文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（新八省专用）
黄金卷02
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集的概念及运算、由指数函数的单调性解不等式
【分析】根据条件求出集合 ，计算 .
【详解】由题意得， ，
∵ ，
∴ .
故选：B.
2．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复数的除法运算、共轭复数的概念及计算
【分析】根据题意先求 ，进而用复数的除法运算即可求解.
【详解】由 得 ，
则 .
故选：C.3．已知向量 ， ，若 ， ，则 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】由向量共线（平行）求参数、利用向量垂直求参数
【分析】利用平面向量共线的坐标表示以及平面向量垂直的坐标表示可得出关于 、 的方程组，解出这
两个未知数的值，即可求得 的值.
【详解】因为 ， ，则 ，
，
因为 ，则 ，①
因为 ，则 ，可得 ，②
联立①②可得 ，因此， .
故选：A.
4．设 是锐角， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、正、余弦齐次式的计算
【分析】利用两角和与差的余弦公式，结合齐次式弦化切可得 ，进而可得答案.
【详解】因为 且 ，
所以 ，故 ，结合 ，
解得 .
故选：C.
5．图1是一尊名为“何尊”的西周青铜酒器，其高38.5厘米，器口直径28.6厘米.何尊内底铭文中出现了
“宅兹中国”四字（图2），这是已知“中国”一词最早的文字记载，标志早期“中国”概念形成和发展
过程中的关键节点.某同学为估算何尊的容积，设计了一个与之等高、等口径的组合体（图3）.该组合体由
一个圆柱和一个圆台构成，圆柱的上底面与圆台的上底面完全重合，圆柱与圆台的高之比为 ，圆台的
上、下底面积之比为 ，则该组合体的体积约为（ ）
A．11.8升 B．12.7升
C．13.6升 D．14.5升
【答案】A
【知识点】求组合体的体积、柱体体积的有关计算、台体体积的有关计算
【分析】由题意可得圆柱与圆台的高及圆台的上、下底面半径，再根据圆柱与圆台的体积公式即可求解.
【详解】因为组合体的高为38.5厘米，圆柱与圆台的高之比为 ，
所以圆柱的高为 厘米，圆台的高为 厘米.
因为器口直径28.6厘米，所以圆台的下底面半径为 厘米.
因为圆台的上、下底面积之比为 ，
所以圆台的上、下底面的半径之比为 ，
所以圆台的上底面半径为 厘米，
故圆柱的底面半径也为 厘米.
所以组合体的体积为立方厘米 升.
故选：A.
6．已知函数 .将函数 向左平移一个单位，再向上平移一个单位后得函数
，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】分段函数的性质及应用、根据函数的单调性解不等式、判断指数函数的单调性、函数图象的变
换
【分析】根据图象平移求出 ，分析 的单调性和值域，画出 的图象数形结合求解.
【详解】由函数ℎ(x)向左平移一个单位，再向上平移一个单位后得函数 ，
所以 ，
当 时，ℎ(x)即 单调递增，又 ，则 ，
又 时， 单调递增，又 ，则 ，
作出 的图象如图，
由 ， ，则 ，解得 或 ，
所以实数 的取值范围为 .
故选：C.
7．已知函数 的图象关于直线 对称，则当 时，曲线 与
的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】三角函数图象的综合应用、辅助角公式、由正弦函数的对称性求单调性、求函数零点或方程根
的个数
【分析】借助辅助角公式结合正弦型函数对称性可得 ，再画出 与 图象在同一坐标系中即可
得解.
【详解】 ，其中 ，且 ，
则有 ，解得 ，即 ，
则 ，即 ，
画出 与 图象如图所示：
由图可知，曲线y=f (x)与 的交点个数为 .
故选：B.
8．设函数 定义域为 ， 为奇函数， 为偶函数，当 时， ，则
下列结论错误的是（ ）A． B． 为奇函数
C． 在 上是减函数 D．方程 仅有 个实数解
【答案】C
【知识点】函数对称性的应用、求函数零点或方程根的个数、函数周期性的应用、研究对数函数的单调性
【分析】根据f (x−1)与 的奇偶性可判断函数 的对称性与周期性，从而作出函数图像，数形
结合判断各选项.
