文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（新高考八省专
用）
黄金卷06
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．已知集合 ，则 （ ）
A．[1,2] B． C． D．
【答案】B
【分析】解一元二次不等式得集合 ，根据集合的描述法转化得集合 ，根据集合的并集的概念求解即可
得结论.
【详解】不等式 解得 ，则 ，
函数 中 ，所以 ，故 ，
所以 .
故选：B.
2．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用复数的除法化简可得出复数 ，利用共轭复数的定义以及复数的模长公式可求得结果.
【详解】因为 ，则 ，所以， ，
所以， .
故选：D.
3．已知命题 ， ，命题 ， ，则（ ）A． 和 都是真命题 B． 和 都是真命题
C． 和 都是真命题 D． 和 都是真命题
【答案】C
【分析】解不等式 ，结合 的值域为 ，及命题的真假判断即可.
【详解】 ，即 ，
因为函数 在 上单调递增，
所以 ，即 ，解得 ，所以命题 是真命题；
的值域为 ，所以命题 是假命题，则 是真命题.
故选： .
4．紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶、石瓢壶、潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近
似看成一个圆台，如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位： ），那么该壶的容积约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】法一：利用圆台体积公式进行求解，再结合选项得到答案；法二：补全图像利用三角形相似可求
出小圆锥体的高，大圆锥体积减小圆锥体积即可求解.
【详解】解法一：根据题意可知 ，根据圆台体积公式可得
.
解法二：如图，设小圆锥的高为 ，根据三角形相识可得 ，解得 ，
所以该壶的容积为 .
故选：B.5．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题给条件求得 的值，进而求得 的值.
【详解】由 ，可得 ，
则 ，则 ，则 ，
故
故选：C
6．已知 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合已知条件 对 进行变形，得到 ，再利用基本不等式求最小值.
【详解】因为 ， ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，所以 ，当且仅当 时取等号.
所以 的最小值为 .
故选：B.
7．若函数 在 时取得极小值，则 的极大值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】根据函数求导，结合极小值的定义建立方程求得参数，还原函数解析式明确定义域，求导列表，
可得答案.
【详解】由函数 ，求导可得 ，
由题意可得 ，则 ，解得 ，
所以 ，则 ，
，令 ，解得 或 ，
可得下表：
f'(x)
极大值 极小值
则函数的极大值为 .
故选：D.x2 y2
8．设椭圆E: + =1(a>b>0)的左右焦点为 ， ，右顶点为 ，已知点 在椭圆 上，若
a2 b2
， ，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用已知条件求出 点坐标，代入 中形成齐次方程，解出离心率即可.
【详解】
如图：由题意不妨设P(x ,y )在第一象限，知 ，
1 1
因为 ，所以 ，
所以 ，
则 ，且 ，即 ，
又由 ，所以 ，又 ，即 ，
结合 解得 ，
代入 中，整理得 ，
即 ，解得 （舍）或 .
故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．某校为了更好地支持学生个性发展，开设了学科拓展类､科技创新类､体艺特长类三种类型的校本课程，
每位同学从中选择一门课程学习.现对该校5000名学生的选课情况进行了统计，如图1，并用分层随机抽样
的方法从中抽取2%的学生对所选课程进行了满意率调查，如图2.则下列说法正确的是（ ）
A．满意度调查中抽取的样本容量为5000
B．该校学生中选择学科拓展类课程的人数为1250
C．该校学生中对体艺特长类课程满意的人数约为875
D．若抽取的学生中对科技创新类课程满意的人数为30，则
【答案】BC
【分析】根据满意率调查图表即可判断A选项，根据扇形统计图计算即可判断B选项，根据题意计算即可
判断C选项，列出方程即可判断D选项.
【详解】满意率调查中抽取的样本容量为 错误；
由扇形统计图知 ，
则 人，B正确；
该校学生中对体艺特长类课程满意的人数约为 人，C正确；
抽取的学生中对科技创新类课程满意的人数为30，
则 ，则 ，D错误.
故选：BC.
10．定义在R上的偶函数 ，满足 ，则（ ）
A． B．C． D．
【答案】AC
【分析】利用特殊值及偶函数性质判断A；根据已知条件得 、 判断
B、C；根据函数的性质，举反例 判断D.
【详解】由 ，令 ，则 ，
又 为偶函数，则 ，A对；
由上，得 ①，
在①式，将 代换 ，得 ②，B错；
在②式，将 代换 ，得 ，C对；
由 且 ，即 周期为2且关于 对称，
显然 是满足题设的一个函数，此时 ，D错.
故选：AC
11．已知函数 ， ，对 都有 ，且 的零点
有且只有3个.下列选项中正确的有（ ）
A．
B． 的取值范围为
C．使 的 有且只有2个
D．方程 的所有根之和为
【答案】AC【分析】 ，始终把 看做一个整体，借助正弦函数的图象、最
值、方程的根来对选项逐一分析即可.
