y =- x -y(cid:40)(cid:154)(cid:92)(cid:43)
0 0 1 2 0 y 0
(cid:185)y ,y (cid:148)(cid:97)(cid:98)y2+mx +y y+3x =0(cid:40)(cid:154)(cid:92)(cid:43)
1 2 0 0 0
(cid:171)(cid:35)y +y =-mx +y ,y y =3x (cid:43)
1 2 0 0 1 2 0
2m 3
(cid:126)(cid:123)y +y =- ,y y =- (cid:43)
1 2 m2+3 1 2 m2+3
2m 3
(cid:171)(cid:35)-mx +y =- ,3x =- (cid:43)
0 0 m2+3 0 m2+3
-mx -y 2m y
(cid:154)(cid:116)(cid:207)(cid:292)(cid:124) 0 0 = (cid:43)(cid:171)(cid:35) 0 =-3m(cid:43)
3x 3 x
0 0y 1
(cid:171)(cid:35)k ×k = 0 × =-3(cid:43)
MN OQ x m
0
(cid:171)(cid:35)(cid:73)(cid:51)OQ(cid:71)MN(cid:40)(cid:459)(cid:181)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:72)(cid:84)-3(cid:25)
(cid:87)(cid:60)(cid:133)(cid:90)(cid:97)(cid:112)(cid:60)(cid:133)(cid:10)(cid:100)(cid:72)(cid:84)(cid:218)(cid:21)(cid:394)(cid:182)(cid:40)(cid:97)(cid:112)(cid:172)(cid:154)(cid:232)(cid:10)
(cid:26)1(cid:31)(cid:151)(cid:110)(cid:554)(cid:96)(cid:366)(cid:43)(cid:100)(cid:170)(cid:72)(cid:84)(cid:43)(cid:189)(cid:175)(cid:176)(cid:235)(cid:164)(cid:84)(cid:71)(cid:141)(cid:458)(cid:375)(cid:3)(cid:174)
(cid:26)2(cid:31)(cid:73)(cid:183)(cid:337)(cid:15)(cid:23)(cid:530)(cid:288)(cid:43)(cid:255)(cid:78)(cid:530)(cid:288)(cid:337)(cid:15)(cid:40)(cid:56)(cid:98)(cid:49)(cid:399)(cid:153)(cid:141)(cid:458)(cid:43)(cid:151)(cid:127)(cid:124)(cid:68)(cid:72)(cid:84)(cid:25)
uuur uuur
19(cid:25)(cid:26)2024·(cid:430)(cid:431)(cid:27)(cid:158)·(cid:145)(cid:344)(cid:31)(cid:311)(cid:56)(cid:514)(cid:515)(cid:43)(cid:54)(cid:55)(cid:121)(cid:178)(cid:238)(cid:160)(cid:230)(cid:427)(cid:458)AB=x,y(cid:43)(cid:415)
AB
(cid:465)(cid:45)(cid:555)(cid:60)A(cid:556)(cid:466)(cid:86)(cid:467)(cid:97)(cid:427)(cid:468)
uuur
(cid:315)q(cid:463)(cid:124)(cid:68)(cid:427)(cid:458)AP=xcosq-ysinq,xsinq+ycosq(cid:43)(cid:408)(cid:36)(cid:415)(cid:60)B(cid:465)(cid:60)A(cid:466)(cid:86)(cid:467)(cid:97)(cid:427)(cid:468)(cid:315)q(cid:463)(cid:124)(cid:68)(cid:60)P(cid:43)
    π
(1)(cid:54)(cid:55)(cid:160)(cid:230)(cid:131)(cid:60)A - 3,2 3 (cid:43)(cid:60)B 3,-2 3 (cid:43)(cid:415)(cid:60)B(cid:465)(cid:60)A(cid:466)(cid:86)(cid:467)(cid:468)(cid:315) (cid:124)(cid:68)(cid:60)P(cid:43)(cid:100)(cid:60)P(cid:40)(cid:57)(cid:58)(cid:10)
3
x2 y2
(2)(cid:54)(cid:55)(cid:145)(cid:177)(cid:97)(cid:98)x2 + y2 -xy=1(cid:40)(cid:48)(cid:557)(cid:148)(cid:128)(cid:160)(cid:230)(cid:73)(cid:463)(cid:57)(cid:58)(cid:331)(cid:215)(cid:237)(cid:58)(cid:538)(cid:543)(cid:536) + =1a>b>0(cid:465)(cid:59)(cid:60)O(cid:466)
a2 b2
π
(cid:86)(cid:467)(cid:468)(cid:315) (cid:171)(cid:124)(cid:40)(cid:459)(cid:543)(cid:536)C(cid:43)
4
(cid:26)i(cid:31)(cid:100)(cid:459)(cid:543)(cid:536)C(cid:40)(cid:70)(cid:449)(cid:181)(cid:174)
æ 2 2ö
(cid:26)ⅱ(cid:31)(cid:56)(cid:60)Qç , ÷(cid:47)(cid:71)(cid:154)(cid:57)(cid:58)(cid:454)(cid:165)(cid:114)(cid:160)(cid:204)(cid:40)(cid:73)(cid:51)l (cid:379)(cid:459)(cid:543)(cid:536)C(cid:67)(cid:60)M(cid:23)N(cid:43)(cid:56)(cid:59)(cid:60)O(cid:47)(cid:73)(cid:51)l (cid:71)(cid:73)(cid:51)l
ç è 3 3 ÷ ø 1 2 1
2 1
(cid:539)(cid:73)(cid:43)(cid:73)(cid:51)l (cid:379)(cid:459)(cid:543)(cid:536)C(cid:67)(cid:60)G(cid:23)H(cid:43)(cid:102)(cid:103) + (cid:148)(cid:414)(cid:76)(cid:72)(cid:84)(cid:43)(cid:150)(cid:148)(cid:43)(cid:423)(cid:100)(cid:170)(cid:72)(cid:84)(cid:43)(cid:150)(cid:114)(cid:148)(cid:43)(cid:423)(cid:270)(cid:176)
2 MN OH 2
(cid:15)(cid:128).
