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第五节 数列的综合应用
核心素养立意下的命题导向
1.数列与传统数学文化相结合，考查等差、等比数列的基本运算，凸显数学建模的核心素养．
2．数列与新定义问题相结合，考查转化、迁移能力，凸显数学抽象的核心素养．
3．数列与函数、不等式相结合，考查学生综合分析解决问题的能力，凸显逻辑推理的核心素
养．
题型一 等差、等比数列的综合问题
[典例] 数列{a }的前n项和记为S ，a＝1，a ＝2S ＋1(n≥1)．
n n 1 n＋1 n
(1)求{a }的通项公式；
n
(2)等差数列{b }的各项为正，其前n项和为T ，且T＝15，又a＋b，a＋b，a＋b 成等比数
n n 3 1 1 2 2 3 3
列，求T .
n
[解] (1)由a ＝2S ＋1，可得a ＝2S ＋1(n≥2)，
n＋1 n n n－1
两式相减得a －a ＝2a ，则a ＝3a (n≥2)．
n＋1 n n n＋1 n
当n＝1时，a＝2S＋1＝3＝3a，满足上式，
2 1 1
故{a }是首项为1，公比为3的等比数列，所以a ＝3n－1.
n n
(2)设等差数列{b }的公差为d.
n
由T＝15，即b＋b＋b＝15，可得b＝5，
3 1 2 3 2
故b＝5－d，b＝5＋d.
1 3
又a＝1，a＝3，a＝9，且由a＋b，a＋b，a＋b 成等比数列可得(1＋5－d)(9＋5＋d)＝(3＋
1 2 3 1 1 2 2 3 3
5)2，
解得d＝2或d＝－10.
因为等差数列{b }的各项为正，
n
所以d>0.
所以d＝2，b＝3，所以T ＝3n＋×2＝n2＋2n.
1 n
[方法技巧]
等差、等比数列的综合问题的解题技巧
(1)将已知条件转化为等差与等比数列的基本量之间的关系，利用方程思想和通项公式、前n
项和公式求解．求解时，应“瞄准目标”，灵活应用数列的有关性质，简化运算过程．求解过程
中注意合理选择有关公式，正确判断是否需要分类讨论．
(2)一定条件下，等差数列与等比数列之间是可以相互转化的，即{a }为等差数列⇔ {aan }
n
(a>0且a≠1)为等比数列；{a }为正项等比数列⇔{log a }(a>0且a≠1)为等差数列．
n a n
[针对训练]
已知无穷数列{a }中，a，a，…，a 是首项为2，公差为3的等差数列，a ，a ，…，a 是首
n 1 2 m m＋1 m＋2 2m
项为2，公比为2的等比数列(其中m≥3，m∈N*)，并对任意的n∈N*，均有a ＝a 成立．
n＋2m n
(1)当m＝14时，求a ；
1 000
(2)若a ＝128，试求m的值．
52解：由题设得a ＝3n－1(1≤n≤m)，a ＝2n(1≤n≤m)．
n m＋n
(1)当m＝14时，数列的周期为28.
因为1 000＝28×35＋20，而a 是等比数列中的项，
20
所以a ＝a ＝a ＝26＝64.
1 000 20 14＋6
(2)显然，a ＝128不是数列{a }中等差数列的项．
52 n
设a 是第一个周期中等比数列中的第k项，则a ＝2k.
m＋k m＋k
因为128＝27，所以等比数列中至少有7项，即m≥7，则一个周期中至少有14项．
所以a 最多是第三个周期中的项．
52
若a 是第一个周期中的项，则a ＝a ＝128，
52 52 m＋7
所以m＝52－7＝45；
若a 是第二个周期中的项，则a ＝a ＝128，
52 52 3m＋7
所以3m＝45，m＝15；
若a 是第三个周期中的项，则a ＝a ＝128，
52 52 5m＋7
所以5m＝45，m＝9.
综上，m的值为45或15或9.
题型二 数列的新定义问题
[典例] S 为等差数列{a }的前n项和，且a＝1，S＝28.记b ＝[lg a ]，其中[x]表示不超过x
n n 1 7 n n
的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.
(1)求b，b ，b ；
1 11 101
(2)求数列{b }的前1 000项和．
n
[思路点拨]
关键信息 信息转化
S 为等差数列{a }的前n项和，且a＝1，S＝28 可以求得数列{a }的通项公式
n n 1 7 n
b ＝[lg a ]，[x]的定义 可以分别求出b，b，…，b
n n 1 2 1 000
数列{b }的前1 000项和 分组求和
n
[解] (1)设数列{a }的公差为d，
n
由已知得7＋21d＝28，解得d＝1.
所以数列{a }的通项公式为a ＝n.
n n
b＝[lg 1]＝0，b ＝[lg 11]＝1，b ＝[lg 101]＝2.
1 11 101
(2)记{b }的前n项和为T ，
n n
则T ＝b＋b＋…＋b ＝[lg a ]＋[lg a ]＋…＋[lg a ]，
1 000 1 2 1 000 1 2 1 000
当0≤lg a <1时，n＝1,2，…，9；
n
当1≤lg a <2时，n＝10,11，…，99；
n
当2≤lg a <3时，n＝100,101，…，999；
n
当lg a ＝3时，n＝1 000.
n所以b ＝
n
所以数列{b }的前1 000项和为0×9＋1×90＋2×900＋3×1＝1 893.
n
[方法技巧]
新定义数列问题的特点及解题策略
通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情
境，要求学生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息
的迁移，达到灵活解题的目的．
[针对训练]
给定一个数列{a }，在这个数列中，任取m(m≥3，m∈N*)项，并且不改变它们在数列{a }中的
n n
先后次序，得到的数列称为数列{a }的一个m阶子数列．已知数列{a }的通项公式为a ＝
n n n
(n∈N*，a为常数)，等差数列a，a，a 是数列{a }的一个3阶子数列．
2 3 6 n
(1)求a的值；
(2)设等差数列b，b，…，b 是{a }的一个m(m≥3，m∈N*)阶子数列，且b＝(k为常数，k∈N*，
1 2 m n 1
k≥2)，求证：m≤k＋1.