【详解】 ，令 ，则 ，
令 ，即 ，
， ，
则 在 上有3个零点，
则 ，即 ，
解得 ，故 错误；
， ，
则 ，所以 ，故 正确；
若 ，即 ，
或 ，故 正确；
，且 的零点有且只有3个，
所以方程 有四个根，从小到大分别为 .
，即 ，
则 ，
则 ，
故 ，即方程 的所有根之和为 ，故 错误.故选： .
【点睛】方法点睛：解决 的取值范围与最值问题主要方法是换元法和卡住 的大致范围，如本题 选项，
具体方法为：
（1）根据 的范围，求出 的范围；
（2）把 看成一个整体，即利用换元法，把 变成 来降低解决问题的难度，再
借助正弦函数的图象，要使 有3个零点，则 的最大值就必须在 之间，列出不等式即可
求出 的取值范围.
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知平面向量 ， 满足 ，则 .
【答案】2
【分析】根据向量的模长结合数量积的运算即可得数量积.
【详解】因为 ，
所以 ，则 ，解得 .
故答案为：2.
13．已知直线 与曲线 相切，则实数 的值为 .
【答案】
【分析】设切点坐标，求导数表示斜率，结合切线过原点可计算切点横坐标，进而算出 的值.【详解】设切点为 ，
由 得， ，故切线斜率 ，
由直线 可知切线过 ，故 ，
∴ ，解得 ，
∴ .
故答案为： .
14．已知抛物线 上的点 到焦点 的距离为4，过点 作直线 交抛物线于 两点，
延长 交准线于点 两点在准线上的射影分别为 ，若 ，则 的面积为
．
【答案】
【分析】借助焦半径公式可得 ，借助抛物线定义与相似三角形的性质计算可得 ，结合三
角形面积公式即可得解.
【详解】由抛物线 过点 ，且 ，
得 ，准线方程为 ，
如图．因为 ，所以 ，所以 ，
连接 ，又 ，所以 为等边三角形，因为 ，所以 ，得 ，
得 ，所以 ，
由 ，解得 ，
所以 ．
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助相似三角形的性质，得到系列等式，以解出 、 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）设数列 是首项为1的等比数列，已知 成等差数列，数列 满足 .
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)记 和 分别为数列 和 的前 项和，证明： .
【答案】(1) ， .
(2)证明见解析
【分析】（1）设 的公比为 ，利用等比数列的基本量运算代入计算求出 即得；
（2）利用等比数列求和公式计算 ，利用错位相减法计算 ，运用作差法比较两者即得证.【详解】（1）因为 是首项为1的等比数列且 ， ， 成等差数列，设 的公比为 ，
由 ，可得 ，解得： 或 （舍去）.
故 ， .
（2）由（1）可得 .
数列{b }的前 项和 ，①
n
则 .②
由① ②得
，
即 .
由 ，
可得 ，得证.
16．（15分）已知 为等边三角形， 为等腰直角三角形， ，平面 平面 ，
平面四边形CBDE中， ， 平面 ，点 为 中点，连接 .(1)求证：平面 平面 ；
(2)求二面角 的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取 的中点 ，连接 ，可证 平面 ，进而证明四边形 是平行四边
形，从而可证结论成立.
（2）以 为坐标原点，分别以 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系．不妨设正 的边
长为2，求出相关点的的坐标，求出平面 的法向量，平面 的法向量，取法向量的方向一进一出，
利用空间向量的公式求解即可．
【详解】（1）取 的中点 ，连接 ，
又因 为等边三角形，所以 ，
又因为面 平面 ，平面 平面 ，
面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，
又点 为 中点，所以 且 ，又 ，
所以 ，所以四边形 是平行四边形，
所以 ，所以 平面 ， 平面 ，
所以平面 平面 ；
（2）由（1）可知 平面 ， 平面 ，所以 ，
又因为 ， ，所以 ，以 为坐标原点，分别以 所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系．
不妨设正 的边长为2，
则 ，
，
设平面 的法向量为 ，
则 ，不妨令 ，则 ，
所以平面 的法向量为 ，
设平面 的法向量 ，
则 ，不妨令 ，则 ，
所以平面 的法向量为 ，
所以 ，
所求二面角 的正弦值为 ．
17．（15分）重庆市高考数学自 年起第 至 题为多选题，每道题共 个选项，正确选项为两个或三
个，其评分标准是:每道题满分 分，全部选对得 分，部分选对得部分分(若某道题正确选项为两个，漏选一个正确选项得 分;若某道题正确选项为三个，漏选一个正确选项得 分，漏选两个正确选项得 分)，错
选或不选得 分.现甲、乙两名同学参加了有这种多选题的某次模拟考试.