(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(1) 6,3
6
(2)(cid:26)i(cid:31) (cid:174)(cid:26)ⅱ(cid:31)(cid:148)(cid:43)2
3
(cid:87)(cid:53)(cid:91)(cid:90)(cid:26)1(cid:31)(cid:401)(cid:293)(cid:171)(cid:271)(cid:72)(cid:184)(cid:530)(cid:288)(cid:185)(cid:34)(cid:124)(cid:174)
(cid:26)2(cid:31)(cid:26)i(cid:31)(cid:530)(cid:288)(cid:170)(cid:202)(cid:459)(cid:543)(cid:536)(cid:40)(cid:348)(cid:454)(cid:348)(cid:71)(cid:448)(cid:69)(cid:43)(cid:106)(cid:107)(cid:70)(cid:449)(cid:181)(cid:72)(cid:184)(cid:530)(cid:288)(cid:185)(cid:34)(cid:124)(cid:174)
(cid:26)ⅱ(cid:31)(cid:112)(cid:22)(cid:10)(cid:94)(cid:170)(cid:73)(cid:51)l (cid:23)l (cid:43)(cid:330)(cid:213)(cid:459)(cid:543)(cid:536)(cid:97)(cid:98)(cid:34)(cid:124)(cid:71)(cid:379)(cid:60)(cid:65)(cid:57)(cid:58)(cid:172)(cid:3)(cid:553)(cid:323)(cid:72)(cid:15)(cid:43)(cid:106)(cid:107)(cid:558)(cid:348)(cid:7)(cid:116)(cid:185)(cid:34)(cid:248)(cid:345)(cid:170)
1 2
2 1
+ (cid:43)(cid:530)(cid:288)(cid:185)(cid:34)(cid:124)(cid:174)
MN OH 2π
(cid:112)(cid:145)(cid:10)(cid:44)(cid:171)(cid:172)(cid:60)(cid:23)(cid:73)(cid:51)(cid:71)(cid:50)(cid:51)(cid:165)(cid:465)(cid:59)(cid:60)O(cid:420)(cid:86)(cid:467)(cid:468)(cid:315) (cid:99)(cid:43)(cid:189)(cid:94)(cid:170)(cid:73)(cid:51)l (cid:23)l (cid:468)(cid:315)(cid:99)(cid:97)(cid:98)(cid:43)(cid:330)(cid:213)(cid:58)(cid:538)(cid:97)(cid:98)
1 2
4
2 1
(cid:34)(cid:124)(cid:71)(cid:379)(cid:60)(cid:82)(cid:57)(cid:58)(cid:172)(cid:3)(cid:553)(cid:323)(cid:72)(cid:15)(cid:43)(cid:106)(cid:107)(cid:558)(cid:348)(cid:7)(cid:116)(cid:185)(cid:34)(cid:248)(cid:345)(cid:170) + (cid:43)(cid:530)(cid:288)(cid:185)(cid:34)(cid:124).
