文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷
黄金卷08
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知集合 ， ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列举法表示集合、交并补混合运算
【分析】根据补集与并集的概念求解即可．
【详解】由题知 ，则 ，故 ．
故选：D．
2．已知复数z满足z(1−i)=3+5i，则复数z=（ ）
A．4+4i B．4−4i
C．−1+4i D．−1−4i
【答案】D
【分析】由已知等式化简求出z，从而可求出复数z.
3+5i (3+5i)(1+i) -2+8i
【详解】因为z= = = =−1+4i，
1−i (1−i)(1+i) 2
所以z=−1−4i．
故选：D．
3．已知抛物线 的焦点为 ，定点 为抛物线 上一动点，则 的最小值为
（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】A
【解析】抛物线 的焦点为 ，准线方程是 ，
过点 作准线的垂线，垂足为 ，过点 作准线的垂线，垂足为 ，∵ 点在抛物线上，∴根据抛物线的定义得 ，
∴ ，当且仅当 共线时取等号，
∴ 的最小值为8．故选：A．
4．在 中,内角 所对的边分别为 ，若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，则由正弦定理得 .
由余弦定理可得: ，
即: ，根据正弦定理得 ，
所以 ，
因为 为三角形内角，则 ，则 .故选：C.
5．如图，圆 为 的外接圆， ， 为边 的中点，则 （ ）
A．10 B．13 C．18 D．26
【答案】B
【解析】 是 边的中点，可得 ，
是 的外接圆的圆心，
，同理可得 ，
．
故选：B．
6．设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】构造函数 利用导数说明函数的单调性，即可得到 ，即可判断；
【详解】解：令 ，则 ，
所以当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ，
即 恒成立，即 （当 时取等号），
所以 ，∴ ，
又 （当 时取等号），
所以当 且 时，有 ，∴ ，∴ ．
故选：A
7．已知数列 各项为正数， 满足 ， ，若 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由 ，得 ，再结合 ，可得 ，进而可得数列
是等差数列，即可求出{b }的通项，从而可求出数列{a }的通项，再利用裂项相消法求解即可.
n n
【详解】因为 ， ，所以 ，
因为 ，所以 ， ，
即 ，
所以数列 是等差数列，又 ， ，所以 ，
所以数列 的公差为 ，首项为 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，则 ，
所以 .
故选：C.
8．已知定义在R上的函数 满足 ，当 时， ，函数
，若函数 在区间 上恰有8个零点，则a的取值范围为
（ ）
A．（2，4） B．（2，5） C．（1，5） D．（1，4）
【答案】A
【解析】函数 在区间 上恰有8个零点，
则函数 与函数 在区间 上有8个交点
由 知， 是R上周期为2的函数，
作函数 与函数 在区间 上的图像如下，
由图像知，当 时，图像有5个交点，故在 上有3个交点即可，则 ；
故 ，解得 ；故选：A．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．一组数据为 ，下列说法错误的是（ ）
A．众数是6 B．中位数是
C．平均数是7 D．标准差是
【答案】ABC
【解析】依题意，原数据组由小到大排列为： ，
所以这组数据的众数是6或8，故A错误；
中位数是6，故B错误；
平均数为 .故C错误；
方差为 ，
标准差为 .故D正确.故选：ABC.
