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机密★启用前 〔考试时间：２０２４年７月３日下午１５∶００－１７∶００〕
乐山市高中 ２０２５届期末教学质量检测
数 学
（考试时间：１２０分钟 试卷总分：１５０分）
注意事项：
１．答题前先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，认真
核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
２．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡的
非答题区域均无效．
３．选择题用 ２Ｂ铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答
题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．
４．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本大题共８小题，每小题５分，共４０分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
１
１．已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ２，则ｆ′（４）＝
１ １
Ａ． Ｂ． Ｃ．１ Ｄ．２
４ ２
２．已知数列１，槡３，槡５，槡７，３，…，按此规律，３槡３是该数列的
Ａ．第１１项 Ｂ．第１２项 Ｃ．第１３项 Ｄ．第１４项
３．对变量ｘ，ｙ由观测数据（ｘ，ｙ）（ｉ∈Ｎ）得散点图１；对变量ｕ，ｖ由观测数据（ｕ，ｖ）（ｉ∈Ｎ）得散
ｉ ｉ ｉ ｉ
点图２．ｒ表示变量ｘ，ｙ之间的线性相关系数，ｒ表示变量ｕ，ｖ之间的线性相关系数，则下列说法
１ ２
正确的是
Ａ变量ｘ与ｙ呈现正相关，且｜ｒ｜＞｜ｒ｜ Ｂ变量ｘ与ｙ呈现负相关，且｜ｒ｜＜｜ｒ｜
１ ２ １ ２
Ｃ变量ｕ与ｖ呈现正相关，且｜ｒ｜＞｜ｒ｜ Ｄ变量ｕ与ｖ呈现负相关，且｜ｒ｜＜｜ｒ｜
１ ２ １ ２
４．某校准备从甲、乙等７人中选出４人参加社区服务工作，要求甲、乙至少有１人参加，则不
同的方法有
Ａ．３５种 Ｂ．３０种 Ｃ．２５种 Ｄ．２０种
高二数学试题 第 １页（共４页）
{{##{{QQQQAABBbYYYASEtwgggiAQAgAJSIAAACAYQ5gqCQQQQWGOaCCwgiOQQkIkEAgGJUACgEQxgVOCQOFKAAMxsqAwAYANwAQBNAAA=B}A#A}=}#}
书书书５．牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法———牛顿法．设 ｒ是 ｆ（ｘ）＝
ｘ２＋ｘ－１＝０（ｘ＞０）的根，选取ｘ＝１作为ｒ的初始近似值，过点（ｘ，ｆ（ｘ））做曲线ｙ＝ｆ（ｘ）
０ ０ ０
的切线ｌ，ｌ与ｘ轴的交点的横坐标为 ｘ，称 ｘ是 ｒ的一次近似值；过点（ｘ，ｆ（ｘ））做曲线
１ １ １ １
ｙ＝ｆ（ｘ）的切线，则该切线与ｘ轴的交点的横坐标为ｘ，称ｘ是ｒ的二次近似值．则ｘ＝
２ ２ ２
２ １１ １３ １７
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
３ ２０ ２１ ２７
６．某市组织５名志愿者到当地三个学校开展活动，要求每个学校至少派一名志愿者，每名志
愿者只能去一个学校，则不同的派出方法有
Ａ．２４０种 Ｂ．１５０种 Ｃ．１２０种 Ｄ．６０种
７．某次大型联考有１００００名学生参加，考试成绩（满分１００分）近似服从正态分布 Ｘ～Ｎ（μ，
σ２）（其中μ和σ分别为样本的均值和标准差），若本次考试平均成绩为６５分，８７分以上共
有２２８人，学生甲的成绩为７６分，则学生甲的名次大致是（ ）名．
附：若随机变量Ｘ服从正态分布Ｎ（μ，σ２），则Ｐ（μ－σ＜Ｘ≤μ＋σ）≈０．６８２７，
Ｐ（μ－２σ＜Ｘ≤μ＋２σ）≈０．９５４５，Ｐ（μ－３σ＜Ｘ≤μ＋３σ）≈０．９９３７．
Ａ．４５６ Ｂ．１５８７ Ｃ．３１７４ Ｄ．８４１３
{ １ }
８．已知数列｛ａ｝的前ｎ项和Ｓ＝ｎ２，记数列 的前ｎ项和为Ｔ，则Ｔ ＝
ｎ ｎ ａａ ｎ ２０２４
ｎ ｎ＋１
４０４７ ２０２３ ４０４８ ２０２４
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
４０４８ ４０４８ ４０４９ ４０４９
二、多项选择题：本大题共４小题，每小题５分，共２０分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得５分，部分选对的得２分，有选错的得０分．
２ １
