专题02排列数组合数的计算_2024-2025高三（6-6月题库）_2024年08月试卷_0816新高考数学题型全归纳之排列组合（20个专题）

专题 2 排列数组合数 类型一、排列数组合数的简单计算 【例1】对于满足n≥13的正整数n， n5n6...n12  ( ) A．A7 B．A7 C．A8 D．A12 n12 n5 n5 n5 【例2】计算Α3 ______． 7 【例3】计算A3 ，A6； 10 6 【例4】计算C2 ______，C5 _______． 7 7 【例5】计算C3 ，C6； 10 8 【例6】计算A3，A4 ，C3，C48，C2 C3 ． 7 10 7 50 19 19 【例7】已知Α4 140Α3，求n的值． 2n1 n 【例8】解不等式Ax6Ax2 8 8 【例9】证明：A9 9A8 8A7 A8． 9 8 7 8 【例10】解方程A3 100A2． 2x x 【例11】解不等式Ax 6Ax2． 8 8 【例12】解方程：11C3 24C2 x x1 【例13】解不等式：Cm1 3Cm ． 8 8 5 n(n1)L (n  x  1) 【例14】设[x]表示不超过x的最大整数(如[2]2，   1)，对于给定的，定义Cx  ，  4  n x(x1)L (x  x  1) 3  x1，  ，则当x ，3时，函数Cx的值域是( )  2 8   16  16  A．  , 28  B．  , 56 3 3      28  16 28   C．4, U 28, 56 D．4,  U  , 28  3  3 3         【例15】组合数Cr nr≥1，n、rZ 恒等于( ) n r1 n A． Cr1 B．n1r1Cr1 C．nrCr1 D． Cr1 n1 n1 n1 n1 r n1 【例16】已知Cm :Cm1 :Cm2 3:5:5，求m 、n的值． n2 n2 n2 类型二、排列数组合数公式的应用 1【例17】已知Cn3 Cn2 C2 Cn Cn1，求Cn 的值． 20 20 21 22 21 21 【例18】若C2n6 Cn2,(nN)，则n_______ 20 20 【例19】若Cm1∶Cm∶Cm1 3∶4∶5，则nm  n n n 【例20】证明：nCk (k1)Ck1 kCk n n n n 1 1 n 【例21】证明： Ci  Ci1 ． i1 n n1 n1 i0 i0 【例22】求证：Am1 Am1 (m 1)Am2 ． n n1 n1 n 【例23】证明：kCk n2n1． n k0 n 【例24】证明：C1 2C2 3C3 L nCn (C0 C1 L Cn)． n n n n 2 n n n 【例25】求证：CnCn Cn L Cn Cn1 ； n n1 n2 nm nm1 【例26】计算：C2 C3 ，C0 C1 C2 L C9 99 99 4 5 6 13 【例27】证明：C0CkC1Ck1 C2Ck2 L CkC0 Ck ．(其中k≤m in{m，n}) m n m n m n m n nm 3 【例28】解方程Cx Cx1 Cx2  Α3 x5 x3 x3 4 x3 【例29】确定函数A3的单调区间． x 【例30】规定Am x(x1)L (xm 1)，其中xR ，m 为正整数，且A0 1，这是排列数Am (n,m 是 x x n 正整数，且m≤n)的一种推广． ⑴求A3 的值； 15 ⑵排列数的两个性质：①Am nAm1，②Am mAm1 Am (其中m,n是正整数)．是否都能推广到 n n1 n n n1 Am(xR ，m 是正整数)的情形?若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由． x 2专题 2 排列数组合数 类型一、排列数组合数的简单计算 【例1】对于满足n≥13的正整数n， n5n6...n12 ( ) A．A7 B．A7 C．A8 D．A12 n12 n5 n5 n5 【解析】C. 【例2】计算Α3 ______． 7 【解析】210 【例3】计算A 3 ，A6 ； 10 6 【解析】A3 720；A6 720 10 6 【例4】计算C2  ______，C5  _______． 