专题02复数-2024年高考数学真题题源解密（新高考卷）解析版_2024-2025高三（6-6月题库）_2024年08月试卷_08202025版《真题题源解密-专题分类》数学

专题 02 复数 命题解读 考向 考查统计 2022·新高考Ⅰ卷，2 共轭复数、复数的除法运算 2023·新高考Ⅰ卷，2 高考对复数的考查，重点是复数的运 2024新高考Ⅰ卷，2 算、概念、复数的模、复数的几何意义 复数的乘法运算 2022·新高考Ⅱ卷，2 等，难度较低. 复数的几何意义 2023新高考Ⅱ卷，1 复数的模 2024·新高考Ⅱ卷，1 命题分析 2024年高考新高考Ⅰ卷考查复数的运算，但是需要一些运算技巧，否则有些计算量。Ⅱ卷考查复数的模 的计算，属于基础考查。复数考查应关注：（1）复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含 义．（2）复数的四则运算。预计2025年高考还是主要考查复数的概念、复数的运算、复数的代数表示法 及其几何意义、复数的模。 试题精讲 z 1(cid:22)(cid:23)2024(cid:24)(cid:25)(cid:26)Ⅰ(cid:27)·2(cid:28)(cid:29) =1+i(cid:30)(cid:31)z=(cid:23) (cid:28) z-1 A(cid:22)-1-i B(cid:22)-1+i C(cid:22)1-i D(cid:22)1+i (cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)C (cid:32)(cid:36)(cid:37)(cid:35)(cid:38)(cid:39)(cid:13)(cid:40)(cid:31)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:31)(cid:44)(cid:45)(cid:41)(cid:42)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49). z z-1+1 1 1 (cid:32)(cid:50)(cid:49)(cid:35)(cid:51)(cid:52) = =1+ =1+i(cid:30)(cid:53)(cid:54)z=1+ =1-i. z-1 z-1 z-1 i (cid:55)(cid:20)(cid:10)C. 2(cid:22)(cid:23)2024(cid:24)(cid:25)(cid:26)Ⅱ(cid:27)·1(cid:28)(cid:56)(cid:57)z=-1-i(cid:30)(cid:31) z =(cid:23) (cid:28) A(cid:22)0 B(cid:22)1 C(cid:22) 2 D(cid:22)2 (cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)C (cid:32)(cid:36)(cid:37)(cid:35)(cid:38)(cid:39)(cid:13)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:42)(cid:7)(cid:61)(cid:44)(cid:45)(cid:60)(cid:42)(cid:46)(cid:47).(cid:32)(cid:50)(cid:49)(cid:35)(cid:29)z=-1-i(cid:30)(cid:31) z = -12+-12 = 2 . (cid:55)(cid:20)(cid:10)C. 1(cid:22)(cid:23)2022(cid:24)(cid:25)(cid:26)Ⅰ(cid:27)·2(cid:28)(cid:29)i(1-z)=1(cid:30)(cid:31)z+z =(cid:23) (cid:28) A(cid:22)-2 B(cid:22)-1 C(cid:22)1 D(cid:22)2 (cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)D (cid:32)(cid:36)(cid:37)(cid:35)(cid:62)(cid:63)(cid:39)(cid:13)(cid:59)(cid:64)(cid:43)(cid:47)(cid:48)z(cid:30)(cid:65)(cid:66)(cid:47)(cid:48)z+z . 1 i (cid:32)(cid:50)(cid:49)(cid:35)(cid:38)(cid:21)(cid:67)(cid:68)1-z= = =-i(cid:30)(cid:55)z=1+i(cid:30)(cid:55)z+z =1+i+1-i=2(cid:30) i i2 (cid:55)(cid:20)(cid:10)D 1-i 2(cid:22)(cid:23)2023(cid:24)(cid:25)(cid:26)Ⅰ(cid:27)·2(cid:28)(cid:56)(cid:57)z= (cid:30)(cid:31) z-z=(cid:23) (cid:28) 2+2i A(cid:22)-i B(cid:22)i C(cid:22)0 D(cid:22)1 (cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)A (cid:32)(cid:36)(cid:37)(cid:35)(cid:69)(cid:70)(cid:39)(cid:13)(cid:59)(cid:64)(cid:43)(cid:41)(cid:42)(cid:48)(cid:71)z(cid:30)(cid:72)(cid:38)(cid:73)(cid:74)(cid:39)(cid:13)(cid:59)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:78) z (cid:30)(cid:65)(cid:66)(cid:49)(cid:71)(cid:22) 1-i 1-i1-i -2i 1 1 (cid:32)(cid:50)(cid:49)(cid:35)(cid:51)(cid:52)z= 2+2i = 21+i1-i = 4 =- 2 i(cid:30)(cid:53)(cid:54)z= 2 i(cid:30)(cid:46) z-z=-i (cid:22) (cid:55)(cid:20)(cid:10)A(cid:22) 3(cid:22)(cid:23)2022(cid:24)(cid:25)(cid:26)Ⅱ(cid:27)·2(cid:28)(2+2i)(1-2i)=(cid:23) (cid:28) A(cid:22)-2+4i B(cid:22)-2-4i C(cid:22)6+2i D(cid:22)6-2i (cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)D (cid:32)(cid:36)(cid:37)(cid:35)(cid:62)(cid:63)(cid:39)(cid:13)(cid:59)(cid:79)(cid:43)(cid:47)(cid:48)2+2i1-2i. (cid:32)(cid:50)(cid:49)(cid:35)2+2i1-2i=2+4-4i+2i=6-2i(cid:30) (cid:55)(cid:20)(cid:10)D. 4(cid:22)(cid:23)2023(cid:24)(cid:25)(cid:26)Ⅱ(cid:27)·1(cid:28)(cid:80)(cid:39)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:30)1+3i3-i(cid:84)(cid:85)(cid:59)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:23) (cid:28)(cid:22) A(cid:22)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:92) B(cid:22)(cid:89)(cid:93)(cid:91)(cid:92) C(cid:22)(cid:89)(cid:94)(cid:91)(cid:92) D(cid:22)(cid:89)(cid:40)(cid:91)(cid:92) (cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)A (cid:32)(cid:36)(cid:37)(cid:35)(cid:69)(cid:70)(cid:39)(cid:13)(cid:59)(cid:79)(cid:43)(cid:95)(cid:96)(cid:39)(cid:13)(cid:59)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:36)(cid:37)(cid:101)(cid:102). (cid:32)(cid:50)(cid:49)(cid:35)(cid:51)(cid:52)1+3i3-i=3+8i-3i2 =6+8i(cid:30) (cid:31)(cid:53)(cid:48)(cid:39)(cid:13)(cid:84)(cid:85)(cid:59)(cid:86)(cid:52)6,8(cid:30)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:92).