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第五节 双曲线
核心素养立意下的命题导向
1.结合双曲线的定义，求轨迹方程及焦点三角形，凸显数学运算、直观想象的核心素养．
2．结合双曲线几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)，考查求相关量的计算，凸显逻
辑推理、数学运算的核心素养．
[理清主干知识]
1．双曲线的定义
平面内与两个定点F ，F 的距离的差的绝对值等于常数(小于|F F |)的点的轨迹叫做双曲线．
1 2 1 2
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M|||MF |－|MF ||＝2a}，|F F |＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
1 2 1 2
(1)当2a<|F F |时，P点的轨迹是双曲线；
1 2
(2)当2a＝|F F |时，P点的轨迹是两条射线；
1 2
(3)当2a>|F F |时，P点不存在．
1 2
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0)
图形
范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点 A ( － a , 0) ， A ( a , 0) A (0 ，－ a ) ， A (0 ， a )
1 2 1 2
渐近线 y＝±x y＝±x
性 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)
质 线段A A 是双曲线的实轴，它的长|A A |＝ 2 a ；
1 2 1 2
实虚轴 线段B B 是双曲线的虚轴，它的长|B B |＝ 2 b ；
1 2 1 2
a是双曲线的实半轴长，b是双曲线的虚半轴长
a，b，c
c2＝ a 2 ＋ b 2 (c＞a＞0，c＞b＞0)
的关系
3．常用结论
(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
(2)若P是双曲线右支上一点，F ，F 分别为双曲线的左、右焦点，则|PF | ＝a＋c，|PF | ＝c
1 2 1min 2min
－a.(3)等轴双曲线
①定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲
线．
②性质：a＝b；e＝；渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距
离的等比中项．
(4)共轭双曲线
①定义：如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲
线互为共轭双曲线．
②性质：它们有共同的渐近线；它们的四个焦点共圆；它们的离心率的倒数的平方和等于1.
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(双曲线的定义)设F ，F 分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点．若点P在双曲线上，且|PF |
1 2 1
＝5，则|PF |＝( )
2
A．5 B．3
C．7 D．3或7
解析：选D ∵||PF |－|PF ||＝2，∴|PF |＝7或3.
1 2 2
2．(双曲线的实轴)双曲线2x2－y2＝8的实轴长是( )
A．2 B．2
C．4 D．4
解析：选C 双曲线2x2－y2＝8的标准方程为－＝1，故实轴长为4.
3．(双曲线的渐近线)若双曲线C：－y2＝1(m>0)的一条渐近线方程为3x＋2y＝0，则实数m＝(
)
A. B．
C. D．
答案：A
4．(双曲线的标准方程)以椭圆＋＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为__________．
解析：设所求的双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
由椭圆＋＝1，得焦点为(±1,0)，顶点为(±2,0)．
所以双曲线的顶点为(±1,0)，焦点为(±2,0)．
所以a＝1，c＝2，所以b2＝c2－a2＝3，
所以双曲线标准方程为x2－＝1.
答案：x2－＝1
5．(双曲线的离心率)若双曲线－＝1(a＞0)的离心率为，则a＝________.
解析：设焦距为2c，则＝，即c2＝a2.由c2＝a2＋4得a2＝a2＋4，所以a2＝16，所以a＝4.
答案：4
二、易错点练清1．(忽视双曲线定义的条件)平面内到点F (0,4)，F (0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是
1 2
________________．
解析：由|PF |－|PF |＝6<|F F |＝8，得a＝3，又c＝4，则b2＝c2－a2＝7，所以所求点的轨迹是
1 2 1 2
双曲线－＝1的下支．
答案：双曲线－＝1的下支
2．(忽视双曲线上的点到原点的最小距离)已知双曲线x2－＝1上一点P到它的一个焦点的距
离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于________．
解析：设双曲线的焦点为F ，F ，|PF |＝4，
1 2 1
则||PF |－|PF ||＝2，故|PF |＝6或2，
1 2 2
又双曲线上的点到它的焦点的距离的最小值为c－a＝－1>2，故|PF |＝6.
2
答案：6
3．(忽视焦点的位置)以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾
斜角为，则双曲线的离心率为________．
解析：若双曲线的焦点在x轴上，
设双曲线的方程为－＝1，
则渐近线的方程为y＝±x，
由题意可得＝tan＝，b＝a，可得c＝2a，
则e＝＝2；若双曲线的焦点在y轴上，
设双曲线的方程为－＝1，
则渐近线的方程为y＝±x，
由题意可得＝tan＝，a＝b，
可得c＝a，则e＝.综上可得e＝2或e＝.