(1)假设第 题正确选项为三个，若甲同学完全不会，就随机地选了两项或三项作答，所有选法等可能，求
甲同学第 题得 分的概率;
(2)已知第10题乙同学能正确的判断出其中的一个选项是不符合题意的，他在剩下的三个选项中随机地猜选
了两个选项;第 题乙同学完全不会，他在四个选项中随机地猜选了一个选项.若第10题和 题正确选项是
两个和三个的概率都为 .求乙同学第10题和 题得分总和 的分布列及数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，期望为
【分析】（1）设四个选项分别为 ，其中错误选项为 ，列举法进行求解；
（2）设出事件，得到第10题乙同学得 分的概率，第 题乙同学得 分的概率，第 题得分总
和 的可能取值为 ，用独立事件概率乘法公式得到相应的概率，从而求出分布列和数学期
望.
【详解】（1）假设四个选项分别为 ，其中错误选项为 ，
总的选法共有10种，分别为 ，
其中得 分的选法为 ，共 种，
故甲同学得 分的概率为 ；
（2）第10题乙同学三个选项中随机猜选两项，用 分别表示第10题乙同学得 分，
第 题乙同学四个选项中随机猜选一项，用 分别表示第 题乙同学得 分，
则 ， ， ，
， ， ，从而第 题得分总和 的可能取值为 ，
， ，
， ，
，
， ，
，
的分布列为：
0 2 3 4 6 7 8 9
故数学期望为 .
18．（17分）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时，若存 、 在，满足 ，证明： ；
(3)对任意的 ， 恒成立，其中 是函数 的导数，求 的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）求导 ，分 ， 讨论求解；
（2）由（1）知 在 上单调递增，转化为证明 ，然后利用极值点偏移证明；（3）将问题转化为 求解；
【详解】（1）解： 的定义域为 ， ．
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时，令 ，得 或 （舍去），
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减．
综上，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减．
（2）当 时， ， ，
由（1）知 时， 在 上单调递增，
当 时，可证 ．
不妨设 ，要证 ，即证 ，即证 ，
因为 ，所以即证 ．
令 ，其中 ，
因为 ，所以 ，所以 在 上单调递增，所以 ，所以 ，所以 ．
当 时，因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ．
综上， ．
（3） ，由 ，得 ，
即 ，所以对任意的 ， 恒成立，
等价于
令 ，
则 ，
令 ，则 ，所以 在 上单调递增，
又 ， ，所以 ，
所以存在 ，使得 ，
所以 ，即 ，所以 ，
所以 ，
令 ， ，所以 在 上单调递增，
因为 ，所以又 时， ； 时， ，
所以 在 上单调递减， 在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，所以 的取值范围是 ．
19．（17分）在平面内，若直线 将多边形分为两部分，多边形在 两侧的顶点到直线 的距离之和相等，
则称 为多边形的一条“等线”．双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，其离心率
为 ，且点 为双曲线 右支上一动点，直线 与曲线 相切于点 ，且与 的渐近线交于 、 两点，
且点 在点 上方．当 轴时，直线 为 的等线．已知双曲线 在
其上一点 处的切线方程为 ．
(1)求双曲线 的方程；
(2)若 是四边形 的等线，求四边形 的面积；
(3)已知 为坐标原点，设 ，点 的轨迹为曲线 ，证明： 在点 处的切线 为 的等线．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）在双曲线 的方程中，令 ，结合已知条件求出点 的坐标，根据“等线”的定义可得
出关于 、 、 的方程组，解出 、 的值，即可得出双曲线 的方程；
（2）利用给定定义，求解关键点的坐标，最后得到四边形面积即可.
（3）利用给定条件和新定义证明即可.
【详解】（1）解：在双曲线 的方程中，令 ，解得 ，因为直线 为 的等线，显然点 在直线 的上方，故有 ，
又F (−c,0)、 ，有 ， ， ，
1
解得 ， ，
所以 的方程为 ．
（2）解：设P(x ,y )，由题意有 方程为 ，①
0 0
渐近线方程为 ，联立得 ， ，
故 ，
所以 是线段 的中点，因为 、 到过原点 的直线距离相等，
则过原点 点的等线必定满足： 、 到该等线距离相等，且分居两侧，
所以该等线必过点 ，即直线 的方程为 ，
由 ，解得 ，故 ．
所以 .
所以 ，
所以 ，所以 ．
（3）证明：设 ，由 ，所以 ， ，故曲线 的方程为 ，
由①知切线为 ，也为 ，即 ，即 ．
易知 与 在 的右侧， 在 的左侧，分别记 、 ，
到 的距离为 、 、 ，
由（2）知 ， ，
所以 ，
由 得 ，
因为 ，
所以直线 为 的等线．
【点睛】关键点点睛：本题考查解析几何，解题关键是利用给定定义和条件，然后结合前问结论，得到
，证明即可．