MN OH 2
uuur   uuur  
(cid:87)(cid:119)(cid:120)(cid:90)(cid:26)1(cid:31)(cid:128)(cid:54)(cid:55)(cid:34)(cid:124)AB= 2 3,-4 3 (cid:43)(cid:77)AP= 6+ 3,3-2 3 (cid:43)
uuur
(cid:94)P=x ,y (cid:43)(cid:77)AP=  x + 3,y -2 3  =  6+ 3,3-2 3  (cid:43)
0 0 0 0
(cid:171)(cid:35)x =6(cid:43)y =3(cid:43)(cid:185)(cid:60)P(cid:40)(cid:57)(cid:58)(cid:76)6,3(cid:174)
0 0
(cid:26)2(cid:31)(cid:26)i(cid:31)(cid:128)y=x(cid:71)x2 + y2 -xy=1(cid:379)(cid:60)(cid:76)1,1(cid:156)-1,-1(cid:43)(cid:77)a2 =2(cid:43)
æ 3 3ö æ 3 3ö
(cid:128)y=-x(cid:71)x2 + y2 -xy=1(cid:379)(cid:60)(cid:76)ç- , ÷(cid:156)ç ,- ÷(cid:43)
ç ÷ ç ÷
è 3 3 ø è 3 3 ø
2 3
2 4
(cid:77)b2 = (cid:43)(cid:171)(cid:35)c2 = (cid:43) 3 6 (cid:174)
3 3 e= =
2 3
2 æ 2ö
(cid:26)ⅱ(cid:31)(cid:112)(cid:22)(cid:10)(cid:94)(cid:73)(cid:51)l
1
(cid:10)y- =kç
ç
x- ÷
÷
(cid:43)Mx
1
,y
2
(cid:23)Nx
2
,y
2
(cid:43)
3 è 3ø
ì 2 æ 2ö
ïy- =kçx- ÷
(cid:71)(cid:459)(cid:543)(cid:536)x2 + y2 -xy=1(cid:330)(cid:213)(cid:10)í 3 ç è 3 ÷ ø (cid:43)
ï
îx2+y2-xy=1
(cid:172)  k2-k+1  x2+ 2 3k-2k2-1  x+ 2 1-k2-1=0(cid:43)
3 3
1
2 2k2-3k+1 k2-2k-
x +x = (cid:43) 2 2 (cid:43)
1 2 3 k2-k+1 x 1 x 2 = 3 k2-k+1
∵
MN =  1+k2éx +x 2-4xx ù
ë 1 2 1 2û
∴
é 1ù
=
 1+k2 ê
ê ê
æ
ç ç è
2
3
2
k
k
2
2
-
-
k
3k
+
+
1
1ö
÷ ÷ ø
2
-4´
2
3
k
k
2
2
×
-
2k
k
-
+1
2 ú
ú ú = k
2
2

-
1
k
+
+
k
1
2
(cid:43)
ë û
1
(cid:94)(cid:73)(cid:51)l (cid:10)y=- x(cid:43)(cid:95)(cid:96)(cid:459)(cid:543)(cid:536)x2 + y2 -xy=1(cid:43)
2
k
1 1
(cid:172)x2+ x2+ x2 =1(cid:43)
k2 k
k2 k2+1
x2 = (cid:43) OH 2 = (cid:43)
k2+k+1 k2+k+1
∴ ∴
2 1 k2-k+1 k2+k+1
(cid:101) + = + =2.
MN OH 2 k2+1 k2+1π x2 3y2
(cid:112)(cid:145)(cid:10)(cid:44)(cid:543)(cid:536)(cid:420)(cid:86)(cid:467)(cid:468)(cid:315) (cid:43)(cid:128) (cid:34)(cid:124)(cid:543)(cid:536)(cid:97)(cid:98)(cid:76) + =1(cid:43)
4 2 2
①
æ2 3 ö
(cid:60)Q(cid:468)(cid:315)(cid:99)(cid:40)(cid:57)(cid:58)(cid:76)ç ,0÷(cid:43)
ç ÷
è 3 ø
2 2 2 1
(cid:85)(cid:73)(cid:51)l (cid:468)(cid:315)(cid:99)(cid:459)(cid:181)(cid:114)(cid:360)(cid:78)(cid:86)(cid:43) MN = (cid:43) OH = 2(cid:43) + =2(cid:43)
1 3 MN OH 2
2 3
(cid:85)(cid:73)(cid:51)l (cid:468)(cid:315)(cid:99)(cid:459)(cid:181)(cid:360)(cid:78)(cid:86)(cid:43)(cid:94)(cid:73)(cid:51)l (cid:468)(cid:315)(cid:99)(cid:76)x=my+ (cid:43)
1 1
3
(cid:468)(cid:315)(cid:99)Mx,y (cid:23)Nx ,y (cid:43)
1 2 2 2
ì 2 3
ïx=my+
x2 3y2 ï 3
(cid:71)(cid:543)(cid:536)(cid:97)(cid:98) + =1(cid:330)(cid:213)(cid:43)(cid:185)í (cid:43)
2 2 ïx2 3y2
+ =1
ïî
2 2
(cid:34)(cid:124)3  m2+3  y2+4 3my-2=0(cid:43)
4 3m 2
y 1 +y 2 =- 3  m2+3  (cid:43)y 1 y 2 =- 3  m2+3 (cid:43)
6 2
 1+m2
MN = 1+m2 y +y 2-4y y = (cid:43)
1 2 1 2 3  m2+3 
(cid:94)(cid:73)(cid:51)l (cid:468)(cid:315)(cid:99)(cid:76)y=-mx(cid:43)(cid:95)(cid:96)(cid:543)(cid:536)(cid:97)(cid:98)
x2
+
3y2
=1(cid:49)(cid:43)
2
2 2
2 2+2m2
(cid:172)x2 = (cid:43) OH 2 = (cid:43)
1+3m2 1+3m2
2 1 3 2  m2+3  3m2+1
+ = + =2.
MN OH 2 6 2  m2+1  2  m2+1 
2 1
(cid:356)(cid:62)(cid:171)(cid:274)(cid:43) + =2.