答案：2或
考点一 双曲线的定义及其应用
考法(一) 利用定义求轨迹方程
[例1] 已知圆C ：(x＋3)2＋y2＝1和圆C ：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C 及圆C 外切，
1 2 1 2
则动圆圆心M的轨迹方程为____________________．
[解析] 如图所示，设动圆M与圆C 及圆C 分别外切于点A和点B，
1 2
根据两圆外切的充要条件，得
|MC |－|AC |＝|MA|，
1 1
|MC |－|BC |＝|MB|.
2 2
因为|MA|＝|MB|，
所以|MC |－|MC |＝|BC |－|AC |＝3－1＝2<6.
2 1 2 1
这表明动点M到两定点C ，C 的距离的差是常数2且小于|C C |.
2 1 1 2
根据双曲线的定义知，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M到C 的距离大，到C 的距离小)，
2 1且a＝1，c＝3，则b2＝8，设点M的坐标为(x，y)，则其轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．
[答案] x2－＝1(x≤－1)
考法(二) 求解“焦点三角形”问题
[例2] 已知F ，F 为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F PF ＝60°，则|PF |
1 2 1 2 1
·|PF |＝( )
2
A．2 B．4
C．6 D．8
[解析] 由双曲线的方程得a＝1，c＝，
由双曲线的定义得||PF |－|PF ||＝2.
1 2
在△PF F 中，由余弦定理得
1 2
|F F |2＝|PF |2＋|PF |2－2|PF |·|PF |cos 60°，
1 2 1 2 1 2
即(2)2＝|PF |2＋|PF |2－|PF |·|PF |
1 2 1 2
＝(|PF |－|PF |)2＋|PF |·|PF |
1 2 1 2
＝22＋|PF |·|PF |，
1 2
解得|PF |·|PF |＝4.
1 2
[答案] B
考法(三) 利用定义求最值
[例3] 已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的一动点，则|PF|＋|PA|
的最小值为________．
[解析] 因为F是双曲线－＝1的左焦点，所以F(－4,0)，设其右焦点为H(4,0)，则由双曲线
的定义可得|PF|＋|PA|＝2a＋|PH|＋|PA|≥2a＋|AH|＝4＋＝4＋5＝9.
[答案] 9
[方法技巧]
双曲线定义的应用
(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．
(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF |－|PF ||＝2a，运用平方
1 2
的方法，建立|PF |与|PF |的关系．
1 2
[提醒] 在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的
一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．
[针对训练]
1．已知点O(0,0)，A(－2,0)，B(2,0)．设点P满足|PA|－|PB|＝2，且P为函数y＝3图象上的点，
则|OP|＝( )
A. B．
C. D．
解析：选D 由|PA|－|PB|＝2<|AB|＝4，知点P的轨迹是双曲线的右支，点P的轨迹方程为x2
－＝1(x≥1)，又y＝3，所以x2＝，y2＝，所以|OP|＝＝ ＝，故选D.2．(2020·全国卷Ⅰ)设F ，F 是双曲线C：x2－＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|
1 2
OP|＝2，则△PF F 的面积为( )
1 2
A. B．3
C. D．2
解析：选B 法一：设F ，F 分别为双曲线C的左、右焦点，则由题意可知F (－2,0)，F (2,0)．
1 2 1 2
又|OP|＝2，所以|OP|＝|OF |＝|OF |，
1 2
所以△PF F 是直角三角形，
1 2
所以|PF |2＋|PF |2＝|F F |2＝16.
1 2 1 2
不妨令点P在双曲线C的右支上，
则有|PF |－|PF |＝2，
1 2
两边平方，得|PF |2＋|PF |2－2|PF |·|PF |＝4，
1 2 1 2
所以|PF |·|PF |＝6，
1 2
则S ＝|PF |·|PF |＝×6＝3，故选B.
△PF1F2 1 2
法二：设F ，F 分别为双曲线C的左、右焦点，
1 2
则由题意可知F (－2,0)，F (2,0)．
1 2
又|OP|＝2，所以|OP|＝|OF |＝|OF |，
1 2
所以△PF F 是直角三角形，所以S ＝＝＝3(其中θ＝∠F PF )，故选B.