7 7 【解析】C2 21；C5 21 7 7 【例5】计算C3 ，C6 ； 10 8 【解析】C3 120；C6 28 10 8 【例6】计算A3 ，A 4 ，C3 ，C48 ，C2 C3 ． 7 10 7 50 19 19 【解析】A3 210，A4 5040，C3 35，C48 1225，C2 C3 1140 7 10 7 50 19 19 【例7】已知Α4 140Α3 ，求n的值． 2n1 n 【解析】由Α4 140Α3 ，得 2n12n2n12n2 140nn1n2 ，故 2n1 n 2n12n1  35n2 ，即4n2 1  35n 70 ，解得n3或n 21 (舍) 4 【例8】解不等式Ax6Ax2 8 8 【解析】8 【解析】由Ax6Ax2 ，得 10x9x 6，有x8，x9或x10，又x8，故x8 8 8 【例9】证明：A9 9A8 8A7 A8 ． 9 8 7 8 【解析】证明：A9 9A8 8A7 A9 A9 8A7 8A7 A8 9 8 7 9 9 7 7 8 【例10】解方程A3 100A2 ． 2x x 【解析】13 1【例11】解不等式Ax6Ax2 ． 8 8 【解析】同第9题 【例12】解方程：11C3 24C2 x x1 【解析】10 【例13】解不等式：Cm1 3Cm ． 8 8 【解析】7或8 5 n(n1)L (n x 1) 【例14】设[x]表示不超过x的最大整数(如[2]2，  1 )，对于给定的，定义Cx    ，  4  n x(x1)L (x x 1)   3  x1， ，则当x ，3 时，函数Cx的值域是( )  2 8   16  16  A． ,28  B． ,56  3 3      28  16 28  C． 4,  U 28, 56  D． 4,  U  ,28  3  3 3       【解析】D. 【例15】组合数 Cr  nr≥1，n、rZ 恒等于( ) n A． r1 Cr1 B． n1r1Cr1 C．nrCr1 D． n Cr1 n1 n1 n1 n1 r n1 【解析】D. 【例16】已知Cm :Cm1:Cm2 3:5:5，求m 、n的值． n2 n2 n2 【解析】由Cm1:Cm2 5:5知m1m2n2，即2m1n，又5Cm 3Cm1，有8m3n10， n2 n2 n2 n2 解m 2,n 5. 类型二、排列数组合数公式的应用 【例17】已知Cn3 Cn2 C2 Cn Cn1，求 Cn 的值． 20 20 21 22 21 21 【解析】由Cn3 Cn2 C2 Cn Cn1得Cn2 C2 Cn，即n3，所以C3=1330 . 20 20 21 22 21 21 21 21 21 【例18】若C2n6 Cn2,(nN)，则n  _______ 20 20 【解析】4 【例19】若Cm1∶Cm∶Cm1 3∶4∶5，则nm  n n n 2n! n! 3 【解析】由 :  ，得7m 3n3； (m1)!(nm1)! m!(nm)! 4 又 n! : n!  4 ，得9m4n5，解方程组有   m  27 ，故 nm35  m!(nm)! (m1)!(nm1)! 5 n 62  【例20】证明：nCk (k1)Ck1 kCk n n n n n 【解析】证明：(k1)Ck1 kCk (k1) Ck k Ck1 nCk nCk1 nCk n n k1 n1 k n1 n1 n1 n n 1 1 n 【例21】证明： Ci  Ci1 ． i1 n n1 n1 i0 i0 【解析】证明： 1  n Ci1  1  C1 C2 +C3 ++Cn1 n1 n1 n1 n1 n1 n1 n1 i0 1 n1 n1 n1 n1    C0  C1+ C2+L + Cn  n1  1 n 2 n 2 n n1 n  1 1 1 1 n 1  C0  C1+ C2++ Cn  Ci 1 n 2 n 2 n n1 n i1 n i0 【例22】求证：Am1 Am1(m1)Am2 ． n n1 n1 【解析】证明：Am1(m1)Am2 (nm1)Am2 (m1)Am2 nAm2 Am1 n1 n1 n1 n1 n1 n n 【例23】证明：kCk  n2n1． n k0 【解析】证明： n kCk= 0C 0 