专题02排列数组合数的计算_2024-2025高三（6-6月题库）_2024年08月试卷_0816新高考数学题型全归纳之排列组合（20个专题）

专题 2 排列数组合数
类型一、排列数组合数的简单计算
【例1】对于满足n≥13的正整数n， n5n6...n12  ( )
A．A7 B．A7 C．A8 D．A12
n12 n5 n5 n5
【例2】计算Α3 ______．
7
【例3】计算A3 ，A6；
10 6
【例4】计算C2 ______，C5 _______．
7 7
【例5】计算C3 ，C6；
10 8
【例6】计算A3，A4 ，C3，C48，C2 C3 ．
7 10 7 50 19 19
【例7】已知Α4 140Α3，求n的值．
2n1 n
【例8】解不等式Ax6Ax2
8 8
【例9】证明：A9 9A8 8A7 A8．
9 8 7 8
【例10】解方程A3 100A2．
2x x
【例11】解不等式Ax 6Ax2．
8 8
【例12】解方程：11C3 24C2
x x1
【例13】解不等式：Cm1 3Cm ．
8 8
5 n(n1)L (n  x  1)
【例14】设[x]表示不超过x的最大整数(如[2]2，   1)，对于给定的，定义Cx  ，
 4  n x(x1)L (x  x  1)
3 
x1，  ，则当x ，3时，函数Cx的值域是( )
 2 8
 
16  16 
A．

, 28

B．

, 56
3 3
   
 28  16 28 

C．4, U 28, 56 D．4,  U  , 28 
3  3 3
     
 
【例15】组合数Cr nr≥1，n、rZ 恒等于( )
n
r1 n
A． Cr1 B．n1r1Cr1 C．nrCr1 D． Cr1
n1 n1 n1 n1 r n1
【例16】已知Cm :Cm1 :Cm2 3:5:5，求m 、n的值．
n2 n2 n2
类型二、排列数组合数公式的应用
1【例17】已知Cn3 Cn2 C2 Cn Cn1，求Cn 的值．
20 20 21 22 21 21
【例18】若C2n6 Cn2,(nN)，则n_______
20 20
【例19】若Cm1∶Cm∶Cm1 3∶4∶5，则nm 
n n n
【例20】证明：nCk (k1)Ck1 kCk
n n n
n 1 1 n
【例21】证明： Ci  Ci1 ．
i1 n n1 n1
i0 i0
【例22】求证：Am1 Am1 (m 1)Am2 ．
n n1 n1
n
【例23】证明：kCk n2n1．
n
k0
n
【例24】证明：C1 2C2 3C3 L nCn (C0 C1 L Cn)．
n n n n 2 n n n
【例25】求证：CnCn Cn L Cn Cn1 ；
n n1 n2 nm nm1
【例26】计算：C2 C3 ，C0 C1 C2 L C9
99 99 4 5 6 13
【例27】证明：C0CkC1Ck1 C2Ck2 L CkC0 Ck ．(其中k≤m in{m，n})
m n m n m n m n nm
3
【例28】解方程Cx Cx1 Cx2  Α3
x5 x3 x3 4 x3
【例29】确定函数A3的单调区间．
x
【例30】规定Am x(x1)L (xm 1)，其中xR ，m 为正整数，且A0 1，这是排列数Am (n,m 是
x x n
正整数，且m≤n)的一种推广．
⑴求A3 的值；
15
⑵排列数的两个性质：①Am nAm1，②Am mAm1 Am (其中m,n是正整数)．是否都能推广到
n n1 n n n1
Am(xR ，m 是正整数)的情形?若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由．
x
2专题 2 排列数组合数
类型一、排列数组合数的简单计算
【例1】对于满足n≥13的正整数n，
n5n6...n12
( )
A．A7 B．A7 C．A8 D．A12
n12 n5 n5 n5
【解析】C.
【例2】计算Α3 ______．
7
【解析】210
【例3】计算A 3 ，A6 ；
10 6
【解析】A3 720；A6 720
10 6
【例4】计算C2  ______，C5  _______．
7 7
【解析】C2 21；C5 21
7 7
【例5】计算C3 ，C6
；
10 8
【解析】C3 120；C6 28
10 8
【例6】计算A3 ，A 4 ，C3 ，C48 ，C2 C3 ．
7 10 7 50 19 19
【解析】A3 210，A4 5040，C3 35，C48 1225，C2 C3 1140
7 10 7 50 19 19
【例7】已知Α4 140Α3
，求n的值．
2n1 n
【解析】由Α4 140Α3
，得
2n12n2n12n2 140nn1n2
，故
2n1 n
2n12n1  35n2 ，即4n2 1  35n 70 ，解得n3或n 21 (舍)
4
【例8】解不等式Ax6Ax2
8 8
【解析】8
【解析】由Ax6Ax2 ，得 10x9x 6，有x8，x9或x10，又x8，故x8
8 8
【例9】证明：A9 9A8 8A7 A8
．
9 8 7 8
【解析】证明：A9 9A8 8A7 A9 A9 8A7 8A7 A8
9 8 7 9 9 7 7 8
【例10】解方程A3 100A2
．
2x x
【解析】13
1【例11】解不等式Ax6Ax2
．
8 8
【解析】同第9题
【例12】解方程：11C3 24C2
x x1
【解析】10
【例13】解不等式：Cm1 3Cm
．
8 8
【解析】7或8
5 n(n1)L (n x 1)
【例14】设[x]表示不超过x的最大整数(如[2]2，  1 )，对于给定的，定义Cx    ，
 4  n x(x1)L (x x 1)
 