MN OH 2(cid:87)(cid:60)(cid:133)(cid:90)(cid:3)(cid:357)(cid:60)(cid:60)(cid:133)(cid:10)(cid:296)(cid:21)(cid:3)(cid:357)(cid:60)(cid:78)(cid:67)(cid:121)(cid:468)(cid:315)(cid:99)(cid:40)(cid:97)(cid:98)(cid:40)(cid:15)(cid:120)(cid:71)(cid:287)(cid:109)(cid:43)(cid:83)(cid:99)(cid:22)(cid:218)(cid:34)(cid:73)(cid:183)(cid:78)(cid:468)(cid:315)(cid:99)(cid:40)(cid:459)(cid:543)(cid:536)
(cid:62)(cid:530)(cid:288)(cid:43)(cid:374)(cid:34)(cid:78)(cid:58)(cid:538)(cid:543)(cid:536)(cid:215)(cid:530)(cid:288)(cid:43)(cid:45)(cid:468)(cid:315)(cid:273)(cid:99)(cid:40)(cid:51)(cid:367)(cid:348)(cid:349)(cid:114)(cid:141).
20(cid:25)(cid:26)2024·(cid:392)(cid:393)(cid:27)(cid:559)·(cid:145)(cid:344)(cid:31)(cid:72)(cid:184)(cid:10)(cid:150)(cid:464)(cid:13) f x(cid:48)(cid:80)(cid:62)(cid:267)(cid:268)(cid:360)(cid:78)(cid:207)(cid:560)(cid:40)(cid:154)(cid:60)P(cid:43)Q(cid:63)(cid:64)(cid:50)(cid:51)y= f x(cid:78)P
(cid:156)Q(cid:144)(cid:40)(cid:451)(cid:51)(cid:472)(cid:107)(cid:43)(cid:77)(cid:168)P(cid:43)Q(cid:76)(cid:50)(cid:51)y= f x(cid:40)“(cid:445)(cid:472)(cid:451)(cid:60)”(cid:43)(cid:73)(cid:51)PQ(cid:76)(cid:50)(cid:51)y= f x(cid:40)“(cid:445)(cid:472)(cid:451)(cid:51)”(cid:25)
1
(1)(cid:73)(cid:51)y=2x(cid:148)(cid:414)(cid:76)(cid:50)(cid:51) f x=x3+ (cid:40)“(cid:445)(cid:472)(cid:451)(cid:51)”(cid:43)(cid:423)(cid:270)(cid:176)(cid:15)(cid:128)(cid:174)
x
ì 2
ïex- ,x£0,
(2)(cid:54)(cid:55)(cid:464)(cid:13)gx=í
e
(cid:100)(cid:50)(cid:51)y=gx(cid:40)“(cid:445)(cid:472)(cid:451)(cid:51)”(cid:40)(cid:97)(cid:98)(cid:174)
î ï lnx,x>0,
(3)(cid:54)(cid:55)(cid:464)(cid:13)hx=sinx(cid:43)(cid:73)(cid:51)PQ(cid:76)(cid:50)(cid:51)y=hx(cid:40)“(cid:445)(cid:472)(cid:451)(cid:51)”(cid:43)(cid:179)(cid:73)(cid:51)PQ(cid:40)(cid:459)(cid:181)(cid:171)(cid:172)(cid:34)(cid:166)(cid:40)(cid:129)(cid:84)(cid:76)k (cid:43)
1
k 15
k (cid:43)…(cid:43)k (cid:43)(cid:150)k >k >k (cid:26)i=3,4,5,×××,n(cid:31)(cid:43)(cid:175)(cid:176)(cid:10) 1 < (cid:25)
2 n 1 2 i k 8
2
(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(1)(cid:148)(cid:43)(cid:15)(cid:128)(cid:182)(cid:120)(cid:91)(cid:174)
x
(2)y= (cid:174)
e
(3)(cid:175)(cid:176)(cid:182)(cid:120)(cid:91).
(cid:87)(cid:53)(cid:91)(cid:90)(cid:26)1(cid:31)(cid:92)(cid:93)(cid:21)(cid:238)(cid:43)(cid:108)(cid:109)(cid:73)(cid:51)(cid:40)(cid:459)(cid:181)(cid:71)(cid:280)(cid:13)(cid:40)(cid:461)(cid:378)(cid:238)(cid:184)(cid:100)(cid:124)(cid:451)(cid:60)(cid:43)(cid:189)(cid:53)(cid:249)(cid:100)(cid:451)(cid:51)(cid:97)(cid:98)(cid:186)(cid:175)(cid:185)(cid:34).
(cid:26)2(cid:31)(cid:100)(cid:170)(cid:464)(cid:13)gx(cid:40)(cid:280)(cid:13)(cid:43)(cid:255)(cid:94)(cid:170)(cid:451)(cid:60)Px,y ,Qx ,y (cid:43)(cid:100)(cid:170)P,Q(cid:144)(cid:40)(cid:451)(cid:51)(cid:97)(cid:98)(cid:43)(cid:189)(cid:108)(cid:109)“(cid:445)(cid:472)(cid:451)(cid:51)”
1 1 2 2
(cid:40)(cid:72)(cid:184)(cid:100)(cid:170)(cid:451)(cid:51)(cid:97)(cid:98).