10．如图所示，正方体 棱长为2，点P为正方形 内（不含边界）一动点，
角平分线交 于点Q，点P在运动过程中始终满足 ．下列说法中正确的为（ ）
A．直线 与点P的轨迹无公共点
B．存在点P使得
C．三棱锥 体积最大值为
D．点P运动轨迹长为
【答案】ABD
【详解】
因为 为 的角平分线，在 中，由正弦定理可知，设 ，则 ，所以，
在 中，由正弦定理可知， ，
因为 ，所以 ，且 ，设 ， ，
所以 ，所以 ，
，
所以 ，点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆在正方形 内部的弧，且
，点 到该直线的距离为 ，
所以 与圆无公共点，A正确；
若 ，设 ，所以 ，所以 ，
所以 ，即 ，联立 ，解得
所以点 满足条件，所以B正确；
若 最大，则 到 距离最大，即 到 与圆的交点处，但 不在正方形 边界上，所以最大
值取不到，故C错误；
令 ，得到点 ，又因为 ，所以 ，所以 为等边三角形，所以 ，
因为 为点 的运动轨迹，所以 ，
故D正确；故选:ABD
11．已知双曲线C： 的左、右焦点分别为 ， ，过 作直线 的垂线，垂足为
P，O为坐标原点，且 ，过P作C的切线交直线 于点Q，则（ ）A．C的离心率为 B．C的离心率为
C．△OPQ的面积为 D．△OPQ的面积为
【答案】AC
【分析】设 ，由题意可求得 ， ， 中，利用正弦定理求得 ，即可
求得双曲线得离心率；通过设点表示出 ，利用切线求得P，Q两点坐标，可求△OPQ的面积．
【详解】直线 和直线 ，是双曲线C： 的两条渐近线，
设 ，则有 ，
又 垂直于渐近线 ，渐近线方程为 ， ， ，
，而 ， ，
，
在 中， ，由正弦定理： ，
， ， ，，A选项正确；
双曲线C的方程为： ，渐近线为 ，
过 点的切线 与双曲线切于点 ，则有 ，
又 ， 均在双曲线的渐近线上，故设 ，
又 ， ，
，
当点 为切点时，由 ，切线斜率存在，
设切线方程为 ，代入双曲线方程，
得
令 ，得 ，解得 ，
过 点的切线方程为 ，
切线方程代入 ，解得 ，
切线方程代入 ，解得 ，
，
，则C选项正确.
故选：AC
【点睛】方法点睛：
1.求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．
2.解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与
系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不
要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 的展开式中 的系数为 （用数字作答）.
【答案】
【分析】
根据二项式展开式有关知识求得正确答案.
【详解】由于 ，
所以 的展开式中含 的项为 ，
所以 的展开式中 的系数为 .
故答案为：
13．已知实数 成公差非零的等差数列，集合 ， ，若
，则 的最大值为 .
【答案】
【分析】实数 成公差非零的等差数列，则直线 过定点 ，由 ， 点
在以 为直径的圆上，可求圆外的点到圆上的点的最大距离.
【详解】 成公差非零的等差数列，则 ，动直线 变形为
，
令 ，解得 ，动直线 过定点 ，直线 的一个法向量为 ，
若 ，则 直线 ， 点在以 为直径的圆上，圆心为 中点 ，半径
， ，则|MN|的最大值为 .故答案为：
π
14．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B (A>0,ω>0,|φ|< )的部分图象如图所示，则下列四个结论：
2
π
①f(x)关于点( ,3)对称；
6
π
②f(x)关于直线x=
对称；
3
π 5π
③f(x)在区间[ , ]上单调递减；
2 6
5π π
④f(x)在区间(− , )上的值域为(1,3).
12 12
正确结论的序号为 .
【答案】②③
π
【分析】先由图象求出A,B，接着将点(0,2)代入函数f(x)结合正弦函数性质和|φ|< 求得φ，再由
2
π T π π
f(− )=1和 > 求出ω，进而求得函数f(x)解析式，对于①，计算f( )≠3即可判断；对于②，计
6 4 6 6
π
算f( )=f (x) 即可判断；对于③，先求出 f(x)的单调递减区间即可判断；对于 ④，由
3 max
5π π π π
x∈(− , )得 2x− (−π,0)即 可 得 sin(2x− )∈[−1,0)， 从 而 即 可 求 出 f(x)在 区 间
12 12 6 6
5π π
(− , )上的值域.