(cid:55)(cid:20)(cid:10)A. (cid:90)(cid:103)(cid:39)(cid:13)(cid:59)(cid:75)(cid:76) (cid:23)1(cid:28)i(cid:104)(cid:105)(cid:13)(cid:106)(cid:87)(cid:30)(cid:107)(cid:108)i2 =-1(cid:30)(cid:109)kÎZ (cid:110)(cid:30)i4k =1,i4k+1 =i,i4k+2 = -1,i4k+3 = -i (cid:22) (cid:23)2(cid:28)(cid:111)(cid:112)a+bi(a,bÎR)(cid:59)(cid:13)(cid:104)(cid:39)(cid:13)(cid:30)(cid:113)(cid:114)a+biÎC(cid:22) (cid:39)(cid:13)z = a+bi(a,bÎR)(cid:115)(cid:39)(cid:81)(cid:82)(cid:116)(cid:59)(cid:86)Z(a,b) (cid:90)(cid:90)(cid:84)(cid:85)(cid:30) a (cid:104)z(cid:59)(cid:117)(cid:118)(cid:30)b(cid:104)z(cid:59)(cid:105)(cid:118)(cid:119)b=0Û zÎR,Z ①(cid:86)(cid:120)(cid:121)(cid:117)(cid:122)(cid:119)b¹0,z (cid:104)(cid:105)(cid:13)(cid:119)b¹0(cid:123)a=0(cid:30)z(cid:104)(cid:124)(cid:105)(cid:13)(cid:30)(cid:124)(cid:105)(cid:13)(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:120)(cid:121)(cid:105)(cid:122)(cid:23)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:128)(cid:86)(cid:28)(cid:22)(cid:129)(cid:130)(cid:117) (cid:118)(cid:131)(cid:132)(cid:30)(cid:105)(cid:118)(cid:133)(cid:52)(cid:131)(cid:134)(cid:13)(cid:59)(cid:39)(cid:13)(cid:133)(cid:52)(cid:73)(cid:74)(cid:39)(cid:13)(cid:22) ìa=c (cid:129)(cid:130)(cid:39)(cid:13)a+bi,c+di(a,b,c,dÎR)(cid:131)(cid:132)Ûí (cid:23)(cid:129)(cid:39)(cid:13)(cid:84)(cid:85)(cid:135)(cid:90)(cid:86)(cid:28) îb=d ② uuur uuur (cid:39)(cid:13)(cid:59)(cid:58)(cid:10)(cid:39)(cid:13)a+bi(a,bÎR)(cid:59)(cid:58)(cid:30)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:140)OZ (cid:59)(cid:58)(cid:30)(cid:46)(cid:68)(cid:139)(cid:141)(cid:142)OZ (cid:59)(cid:143)(cid:144)(cid:30)(cid:145)(cid:60)(cid:42)(cid:7)(cid:61)(cid:52) ③ |z|=|a+bi|= a2+b2 (cid:30)(cid:146)(cid:147)(cid:30)|z|=|a-bi|= a2+b2,z×z=a2+b2(cid:22) (cid:93)(cid:103)(cid:39)(cid:13)(cid:59)(cid:148)(cid:103)(cid:149)(cid:103)(cid:79)(cid:103)(cid:64)(cid:59)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:31) 1(cid:103)(cid:39)(cid:13)(cid:41)(cid:42) (cid:23)1(cid:28)(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i (cid:23)2(cid:28)(a+bi)×(c+di)=(ac-bd)+(ad +bc)i ì(a+bi)×(a-bi)=z×z=a2 +b2 =|z|2 ïï í((cid:4)(cid:99)z2 =|z|2) ï ïî z+z=2a (cid:145)(cid:150)|z|= a2+b2 (cid:30)(cid:104)z(cid:59)(cid:58)(cid:119)z = a-bi(cid:138)z=a+bi(cid:59)(cid:73)(cid:74)(cid:39)(cid:13)(a,bÎR)(cid:22) a+bi (a+bi)×(c-di) (ac+bd)+(bc-ad)i (cid:23)3(cid:28) = = (c2 +d2 ¹0)(cid:22) c+di (c+di)×(c-di) c2 +d2 (cid:117)(cid:13)(cid:59)(cid:151)(cid:118)(cid:41)(cid:42)(cid:152)(cid:23)(cid:148)(cid:43)(cid:153)(cid:79)(cid:43)(cid:59)(cid:154)(cid:155)(cid:152)(cid:103)(cid:95)(cid:96)(cid:152)(cid:103)(cid:36)(cid:156)(cid:152)(cid:157)(cid:158)(cid:13)(cid:159)(cid:13)(cid:160)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:31)(cid:28)(cid:161)(cid:162)(cid:63)(cid:88)(cid:39)(cid:13)(cid:22) (cid:4)(cid:99)(cid:10)(cid:39)(cid:13)(cid:148)(cid:103)(cid:149)(cid:43)(cid:59)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100) uuuur uuuur uuur (cid:54)(cid:39)(cid:13) z ,z (cid:36)(cid:163)(cid:84)(cid:85)(cid:59)(cid:139)(cid:140)OZ,OZ (cid:52)(cid:164)(cid:165)(cid:114)(cid:81)(cid:166)(cid:40)(cid:165)(cid:111) OZ ZZ (cid:30)(cid:84)(cid:167)(cid:141)OZ (cid:168)(cid:169)(cid:59)(cid:139)(cid:140)OZ (cid:137)(cid:138)(cid:39)(cid:13) 1 2 1 2 1 2 uuuuur z +z (cid:53)(cid:84)(cid:85)(cid:59)(cid:139)(cid:140)(cid:22) z -z (cid:84)(cid:85)(cid:59)(cid:139)(cid:140)(cid:138)ZZ (cid:22) 1 2 1 2 2 1 2(cid:103)(cid:39)(cid:13)(cid:59)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100) (cid:23)1(cid:28)(cid:39)(cid:13)z = a+bi(a,bÎR)(cid:84)(cid:85)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:59)(cid:86)z(a,b)(cid:119) uuur (cid:23)2(cid:28)(cid:39)(cid:13)z = a+bi(a,bÎR)(cid:84)(cid:85)(cid:81)(cid:82)(cid:139)(cid:140)OZ (cid:119)(cid:23)3(cid:28)(cid:39)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:117)(cid:122)(cid:116)(cid:59)(cid:86)(cid:168)(cid:169)(cid:117)(cid:13)(cid:30)(cid:64)(cid:128)(cid:86)(cid:170)(cid:105)(cid:122)(cid:116)(cid:59)(cid:86)(cid:168)(cid:169)(cid:105)(cid:13)(cid:30)(cid:171)(cid:91)(cid:92)(cid:83)(cid:59)(cid:86)(cid:161)(cid:168)(cid:169)(cid:39)(cid:13)(cid:22) (cid:23)4(cid:28)(cid:39)(cid:13)z = a+bi(a,bÎR)(cid:59)(cid:58)|z|(cid:168)(cid:169)(cid:39)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:59)(cid:86)z(a,b)(cid:78)(cid:128)(cid:86)(cid:59)(cid:172)(cid:173)(cid:22) (cid:94)(cid:103)(cid:117)(cid:174)(cid:13)(cid:90)(cid:175)(cid:93)(cid:176)(cid:177)(cid:178) 1(cid:103)(cid:117)(cid:174)(cid:13)(cid:90)(cid:175)(cid:93)(cid:176)(cid:177)(cid:178)ax2 +bx+c=0(a,b,cÎR,a¹0)(cid:150)(cid:59)=b2 -4ac(cid:52)(cid:69)(cid:59)(cid:101)(cid:163)(cid:61)(cid:30)(cid:179)(cid:180) -b± b2 -4ac (cid:23)1(cid:28)0Û(cid:177)(cid:178)(cid:68)(cid:129)(cid:130)(cid:125)(cid:131)(cid:132)(cid:59)(cid:117)(cid:69) (cid:119) 2a b (cid:23)2(cid:28)=0Û(cid:177)(cid:178)(cid:68)(cid:129)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:59)(cid:117)(cid:69)- (cid:119) 2a -b± 4ac-b2i (cid:23)3(cid:28)0Û(cid:177)(cid:178)(cid:68)(cid:129)(cid:130)(cid:73)(cid:74)(cid:105)(cid:69) (cid:30) 2a (cid:48)(cid:49)(cid:39)(cid:13)(cid:181)(cid:116)(cid:59)(cid:177)(cid:178)(cid:59)(cid:177)(cid:43)(cid:10) (cid:67)z = x+ yi(x,yÎR)(cid:16)(cid:182)(cid:52)(cid:117)(cid:13)(cid:177)(cid:178)(cid:183)(cid:49)(cid:184)(cid:22) ①(cid:185)z(cid:186)(cid:121)(cid:90)(cid:130)(cid:187)(cid:57)(cid:13)(cid:23)(cid:66)(cid:125)(cid:138)(cid:117)(cid:118)(cid:153)(cid:105)(cid:118)(cid:129)(cid:130)(cid:187)(cid:57)(cid:13)(cid:28)(cid:30)(cid:63)(cid:39)(cid:13)(cid:59)(cid:188)(cid:189)(cid:183)(cid:190)(cid:111)(cid:22) (cid:84)(cid:93)(cid:176)(cid:177)(cid:178)(cid:30)(cid:44)(cid:45)(cid:63)(cid:90)(cid:175)(cid:93)(cid:176)(cid:177)(cid:178)(cid:59)(cid:48)(cid:69)(cid:7)(cid:61)(cid:22) ② 2(cid:103)(cid:117)(cid:174)(cid:13)(cid:90)(cid:175)(cid:93)(cid:176)(cid:177)(cid:178)(cid:59)(cid:69)(cid:115)(cid:174)(cid:13)(cid:59)(cid:3)(cid:174)(cid:23)(cid:191)(cid:192)(cid:193)(cid:15)(cid:28) ③ (cid:23)1(cid:28)(cid:109) =b2 -4ac ³0(cid:110)(cid:30)(cid:177)(cid:178)(cid:59)(cid:129)(cid:130)(cid:117)(cid:69)(cid:107)(cid:108)(cid:191)(cid:192)(cid:193)(cid:15) b c x +x =- (cid:30)x x = (cid:194) 1 2 a 1 2 a (cid:23)2(cid:28)(cid:109) =b2 -4ac 0(cid:110)(cid:30)(cid:177)(cid:178)(cid:59)(cid:129)(cid:130)(cid:73)(cid:74)(cid:105)(cid:13)(cid:69)x (cid:103)x (cid:30)(cid:31) 1 2 b x +x = x +x =2Rex =- (cid:30) 1 2 1 1 1 a 2 æ-bö 2 æ 4ac-b2 ö c x x = x ×x = x 2 = ç ÷ +ç ÷ = (cid:194) 1 2 1 1 1 è2aø ç 2a ÷ a è ø (cid:195)(cid:116)(cid:53)(cid:196)(cid:30)(cid:197)(cid:198)(cid:177)(cid:178)(cid:59)(cid:101)(cid:163)(cid:61)b2 -4ac(cid:59)(cid:199)(cid:9)(cid:112)(cid:98)(cid:30)(cid:191)(cid:192)(cid:193)(cid:15)(cid:161)(cid:121)(cid:200)(cid:30)(cid:88)(cid:138)(cid:191)(cid:192)(cid:193)(cid:15)(cid:201)(cid:202)(cid:203)(cid:204)(cid:78)(cid:39)(cid:13)(cid:69)(cid:59) (cid:205)(cid:206)(cid:30)(cid:46)(cid:117)(cid:174)(cid:13)(cid:90)(cid:175)(cid:93)(cid:176)(cid:177)(cid:178)ax2 +bx+c=0(cid:23)a(cid:103)b(cid:103)cÎR(cid:123)a ¹0(cid:28)(cid:59)(cid:129)(cid:130)(cid:69)(cid:115)(cid:174)(cid:13)(cid:107)(cid:108)(cid:3)(cid:174) b c x +x =- (cid:30)x x = 1 2 a 1 2 a (cid:90)(cid:103)(cid:106)(cid:20)(cid:21) 2i-1 1(cid:22)(cid:23)2024·(cid:207)(cid:208)(cid:209)(cid:210)·(cid:94)(cid:58)(cid:28)(cid:56)(cid:57)(cid:39)(cid:13)z(cid:107)(cid:108)z= (cid:30)(cid:123) z (cid:138)(cid:39)(cid:13)z(cid:59)(cid:73)(cid:74)(cid:39)(cid:13)(cid:30)(cid:31) z×z (cid:59)(cid:211)(cid:138)(cid:23) (cid:28) i A(cid:22) 5 B(cid:22)3 C(cid:22)5 D(cid:22)9(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)C (cid:32)(cid:36)(cid:37)(cid:35)(cid:212)(cid:16)(cid:213)(cid:39)(cid:13)z(cid:30)(cid:72)(cid:48)(cid:71) z (cid:30)(cid:214)(cid:215)(cid:77)(cid:49). 2i-1 (cid:32)(cid:50)(cid:49)(cid:35)Qz= =2+i(cid:30) i \z =2-i(cid:30) \z×z =2+i2-i=5. (cid:55)(cid:20)(cid:10)C i-2 2(cid:22)(cid:23)2024·(cid:216)(cid:217)·(cid:94)(cid:58)(cid:28)(cid:56)(cid:57)(cid:39)(cid:13)1+i= (cid:30)(cid:31) z (cid:80)(cid:39)(cid:81)(cid:82)(cid:116)(cid:84)(cid:85)(cid:59)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:23) (cid:28) z A(cid:22)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:92) B(cid:22)(cid:89)(cid:93)(cid:91)(cid:92) C(cid:22)(cid:89)(cid:94)(cid:91)(cid:92) D(cid:22)(cid:89)(cid:40)(cid:91)(cid:92) (cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)C 1 3 (cid:32)(cid:36)(cid:37)(cid:35)(cid:69)(cid:70)(cid:218)(cid:219)(cid:30)(cid:62)(cid:63)(cid:39)(cid:13)(cid:59)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:31)(cid:157)(cid:73)(cid:74)(cid:39)(cid:13)(cid:59)(cid:193)(cid:100)(cid:77)(cid:78)z=- - i(cid:30)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:71)(cid:95)(cid:220). 2 2 i-2 i-2 (-2+i)(1-i) 1 3 (cid:32)(cid:50)(cid:49)(cid:35)(cid:38)1+i= (cid:30)(cid:77)(cid:78)z= = =- + i(cid:30) z 1+i 2 2 2 1 3 1 3 (cid:53)(cid:54)z=- - i(cid:30)(cid:145)(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:52)(- ,- )(cid:30) 2 2 2 2 (cid:55)(cid:20)(cid:10)C. 3(cid:22)(cid:23)2024·(cid:221)(cid:222)·(cid:94)(cid:58)(cid:28)(cid:56)(cid:57)(cid:3)(cid:88)x(cid:59)(cid:177)(cid:178)x2+2x+3=0(cid:59)(cid:90)(cid:130)(cid:69)(cid:52)x=a+bia,bÎR (cid:30)(cid:31)a2+b2+a= (cid:23) (cid:28) A(cid:22)4 B(cid:22)3 C(cid:22)2 D(cid:22)1 (cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)C (cid:32)(cid:36)(cid:37)(cid:35)(cid:49)(cid:39)(cid:13)(cid:223)(cid:224)(cid:83)(cid:177)(cid:178)(cid:47)(cid:77)a(cid:157)b2(cid:59)(cid:211)(cid:46)(cid:47)(cid:77)(cid:49). -2± 22-12 (cid:32)(cid:50)(cid:49)(cid:35)(cid:38)x2+2x+3=0(cid:47)(cid:77)x= =-1± 2i(cid:30) 2 (cid:55)a=-1(cid:30)b2 =  ± 2 2 =2(cid:30)(cid:46)a2+b2+a=1+2-1=2 . (cid:55)(cid:20)(cid:10)C. 1+i3 4(cid:22)(cid:23)2024·(cid:221)(cid:222)·(cid:94)(cid:58)(cid:28)(cid:56)(cid:57)i(cid:52)(cid:105)(cid:13)(cid:106)(cid:87)(cid:30) =(cid:23) (cid:28) 1-i2 A(cid:22)1+i B(cid:22)1-i C(cid:22)-1+i D(cid:22)-1-i (cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)D (cid:32)(cid:36)(cid:37)(cid:35)(cid:69)(cid:70)(cid:39)(cid:13)(cid:79)(cid:43)(cid:103)(cid:64)(cid:43)(cid:41)(cid:42)(cid:16)(cid:213)(cid:46)(cid:47). 1+i3 1+i21+i 2i1+i (cid:32)(cid:50)(cid:49)(cid:35) = = =-1-i. 1-i2 -2i -2i (cid:55)(cid:20)(cid:10)D5(cid:22)(cid:23)2024·(cid:225)(cid:226)(cid:227)(cid:228)·(cid:94)(cid:58)(cid:28)(cid:56)(cid:57)(cid:39)(cid:13)z(cid:107)(cid:108)(cid:10)z-i(2+z)=0(cid:30)(cid:31)z=(cid:23) (cid:28) A(cid:22)-1-i B(cid:22)-1+i C(cid:22)1+i D(cid:22)1-i (cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)B 2i (cid:32)(cid:36)(cid:37)(cid:35)(cid:38)(cid:56)(cid:57)(cid:47)(cid:77)z= (cid:30)(cid:60)(cid:42)(cid:46)(cid:47). 1-i (cid:32)(cid:50)(cid:49)(cid:35)(cid:38)z-i(2+z)=0(cid:30)(cid:47)(cid:77)(1-i)z=2i(cid:30) 2i 2i(1+i) (cid:53)(cid:54)z= = =-1+i(cid:30) 1-i (1-i)(1+i) (cid:55)(cid:20)(cid:10)B. 6(cid:22)(cid:23)2024·(cid:229)(cid:230)·(cid:94)(cid:58)(cid:28)(cid:56)(cid:57)a,bÎR,(a+i)i=b-2i(cid:23)i(cid:52)(cid:105)(cid:13)(cid:106)(cid:87)(cid:28)(cid:30)(cid:31)(cid:39)(cid:13)z=a+bi(cid:59)(cid:73)(cid:74)(cid:39)(cid:13)(cid:52)(cid:23) (cid:28) A(cid:22)-2+i B(cid:22)2-i C(cid:22)1+2i D(cid:22)1-2i (cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)A (cid:32)(cid:36)(cid:37)(cid:35)(cid:212)(cid:62)(cid:63)(cid:39)(cid:13)(cid:131)(cid:132)(cid:48)(cid:71)a,b(cid:30)(cid:72)(cid:38)(cid:73)(cid:74)(cid:39)(cid:13)(cid:75)(cid:76)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49). (cid:32)(cid:50)(cid:49)(cid:35)(cid:51)(cid:52)(a+i)i=ai+i2 =-1+ai=b-2i(cid:30) (cid:53)(cid:54)a=-2,b=-1(cid:30)(cid:55)z=a+bi=-2-i(cid:30) (cid:53)(cid:54)(cid:39)(cid:13)z=a+bi(cid:59)(cid:73)(cid:74)(cid:39)(cid:13)(cid:52) z=-2+i (cid:30) (cid:55)(cid:20)(cid:10)A. 7(cid:22)(cid:23)2024·(cid:221)(cid:222)(cid:231)(cid:228)·(cid:94)(cid:58)(cid:28)(cid:39)(cid:13)z=a+bi(cid:23)a,bÎR(cid:123)a¹0(cid:28)(cid:30)(cid:29)1+2iz(cid:52)(cid:124)(cid:105)(cid:13)(cid:30)(cid:31)(cid:23) (cid:28) A(cid:22)a=-2b B(cid:22)a=2b C(cid:22)2a=b D(cid:22)2a=-b (cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)A (cid:32)(cid:36)(cid:37)(cid:35)(cid:48)(cid:71)1+2iz (cid:30)(cid:69)(cid:70)1+2iz (cid:52)(cid:124)(cid:105)(cid:13)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49). (cid:32)(cid:50)(cid:49)(cid:35)1+2iz =(1+2i)(a-bi)=a+2b+(2a-b)i(cid:30) (cid:51)(cid:52)1+2iz (cid:52)(cid:124)(cid:105)(cid:13)(cid:30)(cid:53)(cid:54)a+2b=0,2a-b¹0(cid:30) (cid:53)(cid:54)a=-2b. (cid:55)(cid:20)(cid:10)A. a+i 8(cid:22)(cid:23)2024·(cid:40)(cid:232)(cid:233)(cid:234)·(cid:94)(cid:58)(cid:28)(cid:29)(cid:39)(cid:13)z= (cid:23)(cid:145)(cid:150)aÎR(cid:30)i(cid:52)(cid:105)(cid:13)(cid:106)(cid:87)(cid:28)(cid:52)(cid:124)(cid:105)(cid:13)(cid:30)(cid:31)(cid:39)(cid:13)z-1(cid:80)(cid:39)(cid:81)(cid:82)(cid:83) 3-i (cid:84)(cid:85)(cid:59)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:23) (cid:28) A(cid:22)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:92) B(cid:22)(cid:89)(cid:93)(cid:91)(cid:92) C(cid:22)(cid:89)(cid:94)(cid:91)(cid:92) D(cid:22)(cid:89)(cid:40)(cid:91)(cid:92) (cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)B (cid:32)(cid:36)(cid:37)(cid:35)(cid:62)(cid:63)(cid:39)(cid:13)(cid:59)(cid:64)(cid:43)(cid:48)(cid:71)z(cid:30)(cid:95)(cid:96)(cid:56)(cid:57)(cid:48)(cid:71)a(cid:211)(cid:46)(cid:47)(cid:77)(cid:49). a+i (a+i)(3+i) 3a-1 (a+3)i (cid:32)(cid:50)(cid:49)(cid:35)(cid:235)(cid:21)(cid:99)(cid:30)z= = = + (cid:30) 3-i (3-i)(3+i) 10 10ì3a-1=0 1 1 (cid:38)z(cid:52)(cid:124)(cid:105)(cid:13)(cid:30)(cid:77)í (cid:30)(cid:49)(cid:77)a= (cid:30)(cid:39)(cid:13)z-1=-1+ i(cid:30) îa+3¹0 3 3 1 (cid:53)(cid:54)(cid:39)(cid:13)z-1(cid:80)(cid:39)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:59)(cid:86)(-1, )(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:93)(cid:91)(cid:92)(cid:22) 3 (cid:55)(cid:20)(cid:10)B 9(cid:22)(cid:23)2024·(cid:236)(cid:237)(cid:222)(cid:238)·(cid:94)(cid:58)(cid:28)(cid:56)(cid:57)z(cid:52)(cid:39)(cid:13)(cid:30)(cid:31)“z = z”(cid:138)“ z2 =z 2”(cid:59)(cid:23) (cid:28) A(cid:22)(cid:239)(cid:36)(cid:240)(cid:241)(cid:242)(cid:218)(cid:219) B(cid:22)(cid:241)(cid:242)(cid:240)(cid:239)(cid:36)(cid:218)(cid:219) C(cid:22)(cid:239)(cid:242)(cid:218)(cid:219) D(cid:22)(cid:240)(cid:239)(cid:36)(cid:240)(cid:241)(cid:242)(cid:218)(cid:219) (cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)A (cid:32)(cid:36)(cid:37)(cid:35)(cid:243)(cid:139)(cid:47)(cid:77)zÎR(cid:30)(cid:31)(cid:243)(cid:139)(cid:121)(cid:200)(cid:30)(cid:134)(cid:139)(cid:62)(cid:63)(cid:244)(cid:193)(cid:174)(cid:13)(cid:43)(cid:60)(cid:42)(cid:46)(cid:47)(cid:77)a=0(cid:245)b=0(cid:30)(cid:31)(cid:241)(cid:242)(cid:188)(cid:125)(cid:121)(cid:200). (cid:32)(cid:50)(cid:49)(cid:35)(cid:29) z = z (cid:30)(cid:31)zÎR(cid:30)(cid:31)z2 =z2(cid:30)(cid:55)(cid:239)(cid:36)(cid:188)(cid:121)(cid:200)(cid:119) (cid:29) z2 =z 2(cid:30)(cid:67)z=a+bi,a,bÎR(cid:30)(cid:31)z2 =a2+2abi-b2(cid:30)z2 =a2-2abi-b2(cid:30) (cid:31)2ab=0(cid:30)a=0(cid:245)b=0,\z(cid:115)z (cid:125)(cid:90)(cid:193)(cid:131)(cid:132)(cid:30)(cid:31)(cid:241)(cid:242)(cid:188)(cid:125)(cid:121)(cid:200)(cid:30) (cid:31)“ z = z ”(cid:138)“ z2 =z 2”(cid:59)(cid:239)(cid:36)(cid:240)(cid:241)(cid:242)(cid:218)(cid:219)(cid:30) (cid:55)(cid:20)(cid:10)A æ πö 10(cid:22)(cid:23)2024·(cid:225)(cid:226)(cid:246)(cid:247)·(cid:94)(cid:58)(cid:28)(cid:67)(cid:39)(cid:13)z=sinçq+ ÷+2i(cid:138)(cid:124)(cid:105)(cid:13)(cid:30)(cid:31)q(cid:59)(cid:211)(cid:47)(cid:54)(cid:52)(cid:23) (cid:28) è 4ø π 5π 2023π 2025π A(cid:22) B(cid:22) C(cid:22) D(cid:22) 4 4 4 4 (cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)C æ πö (cid:32)(cid:36)(cid:37)(cid:35)(cid:69)(cid:70)(cid:21)(cid:99)(cid:77)(cid:78)sinçq+ ÷=0(cid:30)(cid:248)(cid:40)(cid:130)(cid:20)(cid:249)(cid:250)(cid:251)(cid:252)(cid:253)(cid:30)(cid:77)(cid:78)(cid:33)(cid:34). è 4ø æ πö (cid:32)(cid:50)(cid:49)(cid:35)(cid:38)(cid:21)(cid:99)(cid:77)sinçq+ ÷=0(cid:30) è 4ø π æπ πö A(cid:20)(cid:249)(cid:30)(cid:109)q= (cid:110)(cid:30)sinç + ÷=1(cid:30)(cid:125)(cid:96)(cid:21)(cid:99)(cid:30)A(cid:254)(cid:255)(cid:119) 4 è4 4ø 5π æ5π πö B(cid:20)(cid:249)(cid:30)(cid:109)q= (cid:110)(cid:30)sinç + ÷=-1(cid:30)(cid:125)(cid:96)(cid:242)(cid:48)(cid:30)B(cid:254)(cid:255)(cid:119) 4 è 4 4ø 2023π æ2023π πö C(cid:20)(cid:249)(cid:30)(cid:109)q= (cid:110)(cid:30)sinç + ÷=sin506π=0(cid:30)(cid:55)C(cid:243)(cid:256)(cid:119) 4 è 4 4ø 2025π æ2025π πö D(cid:20)(cid:249)(cid:30)(cid:109)q= (cid:110)(cid:30)sinç + ÷=1(cid:30)D(cid:254)(cid:255). 4 è 4 4ø (cid:55)(cid:20)(cid:10)C z+2 11(cid:22)(cid:23)2024·(cid:257)(cid:258)(cid:236)·(cid:94)(cid:58)(cid:28)(cid:29) =i(cid:30)(cid:31)zz -1(cid:59)(cid:105)(cid:118)(cid:52)(cid:23) (cid:28) 1-i A(cid:22)-1 B(cid:22)1 C(cid:22)3 D(cid:22)-3 (cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)A(cid:32)(cid:36)(cid:37)(cid:35)(cid:212)(cid:62)(cid:63)(cid:79)(cid:43)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:31)(cid:16)(cid:213)(cid:39)(cid:13)z(cid:30)(cid:147)(cid:215)(cid:16)(cid:213)zz -1(cid:77)3-i(cid:30)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:71)(cid:145)(cid:105)(cid:118). z+2 (cid:32)(cid:50)(cid:49)(cid:35)(cid:51)(cid:52) =i(cid:30)(cid:53)(cid:54)z=-2+1-ii=-1+i(cid:30)(cid:53)(cid:54)z =-1-i(cid:30) 1-i (cid:53)(cid:54)zz -1=-1+i-2-i=3-i(cid:30)(cid:31)zz -1(cid:59)(cid:105)(cid:118)(cid:52)-1 . (cid:55)(cid:20)(cid:10)A 12(cid:22)(cid:23)2024·(cid:259)(cid:228)(cid:260)(cid:261)·(cid:94)(cid:58)(cid:28)(cid:29)(cid:39)(cid:13)z(cid:107)(cid:108)  1+i2+i5 ×z=3i2024-4i(cid:30)(cid:31)|z|=(cid:23) (cid:28) A(cid:22)1 B(cid:22)5 C(cid:22)7 D(cid:22)25 (cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)B (cid:32)(cid:36)(cid:37)(cid:35)(cid:38)(cid:39)(cid:13)(cid:59)(cid:79)(cid:43)(cid:153)(cid:64)(cid:43)(cid:41)(cid:42)(cid:16)(cid:213)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:71)z=-4-3i(cid:30)(cid:72)(cid:38)(cid:39)(cid:13)(cid:59)(cid:58)(cid:143)(cid:7)(cid:61)(cid:48)(cid:49)(cid:46)(cid:47). (cid:32)(cid:50)(cid:49)(cid:35)(cid:51)(cid:52)  1+i2+i5 ×z=3i2024-4i(cid:30)(cid:31)1-1+i×z=3-4i(cid:30) 3-4i 3-4ii 3i-4i2 3i+4 (cid:46)z= = = = =-4-3i(cid:30) i i2 -1 -1 (cid:55) z = -42+-32 =5 . (cid:55)(cid:20)(cid:10)B. (cid:93)(cid:103)(cid:262)(cid:20)(cid:21) 13(cid:22)(cid:23)2024·(cid:210)(cid:216)(cid:263)(cid:228)·(cid:94)(cid:58)(cid:28)(cid:56)(cid:57)(cid:39)(cid:13)z=m2-1+m+1imÎR (cid:30)(cid:31)(cid:264)(cid:265)(cid:266)(cid:21)(cid:243)(cid:256)(cid:59)(cid:138)(cid:23) (cid:28) A(cid:22)(cid:29)z(cid:52)(cid:124)(cid:105)(cid:13)(cid:30)(cid:31)m=±1 