(cid:26)3(cid:31)(cid:108)(cid:109)“(cid:445)(cid:472)(cid:451)(cid:51)”(cid:40)(cid:72)(cid:184)(cid:43)(cid:53)(cid:249)(cid:94)(cid:170)k,k (cid:121)(cid:208)(cid:40)(cid:451)(cid:60)(cid:43)(cid:53)(cid:249)(cid:108)(cid:109)(cid:280)(cid:13)(cid:40)(cid:461)(cid:378)(cid:238)(cid:184)(cid:124)(cid:68)(cid:121)(cid:208)(cid:451)(cid:60)(cid:74)(cid:498)(cid:40)(cid:3)
1 2
π
(cid:331)(cid:43)(cid:189)(cid:167)(cid:32)(cid:464)(cid:13)F(x)=tanx-x+π(- <x<0)(cid:43)(cid:108)(cid:109)(cid:280)(cid:13)(cid:106)(cid:107)(cid:200)(cid:60)(cid:360)(cid:78)(cid:117)(cid:72)(cid:15)(cid:125)(cid:72)(cid:102)F(x)(cid:40)(cid:200)(cid:60)(cid:171)(cid:78)(cid:497)(cid:498)(cid:43)
2
(cid:206)(cid:99)(cid:401)(cid:293)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:337)(cid:15)(cid:185)(cid:124).
1 1
(cid:87)(cid:119)(cid:120)(cid:90)(cid:26)1(cid:31) f x=x3+ (cid:40)(cid:72)(cid:184)(cid:476)(cid:76)-¥,0È0,+¥(cid:43)(cid:100)(cid:280)(cid:124) f¢x=3x2- (cid:43)(cid:73)(cid:51)y=2x(cid:40)(cid:459)(cid:181)(cid:76)
x x2
2(cid:43)
1
(cid:424) f¢x=3x2- =2(cid:43)(cid:120)(cid:124)x=±1(cid:43)(cid:114)(cid:211)(cid:94)(cid:451)(cid:60)P-1,-2,Q1,2(cid:43)
x2
(cid:77)(cid:60)P(cid:144)(cid:40)(cid:451)(cid:51)(cid:97)(cid:98)(cid:76)y+2=2x+1(cid:43)(cid:185)y=2x(cid:43)(cid:60)Q(cid:144)(cid:40)(cid:451)(cid:51)(cid:97)(cid:98)(cid:76)y-2=2x-1(cid:43)(cid:185)y=2x(cid:43)
1
(cid:171)(cid:35)(cid:73)(cid:51)y=2x(cid:148)(cid:50)(cid:51) f x=x3+ (cid:40)“(cid:445)(cid:472)(cid:451)(cid:51)”.
x
ì 2 ìex,x<0
ïex- ,x£0 ï
(cid:26)2(cid:31)(cid:464)(cid:13)gx=í e (cid:43)(cid:100)(cid:280)(cid:124)g¢x=í1 (cid:43)
ï îlnx,x>0 ï
îx
,x>0
(cid:386)(cid:206)(cid:464)(cid:13)y=ex(cid:78)-¥,0(cid:62)(cid:317)(cid:470)(cid:346)(cid:347)(cid:43)(cid:464)(cid:13)y= 1 (cid:78)0,+¥(cid:62)(cid:317)(cid:470)(cid:346)(cid:350)(cid:43)
x
(cid:94)(cid:451)(cid:60)Px,y ,Qx ,y (cid:43)(cid:77)(cid:360)(cid:78)x <0<x (cid:43)(cid:173)(cid:124) f¢x = f¢x (cid:43)
1 1 2 2 1 2 1 2
(cid:77)(cid:78)(cid:60)P(cid:144)(cid:40)(cid:451)(cid:51)(cid:97)(cid:98)(cid:76)y-(ex1 - 2 )=ex1(x-x )(cid:43)(cid:78)(cid:60)Q(cid:144)(cid:40)(cid:451)(cid:51)(cid:97)(cid:98)(cid:76)y-lnx = 1 x-x  (cid:43)
e 1 2 x 2
2
ì 1
ï
ex1 =
ï x 2
(cid:123)(cid:130)í 2 (cid:43)(cid:399)(cid:153)x(cid:34)(cid:124)ex1 -xex1 +x - +1=0(cid:43)
ï 2 2 1 1 e
ex1 -ex1x - =lnx -1
ïî 1 e 2
2
(cid:424)kx=ex-xex+x- +1x<0(cid:43)(cid:100)(cid:280)(cid:124)k¢(x)=ex-(1+x)ex+1=-xex+1>0(cid:43)
e
(cid:77)(cid:464)(cid:13)kx(cid:78)-¥,0(cid:62)(cid:317)(cid:470)(cid:346)(cid:347)(cid:43)(cid:126)k-1=0(cid:43)(cid:464)(cid:13)kx(cid:40)(cid:200)(cid:60)(cid:76)-1(cid:43)(cid:123)(cid:130)x =-1,x =e(cid:43)
1 2
x
(cid:171)(cid:35)(cid:50)(cid:51)y=gx(cid:40)“(cid:445)(cid:472)(cid:451)(cid:51)”(cid:40)(cid:97)(cid:98)(cid:76)y=
.