3 
x1， ，则当x ，3 时，函数Cx的值域是( )
 2 8
 
16  16 
A． ,28  B． ,56 
3 3
   
 28  16 28 
C． 4,  U 28, 56  D． 4,  U  ,28 
3  3 3
     
【解析】D.
【例15】组合数 Cr  nr≥1，n、rZ 恒等于( )
n
A． r1 Cr1 B． n1r1Cr1 C．nrCr1 D． n Cr1
n1 n1 n1 n1 r n1
【解析】D.
【例16】已知Cm :Cm1:Cm2 3:5:5，求m 、n的值．
n2 n2 n2
【解析】由Cm1:Cm2 5:5知m1m2n2，即2m1n，又5Cm 3Cm1，有8m3n10，
n2 n2 n2 n2
解m 2,n 5.
类型二、排列数组合数公式的应用
【例17】已知Cn3 Cn2 C2 Cn Cn1，求 Cn 的值．
20 20 21 22 21 21
【解析】由Cn3 Cn2 C2 Cn Cn1得Cn2 C2 Cn，即n3，所以C3=1330
.
20 20 21 22 21 21 21 21 21
【例18】若C2n6 Cn2,(nN)，则n
 _______
20 20
【解析】4
【例19】若Cm1∶Cm∶Cm1 3∶4∶5，则nm

n n n
2n! n! 3
【解析】由 :  ，得7m 3n3；
(m1)!(nm1)! m!(nm)! 4
又 n! : n!  4 ，得9m4n5，解方程组有   m  27 ，故 nm35

m!(nm)! (m1)!(nm1)! 5 n 62

【例20】证明：nCk (k1)Ck1 kCk
n n n
n n
【解析】证明：(k1)Ck1 kCk (k1) Ck k Ck1 nCk nCk1 nCk
n n k1 n1 k n1 n1 n1 n
n 1 1 n
【例21】证明： Ci  Ci1 ．
i1 n n1 n1
i0 i0
【解析】证明： 1  n Ci1  1  C1 C2 +C3 ++Cn1
n1 n1 n1 n1 n1 n1 n1
i0
1 n1 n1 n1 n1 
  C0  C1+ C2+L + Cn 
n1