【详解】 为奇函数，即 ， 关于点 对称，
又 为偶函数，即 ， 关于直线 对称，
所以 ，即 ，
所以 ，
即函数 的最小正周期为 ，
A选项： ，A选项正确；
B选项： ，所以 为奇函数，B选项正确；
C选项：由当 时， ，所以 ，所以 在 上单调递
增，C选项错误；
D选项：由 ，得
作出函数 及 图像如图所示，由已知函数 的值域为 ，且 ，
当 时， ，函数 与 无公共点，
当 时，由图像可知函数 与函数 有 个公共点，
即 有 个解，D选项正确；
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．早在1733年，法国数学家棣莫弗在研究二项概率的近似计算时，提出了正态密度函数的形式，其解析
式为 ．其中 为参数．若随机变量X的概率分布密度函数为 ，则
称随机变量 服从正态分布，下列关于正态密度函数及图象的特点的说法中，正确的有（ ）
A．曲线是单峰的，它关于直线 对称
B．曲线在 处达到峰值
C．当 较小时，峰值低，正态曲线“矮胖”，表示随机变量 的分布分散；当 较大时，峰值高，正
态曲线“瘦高”，表示随机变量 的分布集中
D．当 无限增大时，曲线无限接近 轴
【答案】ABD
【知识点】正态曲线的性质
【分析】根据正态分布的性质结合解析式依次判断即可得出.【详解】对于A，当 时， 单调递增，则 单调递增，
当 时， 单调递减，则 单调递减，
又 ，所以 ，
故曲线是单峰的，它关于直线 对称，故A正确；
对于B，因为 ，有 ，因此 ，
当且仅当 时，等号成立，即曲线在 处达到峰值 ，故B正确；
对于C，由选项B可知，当 越小时，峰值 越大，则曲线越“瘦高”，故C错误.
对于D，因为正态曲线与x轴之间的区域的面积总为1，且 恒成立，
所以结合曲线的单调性可知，当 无限增大时，曲线无限接近 轴，故D正确.
故答案为：ABD.
10．若函数 在 处取得极大值，则（ ）
A． ，或
B． 的解集为
C．当 时，
D．
【答案】BCD
【知识点】判断或证明函数的对称性、根据极值求参数、高次不等式、比较函数值的大小关系
【分析】A选项，由题可得 ，据此得 的可能值，验证后可判断选项正误；B选项，由A分析，可得 表达式，解相应不等式可判断选项正误；C选项，由A分析结合 ， 大小关系可判
断选项正误；D选项，由A分析，验证等式是否成立可判断选项正误.
【详解】A选项，由题 ，则 ，
因在 处取得极大值，则 或 .
当 时， ，令 ； .
则 在 上单调递增，在 上单调递减，则 在 处取得极小值，不合题意；
当 时， ，令 ； .
则 在 上单调递增，在 上单调递减，则 在 处取得极大值，满足题意；
则 ，故A错误；
B选项，由A可知， ，则 .
故B正确；
C选项，当 ，则，则 ，由A分析， 在(0,1)上单调递增，
则 ，故C正确；
D选项，令 ，由A可知， .
则
，
又 ，则 ，故D正确.
故选：BCD
11．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线、卵形线、蔓叶线等，心形线也是其中一种，因
其形状像心形而得名，其平面直角坐标方程可表示为 ，图形如图所示．当时，点 在这条心形线C上，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．
D．C上有4个整点（横、纵坐标均为整数的点）
【答案】ACD
【知识点】由方程研究曲线的性质
【分析】根据三点共线可得直线过原点，联立直线与曲线的方程，求解 ，即
可根据弦长公式求解AB，根据三角函数的性质即可求解C，利用换元法，结合判别式，即可求解方程的
整数根.
