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第四章 几何图形初步（重难易错必考点查漏补缺集）
-七年级数学上册单元培优达标强化卷（人教版）解析版
1．（2019·河北初一期末）把一副三角板的直角顶点O重叠在一起．
（1）问题发现：如图①，当OB平分∠COD时，∠AOD+∠BOC的度数是 ；
（2）拓展探究：如图②，当OB不平分∠COD时，∠AOD+∠BOC的度数是多少？
（3）问题解决：当∠BOC的余角的4倍等于∠AOD时，求∠BOC的度数．
【答案】（1）180°；（2）180°；（3）60°．
解：（1）∵OB平分∠COD，
∴∠BOC=∠BOD=45°．
∵∠AOC+∠BOC=45°，
∴∠AOC=45°，
∴∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠COD+∠BOC=45°+90°+45°=180°．
故答案为180°；
（2）∵∠AOB=∠AOC+∠BOC=90°，∠COD=∠BOD+∠BOC=90°，
∴∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠BOC+∠BOD+∠BOC=90°+90°=180°；
（3）∵由（1）、（2）得，∠AOD+∠BOC=180°，
∴∠AOD=180°﹣∠BOC．
∵∠AOD=4（90°﹣∠BOC），
∴180°﹣∠BOC=4（90°﹣∠BOC），
∴∠BOC=60°．2．（2019·四川初一期末）如图，点 为直线 上一点，过点 作射线 ，使
，将一直角三角板的直角顶点放在点 处（ ），一边
在射线 上，另一边 在直线 的下方．
（1）将图1中的三角板绕点 逆时针旋转至图2，使一边 在 的内部，且
恰好平分 ，求 的度数；
（2）将图1中的三角板绕点 以每秒5〫的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过
程中，第 秒时，直线 恰好平分锐角 ，求 的值；
将图1中的三角板绕点 逆时针旋转至图3，使一边 在 的内部，请探究
的值．
【答案】（1）35°；（2）11或47；（3）∠AOM-∠NOC=20°．
解：（1）如图2中，
∵OM平分∠BOC，
∴∠MOC=∠MOB，
又∵∠BOC=110°，
∴∠MOB=55°，
∵∠MON=90°，
∴∠BON=∠MON-∠MOB=35°；
（2）（2）分两种情况：
①如图2，∵∠BOC=110°
∴∠AOC=70°，当当ON的反向延长线平分∠AOC时，∠AOD=∠COD=35°，
∴∠BON=35°，∠BOM=55°，
即逆时针旋转的角度为55°，
由题意得，5t=55°
解得t=11；
②如图3，当射线ON平分∠AOC时，∠NOA=35°，
∴∠AOM=55°，
即逆时针旋转的角度为：180°+55°=235°，
由题意得，5t=235°，
解得t=47，
综上所述，t=11s或47s时，直线ON恰好平分锐角∠AOC；
故答案为：11或47；
（3）∠AOM-∠NOC=20°．
理由：∵∠MON=90°，∠AOC=70°，
∴∠AOM=90°-∠AON，∠NOC=70°-∠AON，
∴∠AOM-∠NOC=（90°-∠AON）-（70°-∠AON）=20°，
∴∠AOM与∠NOC的数量关系为：∠AOM-∠NOC=20°．
3．（2020·全国初一课时练习）已知长方形纸片 ，点 在边 上，点 ，
在边 上，连接 ， ．将 对折，点 落在直线 上的点 处，
得折痕 ；将 对折，点 落在直线 上的点 处，得折痕 ．
（1）如图（1），若点 与点 重合，求 的度数；
（2）如图（2），若点 在点 的右侧，且 ，求 的度数；（3）若 ，请直接用含 的式子表示 的大小．
【答案】（1） ；（2） ；（3）若点 在点 的右侧， ；
若点 在点 的左侧，
解：（1）因为 平分 ， 平分 ，
所以 ， ，
所以
．
因为 ，
所以 ．
（2）因为 平分 ， 平分 ，
所以 ， ，
所以
因为 ， ，所以 ，
所以 ．
（3）因为 平分 ， 平分 ，
所以 ， ，
若点 在点 的右侧， ，
若点 在点 的左侧，
．
4．（2020·全国初一课时练习）如图，已知点 为直线 上一点，将一个直角三角
板 的直角顶点放在点 处，并使 边始终在直线 的上方， 平分
．
（1）若 ，则 ________；
（2）若 ，求 的度数．（用含 的式子表示）【答案】（1） ；（2）
解：（1）∵ ， ，
∴ ．
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为 ．
（2）∵ ， ，
∴ ．
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ．
5．（2020·河北初一期末）如图，点C是AB的中点，D，E分别是线段AC，CB上的
点，且AD＝ AC，DE＝ AB，若AB＝24 cm，求线段CE的长．
【答案】CE＝10.4cm．
【详解】∵AC=BC= AB=12cm，CD= AC=4cm，DE= AB=14.4cm，
∴CE=DE﹣CD=10.4cm.
