专题01两个计数原理_2024-2025高三（6-6月题库）_2024年08月试卷_0816新高考数学题型全归纳之排列组合（20个专题）

专题 1 两个计数原理 类型一、加法原理 【例1】高二年级一班有女生18人，男生38人，从中选取一名学生作代表，参加学校组织的调查团，问选 取代表的方法有几种． 【例2】若a、b是正整数，且a+ b≤6，则以(a，b)为坐标的点共有多少个？ 【例3】用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ） A．324 B．328 C．360 D．648 【例4】用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（ ） A．8 B．24 C．48 D．120 【例5】用0，1，2，3，4，5这6个数字，可以组成____个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数． 类型二、乘法原理 【例6】公园有4个门，从一个门进，一个门出，共有_____种不同的走法． 【例7】将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有_______． 【例8】如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求 甲学校连续参观两天，其余两所学校均只参观一天，那么不同的安排方法共有 种． 【例9】高二年级一班有女生18人，男生38人，从中选取一名男生和一名女生作代表，参加学校组织的调 查团，问选取代表的方法有几种． 【例10】六名同学报名参加三项体育比赛，每人限报一项，共有多少种不同的报名结果？ 【例11】六名同学参加三项比赛，三个项目比赛冠军的不同结果有多少种？ 【例12】用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且 1和2相邻，这样的六位数的个数是__________（用数字作答）． x2 y2 【例13】从集合{1，2，3，，11}中任选两个元素作为椭圆方程 + = 1中的m和n，则能组成落在矩形 m2 n2 区域B= {(x，y)||x|< 11，且| y|< 9}内的椭圆个数为（ ） A．43 B．72 C．86 D．90 【例14】若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函 数解析式为y= -x2，值域为{-1，- 9}的“同族函数”共有（ ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【例15】某银行储蓄卡的密码是一个4位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位和个位上的数 字（如2816）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选0，并且千位、百位上都能取0．这样设 计出来的密码共有（ ） A．90个 B．99个 C．100个 D．112个 【例16】从集合{-4，- 3，- 2，- 1，0，1，2，3，4，5}中，选出5个数组成子集，使得这5个数中的任何两个 1数之和不等于1，则取出这样的子集的个数为（ ） A．10 B．32 C．110 D．220 【例17】若x、y是整数，且 x ≤6， x ≤6，则以(x，y)为坐标的不同的点共有多少个？ 【例18】用0，1，2，3，4，5这6个数字： ⑴可以组成______________个数字不重复的三位数． ⑵可以组成______________ 个数字允许重复的三位数． 【例19】六名同学报名参加三项体育比赛，共有多少种不同的报名结果？ 【例20】将3名教师分配到2所中学任教，每所中学至少一名教师，则不同的分配方案共有（ ）种． A．5 B．6 C．7 D．8 类型三、基本计数原理的综合应用 【例21】用0，3，4，5，6排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数 的个数是_________．（用数字作答） 【例22】若自然数n使得作竖式加法n+ (n+ 1)+ (n+ 2) 均不产生进位现象．则称n为“可连数”．例如：32 是“可连数”，因32+ 33+ 34不产生进位现象；23不是“可连数”，因23+ 24+ 25产生进位现象．那么，小 于1000的“可连数”的个数为（ ） A．27 B．36 C．39 D．48 【例23】由正方体的8个顶点可确定多少个不同的平面？ 【例24】分母是385的最简真分数一共有多少个？并求它们的和． 【例25】用0，1，2，3，4，5这6个数字，可以组成_______个大于3000，小于5421的数字不重复的 四位数． 【例 26】某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“创 创 创 0000 ”到 “创 创 创 9999”共10000个号码．公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”， 则这组号码中“优惠卡”的个数为（ ） A．2000 B．4096 C．5904 D．8320 【例27】同室4人各写1张贺年卡，先集中起来，然后每人从中各拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡 不同的分配方式有（ ） A．6 B．9种 C．11种 D．