1 2 △PF1F2 1 2
考点二 双曲线的标准方程
[典例] (1)经过点M(2，2)且与双曲线－＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D．－＝1
(2)已知曲线C的方程为－＝1(k∈R)，则下列结论正确的是( )
A．当k＝8时，曲线C为椭圆，其焦距为4＋
B．当k＝2时，曲线C为双曲线，其离心率为
C．存在实数k，使得曲线C为焦点在y轴上的双曲线
D．当k＝3时，曲线C为双曲线，其渐近线与圆(x－4)2＋y2＝9相切
[解析] (1)设所求双曲线的方程为－＝λ，将点M(2，2)代入得－＝λ，解得λ＝－6，所以双曲
线方程为－＝1，故选D.
(2)对于A，当k＝8时，曲线C的方程为＋＝1，轨迹为椭圆，焦距2c＝2＝4，A错误；对于B，
当k＝2时，曲线C的方程为－＝1，轨迹为双曲线，则a＝，c＝，∴离心率e＝＝，B正确；对
于C，若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则解集为空集，∴不存在实数k，使得曲线C为
焦点在y轴上的双曲线，C错误；对于D，当k＝3时，曲线C的方程为－＝1，其渐近线方程为
y＝±x，则圆(x－4)2＋y2＝9的圆心到渐近线的距离d＝＝＝≠3，∴双曲线的渐近线与圆(x－
4)2＋y2＝9不相切，D错误．故选B.
[答案] (1)D (2)B
[方法技巧] 待定系数法求双曲线方程的5种类型类型一 与双曲线－＝1有公共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)
若已知双曲线的一条渐近线方程为y＝x或y＝－x，则可设双曲线方程为－＝
类型二
λ(λ≠0)
类型三 与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(－b2＜k＜a2)
类型四 过两个已知点的双曲线的标准方程可设为－＝1(mn＞0)或者＋＝1(mn＜0)
类型五 与椭圆＋＝1(a＞b＞0)有共同焦点的双曲线方程可设为－＝1(b2＜λ＜a2)
[针对训练]
1．双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点为(－3,0)，且C的离心率为，则C的方程为( )
A.－＝1 B．－＝1
C.－＝1 D．－＝1
解析：选C 由题意，可得c＝3，又由e＝＝，∴a＝2，
又b2＝32－22＝5，故C的方程为－＝1，故选C.
2．(2020·天津高考)设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，过抛物线y2＝4x的焦点和点(0，b)
的直线为l.若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为( )
A.－＝1 B．x2－＝1
C.－y2＝1 D．x2－y2＝1
解析：选D 法一：由题知y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，则过焦点和点(0，b)的直线方程为x＋
＝1，而－＝1的渐近线方程为＋＝0和－＝0，由l与一条渐近线平行，与另一条渐近线垂直，
得a＝1，b＝1，故选D.
法二：由题知双曲线C的两条渐近线互相垂直，则a＝b，即渐近线方程为x±y＝0，排除B、C.
又知y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，l过点(1,0)，(0，b)，所以＝－1，b＝1，故选D.
考点三 双曲线的几何性质
考法(一) 求双曲线的渐近线方程
[例1] (1)(2021·湖南长沙模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，M为
1 2
双曲线上一点，若cos∠F MF ＝，|MF |＝2|MF |，则此双曲线的渐近线方程为( )
1 2 1 2
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±2x
(2)已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线
的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝( )
A. B．3
C．2 D．4
[解析] (1)由题意，得|MF |－|MF |＝2a，
1 2
又|MF |＝2|MF |，∴|MF |＝4a，|MF |＝2a，
1 2 1 2
∴cos∠F MF ＝＝，
1 2化简得c2＝4a2，即a2＋b2＝4a2，∴b2＝3a2，
又a>0，b>0，∴＝，
∴此双曲线的渐近线方程为y＝±x，故选A.
(2)法一：由已知得双曲线的两条渐近线方程为 y＝±x.设两条渐近线
的夹角为2α，则有tan α＝＝，所以α＝30°.所以∠MON＝2α＝60°.
又△OMN 为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设
MN⊥ON，如图所示．在 Rt△ONF 中，|OF|＝2，则|ON|＝.在
Rt△OMN中，|MN|＝|ON|·tan 2α＝·tan 60°＝3.故选B.