6．（2020·湖北初一期末）如图所示，把一根细线绳对折成两条重合的线段 ，点
在线段 上，且 ．
（l）若细线绳的长度是 ，求图中线段 的长；
（2）从点 处把细线绳剪断后展开，细线绳变成三段，若三段中最长的一段为 ，
求原来细线绳的长．
【答案】（1） ；（2） 或 .
解：（1）由题意得 ，
所以图中线段 的长为 .
（2）如图，当点A为对折点时，最长的一段为PAP段，
，所以细线长为 ；
如图，当点B为对折点时，最长的一段为PBP段，
，
所以细线长为 ，
综合上述，原来细线绳的长为 或 .
7．如图， 是线段 上的两点，且满足 分别为
和 的中点.
若 ，求 的长度；
证明： ．
【详解】，且 ，
，
，
为 的中点，
，
证明: 为 的中点， 为 的中点，
，
，
，
，
，，
，
又 ，
8．（2020·全国初一课时练习）如图，已知数轴上点 表示的数为8， 是数轴上位
于点 左侧一点，且 ，动点 从 点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数
轴向左匀速运动，设运动时间为 秒．
（1）数轴上点 表示的数是___________；点 表示的数是___________(用含 的代数
式表示)
（2）动点 从点 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点
同时出发，问多少秒时 之间的距离恰好等于2？
（3）若 为 的中点， 为 的中点，在点 运动的过程中，线段 的长度
是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段 的长．
【答案】（1） ， ；（2）2.5秒或3秒；（3）线段 的长度不发生变化，
其值为11，图形见解析．
【详解】
（1） ， ；（2）分两种情况：
①点 相遇之前，
由题意得 ，解得 ．
②点 相遇之后，
由题意得 ，解得 ．
答：若点 同时出发，2.5或3秒时 之间的距离恰好等于2；
（3）线段 的长度不发生变化，其值为11，
理由如下：
①当点 在点 两点之间运动时：
；
②当点 运动到点 的左侧时，
；
线段 的长度不发生变化，其值为11．
9．（2019·全国初一单元测试）我们知道，对于一些立体图形问题，常把它转化为平
面图形来研究和处理，棱长为a的正方体摆成如图所示的形状，问：（1）这个几何体共有几个正方体？
（2）这个几何体的表面积是多少？
【答案】（1）10个正方体；（2）36a2．
解：（1）上面一层有1个正方体，中间层有3个正方体，底层有6个正方体，共10个
正方体；
（2）根据以上分析该物体的表面积为6×6×a2=36a2．
10．（2018·全国初一单元测试）图是一个正方体盒子的表面展开图,该正方体六个面上
分别标有不同的数字,且相对两个面上的数字互为相反数.
(1)把-10,8,10,-3,-8,3分别填入图中的六个小正方形中;
(2)若某两个相对面上的数字分别为 和 -5,求x的值.
【详解】
(1)答案不唯一,其中的一种情况如图.(2)依题意得 =- ,
解得x=2.
11．（2018·全国初一单元测试）若要使得图中平面展开图折叠成正方体后，相对面上
的两个数之和为5，求x+y+z的值．
【答案】4.
解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，
其中面“z”与面“3”相对，面“y”与面“﹣2”相对，“x”与面“10”相对．
则z+3=5，y+（﹣2）=5，x+10=5，
解得z=2，y=7，x=﹣5．
故x+y+z=4．
12．（2019·全国初一单元测试）如图是由7个完全相同是正方体组成的立体图形，画
出从不同方向看该几何体得到的平面图形.解：如图所示：