23种 【例28】某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个节目 插入原节目单中，那么不同的插法种数为（ ） A．504 B．210 C．336 D．120 【例29】某班学生参加植树节活动，苗圃中有甲、乙、丙3种不同的树苗，从中取出5棵分别种植在排成 一排的5个树坑内，同种树苗不能相邻，且第一个树坑和第5个树坑只能种甲种树苗的种法共（ ） A．15种 B．12种 C．9种 D．6种 【例30】用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ） A．324 B．328 C．360 D．648 2【例31】足球比赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么一个队打14场共得 19分的情况有( ) A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 3专题 1 两个计数原理 类型一、加法原理 【例1】高二年级一班有女生18人，男生38人，从中选取一名学生作代表，参加学校组织的调查团，问选 取代表的方法有几种． 【解析】18+38=56． 【例2】若a、b是正整数，且a+ b≤6，则以(a，b)为坐标的点共有多少个？ 【解析】6´ 6=36． 【例3】用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ） A．324 B．328 C．360 D．648 【解析】由题意知本题要分类来解， 当尾数为2、4、6、8时，个位有4种选法， 因百位不能为0，所以百位有8种，十位有8种，共有8创8 4= 256 当尾数为0时，百位有9种选法，十位有8种结果， 共有9创8 1= 72 根据分类计数原理知共有256+ 72= 328 故选：B． 【例4】用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（ ） A．8 B．24 C．48 D．120 【解析】由题意知本题需要分步计数， 2和4排在末位时，共有A1= 2种排法， 2 其余三位数从余下的四个数中任取三个有A3= 4创3 2= 24种排法， 4 根据由分步计数原理得到符合题意的偶数共有2´ 24= 48（个)． 故选：C ． 【例5】用0，1，2，3，4，5这6个数字，可以组成____个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数． 【解析】分四类：①千位数字为3,4之一时，百十个位数只要不重复即可，有2A3 = 120个； 5 ②千位数字为5时，百位数字为0,1,2,3之一时，有A1A2 = 48个；③千位数字为5时，百位数字是4，十位 4 4 数字是0,1之一时，有A1A1= 6个；最后还有5420也满足题意. 2 3 所以，所求四位数共有120+48+6+1=175个. 故答案为 175． 类型二、乘法原理 1【例6】公园有4个门，从一个门进，一个门出，共有_____种不同的走法． 【解析】根据题意，要求从从任一门进，从任一门出， 则进门的方法有4种，出门的方法也有4种， 则不同的走法有4´ 4= 16种 【例7】将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有_______． 【解析】根据题意，依次对3个小球进行讨论： 第一个小球可以放入任意一个盒子，即有4种不同的放法， 同理第二个小球也有4种不同的放法， 第三个小球也有4种不同的放法， 即每个小球都有4种可能的放法， 根据分步计数原理知共有即4创4 4= 64不同的放法， 故答案为：64． 【例8】如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求 甲学校连续参观两天，其余两所学校均只参观一天，那么不同的安排方法共有 种． 【解析】分两步完成，第一步先安排甲学校参观，共六种安排方法；第二步安排另外两所学校，共有A2安 5 排方法，故不同的安排种法有6´ A2 = 120， 5 故答案为120． 【例9】高二年级一班有女生18人，男生38人，从中选取一名男生和一名女生作代表，参加学校组织的调 查团，问选取代表的方法有几种． 【解析】C1 C1 = 684 18 38 【例10】六名同学报名参加三项体育比赛，每人限报一项，共有多少种不同的报名结果？ 【解析】每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法，根据分步乘法计数原理， 可得共有不同的报名方法36 = 729种． 【例11】六名同学参加三项比赛，三个项目比赛冠军的不同结果有多少种？ 【解析】由题意，每项比赛的冠军都有6种可能， 因为有3项体育比赛，所以冠军获奖者共有6创6 6= 63种可能 【例12】用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且 1和2相邻，这样的六位数的个数是__________（用数字作答）． 【解析】解析：可分三步来做这件事： 第一步：先将3、5排列，共有A2种排法； 2 2第二步：再将4、6插空排列，插空时要满足奇偶性不同的要求，共有2A2种排法； 2 第三步：将1、2放到3、5、4、6形成的空中，共有C1种排法． 5 由分步乘法计数原理得共有A22A2C1= 40（种)． 