1C1+ 2C2+ L + nCn  1C1+ 2C2+ L + nCn nC 0 + nC1 + L + nCn1 n2n1 n n n n n n n n n1 n1 n1 k0 n 【例24】证明：C1 2C2 3C3 L nCn  (C0 C1 L Cn)． n n n n 2 n n n 【解析】证明：令 S  C1  2C2 3C3  nCn， n n n n 则 S  nCn 3C3  2C2 C1  nC0 (n1)C13Cn3  2Cn2 Cn1 n n n n n n n n n 所以 2S  nC0  nC1  nC2  nC3  nCn  n(C0 C1 Cn) n n n n n n n n n 故C1 2C2 3C3 nCn  (C0 C1 Cn) n n n n 2 n n n 【例25】求证：CnCn Cn L Cn Cn1 ； n n1 n2 nm nm1 【解析】证明：CnCn Cn L Cn n n1 n2 nm 3  Cn1 Cn  Cn L Cn n1 n1 n2 nm Cn1 Cn L Cn n2 n2 nm   Cn1 Cn  Cn Cn n2 n2 n3 nm Cn+1 Cn L Cn L n3 n3 nm Cn1 nm1 【例26】计算：C2 C3 ，C0 C1 C2 L C9 99 99 4 5 6 13 【解析】 C2 C3 C3 161700 ； 99 99 100 C0 C1 C2 L C9   C0 C1 C2 L C9 L  C9  C5 1902 4 5 6 13 5 5 6 13 14 14 【例27】证明：C0CkC1Ck1 C2Ck2 L CkC0 Ck ．(其中 k≤min{m，n} ) m n m n m n m n nm 【解析】算两次，现有mn个相同的球，其中黑球m 个，红球n个，现从这 m  n 中取出k个球(其中 k≤min{m，n} )，则共有Ck 种取法；另一方面，取出的k个球的颜色为红色的情形共有C0Ck， C1 Ck1， nm m n m n C2Ck2，…… CkC0种情形，故C0CkC1Ck1 C2Ck2 L CkC0 Ck m n m n m n m n m n m n nm 3 【例28】解方程Cx Cx1 Cx2  Α3 x5 x3 x3 4 x3 3 3 【解析】由Cx  Cx1 Cx2  Α3 得，C5  C4 C5  Α3 ， x5 x3 x3 4 x3 x5 x3 x3 4 x3 3 3 即C4 +C5 C5  Α3 ，有C4  Α3 ，解得x14 x4 x4 x4 4 x3 x4 4 x3 【例29】确定函数A3的单调区间． x 【解析】fx= A 3  1 x(x1)(x2) 1 x3 x2  2 x，求导 fx=x2 2x 2 ，故在3，+  上单调递增.  x 3 3 3 3 【例30】规定Am x(x1)L (xm1)，其中xR ，m 为正整数，且A 0 1，这是排列数Am (n,m 是 x x n 正整数，且m≤n)的一种推广． ⑴求A3 的值； 15 ⑵排列数的两个性质：①Am nAm1，②Am mAm1 Am (其中m ,n是正整数)．是否都能推广到 n n1 n n n1 Am ( xR ，m 是正整数)的情形?若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由． x 【解析】(1) A3 (15)(151)(152)4080 15 (2)性质①能推广，推广形式为Am xAm1， x x1 4证明：当m1显然成立， 当m2时，Am x(x1)(x2)L (xm 1)x(x1)(x2)L (xm 1) xAm1 xAm1，故成立. x    x1  x1 性质②能推广，推广形式为Am mAm1 Am x x x1 证明：当m1显然成立， 当m2时，Am x(x1)(x2)L (xm1)，mAm1 mx(x1)(x2)L (xm2) x x 所以Am mAm1 x(x1)(x2)L (xm1)mx(x1)(x2)L (xm2) x x x(x1)(x2)L (xm 2)(xm 1)m   (x1)x(x1)(x2)L (xm 2) =Am x1 故性质②的推广成立. 5