法二：因为双曲线－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，所以∠MON＝60°.不妨设过点F的直线与
直线y＝x交于点M，由△OMN为直角三角形，不妨设∠OMN＝90°，则 ∠MFO＝
60°，又直线MN过点F(2,0)，所以直线MN的方程为y＝－(x－2)，
由得
所以M，所以|OM|＝ ＝，
所以|MN|＝|OM|＝3，故选B.
[答案] (1)A (2)B
[方法技巧]
涉及双曲线渐近线的几个常用结论
(1)求双曲线－＝1(a>0，b>0)或－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，
即令－＝0，得y＝±x，或令－＝0，得y＝±x.
(2)已知渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－＝λ(a>0，b>0，λ≠0)．
[提醒] 两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于x轴、y轴对称．
考法(二) 求双曲线的离心率
[例2] (1)若双曲线C：－＝1 (a>0，b>0)的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝1无交点，则C的离心率
的取值范围为( )
A. B．
C. D．
(2)(2019·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，过F 的直线
1 2 1
与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若F1A＝AB，F1B·F2B＝0，则C的离心率为________．
[解析] (1)∵双曲线渐近线为bx±ay＝0与圆(x－3)2＋y2＝1无交点，
∴圆心到渐近线的距离大于半径，即＞1，
∴8b2＞a2，∴8(c2－a2)＞a2，即8c2>9a2，
∴e＝＞.故选C.
(2)法一：由F1A＝AB，得A为F B的中点．
1
又∵O为F F 的中点，
1 2
∴OA∥BF .
2又F1B·F2B＝0，∴∠F BF ＝90°.
1 2
∴|OF |＝|OB|，
2
∴∠OBF ＝∠OF B.
2 2
又∵∠F OA＝∠BOF ，∠F OA＝∠OF B，
1 2 1 2
∴∠BOF ＝∠OF B＝∠OBF ，
2 2 2
∴△OBF 为等边三角形．
2
如图所示，不妨设B为.
∵点B在直线y＝－x上，∴＝，
∴离心率e＝＝＝2.
法二：∵F1B·F2B＝0，∴∠F BF ＝90°.在Rt△F BF 中，O为F F 的中点，∴|OF |＝|OB|＝c.
1 2 1 2 1 2 2
如图，作BH⊥x轴于H，由l 为双曲线的渐近线，可得＝，且|BH|2＋|OH|2＝|OB|2＝c2，∴|BH|
1
＝b，|OH|＝a，∴B(a，－b)，F (c,0)．
2
又∵F1A＝AB，∴A为F B的中点．
1
∴OA∥F B，∴＝，∴c＝2a，∴离心率e＝＝2.
2
[答案] (1)C (2)2
[方法技巧]
1．求双曲线的离心率或其范围的方法
(1)求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程
(或不等式)求解，注意e的取值范围．
(3)因为离心率是比值，所以可以利用特殊值法．例如，令a＝1，求出相应c的值，进而求出离
心率，能有效简化计算．
(4)通过特殊位置求出离心率．
2．双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线的斜率k与离心率e的关系：当k>0时，k＝＝＝ ＝；当
k<0时，k＝－＝－.
考法(三) 与双曲线有关的范围、最值问题
[例3] (2021·晋中模拟)已知M(x，y)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F ，F 是双曲线C的两
0 0 1 2
个焦点．若MF1·MF2 <0，则y 的取值范围是( )
0
A. B．
C. D．
[解析] 由题意知a＝，b＝1，c＝，
设F (－，0)，F (，0)，
1 2则MF1＝(－－x，－y)，MF2＝(－x，－y)．
0 0 0 0
因为MF1·MF2<0，所以(－－x)(－x)＋y<0，
0 0
即x－3＋y<0.
因为点M(x，y)在双曲线C上，
0 0
所以－y＝1，即x＝2＋2y，
所以2＋2y－3＋y<0，所以－0，b>0)的左焦点F
和虚轴的上端点B(0，b)，且与圆x2＋y2＝8交于点M，N，若|MN|≥2，则双曲线的离心率e的
取值范围是( )
A．(1， ] B．
C. D．[，＋∞)
解析：选C 设圆心到直线l的距离为d(d>0)，
因为|MN|≥2，所以2≥2，即00，b>0)的左焦点F和虚轴的上端点B(0，b)，得|k|＝.
所以≥，即≥，所以≥，
即1－≥，所以e≥，
于是双曲线的离心率e的取值范围是.