12 12
5−1 1+5
【详解】由图得A= =2，B= =3，故有f(x)=2sin(ωx+φ)+3，
2 2
1
将点(0,2)代入函数f(x)得2sinφ+3=2，即sinφ=− ，
2
π 7π π
所以φ=2kπ- ,k∈Z或φ=2kπ+ ,k∈Z，又|φ|<
，
6 6 2π π
所以φ=− ，故f(x)=2sin(ωx− )+3，
6 6
又f(− π )=2sin [ ω× ( − π ) − π] +3=1，所以sin (ωπ + π) =1，
6 6 6 6 6
ωπ π π
所以 + =2kπ+ ,k∈Z⇒ω=12k+2,k∈Z，
6 6 2
T π 2π 2π
又由图像可知 > ⇒ > ⇒ω<3，又ω>0，
4 6 ω 3
π
所以0<ω<3，所以ω=2，所以f(x)=2sin(2x− )+3，
6
对于①，因为f( π )=2sin [ 2× ( π ) − π] +3=4≠3，所以f(x)不关于点( π ,3)对称，故①错；
6 6 6 6
对于②，因为f( π )=2sin [ 2× ( π ) − π] +3=5=f (x) ，故②正确；
3 3 6 max
π π 3π π 5π
对于③，令2kπ+ ≤2x− ≤2kπ+ ,k∈Z，解得kπ+ ≤x≤kπ+ ,k∈Z，
2 6 2 3 6
[ π 5π]
所以函数f(x)在区间 kπ+ ,kπ+ ,k∈Z上单调递减，
3 6
[π 5π]
故当k=0时，函数f(x)在区间 , 上单调递减，
3 6
π 5π [π 5π] [π 5π]
因为[ , ]⊆ , ，所以函数f(x)在区间 , 上单调递减，故③正确；
2 6 3 6 2 6
5π π π π
对于④，x∈(− , )时，2x− (−π,0)，所以sin(2x− )∈[−1,0)，
12 12 6 6
π 5π π
所以2sin(2x− )+3∈[1,3)，所以f(x)在区间(− , )上的值域为[1,3)，故④错误.
6 12 12
故答案为：②③.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于由图象求出函数f(x)的解析式，而求ω是本题难点，故求函数
π T π
f(x)的解析式的关键在于求出ω，通过图像特征得出f(− )=1和 > 即可求解ω.
6 4 6
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求证： .
【答案】(1)
(2)证明见解析【分析】
（1）根据导数的几何意义求切线方程即可；
（2）构造函数 ，利用导函数与单调性、最值的关系即可证明.
【详解】（1） , ，
,所以切点为 ，由点斜式可得， ，
所以切线方程为： .
（2）由题可得，
设 ，
，
所以当 时， ，
当 时， ，
所以 在 单调递增， 单调递减，
所以 ，
即 .
16．（15分）如图，在三棱柱 中，中，侧面 为正方形，平面 平面 ，
， .(1)求证： ；
(2)若点 在棱 上，且平面 与平面 夹角的余弦值为 ，求 的值.
【答案】(1)证明见解析
(2) .
【分析】（1）由 为正方形，推出 ，再由面面垂直推出线线垂直，再证明线面垂直，推出
线线垂直；
（2）以 为原点，分别以 为 轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面 与平面
法向量求解即可.
【详解】（1）因为侧面 为正方形，所以 .
又平面 平面 ，
平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
又 ，且 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 .
（2）由（1）知， ， ， ，
故以 为原点，分别以 为 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则 ， ， ， .
设 ，其中 .
则 ，
所以 ，
又 .
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，所以 ，
令 ， ，所以 .
由题意， 为平面 的一个法向量.
设平面 与平面 的夹角为 ，
所以 ，
解得 或 （舍）.
所以 .x2 y2
17．（15分）已知椭圆C: + =1(a>b>0)经过点A(−2,0)和点B(2,0)，椭圆C的焦距为2.
a2 b2
(1)求椭圆C的方程；
(2)P和Q是椭圆C上异于A,B的两点，四边形APBQ是平行四边形，直线AP､AQ分别交y轴于点M和点
N,F是椭圆的右焦点，求四边形AMFN面积的最小值.
x2 y2
【答案】(1) + =1
4 3
(2)3√3
【分析】（1）题目告诉了椭圆焦距和顶点，即知道了a,c，再由b2=a2−c2
，即可求解；
（2）由对称性可设P(x ,y )，则Q(−x ,−y )，通过表示直线AP,AQ的方程，求得M,N的坐标，从
1 1 1 1
而表示出面积，再根据点Ｐ在椭圆上，得到x 与y 的关系以及y 的范围，即可求解.
1 1 1
x2 y2
【详解】（1）由已知a=2,c=1，所以b2=a2−c2=3，所以椭圆C的方程为 + =1.