2 2 5 答案为：40 x2 y2 【例13】从集合{1，2，3，，11}中任选两个元素作为椭圆方程 + = 1中的m和n，则能组成落在矩形 m2 n2 区域B= {(x，y)||x|< 11，且| y|< 9}内的椭圆个数为（ ） A．43 B．72 C．86 D．90 【解析】椭圆落在矩形内，满足题意必须有，m¹ n，所以有两类， 一类是m，n从{1，2，3，¼ 6，7，8}任选两个不同数字，方法有A2 = 56 8 令一类是m从9，10，两个数字中选一个，n从{1，2，3，¼ 6，7，8}中选一个 方法是：2´ 8= 16 所以满足题意的椭圆个数是：56+ 16= 72 故选：B． 【例14】若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函 数解析式为y= -x2，值域为{-1，- 9}的“同族函数”共有（ ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【解析】定义域是集合的子集，且子集中至少应该含有-1、1中的一个和-3、3中的一个， 满足条件的定义有：{- 1，- 3}、{- 1，3}、{1，- 3}、{1，3}、{- 1，1，- 3}、{- 1，1，3}、{- 1，-3， 3}、{1，-3，3}、{- 1，1，-3，3}，共9个． 故选：C ． 【例15】某银行储蓄卡的密码是一个4位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位和个位上的数 字（如2816）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选0，并且千位、百位上都能取0．这样设 计出来的密码共有（ ） A．90个 B．99个 C．100个 D．112个 【例16】从集合{-4，- 3，- 2，- 1，0，1，2，3，4，5}中，选出5个数组成子集，使得这5个数中的任何两个 数之和不等于1，则取出这样的子集的个数为（ ） A．10 B．32 C．110 D．220 【解析】从集合{- 1，- 2，-3，- 4，0，1，2，3，4，5}中，随机选出5个数组成 子集，共有C 5种取法，即可组成C 5个子集， 10 10 3记“这5个数中的任何两个数之和不等于1”为事件A， 而两数之和为1的数组分别为(- 1,2)，(- 2,3)，(- 3，4)(- 4，5)，(0,1)， A包含的结果有①只有有一组数的和为1，有C 1C 3C 1C 1C 1= 160种结果 5 4 2 2 2 ②有两组数之和为1，有C 2C 1= 60种， 5 6 则A包含的结果共有220种 故答案为：220． 【例17】若x、y是整数，且 x ≤6， x ≤6，则以(x，y)为坐标的不同的点共有多少个？ 【解析】整数x，y满足 x ≤6， x ≤6 则xÎ A= {- 6,- 5,- 4,- 3，- 2，-1，0，1，2，3,4,5,6}，yÎ B= {- 6,- 5,- 4，-3，- 2，-1，0，1，2， 3，4,5,6}， 从A种选一个共有13种方法，从B选一个共有13种方法， 故有13´13= 169种． 故答案为：169． 【例18】用0，1，2，3，4，5这6个数字： ⑴可以组成______________个数字不重复的三位数． ⑵可以组成______________个数字允许重复的三位数． 【解析】（1）根据题意，分2步分析： ①、先选百位，百位可以在1、2、3、4、5中任选1个，则百位有5种方法， ②、在剩下的5个数字中任选2个，安排在十位、个位，有A2 = 20种选法， 5 则可以组成5´ 20= 100个无重复数字的三位数 （2）分3步进行分析： ①、先选百位，百位可以在1、2、3、4、5中任选1个，则百位有5 种选法， ②、再选十位，十位可以在0、1、2、3、4、5中任选1个，则十位有6种选法， ③、最后分析个位，个位可以在0、1、2、3、4、5中任选1个，则个位有6种选法， 则可以组成5创6 6= 180个数字允许重复的三位数； 【例19】六名同学报名参加三项体育比赛，共有多少种不同的报名结果？ 【解析】3创3 3创3 3�3 36 【例20】将3名教师分配到2所中学任教，每所中学至少一名教师，则不同的分配方案共有（ ）种． A．5 B．6 C．7 D．8 4【解析】将3名教师分配到2所中学任教，每所中学至少1名教师， 只有一种结果1，2， 首先从3个人中选2个作为一个元素， 使它与其他两个元素在一起进行排列， 共有C2A2 = 6种结果， 3 2 故选：B． 类型三、基本计数原理的综合应用 【例21】用0，3，4，5，6排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数 的个数是_________．（用数字作答） 【解析】按首位数字的奇偶性分两类： 一类是首位是奇数的，有：A2A3； 2 3 另一类是首位是偶数，有：(A3- A2)A2 3 2 2 则这样的五位数的个数是：A2A3+ (A3- A2)A2 = 20． 2 3 3 2 2 故答案为：20． 【例22】若自然数n使得作竖式加法n+ (n+ 1)+ (n+ 2) 均不产生进位现象．则称n为“可连数”．例如：32 是“可连数”，因32+ 33+ 34不产生进位现象；23不是“可连数”，因23+ 24+ 25产生进位现象．那么，小 于1000的“可连数”的个数为（ ） A．27 B．36 C．39 D．48 【解析】如果n是良数，则n的个位数字只能是0，1，2，非个位数字只能是0，1，2，3（首位不为0)， 而小于1000的数至多三位， 一位的良数有0，1，2，共3个 二位的良数个位可取0，1，2，十位可取1，2，3，共有3´ 3= 9个 三位的良数个位可取0，1，2，十位可取0，1，2，3，百位可取1，2，3，共有3创4 3= 36个． 