e
(cid:26)3(cid:31)(cid:94)k (cid:121)(cid:208)(cid:40)(cid:451)(cid:60)(cid:76)(t ,sint ),(s,sins ),t <s (cid:43)k (cid:121)(cid:208)(cid:40)(cid:451)(cid:60)(cid:76)(t ,sint ),(s ,sins ),t <s (cid:43)
1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2
(cid:128)sinx¢ =cosx(cid:43)(cid:124)k =cost =coss (cid:43)k =cost =coss (cid:43)
1 1 1 2 2 2
π
(cid:128)(cid:561)(cid:280)(cid:7)(cid:116)(cid:339)(cid:158)(cid:558)(cid:464)(cid:13)(cid:40)(cid:499)(cid:500)(cid:117)(cid:55)(cid:43)(cid:222)(cid:139)(cid:29)(cid:275)t +s =2π(cid:43)t +s =4π(cid:43)(cid:45)(cid:49)t ,t Î(- ,0)(cid:43)
1 1 2 2 1 2 2
æ π ö π
(cid:128)k >k (cid:339)(cid:158)(cid:558)(cid:464)(cid:13)(cid:78)ç- ,0÷(cid:62)(cid:346)(cid:347)(cid:55)(cid:43)- <t <t <0(cid:43)
1 2 è 2 ø 2 2 1
sins -sint sin2π-t -sint 2sint sint
(cid:77)k = 1 1 = 1 1 =- 1 =- 1 (cid:43)
1 s -t 2π-t -t 2π-2t π-t
1 1 1 1 1 1
sins -sint sin4π-t -sint 2sint sint
k = 2 2 = 2 2 =- 2 =- 2 (cid:43)
2 s -t 4π-t -t 4π-2t 2π-t
2 2 2 2 2 2
k sint 2π-t sint sint
(cid:123)(cid:130) 1 = 1 × 2 (cid:43)(cid:126)k =cost =- 1 (cid:43)k =cost =- 2 (cid:43)
k sint π-t 1 1 π-t 2 2 2π-t
2 2 1 1 2
(cid:77)sint =(t -π)cost Ûtant -t +π=0(cid:43)(cid:194)(cid:15)tant -t +2π=0(cid:43)
1 1 1 1 1 2 2
π 1 sin2x
(cid:424)Fx=tanx-x+π(- <x<0)(cid:43)(cid:100)(cid:280)(cid:124)F¢x= -1= =tan2x>0(cid:43)
2 cos2x cos2x
(cid:77)Fx(cid:78)(- π ,0)(cid:62)(cid:317)(cid:470)(cid:346)(cid:347)(cid:43)(cid:386)(cid:206)F(- π )>0(cid:43)(cid:61)F(x)<tanx+ 3π (cid:43)
2 3 23π π 3π π π π
(cid:464)(cid:13)y=tanx+ (cid:78)(- ,0)(cid:62)(cid:40)(cid:84)(cid:476)(cid:76)(-¥, )(cid:43)(cid:185)(cid:464)(cid:13)F(x)(cid:78)(- ,0)(cid:62)(cid:360)(cid:78)(cid:200)(cid:60)(cid:43)(cid:77)(cid:172)- <t <- (cid:43)
2 2 2 2 2 1 3
π π π π
(cid:128)tant -t +2π=0(cid:43)(cid:194)(cid:15)(cid:34)(cid:124)- <t <- (cid:43)(cid:127)t <t (cid:43)(cid:123)(cid:130)- <t <t <- (cid:43)
2 2 2 2 3 2 1 2 2 1 3
sint
(cid:67)(cid:148)sint <sint <0(cid:43)(cid:185)(cid:172)0< 1 <1(cid:43)
2 1 sint
2
π
2π+
(cid:171)(cid:35) k 1 = sint 1 × 2π-t 2 < 2π-t 2 < 2 = 15 (cid:43)(cid:185) k 1 < 15 .
k sint π-t π-t π 8 k 8
2 2 1 1 π+ 2
3
(cid:87)(cid:60)(cid:133)(cid:90)(cid:3)(cid:357)(cid:60)(cid:60)(cid:133)(cid:10)(cid:296)(cid:21)(cid:100)(cid:120)(cid:40)(cid:3)(cid:357)(cid:60)(cid:172)(cid:154)(cid:164)(cid:10)(cid:22)(cid:148)(cid:108)(cid:109)(cid:280)(cid:13)(cid:40)(cid:461)(cid:378)(cid:238)(cid:184)(cid:100)(cid:120)(cid:451)(cid:51)(cid:40)(cid:459)(cid:181)(cid:174)(cid:145)(cid:148)(cid:94)(cid:451)(cid:60)
Px,y ,Qx ,y (cid:255)(cid:108)(cid:109) f¢x = f¢x (cid:156)(cid:451)(cid:51)(cid:97)(cid:98)(cid:124)(cid:68)x,x (cid:74)(cid:498)(cid:40)(cid:115)(cid:116)(cid:43)(cid:203)(cid:127)(cid:399)(cid:153)(cid:22)(cid:164)(cid:562)(cid:55)(cid:13)(cid:43)(cid:167)(cid:32)(cid:464)(cid:13)
1 1 2 2 1 2 1 2
(cid:108)(cid:109)(cid:280)(cid:13)(cid:40)(cid:117)(cid:118)(cid:100)(cid:124)(cid:97)(cid:98)(cid:40)(cid:200)(cid:60).