4 3
（2）如图所示，
因为四边形APBQ是平行四边形，
所以线段AB与线段PQ的中点重合，所以P､Q关于原点对称.
y
设P(x ,y )，则Q(−x ,−y )¿且y ≠0)，k = 1 ，
1 1 1 1 1 AP x +2
1
y
所以直线AP的方程为y= 1 (x+2)，
x +2
1
2y 2y
( )
令x=0，得y= 1 ，即M 0, 1 .
x +2 x +2
1 1
y y
又k = 1 ，直线AQ的方程为y= 1 (x+2)，
AQ x −2 x −2
1 1
2y 2y
( )
令x=0，得y= 1 ，即N 0, 1 .
x −2 x −2
1 1
1 3
四边形AMFN面积为 |AF|⋅|MN|= |MN|，
2 2
| 2y 2y | | 8 y |
|MN|= 1 − 1 = 1 ①，
x +2 x −2 x2−4
1 1 1因为点P在椭圆上，
x2 y2
所以 1+ 1=1,−√3≤ y ≤√3且y ≠0，
4 3 1 1
4
所以x2−4=− y2
②，
1 3 1
|6 |
将②代入①得
|MN|=
，
y
1
所以当y =±√3时，|MN| =2√3.
1 min
所以四边形AMFN面积的最小值为3√3.
18．（17分）某校为了解该校学生“停课不停学”的网络学习效率，随机抽查了高一年级100位学生的某
次数学成绩（单位：分），得到如下所示的频率分布直方图：
(1)估计这100位学生的数学成绩的平均值 ；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）
(2)根据整个年级的数学成绩可以认为学生的数学成绩 近似地服从正态分布 ，经计算，（1）
中样本的标准差s的近似值为10，用样本平均数 作为 的近似值，用样本标准差s作为 的估计值，现
任抽取一位学生，求他的数学成绩恰在64分到94分之间的概率；（若随机变量 ，则
， ， ）
(3)该年级1班的数学老师为了能每天督促学生的网络学习，提高学生每天的作业质量及学习数学的积极性，
特意在微信上设计了一个每日作业小程序，每当学生提交的作业获得优秀时，就有机会参与一次小程序
中”玩游戏，得奖励积分”的活动，开学后可根据获得积分的多少向老师领取相应的小奖品.小程序页面上
有一列方格，共15格，刚开始有只小兔子在第1格，每点一下游戏的开始按钮，小兔子就沿着方格跳一下，
每次跳1格或跳2格，概率均为 ，依次点击游戏的开始按钮，直到小兔子跳到第14格（奖励0分）或第
15格（奖励5分）时，游戏结束，每天的积分自动累加，设小兔子跳到第 格的概率为 ，试
证明 是等比数列，并求 （获胜的概率）的值.
【答案】(1) ；(2) ；(3)证明见解析，
【解析】（1） ；（2）由 ，∴ ， ，
.
（3）小兔子开始在第1格，为必然事件， ，
点一下开始按钮，小兔子跳1格即移到第2格的概率为 ，即 ，
小兔子移到第 格的情况是下列两种，而且也只有两种情况.
①小兔子先跳到第 格，又点一下开始按钮跳了2格，其概率为 ；
②小兔了先跳到第 格，又点一下开始按钮跳了1格，其概率为 ；
∵ ，∴ ．
∴当 时，
数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，
∴ ，
．
∴获胜的概率 ．
19．（17分）对于集合 和常数 ，定义：
为集合A相对的 的“正弦标准差”．
(1)若集合 ， ，求A相对的 的“正弦标准差”；
(2)若集合 ，是否存在 ， ，使得相对任何常数 的“正弦标准差”是
一个与 无关的定值？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；(2)存在 ， ，使得相对任何常数 的“正弦标准差”是一个与 无关的定值，理由见解析
【解析】（1） ，
其中 .
（2）存在 ， ，使得相对任何常数 的“正弦标准差”是一个与 无关的定值，
理由如下：
，
只需 ，则 ，
即 ，整理得 ，
因为 ， ，
所以 ， ， ，
则 ，
所以 ，则 ，
所以 ，
即 ，
整理得 ，故 ，
因为 ，所以 ， ，
则 ， ，检验，将 ， 代入 得
，满足要求，
故存在 ， ，使得相对任何常数 的“正弦标准差”是一个与 无关的定值，
此时 .