综上，小于1000的“良数”的个数为3+ 9+ 36= 48个 故选：D． 【例23】由正方体的8个顶点可确定多少个不同的平面？ 【解析】依题意，正方体的8个顶点所确定的平面有：6个表面，6个对角面，8个正三角形平面共20个. 故答案为：20 【例24】分母是385的最简真分数一共有多少个？并求它们的和． 5385 【解析】因为3855711，在1~385这385个自然数中，5的倍数有[ ]77（个)， 5 385 385 7的倍数有[ ]55（个)，11的倍数有[ ]35（个)， 7 11 385 385 5735的倍数有[ ]11（个)，51155的倍数有[ ]7（个)， 35 55 385 71177的倍数有[ ]5（个)，385的倍数有1个． 77 由容斥原理知，在1~385中能被5、7或11整除的数有775535(1175)1145（个)， 而5、7、11互质的数有385145240（个)．即分母为385的真分数有240（个)． a 385a 如果有一个真分数为 ，则必还有另一个真分数 ，即以385为分母的最简真分数是成对出现的， 385 385 而每一对之和恰为1．故以385为分母的240最简分数可以分成120时，它们的和为1120120． 【例25】用0，1，2，3，4，5这6个数字，可以组成_______个大于3000，小于5421的数字不重复的 四位数． 【解析】分四类：①千位数字为3,4之一时，百十个位数只要不重复即可，有2A3 = 120个； 5 ②千位数字为5时，百位数字为0,1,2,3之一时，有A1A2 = 48个；③千位数字为5时，百位数字是4，十位 4 4 数字是0,1之一时，有A1A1= 6个；最后还有5420也满足题意. 2 3 所以，所求四位数共有120+48+6+1=175个. 故答案为 175． 【例 26】某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“创 创 创 0000 ”到 “创 创 创 9999”共10000个号码．公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”， 则这组号码中“优惠卡”的个数为（ ） A．2000 B．4096 C．5904 D．8320 【解析】10000个号码中不含4、7的有84 = 4096， \ “优惠卡”的个数为10000- 4096= 5904， 故选：C ． 【例27】同室4人各写1张贺年卡，先集中起来，然后每人从中各拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡 不同的分配方式有（ ） A．6 B．9种 C．11种 D．23种 【解析】设四人分别为a、b、c、d，写的卡片分别为A、B、C、D， 由于每个人都要拿别人写的，即不能拿自己写的，故a有三种拿法， 不妨设a拿了B，则b可以拿剩下三张中的任一张，也有三种拿法，c和d只能有一种拿法， 所以共有3创3 1�1 9种分配方式， 6故选：B． 【例28】某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个节目 插入原节目单中，那么不同的插法种数为（ ） A．504 B．210 C．336 D．120 【解析】由题意知将这3个节目插入节目单中，原来的节目顺序不变， \ 三个新节目一个一个插入节目单中， 原来的6个节目形成7个空，在这7个位置上插入第一个节目，共有7种结果， 原来的6个和刚插入的一个，形成8个空，有8种结果，同理最后一个节目有9种结果 根据分步计数原理得到共有插法种数为7创8 9= 504， 故选：A． 【例29】某班学生参加植树节活动，苗圃中有甲、乙、丙3种不同的树苗，从中取出5棵分别种植在排成 一排的5个树坑内，同种树苗不能相邻，且第一个树坑和第5个树坑只能种甲种树苗的种法共（ ） A．15种 B．12种 C．9种 D．6种 【解析】同种树苗不相邻且第一个树坑和第5个树坑只能种甲种树苗， \ 只有中间三个坑需要选择树苗，当中间一个种甲时，第二和第四个坑都有2种选法，共有4种结果， 当中间一个不种甲时，则中间一个种乙或丙， 当中间这个种乙时，第二和第四个位置树苗确定， 当中间一个种丙时，第二和第四个位置树苗确定， 共有2种结果， \ 总上可知共有4+ 2- 6种结果， 故选：D． 【例30】用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ） A．324 B．328 C．360 D．648 【解析】由题意知本题要分类来解， 当尾数为2、4、6、8时，个位有4种选法， 因百位不能为0，所以百位有8种，十位有8种，共有8创8 4= 256 当尾数为0时，百位有9种选法，十位有8种结果， 共有9创8 1= 72 根据分类计数原理知共有256+ 72= 328 故选：B． 7【例31】足球比赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么一个队打14场共得 19分的情况有( ) A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【解析】得3分最多6场，则1分的1场，剩余的场次均得0分；若3分的共5场，则1分的共4场；若3 分的共4场，则1分的共7场；若得3分的共3场，则1分的共9场；若得3分的2场，则1分的13场， 不合题意，故选B. 8