【详解】依题意，心形线C的直角坐标方程为 ，
过原点 ,由 ，可知 三点共线，
可设直线 ，由
消去y，得 ．
不妨设 ，
则 ．∴ ，故A正确；
，
当 时， ，故B错误；
设点 在心形线C上， ，角 以x轴非负半轴为起始边，
则心形线C的方程转化为 ，
即 ，
∴ ，又 ，
∴ ，故C正确；
由 ，可知 ．
令 ，则心形线C的方程可化为 ：，
∴ ，
当 ， 或 ，进而可得 或0，
当 时，方程无整数解；
当 时， ，故
∴C上有4个整点 ，故D正确，
故选:ACD．
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．设双曲线 的两条渐近线的倾斜角分别为 ，若 ，则 的离心率为．
【答案】 /
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】根据 的两个关系，再由 ，求解离心率.
【详解】根据双曲线 的两条渐近线的倾斜角为 ，
则 ，又 ，所以 ，
所以 ,故 .
故答案为： .
13．若曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线，则 .
【答案】1
【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、简单复
合函数的导数
【分析】先求出曲线 在 的切线方程，再设曲线 的切点为 , ，求出
，利用公切线斜率相等求出 表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解
【详解】由 ，得 ， ，
故曲线 在 处的切线方程为 ；
由 ，得 ，
设切线与曲线 相切的切点为 , ，
由两曲线有公切线得 ，解得 ，则切点为 ，切线方程为 ，
根据两切线重合，解得 ．
故答案为：1．
14．在 维空间中 ，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为 维坐标
，其中 .定义：在 维空间中两点 与 的曼哈顿
距离为 .在 维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量 为所
取两点间的曼哈顿距离，则 .
【答案】
【知识点】计算古典概型问题的概率、求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列
【分析】先确定样本点总数，再得到 的可能取值，求出概率 ，
列出分布列，求出期望.
【详解】对于 维坐标 ，其中 .即 有两种选择 ，
故共有 种选择，即 维“立方体”的顶点个数是 个顶点；
当 时，在坐标 与 中有 个坐标值不同，即有 个坐标值满足 ，剩
下 个坐标值满足 ，
则满足 的个数为 .
所以 .
故分布列为：则 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于确定当 时，在坐标 与 中有 个
坐标值不同，即有 个坐标值满足 ，剩下 个坐标值满足 ，再由
求出概率.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）在 中，角 的对边分别是 ，且 ．
(1)求角 ；
(2)已知 为 边上一点，且 ，求 的长．
【答案】(1)
(2)1
【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、用和、差角的正弦公式化简、求值
【分析】（1）根据正弦定理边化角，然后结合两角和的正弦公式及特殊角的余弦值求解即可.
（2）利用三角形相似得 ，求得 ，然后在 中由余弦定理求解 即可.
【详解】（1）由正弦定理可得： ，
，
由 可得： ，
，
，
可得： ，， ， .
（2） ，
与 相似，满足： ，
设 ，则有 ，
解得： （舍去），即： ，
，
在 中，由余弦定理可得： ，
即： ，
解得： （舍去）， 的长为1.
16．（15分）设直线 与椭圆C： 相交于A，B两点，点M为线段AB的中
点，且直线OM的斜率为 （O为坐标原点）.
(1)求C的离心率；
(2)若点D的坐标为 ，且 ，求C的方程.
【答案】(1)
(2)
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、根据韦达定
理求参数
【分析】（1）直线与椭圆联立，由韦达定理求出直线 的斜率，即可得出C的离心率；（2）由角度相等得出 ，结合（1）中 ，求出 的值，即可求出C的方程.
【详解】（1）由题意，
设 ， ， ，C的离心率为 .
联立方程组 并消去y，得 .
所以判别式 ， ，
因为点M为线段AB的中点，所以 ， .
因为直线OM的斜率为 ，所以 ，
所以 ，
所以椭圆的离心率为
（2）由题意及（1）得，
由 ，知 .
所以 ，即 .整理得， .
所以 ，化简得 .
又由（1）知， ，联立方程组解得， ， .
经检验，满足 ，
所以C的方程为： .
17．（15分）如图，在四棱锥 中， 平面 是边长为 的等边三角形，
， ．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若平面 与平面 夹角的余弦值为 ，求 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】证明面面垂直、已知面面角求其他量
【分析】（1）根据条件，利用余弦定理得到 ，从而得到 ，利用线面垂直的性质得到
，进而得到 面 ，再利用面面垂直的判定定理，即可证明结果；
（2）建立空间直角坐标系，设 ，求出平面 与平面 的法向量，利用面面角的向量法，得到 ，即可求解.