21(cid:25)(cid:26)2024·(cid:62)(cid:419)(cid:348)(cid:563)·(cid:145)(cid:344)(cid:31)(cid:94)(cid:464)(cid:13)y= f x(cid:40)(cid:72)(cid:184)(cid:476)(cid:76)D(cid:43)(cid:150)(cid:360)(cid:78)(cid:418)(cid:13)k(cid:43)(cid:173)(cid:124)(cid:121)(cid:67)(cid:178)(cid:238)xÎD(cid:43)(cid:165)(cid:172) f x£k(cid:43)
f x
(cid:77)(cid:168)(cid:464)(cid:13)y= f x(cid:172)(cid:62)(cid:564)(cid:43)(cid:418)(cid:13)k(cid:40)(cid:83)(cid:217)(cid:84)(cid:76)(cid:464)(cid:13)y= f x(cid:40)(cid:62)(cid:125)(cid:564)(cid:174)(cid:179)(cid:229)(cid:107)M ={ f x y= (cid:78)(cid:497)(cid:498)
n xn
0,+¥(cid:62)(cid:148)(cid:565)(cid:566)(cid:347)(cid:464)(cid:13)}(cid:174)
2
(1)(cid:100)(cid:464)(cid:13)y= (2< x<6)(cid:40)(cid:62)(cid:125)(cid:564)(cid:174)
x-1
(2)(cid:150) f x= x3-hx2+2xlnxÎM (cid:43)(cid:100)h(cid:40)(cid:83)(cid:66)(cid:84)(cid:174)
1
(3)(cid:94)(cid:464)(cid:13)y= f x(cid:22)(cid:72)(cid:184)(cid:476)(cid:76)0,+¥(cid:174)(cid:150) f xÎM (cid:43)(cid:61)y= f x(cid:172)(cid:62)(cid:564)(cid:43)(cid:100)(cid:175)(cid:10) f x<0(cid:43)(cid:61)(cid:360)(cid:78)(cid:464)(cid:13)
2
y= f x(cid:43)(cid:254)(cid:40)(cid:62)(cid:125)(cid:564)(cid:76)0(cid:174)
(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(1)2
(2)4
(3)(cid:175)(cid:176)(cid:182)(cid:120)(cid:91)
(cid:87)(cid:53)(cid:91)(cid:90)(cid:26)1(cid:31)(cid:128)(cid:464)(cid:13)(cid:40)(cid:317)(cid:470)(cid:117)(cid:100)(cid:170)(cid:84)(cid:476)(cid:189)(cid:92)(cid:93)(cid:21)(cid:238)(cid:34)(cid:124)(cid:174)
f x f x
(cid:26)2(cid:31)(cid:100)(cid:170)y= (cid:40)(cid:248)(cid:323)(cid:116)(cid:43)(cid:100)(cid:280)(cid:43)(cid:189)(cid:108)(cid:109)y= (cid:78)0,+¥(cid:62)(cid:565)(cid:566)(cid:346)(cid:347)(cid:124)(cid:68)(cid:280)(cid:464)(cid:13)(cid:66)(cid:67)(cid:115)(cid:67)(cid:200)(cid:402)(cid:37)(cid:213)(cid:43)
x xn
(cid:206)(cid:99)(cid:108)(cid:109)(cid:298)(cid:296)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:100)(cid:170)(cid:83)(cid:217)(cid:84)(cid:185)(cid:34)(cid:174)
f x  f x  kx2 f x  f x 
(cid:26)3(cid:31)(cid:214)(cid:94)(cid:360)(cid:78)(cid:43)(cid:128)(cid:317)(cid:470)(cid:117)(cid:34)(cid:124) 1 > 0 >0(cid:43)(cid:189)(cid:129)x >x (cid:43)(cid:61)x > 1 (cid:34)(cid:124) 2 > 1 (cid:43)(cid:337)(cid:170)
x2 x2 2 1 2 f x  x2 x2
1 0 1 2 1
1
(cid:567)(cid:207)(cid:282)(cid:283)(cid:43)(cid:206)(cid:99)(cid:424) f x=- ,x>0(cid:43)(cid:92)(cid:93)(cid:21)(cid:238)(cid:100)(cid:170)(cid:84)(cid:476)(cid:83)(cid:99)(cid:125)(cid:72)(cid:62)(cid:125)(cid:564)(cid:185)(cid:34).
