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2024 学年第一学期奉贤区高三学科质量调研
数学
（完卷时间120分钟，满分150分）
一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号
的空格内直接写结果，1~6题每个空格填对得 4分，7~12题每个空格填对得 5
分．
1．设全集 ，集合 ，则 _______．
2．若直线 ： 与直线 ： 互相垂直，则 _______．
3．已知 ，则不等式 的解集为_______．
4．设 若 ，则 _______．
5．若 ， ， ， ， 五人站成一排，如果 ， 必须相邻，那么排法共_______种．
6． 的二项展开式中的常数项为_______．（用数字作答）
7．已知抛物线 上有一点 到准线的距离为 ，点 到 轴的距离为 ，则
抛物线的焦点坐标为_______．
8．在复平面内， 为坐标原点，复数 ， 对应的点分别为 、
，其中 为虚数单位，则 的大小为 _______．
9． 、 两人下棋，每局两人获胜的可能性一样．某一天两人要进行一场三局两胜的比
赛，
最终胜者赢得100元奖金．第一局比赛 胜，后因为有其他要事中止比赛．为求公平，
则 应该分得______元奖金．
10．申辉中学高一（8）班设计了一个“水滴状”班徽的平面图（如图），徽
章
由等腰三角形 及以弦 和劣弧 所围成的弓形所组成，其中
，劣弧 所在的圆为三角形的外接圆，圆心为 ．
已知 ， ，外接圆的半径是 ，则该图形的面积为
_______．（用含 的表达式表示）
11．上海市奉贤区奉城镇的古建筑万佛阁（左图1）的屋檐下常系挂风铃（中间图2），风吹铃动，悦耳清脆，亦称惊鸟铃．一般一个惊鸟铃由铜铸造而成，由铃身和铃舌组成．
为了知道一个惊鸟铃的质量，可以通过计算该惊鸟铃的体积，然后由物理学知识计算
出该惊鸟铃的质量．因此我们需要作出一些合理的假设：
假设1：铃身且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥；
假设2：两圆锥的轴在同一条直线上；
假设3：铃身内部有一个挂铃舌的部位的体积忽略不计．
截 面 图 如 下 （ 右 图 3 ） ， 其 中 ，
， ，则制作 100 个这样的惊鸟铃 的
铃身至少需要_______千克铜．（铜的密度为 ）
（结果精确到个位）
12．已知集合 ， 是由函数 ， 的图像
上两两不相同的点构成的点集,集合 ,其中
、 ．若集合 中的 元素按照 从 小
到大的顺序排列能构成公差为 的等 差 数 列 , 当
时，计算符合条件的点集 的个数为____________．
二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，
考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14选对每个得4
分，15-16选对每个得5分，否则一律零分．
13．在 中，“ ”是“ ”的（ ）
A．充分非必要条件； B．必要非充分条件；
C．充要条件； D．既非充分又非必要条件．
14．函数 ，则下列命题正确的是（ ）
A．函数是偶函数； B．函数定义域是 ；
C．函数最大值 ； D．函数的最小正周期为 ．
15．在四棱锥 中，若 ，则实数组 可能是（ ）
A． ； B． ； C． ； D． ．
16．已知数列 不是常数列，前 项和为 ， ．若对任意正整数 ，存在正整数 ，使得 ，则称 是“可控数列”．现给出两个命题：
①若各项均为正整数的等差数列 满足： ，则 是“可控数列”；
②若等比数列 是“可控数列”，则其公比为 ．
则下列判断正确的是（ ）
A．①与②均为真命题； B．①与②均为假命题；
C．①为假命题，②为真命题； D．①为真命题，②为假命题．
三、解答题（第17~19题每题14分，第20~21题每题18分，满分78分）
17．已知函数 ，其中 ．
（1）若函数 的图像过点 ，求关于 的不等式 的解集；
（2）存在 ，使得数列 、 、 是等比数列，求实数 的取
值
范围．
18．某芯片代工厂生产甲、乙两种型号的芯片，为了解芯片的某项指标，从这两种芯片中
各抽取100件进行检测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示：
假设数据在组内均匀分布，以样本估计总体，以事件发生的频率作为相应事件发生的
概率．
（1）求频率分布直方图中 的值并估计乙型芯片该项指标的平均值（同一组中的数据用该
组区间的中点值为代表）；
（2）已知甲型芯片指标在 为航天级芯片，乙型芯片指标在标在 为航天
为航天级芯片．现分别采用分层抽样的方式，从甲型芯片指标在 内取2件，
乙型芯片指标在 内取4件，再从这6件中任取2件，求至少有一件为航天级
芯片的概率．
19．如图为正四棱锥 ， 为底面 的中心．
（1）求证： ∥面 ，平面 ⊥平面 ；
（2）设 为 上的一点， ．
在下面两问中选一个，若都选，只按第①问阅卷，第①问满分5分，第②问满分7分
①若 ，求直线 平面 所成角的大小．②已知平面 与平面 所成锐二面角的大小为 ，
若 ，求 的长．
20．椭圆 ： 的左右焦点分别为 、 ，设 是第一象限内椭
圆上的一点， 的延长线分别交椭圆于点 ．
（1）若椭圆的离心率 ，求 的值；
（2）若 ， ，求 ；
（3）若 ，过点 的直线 与椭圆 交于 、 两点，且 ，则当
时，判断符合要求的直线有几条，说明理由？
21．若函数 的图像上存在 个不同点 、 、 、 处的切线重
合，则称该切线为函数 的一条 点切线，该函数具有 点切线性质．
（1）判断函数 ， 的奇偶性并写出它的一条 点切线方程（无需理
由）；（2）设 ，判断函数 是否具有 点切线性质，并说明理由；
（3）设 ，证明：对任意的 ，函数 具有 点切
线性质，并求出所有相应的切线方程.参考答案
一、填空题
1． 2．
3． 4．
5． 6．