3．(2020·全国卷Ⅰ)已知F为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C
上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为________．
解析：设B(c，y )，因为B为双曲线C：－＝1上的点，所以－＝1，所以y＝.因为AB的斜率为
B
3，所以y ＝，＝3，所以b2＝3ac－3a2，所以c2－a2＝3ac－3a2，所以c2－3ac＋2a2＝0，解得c＝
B
2a或c＝a(舍去)，所以C的离心率e＝＝2.
答案：2
4．设F ，F 分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，若的最大值
1 2
为，则双曲线的渐近线斜率的取值范围为________．
解析：∵|PF |－|PF |＝2a，∴＝＝＝≤＝，
1 2
当且仅当|PF |＝，即|PF |＝2a时，等号成立，此时|PF |＝4a.∵|PF |＋|PF |≥|F F |，即有
2 2 1 1 2 1 2
6a≥2c，
∴9a2≥c2，∴8a2≥b2，解得0<≤2，
∴－2≤－<0.则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是[－2，0)∪(0,2]．
答案：[－2，0)∪(0,2]
一、创新思维角度——融会贯通学妙法
求双曲线离心率的方法
方法(一) 直接法[例1] 下列曲线中，离心率为的是( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D．－＝1
[解析] 依据双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率公式e＝可直接判断，选项B中，a2＝4，b2＝
2，所以c2＝6，即a＝2，c＝，离心率e＝＝，故选B.
[答案] B
[名师微点]
利用已知条件直接求出a，c的值，代入离心率公式e＝求解．
方法(二) 利用渐近线方程
[例2] 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，则该
双曲线的离心率为________．
[解析] 由题意知＝，即b2＝3a2，
所以c2＝a2＋b2＝4a2，所以e＝＝2.
[答案] 2
[名师微点]
根据双曲线的渐近线与离心率之间的关系，可以利用渐近线方程中的确定双曲线的离心率e
＝＝ .
方法(三) 利用双曲线的定义
[例3] 设F ，F 分别是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使
1 2
∠F AF ＝90°且|AF |＝3|AF |，则双曲线的离心率为________．
1 2 1 2
[解析] 因为∠F AF ＝90°，故|AF |2＋|AF |2＝|F F |2＝4c2，又|AF |＝3|AF |，且|AF |－|AF |
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
＝2a，所以10a2＝4c2，即＝，故e＝＝.
[答案]
[名师微点]
双曲线上的点A与两个焦点构成一个直角三角形，结合直角三角形的属性和双曲线的定义，
建立关系即可求出双曲线的离心率．
方法(四) 利用关于a，c的齐次方式
[例4] 已知点F是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F作
垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e
的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(1,2)
C．(2,1＋) D．(1,1＋)
[解析] 若△ABE是锐角三角形，只需∠AEF＜45°，在Rt△AFE中，|AF|＝，|FE|＝a＋c，则
＜a＋c，即b2＜a2＋ac，即2a2－c2＋ac＞0，则e2－e－2＜0，解得－1＜e＜2，又e＞1，则1＜e
＜2，故选B.[答案] B
[名师微点]
根据题意建立a，c之间的关系，结合e＝建立关于e的一元二次方程或不等式求解．
二、创新考查方式——领悟高考新动向
1.一种画双曲线的工具如图所示，长杆OB通过O处的铰链与固定好的短
杆OA连接，取一条定长的细绳，一端固定在点A，另一端固定在点B，套上
铅笔(如图所示)．作图时，使铅笔紧贴长杆OB，拉紧绳子，移动笔尖M(长杆
OB绕O转动)，画出的曲线即为双曲线的一部分．若|OA|＝10，|OB|＝12，
细绳长为8，则所得双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
解析：选D 设|MB|＝t，则由题意，可得|MO|＝12－t，|MA|＝8－t，有|MO|－|MA|＝4＜|AO|＝
10，由双曲线的定义可得动点M的轨迹为双曲线的一支，且双曲线的焦距2c＝10，实轴长2a
＝4，即c＝5，a＝2，所以e＝＝.故选D.
2．(多选)对于渐近线方程为x±y＝0的双曲线，下列结论正确的是( )
A．实轴长与虚轴长相等
B．离心率是
C．过焦点且与实轴垂直的直线被双曲线截得的线段长与实轴长相等
D．顶点到渐近线与焦点到渐近线的距离的比值为
解析：选ABC 依题意，不妨设渐近线方程为x±y＝0的双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，因此
实轴长与虚轴长均为2，所以A正确；由于实轴长与虚轴长相等，所以离心率为，所以B正确；
过焦点且与实轴垂直的直线被双曲线截得的线段长为2，而双曲线的实轴长也为2，所以C
正确；由相似三角形可知，顶点到渐近线与焦点到渐近线的距离的比值为＝，所以D错误．故
选A、B、C.