B(cid:22)(cid:29)z(cid:52)(cid:117)(cid:13)(cid:30)(cid:31)z=0 C(cid:22)(cid:29)z(cid:80)(cid:39)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:59)(cid:86)(cid:80)(cid:44)(cid:141)y=2x(cid:116)(cid:30)(cid:31)m=-1 D(cid:22)z(cid:80)(cid:39)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:59)(cid:86)(cid:125)(cid:47)(cid:201)(cid:80)(cid:89)(cid:94)(cid:91)(cid:92) (cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)BD (cid:32)(cid:36)(cid:37)(cid:35)(cid:267)(cid:212)(cid:77)(cid:78)(cid:39)(cid:13)(cid:59)(cid:117)(cid:118)(cid:115)(cid:105)(cid:118)(cid:30)(cid:72)(cid:69)(cid:70)(cid:39)(cid:13)(cid:59)(cid:268)(cid:269)(cid:48)(cid:71)(cid:270)(cid:13)(cid:59)(cid:211)(cid:30)(cid:46)(cid:47)(cid:101)(cid:102)A(cid:103)B(cid:30)(cid:69)(cid:70)(cid:39)(cid:13)(cid:59)(cid:97)(cid:98) (cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:102)C(cid:103)D. (cid:32)(cid:50)(cid:49)(cid:35)(cid:39)(cid:13)z=m2-1+m+1imÎR (cid:59)(cid:117)(cid:118)(cid:52)m2-1(cid:30)(cid:105)(cid:118)(cid:52)m+1(cid:30) (cid:39)(cid:13)z(cid:80)(cid:39)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:59)(cid:86)(cid:59)(cid:271)(cid:272)(cid:52)  m2-1,m+1  (cid:30) ìm2-1=0 (cid:84)(cid:88)A(cid:10)(cid:29)z(cid:52)(cid:124)(cid:105)(cid:13)(cid:30)(cid:31)í (cid:30)(cid:49)(cid:77)m=1(cid:30)(cid:55)A(cid:254)(cid:255)(cid:119) îm+1¹0 (cid:84)(cid:88)B(cid:10)(cid:29)z(cid:52)(cid:117)(cid:13)(cid:30)(cid:31)m+1=0(cid:30)(cid:49)(cid:77)m=-1(cid:30)(cid:31)z=0(cid:30)(cid:55)B(cid:243)(cid:256)(cid:119) (cid:84)(cid:88)C(cid:10)(cid:29)z(cid:80)(cid:39)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:59)(cid:86)(cid:80)(cid:44)(cid:141)y=2x(cid:116)(cid:30) (cid:53)(cid:54)m+1=2  m2-1  (cid:30)(cid:49)(cid:77)m=-1(cid:245)m= 3 (cid:30)(cid:55)C(cid:254)(cid:255)(cid:119) 2ìm2-10 ì-1m1 (cid:84)(cid:88)D(cid:10)(cid:273)í (cid:30)(cid:46)í (cid:30)(cid:125)(cid:132)(cid:61)(cid:120)(cid:197)(cid:49)(cid:30) îm+10 îm-1 (cid:53)(cid:54)z(cid:80)(cid:39)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:59)(cid:86)(cid:125)(cid:47)(cid:201)(cid:80)(cid:89)(cid:94)(cid:91)(cid:92)(cid:30)(cid:55)D(cid:243)(cid:256). (cid:55)(cid:20)(cid:10)BD. æ πö π 14(cid:22)(cid:23)2024·(cid:221)(cid:216)(cid:274)(cid:275)·(cid:94)(cid:58)(cid:28)(cid:39)(cid:13)z=cosçq- ÷+isinq(cid:30)(cid:145)(cid:150)0q (cid:30)(cid:67)z(cid:80)(cid:39)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:59)(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:52)P(cid:30)(cid:31) è 4ø 2 (cid:264)(cid:265)(cid:276)(cid:43)(cid:243)(cid:256)(cid:59)(cid:138)(cid:23) (cid:28) π 6 π 2 A(cid:22)(cid:109)q= (cid:110)(cid:30) z = B(cid:22)(cid:109)q= (cid:110)(cid:30)z =-1- i 4 2 4 2 C(cid:22)(cid:84)(cid:277)(cid:99)q(cid:30)(cid:86)P(cid:278)(cid:80)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:92) D(cid:22)(cid:279)(cid:80)q(cid:30)(cid:280)(cid:77)(cid:86)P(cid:80)(cid:89)(cid:93)(cid:91)(cid:92) (cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)AC π π (cid:32)(cid:36)(cid:37)(cid:35)(cid:109)q= (cid:110)(cid:30)(cid:250)(cid:251)(cid:60)(cid:42)(cid:47)(cid:101)(cid:102)A(cid:103)B(cid:119)(cid:38)0q (cid:101)(cid:102)z(cid:59)(cid:117)(cid:118)(cid:153)(cid:105)(cid:118)(cid:223)(cid:224)(cid:47)(cid:101)(cid:102)C(cid:103)D. 4 2 2 π 2 æ 2ö 6 (cid:32)(cid:50)(cid:49)(cid:35)(cid:109)q= (cid:110)(cid:30)z=1+ i(cid:30)(cid:55) z = 12+ç ÷ = (cid:30)(cid:55)A(cid:20)(cid:249)(cid:243)(cid:256)(cid:119) 4 2 ç è 2 ÷ ø 2 2 z =1- i(cid:30)B(cid:20)(cid:249)(cid:254)(cid:255)(cid:119) 2 π π π π 2 æ πö (cid:109)0q (cid:110)(cid:30)- q-  (cid:30) cosçq- ÷£1,0sinq1(cid:30) 2 4 4 4 2 è 4ø (cid:55)(cid:84)(cid:277)(cid:99)q(cid:30)(cid:86)P(cid:278)(cid:80)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:30)(cid:55)C(cid:20)(cid:249)(cid:243)(cid:256)(cid:119) (cid:125)(cid:279)(cid:80)q(cid:30)(cid:280)(cid:77)(cid:86)P(cid:80)(cid:89)(cid:93)(cid:91)(cid:92)(cid:30)D(cid:20)(cid:249)(cid:254)(cid:255)(cid:22) (cid:55)(cid:20)(cid:10)AC(cid:22) 15(cid:22)(cid:23)2024·(cid:281)(cid:282)(cid:283)(cid:284)·(cid:94)(cid:58)(cid:28)(cid:29)z(cid:138)(cid:240)(cid:285)(cid:39)(cid:13)(cid:30)(cid:31)(cid:264)(cid:265)(cid:276)(cid:43)(cid:243)(cid:256)(cid:59)(cid:138)(cid:23) (cid:28) z A(cid:22)(cid:29)z+z=0(cid:30)(cid:31) =i B(cid:22)(cid:29)z×z =2 z (cid:30)(cid:31) z =2 z C(cid:22)(cid:29)z =z(cid:30)(cid:31)z =z D(cid:22)(cid:29) z+z =0(cid:30)(cid:31)z ×z + z 2 =0 1 1 1 1 (cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)BCD (cid:32)(cid:36)(cid:37)(cid:35)(cid:62)(cid:63)(cid:73)(cid:74)(cid:39)(cid:13)(cid:59)(cid:193)(cid:100)(cid:47)(cid:101)(cid:193)A(cid:103)C(cid:30)(cid:62)(cid:63)(cid:39)(cid:13)(cid:59)(cid:79)(cid:43)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:31)(cid:95)(cid:96)(cid:58)(cid:143)(cid:7)(cid:61)(cid:47)(cid:101)(cid:193)B(cid:103)D. z (cid:32)(cid:50)(cid:49)(cid:35)(cid:84)(cid:88)A(cid:30)(cid:38)z+z=0(cid:30)(cid:77) =-1(cid:30)(cid:31)A(cid:254)(cid:255). z (cid:84)(cid:88)B(cid:30)(cid:51)(cid:52)z×z = z 2(cid:30)(cid:53)(cid:54) z 2 =2 z (cid:30)(cid:49)(cid:77) z =2(cid:245) z =0(cid:23)(cid:286)(cid:287)(cid:28)(cid:30)(cid:31)B(cid:243)(cid:256). (cid:84)(cid:88)C(cid:30)(cid:67)z=a+bi(cid:23)a,bÎR(cid:30)(cid:123)ab¹0(cid:28)(cid:30) (cid:31)z =z=a-bi(cid:30)(cid:53)(cid:54)z =a+bi=z(cid:30)(cid:31)C(cid:243)(cid:256). 1 1 (cid:84)(cid:88)D(cid:30)(cid:38) z+z =0(cid:30)(cid:77)z =-z. 1 1(cid:67)z=a+bi(cid:23)a,bÎR(cid:30)(cid:123)ab¹0(cid:28)(cid:30)(cid:31)z ×z=-z×z=-(a2+b2)(cid:30) 1 z 2 =a2+b2(cid:30)(cid:65)(cid:66)z ×z + z 2 =0(cid:30)(cid:31)D(cid:243)(cid:256). 1 (cid:55)(cid:20)(cid:10)BCD 16(cid:22)(cid:23)2024·(cid:281)(cid:282)(cid:281)(cid:228)·(cid:94)(cid:58)(cid:28)(cid:56)(cid:57)(cid:39)(cid:13)z ,z (cid:107)(cid:108)(cid:10) z + 3 + z - 3 =4(cid:30) z -2i =1(cid:30)(cid:31)(cid:23) (cid:28) 1 2 1 1 2 A(cid:22) z (cid:59)(cid:214)(cid:288)(cid:211)(cid:138)1 B(cid:22) z (cid:59)(cid:214)(cid:289)(cid:211)(cid:138)2 2 1 z C(cid:22) 2 (cid:59)(cid:214)(cid:289)(cid:211)(cid:138)3 D(cid:22) z -z (cid:59)(cid:214)(cid:289)(cid:211)(cid:138)4 z 1 2 1 (cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)ABC (cid:32)(cid:36)(cid:37)(cid:35)(cid:84)(cid:88)A(cid:30)(cid:67)z =a+bi,z =c+di(cid:30)(cid:235)(cid:21)(cid:99)(cid:47)(cid:77)c2+d-22 =1(cid:30)(cid:47)(cid:57)(cid:39)(cid:13)z (cid:59)(cid:84)(cid:85)(cid:86)P(cid:80)(cid:54)C0,2 1 2 2 (cid:52)(cid:290)(cid:291)(cid:30)1(cid:52)(cid:292)(cid:293)(cid:59)(cid:290)(cid:116)(cid:30)(cid:69)(cid:70)(cid:39)(cid:13)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:47)(cid:101)(cid:102)A(cid:119)(cid:84)(cid:88)B(cid:30)(cid:69)(cid:70)(cid:21)(cid:99)(cid:47)(cid:77)  a+ 3 2 +b2 +  a- 3 2 +b2 =4(cid:30)(cid:168)(cid:169)(cid:39)(cid:13)z (cid:59)(cid:84)(cid:85)(cid:86)Q(cid:80)(cid:54)  ± 3,0  (cid:52)(cid:294)(cid:86)(cid:30)(cid:143)(cid:122)(cid:143)(cid:52)4(cid:59)(cid:295)(cid:290)(cid:116)(cid:30) 1 z z (cid:69)(cid:70)(cid:296)(cid:111)(cid:153) z = z (cid:47)(cid:101)(cid:102)B(cid:119)(cid:84)(cid:88)C(cid:30)(cid:69)(cid:70)(cid:39)(cid:13)(cid:64)(cid:43)(cid:41)(cid:42)(cid:153)(cid:39)(cid:13)(cid:58)(cid:7)(cid:61)(cid:297)(cid:298) 2 = 2 (cid:30)(cid:95)(cid:96)(cid:296)(cid:111)(cid:48)(cid:77) 1 1 z z 1 1 1£ z £2,1£ z £3(cid:30)(cid:147)(cid:215)(cid:47)(cid:101)(cid:102)C(cid:119)(cid:84)(cid:88)D(cid:30)(cid:69)(cid:70)(cid:39)(cid:13)(cid:149)(cid:43)(cid:59)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:47)(cid:57) z -z = PQ (cid:30)(cid:95)(cid:96)(cid:296)(cid:111)(cid:299)(cid:16) 1 2 1 2 x2 (cid:52)(cid:48) CQ +1(cid:59)(cid:214)(cid:211)(cid:30)(cid:69)(cid:70)(cid:86)P(cid:80)(cid:295)(cid:290) +y2 =1(cid:116)(cid:30)(cid:62)(cid:63)(cid:93)(cid:176)(cid:300)(cid:13)(cid:188)(cid:189)(cid:48)(cid:49)(cid:47)(cid:77). 4 (cid:32)(cid:50)(cid:49)(cid:35)(cid:67)z =a+bi,z =c+di,a,b,c,dÎR(cid:30) 1 2 (cid:84)(cid:88)A(cid:30)(cid:51)(cid:52) z -2i = c+d-2i =1(cid:30)(cid:53)(cid:54)c2+d-22 =1(cid:30) 2 (cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:39)(cid:13)z (cid:59)(cid:84)(cid:85)(cid:86)P(cid:80)(cid:54)C0,2(cid:52)(cid:290)(cid:291)(cid:30)1(cid:52)(cid:292)(cid:293)(cid:59)(cid:290)(cid:116)(cid:30) 2 (cid:38)(cid:296)(cid:47)(cid:57)(cid:30)(cid:86)P(cid:78)(cid:128)(cid:86)(cid:59)(cid:214)(cid:288)(cid:172)(cid:173)(cid:52)1(cid:30)(cid:46) z (cid:59)(cid:214)(cid:288)(cid:211)(cid:138)1(cid:30)A(cid:243)(cid:256)(cid:119) 2 (cid:84)(cid:88)B(cid:30)(cid:51)(cid:52) z + 3 + z - 3 =  a+ 3 2 +b2 +  a- 3 2 +b2 =4(cid:30) 1 1   (cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:39)(cid:13)z (cid:59)(cid:84)(cid:85)(cid:86)Q(cid:80)(cid:54) ± 3,0 (cid:52)(cid:294)(cid:86)(cid:30)(cid:143)(cid:122)(cid:143)(cid:52)4(cid:59)(cid:295)(cid:290)(cid:116)(cid:30) 1 (cid:38)(cid:295)(cid:290)(cid:97)(cid:98)(cid:188)(cid:189)(cid:47)(cid:57)(cid:30)(cid:86)Q(cid:78)(cid:128)(cid:86)(cid:59)(cid:214)(cid:289)(cid:172)(cid:173)(cid:52)2(cid:30)(cid:46) z (cid:59)(cid:214)(cid:289)(cid:211)(cid:52)2(cid:30) 1 (cid:301) z = z (cid:30)(cid:53)(cid:54) z (cid:59)(cid:214)(cid:289)(cid:211)(cid:138)2(cid:30)B(cid:243)(cid:256)(cid:119) 1 1 1 z c+di ac+bd ad-bc (cid:84)(cid:88)C(cid:30)(cid:51)(cid:52) 2 = = + i(cid:30) z a+bi a2+b2 a2+b2 1 z æac+bd ö 2 æad-bcö 2 a2c2+b2d2+b2c2+a2d2 (cid:53)(cid:54) 1 = ç ÷ +ç ÷ = z 2 è a2+b2 ø è a2+b2 ø  a2+b22 a2+b2 c2+d2 c2+d2 z = = = 2 (cid:30)  a2+b22 a2+b2 z 1 z (cid:38)(cid:296)(cid:47)(cid:57)(cid:30)1£ z £2,1£ z £3(cid:30)(cid:53)(cid:54)(cid:109) z =1, z =3(cid:110)(cid:30) 2 (cid:302)(cid:77)(cid:214)(cid:289)(cid:211)3(cid:30)C(cid:243)(cid:256)(cid:119) 1 2 1 2 z 1 (cid:84)(cid:88)D(cid:30)(cid:51)(cid:52) z -z = a-c+b-di = a-c2+b-d2 (cid:168)(cid:169)P,Q(cid:59)(cid:172)(cid:173)(cid:30) 1 2 (cid:53)(cid:54) z -z (cid:59)(cid:214)(cid:289)(cid:211)(cid:52) CQ +1(cid:30)(cid:67)Qx,y(cid:30)(cid:31) x2 +y2 =1(cid:30)(cid:46)x2 =4-4y2(cid:30) 1 2 4 (cid:53)(cid:54) CQ +1= x2+y-22 +1= 4-4y2+y2-4y+4+1= -3y2-4y+8+1(cid:30) 2 2 21 (cid:38)(cid:93)(cid:176)(cid:300)(cid:13)(cid:188)(cid:189)(cid:47)(cid:57)(cid:30)(cid:109)y=- (cid:110)(cid:30) CQ +1(cid:302)(cid:77)(cid:214)(cid:289)(cid:211) +1(cid:30)D(cid:254)(cid:255). 3 3 (cid:55)(cid:20)(cid:10)ABC (cid:94)(cid:103)(cid:303)(cid:304)(cid:21) z 17(cid:22)(cid:23)2024·(cid:225)(cid:305)(cid:306)(cid:307)·(cid:94)(cid:58)(cid:28)(cid:56)(cid:57)(cid:39)(cid:13)z(cid:107)(cid:108)(cid:10) =2-3i(cid:30)(cid:31) z= (cid:22) 1+i (cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)5+i/i+5 (cid:32)(cid:36)(cid:37)(cid:35)(cid:62)(cid:63)(cid:39)(cid:13)(cid:59)(cid:79)(cid:43)(cid:41)(cid:42)(cid:44)(cid:45)(cid:48)(cid:77)z(cid:30)(cid:308)(cid:66)(cid:48)(cid:77) z (cid:46)(cid:47). z (cid:32)(cid:50)(cid:49)(cid:35)(cid:38) =2-3i(cid:30)(cid:77)z=2-3i1+i=5-i(cid:30)(cid:53)(cid:54)z=5+i . 1+i (cid:55)(cid:33)(cid:34)(cid:52)(cid:10)5+i.2+i 18(cid:22)(cid:23)2024·(cid:216)(cid:217)·(cid:94)(cid:58)(cid:28)(cid:29) (cid:138)(cid:124)(cid:105)(cid:13)(cid:30)(cid:31)(cid:117)(cid:13)a(cid:59)(cid:211)(cid:52) . 1-ai (cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)2 (cid:32)(cid:36)(cid:37)(cid:35)(cid:48)(cid:71)(cid:39)(cid:13)(cid:59)(cid:250)(cid:13)(cid:111)(cid:61)(cid:30)(cid:147)(cid:215)(cid:69)(cid:70)(cid:124)(cid:105)(cid:13)(cid:59)(cid:193)(cid:100)(cid:265)(cid:177)(cid:178)(cid:48)(cid:49)(cid:46)(cid:47). 2+i 2+i1+ai 2-a+2a+1i (cid:32)(cid:50)(cid:49)(cid:35) = = (cid:30) 1-ai 1-ai1+ai 1+a2 2+i (cid:51)(cid:52) (cid:138)(cid:124)(cid:105)(cid:13)(cid:30) 1-ai ì2-a=0 (cid:53)(cid:54)í (cid:30)(cid:77)a=2. î2a+1¹0 (cid:55)(cid:33)(cid:34)(cid:52)(cid:10)2 i2024+2 19(cid:22)(cid:23)2024·(cid:221)(cid:222)(cid:222)(cid:309)·(cid:94)(cid:58)(cid:28)(cid:29)z= (cid:30)(cid:31) z = 1-i (cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35) 3 2 / 3 2 2 2 (cid:32)(cid:36)(cid:37)(cid:35)(cid:38)(cid:39)(cid:13)(cid:59)(cid:79)(cid:64)(cid:43)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:31)(cid:157)(cid:58)(cid:143)(cid:60)(cid:42)(cid:7)(cid:61)(cid:48)(cid:49)(cid:46)(cid:47). i2024+2 1+2 3 31+i 31+i 3 3 (cid:32)(cid:50)(cid:49)(cid:35)z= = = = = = + i(cid:30) 1-i 1-i 1-i 1-i1+i 2 2 2 2 2 æ3ö æ3ö 3 2 (cid:53)(cid:54) z = ç ÷ +ç ÷ = (cid:30) è2ø è2ø 2 3 2 (cid:55)(cid:33)(cid:34)(cid:52)(cid:10) . 2 20(cid:22)(cid:23)2024·(cid:207)(cid:208)(cid:310)(cid:311)(cid:225)·(cid:94)(cid:58)(cid:28)(cid:56)(cid:57)(cid:39)(cid:13)z(cid:107)(cid:108)z×z =2(z+z)=4(cid:30)(cid:29)z(cid:80)(cid:39)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:59)(cid:86)(cid:125)(cid:80)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:30) (cid:31)z= (cid:22) (cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)1- 3i (cid:32)(cid:36)(cid:37)(cid:35)(cid:67)z=a+bi,a,bÎR(cid:30)(cid:95)(cid:96)(cid:39)(cid:13)(cid:59)(cid:41)(cid:42)(cid:54)(cid:157)(cid:73)(cid:74)(cid:39)(cid:13)(cid:48)a,b(cid:30)(cid:312)(cid:95)(cid:96)(cid:39)(cid:13)(cid:59)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:302)(cid:286). (cid:32)(cid:50)(cid:49)(cid:35)(cid:67)z=a+bi,a,bÎR(cid:30)(cid:31)z =a-bi(cid:30) ì ïz×z =a+bia-bi=a2+b2 =4 (cid:51)(cid:52)z×z =2(z+z)=4(cid:30)(cid:31)í (cid:30) ïî 2(z+z)=2é ë a+bi+a-biù û =4a=4 ìïa=1 ìïa=1 (cid:49)(cid:77)í (cid:245)í (cid:30) ïîb= 3 ïîb=- 3 ìïa=1 (cid:301)(cid:51)(cid:52)z(cid:80)(cid:39)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:59)(cid:86)(cid:125)(cid:80)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:30)(cid:47)(cid:57)b£0(cid:30)(cid:47)(cid:57)í (cid:30) ïîb=- 3 (cid:53)(cid:54)z=1- 3i . (cid:55)(cid:33)(cid:34)(cid:52)(cid:10)1- 3i .