7． 8． （或 ）
9． 10．
11．120（119也可以） 12．
二、选择题
13．A 14．C 15．A 16．D
三、解答题（第17~19题每题14分，第20~21题每题18分，满分78分）
17．解：（1）将点 代入函数解析式，得： ，
因为 ，所以 . …………………………2分
因为 在 上是严格增函数，
所以 ， …………………………3
分
解得 或 ，
所以原不等式的解集为 . …………………………2分
（2）由题意，数列 、 、 是等比数列，
…………………………2
得： ，
分
即： ，化简得 …………………………1分
，所以 …………………………1分因为 在 上是严格减函数， …………………………1
分
所以 ，所以 的取值范围是 . …………………………2分
若 ，化简得 的解法最多扣一分 …………………1
分
18． 解：（1）由题意 ，
解得： . …………………………3
分
乙型芯片该项指标的平均值为
………3分
（2）由题意：甲型芯片根据分层抽样 取1件， 取1件； ……………2
分
乙型芯片根据分层抽样 取3件， 取1件. ……………2
分
从6件中任取2件的情况有 ……………2分
则至少有一件为航天级芯片的概率为 . ……………2分
19．解：（1）证明： ∥ ， 平面 ， 不在平面 内，…………2
分
由线面平行判定定理得
∥面 …………………………1分
由题意：四棱锥 为正四棱锥， 为底面 的中心
所以 底面 ，
所以 ， …………………………1分
，
又因为 （这一步必需有） …………………………1
分
由线面垂直的判定定理得 平面 …………………………1分又因为 平面
所以由 面面垂直的判定定理得平面 平面
. …………………………1分
（2）选①若 ，求直线 与面 所成角的大小．
由（1）知道 平面 ， 点在 上，所以面 与面 是同一个平面
连 ，则 是直线 与面 所成的角 ……………1分
，可以计算
，可以计算
，可以得到
，
利用余弦定理得：
……………3分
所以直线 与面 所成角的大小 …………………………1分
选②已知平面 与平面 所成锐二面角的大小为 ，
，可以计算 …………………………1
分
在平面 内过 点作 交于点
根据 底面 得 ，所以 ∥ …………………………1
分
所以 底面 …………………………1分
过 点作 交 于点
连 ，根据三垂线定理得到： …………………………1分
是平面 与平面 所成的二面角的平面角 …………………………1分
，可以得到 ，所以平面 …………………………1分
…………………………1分
，可以计算 …………………………1分
在平面 内过 点作 交于点
根据 底面 得 ，所以 ∥ …………………………1
分
所以 底面 …………………………1分
过 点作 交 于点
连 ，根据三垂线定理得到： …………………………1分
是平面 与平面 所成的二面角的平面角 …………………………1分
，可以得到 ，
所以平面 …………………………1分
…………………………1分
第（2）问另解：
如图，以 为原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴
建立空间直角坐标系.
选①若 ，求直线 与面 所成角的大小．
点 ，点
因为 ， …………………………1分
由（1）可得 平面
所以平面 的一个法向量 …………………………1分
所以 …………………………2分
所以直线 与面 所成角的大小 …………………………1分
若选②已知平面 与平面 所成二面角的大小为
点 ，点 ，
设
因为 ，得 …………………………1分易得 ，
设平面 的一个法向量为 得： ，
求得： …………………………2分
又平面 的一个法向量为
所以 ， …………………………2
分
又因为平面 与平面 所成二面角的大小为
所以 ，解得 …………………………1分
…………………………1分
20．解：（1）椭圆的离心率 …………………………2
分
所以 …………………………2分
（2）显然直线 的斜率是存在的，
…………………………1分
…………………………1分
直线 ，过点 的直线方程为 ， ……………………1分
它与椭圆 联立得到
， ……………………1分
…………………………1分
…………………………1分（3） 时，椭圆方程为
斜率不存在时，过任意点 的唯一的直线 ： 与椭圆交于 、 两点坐
标 ，此时 恒成立 …………………………………2分
斜率存在时，设过任意点 的直线 的方程为
联立它与椭圆 联立得到
……………………………1分
…………………………………1分
时，方程 方程无解…………………………………1分
时，
当 时，存在直线斜率为 的直线 ，使得使得 ………………1分
当 时，即
存在 的两条直线，使得 ………………………………………1分
所以： 存在3条直线，使得
存在2条直线，使得 ………………………1分
或 存在1条直线，使得
21．解：（1）函数 ， 是偶函数 …………………………2分
其一条 点切线方程为： …………………………2分
（2）因为 ，所以 . …………………………2分
记 ，则
由 ，知函数 在 上为严格增函数. ……………………2分因此，对于函数 的图像上任意两点， ， ，
，所以其切线斜率不相等，切线不可能重合，
因此函数 不具有 点切线性质. …………………………2分
（3） ， ，…………………………1分
故函数在 处的切线方程为： ，
即 ……………1分
一方面取 个点 、 、 、…、 ，在
该 个点处的切线方程均为：
所以该函数具有 点切线性质.…………………………2分
另一方面，若在点 ( )处的切线重合.
则有 .
由 可以知道角 与 终边相同或关于 轴对称、角 与 终边相
同或关于 轴对称、角 与 终边相同或关于 轴对称，
因 中至少2个角终边相同，不妨设角 与 终边相同，则 （
） . 此 时 ， 且
，
则 ，故 ，则 或 ……………2分
此时切线方程为 或 .…………………………2分