3.青花瓷，中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一．如图是
一个落地青花瓷，其外形称为单叶双曲面，且它的外形上下对称，可看成是
双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面．若该花瓶的最小直径为 16
cm，瓶口直径为20 cm，瓶高20 cm，则该双曲线的离心率为________．
解析：以花瓶最细处所在直线为x轴，花瓶的竖直对称轴为y轴，建立如图所
示的平面直角坐标系，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)．由题意可知a＝8，
图中的A点坐标为(10,10)．将a＝8，(10,10)代入双曲线方程，可得b＝，所以
＝，所以e＝＝.
答案：
一、基础练——练手感熟练度
1．双曲线－y2＝1的实轴长为( )A．4 B．2
C．2 D．2
解析：选D 由题知a2＝2，∴a＝，故实轴长为2a＝2，故选D.
2．双曲线－＝1的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±2x
解析：选C 双曲线－＝1的渐近线方程为－＝0，整理得y2＝2x2，
解得y＝±x，故选C.
3．已知双曲线－＝1(b>0)的渐近线方程为x±y＝0，则b＝( )
A．2 B．
C. D．12
解析：选A 因为双曲线－＝1(b>0)的渐近线方程为y＝±x，又渐近线方程为y＝±x，所以＝，
b＝2，故选A.
4．设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的虚轴长为4，一条渐近线为y＝x，则双曲线C的方程为(
)
A.－＝1 B．－＝1
C.－＝1 D．x2－＝1
解析：选A 因为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的虚轴长为4，所以2b＝4，b＝2，
因为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为y＝x，所以＝⇒a＝2b＝4，
所以双曲线M的方程为－＝1，故选A.
5．若a＞1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是( )
A．(，＋∞) B．(，2)
C．(1，) D．(1,2)
解析：选C 由题意得双曲线的离心率e＝，
即e2＝＝1＋.
∵a＞1，∴0＜＜1，∴1＜1＋＜2，∴1＜e＜.
6．(2020·北京高考)已知双曲线C：－＝1，则C的右焦点的坐标为________；C的焦点到其渐
近线的距离是________．
解析：双曲线C：－＝1中，c2＝6＋3＝9，∴c＝3，则C的右焦点的坐标为(3,0)．C的渐近线方
程为y＝±x，即y＝±x，即x±y＝0，则C的焦点到其渐近线的距离d＝＝.
答案：(3,0)
二、综合练——练思维敏锐度
1．若实数k满足0＜k＜9，则曲线－＝1与曲线－＝1的( )
A．离心率相等 B．虚半轴长相等
C．实半轴长相等 D．焦距相等解析：选D 由00，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A ，A ，过F作A A 的垂线与双
1 2 1 2
曲线交于B, C两点．若A B⊥A C，则该双曲线的渐近线的斜率为( )
1 2
A．± B．±
C．±1 D．±
解析：选C 由题设易知A (－a,0)，A (a,0)，B，C.∵A B⊥A C，∴·＝－1，整理得a＝b.∵渐近
1 2 1 2
线方程为y＝±x，即y＝±x，∴渐近线的斜率为±1.
3．已知双曲线－＝1的右焦点为F，P为双曲线左支上一点，点A(0，)，则 △APF周长
的最小值为( )
A．4(1＋) B．4＋
C．2(＋) D．＋3
解析：选A 设双曲线的左焦点为F′，易得点F(，0)，△APF的周长l＝|AF|＋|AP|＋|PF|＝|
AF|＋2a＋|PF′|＋|AP|，要使△APF的周长最小，只需|AP|＋|PF′|最小，易知当A，P，F′
三点共线时取到最小值，故l＝2|AF|＋2a＝4(1＋)．故选A.
4．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，从双曲线C的
右焦点F引渐近线的垂线，垂足为A，若△AFO的面积为1，则双曲线C的方程为( )
A.－＝1 B．－y2＝1
C.－＝1 D．x2－＝1
解析：选D 因为双曲线C的右焦点F到渐近线的距离|FA|＝b，|OA|＝a，所以ab＝2，又双
曲线C的离心率为，所以 ＝，即b2＝4a2，解得a2＝1，b2＝4，所以双曲线C的方程为x2－＝
1，故选D.