【详解】（1）在 中， ， ， ，
由余弦定理 ，得到 ，
解得 ，所以 ，得到 ，又 ，
所以 ，即 ，
又 平面 ， 面 ，所以 ，
又 ， 面 ，所以 面 ，又 面 ，
所以平面 平面 .
（2）以 所在直线为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设 ，因为 ， ， ，
则 ，
则 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，得到 ，取 ，得到 ，即 ，
易知平面 的一个法向量为 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 ，整理得到 ，解得 ，
所以 .18．（17分）已知函数 .
(1)当 时，求 的极值；
(2)若 存在两个极值点 .
（i）求 的取值范围；
（ii）证明： .
【答案】(1) 的极小值为 ，无极大值
(2)（i） ；（ⅱ）证明见详解
【知识点】利用导数证明不等式、根据极值点求参数、求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点
【分析】（1）求导，利用导数求 的单调性和极值；
（2）（i）求导可得 ，构建 ，由题意可知
在 内有两个变号零点，结合导数分析函数零点即可得结果；（ⅱ）由（i）可知， ，
且 ，构建 ，利用导数求最值即可.
【详解】（1）当 时， ，可知 的定义域为(0,+∞)，且 ，
当 时，f'(x)<0；当 时，当f'(x)>0；
可知 在 上单调递减， 在 上单调递增，
所以 的极小值为 ，无极大值.
（2）（i）由题意可得： 的定义域为 ，
且 ，
设 ，可知 在 内有两个变号零点，
则 ，
当 ， ；当 时， ；
可知 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 的最小值为 ，
且当 趋近于 时， 趋近于 ，
当 时，则 ，可得 ，
可得 ，即当 趋近于 时， 趋近于 ，
可得 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 ；
（ii）由（i）可知， ，且 ，所以 ，
设 ，显然 ，又 ，
因为 ，则ℎ '(x)<0，可知 在 上单调递减，
且 ，可得 ，
所以 .
【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题
求解的通法是：
（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；
（2）求导数，得单调区间和极值点；
（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解．
19．（17分）已知数列 是正整数 的一个全排列，若对每个
都有 或 ，则称 为 数列
(1)列出所有 数列 的情形；
(2)写出一个满足 的 数列 的通项公式；
(3)在 数列 中，记 ，若数列 是公差为 的等差数列，求证： 或
.
【答案】(1)答案见解析；
(2)答案见解析；
(3)证明见解析.
【知识点】由递推关系式求通项公式、数列新定义、等差数列通项公式的基本量计算
【分析】（1）讨论 ，由条件确定 ，由此确定 ，可得结论；
（2）由（1）确定 的前 项，构造数列满足 ，证明此时满足条件，由此确定 ；（3）由条件可得 ， ，
通过讨论，证明结论.
【详解】（1）若 ，则 或 ，
当 ， 时， ， ， ，此时 为 ，
当 ， 时， ， ， ，此时 为 ，
同理可得 可能为： 或 或 或
或 或 或 或 ，
（2）若将 记为 的第一组数，
构造数列满足 ，
则对任意的 ， ，
或 ，
当 时， 符合要求，
，
.
综上所述： ，
同理可得若将 记为的第一组数，则 ， ，（3） 为等差数列 .
，
且由 或3，可得 或 ，
且 ，
① 若 ，则 ， ，不符题意，
② 若 ，则 ， ，不符题意，
③ 若 ，则 ，
当 时， ，不符题意，
当 时， 或 ，
所以可以找到这样的 使之成立(例如第 (2) 问中的结论)，
④ 若 ，则 ，可得 ，不符题意，
⑤ 若 ，则 ，
当 时， ，不符题意
当 时，同③可以找到这样的 使之成立 (例如第(2)问中的结论)
⑥ 若 ，则 ， ，不符题意，
综上所述，若 为等差数列，则 或 .
【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后
根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但
是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