解：(1)因为a，a，a 成等差数列，
2 3 6
所以a－a＝a－a.
2 3 3 6
又因为a＝，a＝，a＝，
2 3 6
所以－＝－，解得a＝0.
(2)证明：设等差数列b，b，…，b 的公差为d.
1 2 m
因为b＝，所以b≤，
1 2
从而d＝b－b≤－＝－.
2 1
所以b ＝b＋(m－1)d≤－.
m 1
又因为b >0，所以－>0.
m
即m－10，且b＋b＝6b，求q的值及数列{a }的通项公式；
n 1 2 3 n
(2)若{b }为等差数列，公差d>0，证明：c＋c＋c＋…＋c <1＋，n∈N*.
n 1 2 3 n
[解] (1)由b＋b＝6b 得1＋q＝6q2，
1 2 3
解得q＝，所以＝4.所以c ＝4c .
n＋1 n
又因为c＝1，所以c ＝4n－1.
1 n
由a －a ＝4n－1，
n＋1 n
得a ＝a＋1＋4＋…＋4n－2＝.
n 1
(2)证明：由c ＝c ，
n＋1 n得c ＝＝，
n
所以c＋c＋c＋…＋c ＝.
1 2 3 n
由b＝1，d>0得b >0，
1 n＋1
因此c＋c＋c＋…＋c <1＋，n∈N*.
1 2 3 n
[方法技巧]
1．数列与函数的交汇问题
(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题．
(2)已知数列条件，解决函数问题，解题时要注意数列与函数的内在联系，掌握递推数列的常
见解法．
2．数列与不等式的交汇问题
(1)函数法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正
实数的不等式赋特殊值得出数列中的不等式．
(2)放缩法：数列中的不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到．
(3)比较法：作差或者作商进行比较．
[针对训练]
已知{a }是由正数组成的数列，a＝1，且点(，a )(n∈N*)在函数y＝x2＋1的图象上．
n 1 n＋1
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)若数列{b }满足b＝1，b ＝b ＋2，求证：b ·b 1
解析：选B 该命题说明每天取的长度构成了以为首项，为公比的等比数列，因为＋＋…＋＝1－<1，所以能反映命题本质的式子是＋＋…＋<1.故选B.
2．(多选)在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩．《张丘建算经》
是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪．书中有如下
问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”．其大意为：
“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量
的布，第一天织5尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺
布？”已知1匹＝4丈，1丈＝10尺，若这一个月有30天，记该女子这一个月中的第n天所
织布的尺数为a ，b ＝2an，对于数列{a }，{b }，下列选项中正确的为( )
n n n n
A．b ＝8b B．{b }是等比数列
10 5 n
C．ab ＝105 D.＝
1 30
解析：选BD 由题意可知，数列{a }为等差数列，设数列{a }的公差为d，a＝5，由题意可得
n n 1
30a＋＝390，解得d＝，∴a ＝a＋(n－1)d＝，又b ＝2an，∴＝＝2an＋1－an＝2d(非零常数)，则
1 n 1 n
数列{b }是等比数列，B选项正确；∵5d＝5×＝≠3，＝(2d)5＝25d≠23，∴b ≠8b，A选项错误；
n 10 5
a ＝a＋29d＝5＋16＝21，∴ab ＝5×221>105，C选项错误；a＝a＋3d＝5＋3×＝，a＝a
30 1 1 30 4 1 5 1
＋4d＝5＋4×＝，
∴＝＝＝，D选项正确．
3．(2021·济南模拟)设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则数列(n∈N*)的前n项和
是( )
A. B.
C. D.
解析：选A ∵f′(x)＝mxm－1＋a＝2x＋1，∴a＝1，m＝2，
∴f(x)＝x(x＋1)，则＝＝－，用裂项法求和得S ＝1－＋－＋…＋－＝.
n
4．已知集合P＝{x|x＝2n，n∈N*}，Q＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，将P∪Q中的所有元素从小到大
依次排列构成一个数列{a }，记S 为数列{a }的前n项和，则使得S <1 000成立的n的最大值
n n n n
为( )
A．9 B．32
C．35 D．61
解析：选C 数列{a }的前n项依次为1,2,3,22,5,7，23，….利用列举法可得：当n＝35时，P∪Q
n
中的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列{a }，所以数列{a }的前35项可重新排列为
n n
1,3,5,7,9,11,13，…，55,57,59,2,4,8,16,32，
则S ＝30＋×2＋＝302＋26－2＝962<1 000，
35
当n＝36时，S ＝962＋61＝1 023>1 000，
36
所以n的最大值为35.故选C.
5．已知数列{a }满足a＝1，且点(a 2a )(n∈N*)在直线x－y＋1＝0上，若对任意的n∈N*，
n 1 n, n＋1
＋＋＋…＋≥λ恒成立，则实数λ的取值范围为__________．
解析：由数列{a }满足a＝1，且点(a 2a )(n∈N*)在直线x－y＋1＝0上可得a － a ＋
n 1 n, n＋1 n n＋11＝0，即a －a ＝1，故{a }是以1为首项，1为公差的等差数列，故可得a ＝n.对任意的
n＋1 n n n
n∈N*，＋＋＋…＋≥λ恒成立，即λ≤＋＋…＋的最小值．
令f(n)＝＋＋…＋，
则f(n)－f(n＋1)＝－－＝－＝－<0，
即f(n)