5．(2020·全国卷Ⅱ)设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线
分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为( )
A．4 B．8
C．16 D．32
解析：选B 由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±x.因为D，E分别为直线x＝a与双曲线C
的两条渐近线的交点，所以不妨设D(a，b)，E(a，－b)，所以S ＝×a×|DE|＝×a×2b＝ab
△ODE
＝8，所以c2＝a2＋b2≥2ab＝16，所以c≥4，所以2c≥8，所以C的焦距的最小值为8，故选B.
6．已知双曲线C：－＝1的一条渐近线l的倾斜角为，且C的一个焦点到l的距离为，则双曲
线C的方程为( )
A.－＝1 B．－＝1
C.－y2＝1 D．x2－＝1
解析：选D 由－＝0可得y＝±x，即渐近线的方程为y＝±x，又一条渐近线l的倾斜角为，
所以＝tan＝.
因为双曲线C的一个焦点(c,0)到l的距离为，所以＝b＝，
所以a＝1，
所以双曲线的方程为x2－＝1.
7．(2021·黄山一诊)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线x＋2y＋1＝0垂直，F ，F
1 2
为C的焦点，A为双曲线上一点，若|F A|＝2|F A|，则cos∠AF F 等于( )
1 2 2 1
A. B．
C. D．
解析：选C 因为双曲线的一条渐近线与直线 x＋2y＋1＝0垂直，所以b＝2a.又|F A|＝2|
1
F A|，且|F A|－|F A|＝2a，所以|F A|＝2a，|F A|＝4a，而c2＝5a2，得2c＝2a，所以cos∠AF F
2 1 2 2 1 2 1
＝＝＝，故选C.
8．(多选)设F ，F 是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，O是坐标原点．过F 作C的一
1 2 2
条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF |＝|OP|，则下列说法正确的是( )
1
A．|F P|＝b
2
B．双曲线的离心率为
C．双曲线的渐近线方程为y＝±x
D．点P在直线x＝a上
解析：选ABD 由双曲线的性质可知，双曲线的一条渐近线方程为y＝x，即bx－ay＝0，
设焦点F (－c,0)，F (c,0)(a>0，b>0，c>0)，
1 2
因为过F 作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，
2
所以|F P|＝＝＝b，故A正确；
2
因为|OP|＝＝＝a，所以|PF |＝|OP|＝a，cos∠F OP＝cos(180°－∠F OP)＝－cos∠F OP＝－
1 1 2 2
＝－，
在三角形OPF 中，根据余弦定理可知cos∠F OP＝＝＝－，解得3a2＝c2，即离心率e＝或e
1 1
＝－(舍去)，故B正确；
因为e＝ ＝，解得＝，所以渐近线的方程为y＝±x，故C错误；
因为点P在直线y＝x上，可设P(x，x)(x>0)，由|OP|＝a可知，|OP|＝＝x＝a，解得x＝a，故D
正确．
9．已知双曲线C：－＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的
交点分别为P，Q，若△POQ为直角三角形，则|PQ|＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选C 对于双曲线C：－＝1，右焦点为F(4,0)，双曲线的两条渐近线
方程为y＝±x，由过点F的直线交两渐近线于P，Q，不妨设点P在第一象
限，点Q在第四象限，∠OPQ＝90°，如图所示，
则在Rt△POQ中，∠POQ＝60°.
又∠POF＝30°，|OF|＝4，∴|OP|＝2，∴|PQ|＝|OP|＝6.故选C.
10．已知曲线＋＝1，当曲线表示焦点在y轴上的椭圆时k的取值范围是________；当曲线表
示双曲线时k的取值范围是________．
解析：当曲线表示焦点在y轴上的椭圆时，k2－k＞2，
所以k＜－1或k＞2；
当曲线表示双曲线时，k2－k＜0，所以0＜k＜1.
答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞) (0,1)
11．若点P是以A(－3,0)，B(3,0)为焦点，实轴长为2的双曲线与圆x2＋y2＝9的一个交点，则|
PA|＋|PB|＝________.
解析：不妨设点P在双曲线的右支上，则|PA|＞|PB|.
因为点P是双曲线与圆的交点，
所以由双曲线的定义知，|PA|－|PB|＝2，①
又|PA|2＋|PB|2＝36，②
联立①②化简得2|PA|·|PB|＝16，
所以(|PA|＋|PB|)2＝|PA|2＋|PB|2＋2|PA|·|PB|＝52，所以|PA|＋|PB|＝2.