x
①②
2
(cid:87)(cid:119)(cid:120)(cid:90)(cid:26)1(cid:31)(cid:123)(cid:76)(cid:464)(cid:13)y= (cid:78)(cid:497)(cid:498)2,6(cid:62)(cid:565)(cid:566)(cid:346)(cid:350)(cid:43)
x-12 æ2 ö
(cid:171)(cid:35)(cid:464)(cid:13)y= (2< x<6)(cid:40)(cid:84)(cid:476)(cid:76)ç ,2÷(cid:43)
x-1 è5 ø
2
(cid:171)(cid:35)(cid:464)(cid:13)y= (2< x<6)(cid:40)(cid:62)(cid:125)(cid:564)(cid:76)2.
x-1
f x 2
(cid:26)2(cid:31)y= =x2-hx+2lnx(cid:43)y¢=2x-h+ ,x>0(cid:43)
x x
f x
(cid:123)(cid:76)(cid:179)(cid:229)(cid:107)M ={ f x y= (cid:78)(cid:497)(cid:498)0,+¥(cid:62)(cid:148)(cid:565)(cid:566)(cid:347)(cid:464)(cid:13)}(cid:43)
n xn
(cid:171)(cid:35)y¢ ³0(cid:402)(cid:37)(cid:213)(cid:43)
2 2
(cid:123)(cid:76)2x-h+ ³2 2x´ -h=4-h(cid:43)(cid:85)(cid:61)(cid:201)(cid:85)x=1(cid:86)(cid:129)(cid:115)(cid:9)(cid:43)(cid:171)(cid:35)h£4(cid:43)
x x
(cid:171)(cid:35)h(cid:40)(cid:83)(cid:66)(cid:84)(cid:76)4.
(cid:26)3(cid:31)(cid:175)(cid:176)(cid:10)(cid:123)(cid:76)(cid:464)(cid:13)y= f x(cid:172)(cid:62)(cid:564)(cid:43)(cid:94) f x£k(cid:43)
(cid:214)(cid:94)(cid:360)(cid:78)x Î0,+¥(cid:43)(cid:173)(cid:124) f x ³0(cid:43)
0 0
(cid:94)x >x (cid:43)
1 0
f x f x  f x 
(cid:123)(cid:76)y= f xÎM (cid:43)(cid:171)(cid:35)y= (cid:78)0,+¥(cid:62)(cid:565)(cid:566)(cid:346)(cid:347)(cid:43)(cid:203)(cid:127) 1 > 0 >0(cid:43)
2 x2 x2 x2
1 0
(cid:124) f x >0,k >0(cid:43)
1
kx2
(cid:129)x >x (cid:43)(cid:61)x > 1 (cid:43)
2 1 2 f x 
1
f x  f x 
(cid:128)(cid:67)x >x (cid:43)(cid:124)(cid:68) 2 > 1 (cid:43)
2 1 x2 x2
2 1
①
kx2 f x  k f x 
(cid:128)x > 1 (cid:43)(cid:124) 1 > ³ 2 (cid:43)
2 f x  x2 x2 x2
1 1 2 2
②
(cid:386)(cid:206) (cid:154)(cid:116)(cid:282)(cid:283)(cid:43)(cid:171)(cid:35)(cid:214)(cid:94)(cid:114)(cid:37)(cid:213)(cid:43)
(cid:185)(cid:121)①(cid:178)(cid:238)②xÎ0,+¥(cid:43)(cid:161)(cid:172) f x<0(cid:43)
1 f x 1
(cid:424) f x=- ,x>0(cid:43)(cid:77)y= =- (cid:43)
x x2 x3
3
(cid:123)(cid:76)(cid:85)x>0(cid:86)(cid:43)y¢= >0(cid:43)
x4
f x
(cid:171)(cid:35)y= (cid:78)0,+¥(cid:62)(cid:565)(cid:566)(cid:346)(cid:347)(cid:43)y= f xÎM (cid:43)
x2 2
1
(cid:123)(cid:76) f x=- ,x>0(cid:40)(cid:84)(cid:476)(cid:76)-¥,0(cid:43)
x
1
(cid:171)(cid:35)(cid:464)(cid:13) f x=- (cid:40)(cid:62)(cid:125)(cid:564)(cid:76)(cid:200).
x(cid:87)(cid:60)(cid:133)(cid:90)(cid:3)(cid:357)(cid:60)(cid:60)(cid:133)(cid:10)
(cid:26)1(cid:31)(cid:79)(cid:145)(cid:218)(cid:40)(cid:3)(cid:357)(cid:148)(cid:280)(cid:464)(cid:13)(cid:66)(cid:67)(cid:115)(cid:67)(cid:200)(cid:402)(cid:37)(cid:213)(cid:43)(cid:109)(cid:298)(cid:296)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:100)(cid:120)(cid:174)
kx2 f x  k f x 
(cid:26)2(cid:31)(cid:79)(cid:236)(cid:218)(cid:3)(cid:357)(cid:148)(cid:92)(cid:93)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:40)(cid:106)(cid:167)(cid:166)(cid:385)(cid:359)(cid:68)(cid:129)x > 1 (cid:43)(cid:189)(cid:124)(cid:68) 1 > ³ 2 (cid:71)(cid:85)x >x (cid:43)(cid:124)
2 f x  x2 x2 x2 2 1
1 1 2 2
f x  f x 
(cid:68) 2 > 1 (cid:282)(cid:283).
x2 x2
2 1