1 n 2 n 2 n n1 n

1 1 1 1 n 1
 C0  C1+ C2++ Cn  Ci
1 n 2 n 2 n n1 n i1 n
i0
【例22】求证：Am1 Am1(m1)Am2 ．
n n1 n1
【解析】证明：Am1(m1)Am2 (nm1)Am2 (m1)Am2 nAm2 Am1
n1 n1 n1 n1 n1 n
n
【例23】证明：kCk  n2n1．
n
k0
【解析】证明：
n
kCk= 0C 0 1C1+ 2C2+ L + nCn  1C1+ 2C2+ L + nCn nC 0 + nC1 + L + nCn1 n2n1
n n n n n n n n n1 n1 n1
k0
n
【例24】证明：C1 2C2 3C3 L nCn  (C0 C1 L Cn)．
n n n n 2 n n n
【解析】证明：令 S  C1  2C2 3C3  nCn，
n n n n
则 S  nCn 3C3  2C2 C1  nC0 (n1)C13Cn3  2Cn2 Cn1
n n n n n n n n n
所以 2S  nC0  nC1  nC2  nC3  nCn  n(C0 C1 Cn)
n n n n n n n n
n
故C1 2C2 3C3 nCn  (C0 C1 Cn)
n n n n 2 n n n
【例25】求证：CnCn Cn L Cn Cn1 ；
n n1 n2 nm nm1
【解析】证明：CnCn Cn L Cn
n n1 n2 nm
3  Cn1 Cn  Cn L Cn
n1 n1 n2 nm
Cn1 Cn L Cn
n2 n2 nm
  Cn1 Cn  Cn Cn
n2 n2 n3 nm
Cn+1 Cn L Cn L
n3 n3 nm
Cn1
nm1
【例26】计算：C2 C3 ，C0 C1 C2 L C9
99 99 4 5 6 13
【解析】 C2 C3 C3 161700 ；
99 99 100
C0 C1 C2 L C9   C0 C1 C2 L C9 L  C9  C5 1902
4 5 6 13 5 5 6 13 14 14
【例27】证明：C0CkC1Ck1 C2Ck2 L CkC0 Ck ．(其中 k≤min{m，n} )
m n m n m n m n nm
【解析】算两次，现有mn个相同的球，其中黑球m 个，红球n个，现从这
m  n
中取出k个球(其中
k≤min{m，n} )，则共有Ck 种取法；另一方面，取出的k个球的颜色为红色的情形共有C0Ck， C1 Ck1，
nm m n m n
C2Ck2，…… CkC0种情形，故C0CkC1Ck1 C2Ck2 L CkC0 Ck
m n m n m n m n m n m n nm
3
【例28】解方程Cx Cx1 Cx2  Α3
x5 x3 x3
4
x3
3 3
【解析】由Cx  Cx1 Cx2  Α3 得，C5  C4 C5  Α3 ，
x5 x3 x3 4 x3 x5 x3 x3 4 x3
3 3
即C4 +C5 C5  Α3 ，有C4  Α3 ，解得x14
x4 x4 x4 4 x3 x4 4 x3
【例29】确定函数A3的单调区间．
x
【解析】fx= A 3  1 x(x1)(x2) 1 x3 x2  2 x，求导 fx=x2 2x 2 ，故在3，+  上单调递增.

x 3 3 3 3
【例30】规定Am x(x1)L (xm1)，其中xR ，m 为正整数，且A 0 1，这是排列数Am (n,m 是
x x n
正整数，且m≤n)的一种推广．
⑴求A3 的值；
15
⑵排列数的两个性质：①Am nAm1，②Am mAm1 Am (其中m ,n是正整数)．是否都能推广到
n n1 n n n1
Am ( xR ，m 是正整数)的情形?若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由．
x
【解析】(1) A3 (15)(151)(152)4080
15
(2)性质①能推广，推广形式为Am xAm1，
x x1
4证明：当m1显然成立，
当m2时，Am x(x1)(x2)L (xm 1)x(x1)(x2)L (xm 1) xAm1 xAm1，故成立.
x    x1  x1
性质②能推广，推广形式为Am mAm1 Am
x x x1
证明：当m1显然成立，
当m2时，Am x(x1)(x2)L (xm1)，mAm1 mx(x1)(x2)L (xm2)
x x
所以Am mAm1 x(x1)(x2)L (xm1)mx(x1)(x2)L (xm2)
x x
x(x1)(x2)L (xm 2)(xm 1)m
 
(x1)x(x1)(x2)L (xm 2)
=Am
x1
故性质②的推广成立.
5