答案：2
12．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝4x的准线分别交于A，B两点，
O为坐标原点，若S ＝2，则双曲线的离心率e＝________.
△AOB
解析：由题意，知抛物线的准线方程是x＝－1，双曲线的渐近线方程是y＝±x.当x＝－1时，y
＝±，即A，B或A，B.所以S ＝×2××1＝2，即＝2，所以e＝ ＝.
△AOB
答案：
13．已知双曲线C：x2－＝1，过左焦点F 的直线l与双曲线C的左支以及渐近线y＝2x交于
1
A，B两点，若F A―→＝AB―→，求直线l的斜率．
1
解：由题意知，双曲线C的左焦点F (－3，0)，故设直线l的方程为y＝k(x
1
＋3)，与y＝2x联立，得B，
由F A―→＝AB―→，得A为F B的中点，
1 1
由中点坐标公式得A.
∵点A在双曲线上，∴2－＝1.
即23k2－56k＋40＝0，解得k＝或k＝2(舍去)．
14．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(c,0)．
(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；
(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，
斜率为－，求双曲线的离心率．
解：(1)因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以a＝b，
所以c2＝a2＋b2＝2a2＝4，所以a2＝b2＝2，
所以双曲线的方程为－＝1.(2)设点A的坐标为(x，y)，
0 0
所以直线AO的斜率满足·(－)＝－1，
所以x＝y，①
0 0
依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，
将①代入圆的方程得3y＋y＝c2，
即y＝c，
0
所以x＝c，所以点A的坐标为，
0
代入双曲线方程得－＝1，
即b2c2－a2c2＝a2b2，②
又因为a2＋b2＝c2，所以将b2＝c2－a2代入②式，
整理得c4－2a2c2＋a4＝0，
所以34－82＋4＝0，所以(3e2－2)(e2－2)＝0，
因为e>1，所以e＝，所以双曲线的离心率为.
三、自选练——练高考区分度
1．过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右顶点A作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近
线的交点分别为B，C.若AB＝BC，则双曲线的离心率是( )
A. B．
C. D．
解析：选C 直线l：y＝－x＋a与渐近线l：bx－ay＝0交于B，l与渐近线l：bx＋ay＝0交于
1 2
C，A(a,0)，
所以AB＝，BC＝，
因为AB＝BC，所以b＝2a，所以c2－a2＝4a2，所以e2＝＝5，所以e＝，故选C.
2．设F ，F 分别为离心率e＝的双曲线C：－＝1的左、右焦点，A ，A 分别为双曲线C的左、
1 2 1 2
右顶点，以F ，F 为直径的圆交双曲线的渐近线l于M，N两点，若四边形MA NA 的面积为
1 2 2 1
4，则b＝( )
A．2 B．2
C．4 D．4
解析：选A 由e＝＝，得＝2，故渐近线方程为y＝2x, 以F ，F 为直径的圆的方程为x2＋y2＝
1 2
c2，联立得y＝±，由双曲线与圆的对称性知四边形MA NA 为平行四边形，不妨设y ＝，则四
2 1 M
边形MA NA 的面积S＝2a×＝4，得ac＝，又＝，得a＝1，c＝，b＝2，故选A.
2 1
3．(多选)已知动点P在双曲线C：x2－＝1上，双曲线C的左、右焦点分别为F ，F ，下列结论
1 2
正确的是( )
A．C的离心率为2
B．C的渐近线方程为y＝±x
C．动点P到两条渐近线的距离之积为定值D．当动点P在双曲线C的左支上时，的最大值为
解析：选AC 对于双曲线C：x2－＝1，a＝1，b＝，c＝2,
所以双曲线C的离心率为e＝＝2，渐近线方程为y＝±x，A选项正确，B选项错误；
设点P的坐标为(x，y)，则x－＝1，双曲线C的两条渐近线方程分别为x－y＝0和x＋y＝0，
0 0
则点P到两条渐近线的距离之积为·＝＝，C选项正确；
当动点P在双曲线C的左支上时，|PF |≥c－a＝1，|PF |＝2a＋|PF |＝|PF |＋2，
1 2 1 1
所以＝＝＝≤＝，
当且仅当|PF |＝2时，等号成立，所以的最大值为，D选项错误．故选A、C.
1