９．设离散型随机变量Ｘ满足Ｐ（Ｘ＝ｉ）＝Ｃｉ（ ）ｉ（ ）５－ｉ（ｉ＝０，１，２，３，４，５），则下列说法正确的是
５ ３ ３
８０ １０ ５
ＡＰ（Ｘ＝３）＝ ＢＥ（Ｘ）＝ ＣＤ（Ｘ）＝ ＤＥ（３Ｘ＋１）＝１１
２４３ ３ ３
１０．已知等差数列｛ａ｝的公差为ｄ，前ｎ项和为Ｓ，若ａ＋ａ＝－８，ａ＋ａ＝－１２，则下列说法
ｎ ｎ ２ ５ １ ４
正确的是
Ａｄ＝－２ Ｂａ＝２ｎ－１１ ＣＳ ＝０ ＤＳ最小值为－２５
ｎ １０ ｎ
１１．若（１＋ｘ）２０２４（１－ｘ）２０２４＝ａ＋ａｘ＋ａｘ２＋…＋ａ ｘ４０４８，则
０ １ ２ ４０４８
Ａａ＝０ Ｂａ ＝Ｃ１０１２
０ ２０２４ ２０２４
２０２４ ４０４８
Ｃ∑ａ ＝０ Ｄ∑（ｉａ２ｉ－１）＝４０４８×３２０２３
２ｉ ｉ
ｉ＝０ ｉ＝１
３ｎ－１
１２．在数列｛ａ｝中，ａ＝１，ａ －ａ＝２ｎ，若不等式２＋λ·（－１）ｎ≥ 对任意 ｎ∈Ｎ恒成
ｎ １ ｎ＋１ ｎ ａ＋１
ｎ
立，则实数λ的值可以是
Ａ．１ Ｂ．０ Ｃ．－１ Ｄ．－２
高二数学试题 第 ２页（共４页）
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１３．由数字２，３，４，５可组成 个三位数 （各位上数字可重复，用数字作答）．
１４．一个不透明的箱子中有５个小球，其中２个白球，３个黑球，现从中任取两个小球，其中一
个是白球，则另一个也是白球的概率是 ．
１ １ １ １ １
１５．数列｛ａ｝是各项均为正数的等比数列，满足ａ＋ａ＝８（ ＋ ），ａ＋ａ＋ａ＝２５６（ ＋ ＋ ），则
ｎ １ ２ ａ ａ ３ ４ ５ ａ ａ ａ
１ ２ ３ ４ ５
数列的通项ａ＝ ．
ｎ
ｅｘ－１ １
１６．已知函数ｆ（ｘ）＝ａｅ１－ｘ－ ＋ｘ－ ，若ｆ（ｘ）≥０有解，则ａ的取值范围是 ．
ａ ｘ
四、解答题：本大题共６小题，共７０分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．
１７．（本小题１０分）
某游泳俱乐部为了解中学生对游泳是否有兴趣，从某中学随机抽取男生和女生各５０人进
４
行调查，对游泳有兴趣的人数占总人数的 ，女生中有５人对游泳没有兴趣．
５
（１）完成下面２×２列联表：
有兴趣 没有兴趣 合 计
男
女
合 计
（２）依据ａ＝０．０５的独立性检验，能否认为游泳兴趣跟性别有关？
ｎ（ａｄ－ｂｃ）２
附：χ２＝ ，其中ｎ＝ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ．
（ａ＋ｂ）（ｃ＋ｄ）（ａ＋ｃ）（ｂ＋ｄ）
α ０．１０ ０．０５ ０．０１ ０．００５
χ ２．７０６ ３．８４１ ６．６３５ ７．８７９
ａ
１８．（本小题１２分）
已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ（ｘ－ｃ）２．
（１）若ｃ＝２，求函数ｙ＝ｆ（ｘ）在（１，ｆ（１））处的切线方程；
（２）讨论函数ｙ＝ｆ（ｘ）的单调性．
１９．（本小题１２分）
２０２０年至２０２３年全国粮食年产量ｙ（单位：万万吨）的数据如下表：
年份 ２０２０ ２０２１ ２０２２ ２０２３
年份代号ｘ １ ２ ３ ４
总产量ｙ ６．６９ ６．８２ ６．８６ ６．９５
高二数学试题 第 ３页（共４页）
{{##{{QQQQAABBbYYYASEtwgggiAQAgAJSIAAACAYQ5gqCQQQQWGOaCCwgiOQQkIkEAgGJUACgEQxgVOCQOFKAAMxsqAwAYANwAQBNAAA=B}A#A}=}#}（１）请用相关系数判断ｙ关于ｘ的线性相关程度（计算时精确到小数点后２位，若｜ｒ｜＞０．７５，
则线性相关程度较高，若０．３＜｜ｒ｜＜０．７５，则线性相关程度一般）；
（２）求出ｙ关于ｘ的线性回归方程，并预测２０２５年全国粮食年产量．
ｎ
∑（ｘ－ｘ珋）（ｙ－ｙ珋）
ｉ ｉ
参考公式：相关系数ｒ＝ ｉ＝１ ，回归直线方程的斜率
ｎ ｎ
槡∑（ｘ－ｘ珋）２槡∑（ｙ－ｙ珋）２
ｉ ｉ
ｉ＝１ ｉ＝１
ｎ ｎ
∑（ｘ－ｘ珋）（ｙ－ｙ珋） ∑ｘｙ－ｎｘ珋·ｙ珋
ｉ ｉ ｉｉ
ｂ＾＝ｉ＝１ ＝ｉ＝１ ，截距ａ＾＝ｙ珋－ｂ＾ｘ珋．
ｎ ｎ
∑（ｘ－ｘ珋）２ ∑ｘ２－ｎｘ珋２
ｉ ｉ
ｉ＝１ ｉ＝１
４ ４
参考数据：∑ｘｙ＝６８．７１，槡∑（ｙ－ｙ珋）２≈０．１９，槡５≈２．２４．
ｉｉ ｉ
ｉ＝１ ｉ＝１
２０．（本小题１２分）
设数列｛ａ｝是等差数列，｛ｂ｝是等比数列，且ａ＝ｂ＝１，ａ＋ｂ＝８，２ａ－ｂ＝－３．
ｎ ｎ １ １ ３ ２ ２ ３
（１）求数列｛ａ｝，｛ｂ｝的通项公式；
ｎ ｎ
ａ
（２）若数列｛ｂ｝单调递增，记ｃ＝ ｎ，求数列｛ｃ｝的前ｎ项和Ｔ，并证明：１≤Ｔ＜３．
ｎ ｎ ｂ ｎ ｎ ｎ
ｎ
２１．（本小题１２分）
某校篮球队举行投篮与传球训练：
（１）投篮规则如下：每名队员用一组篮球定点投篮，一组３个球，先投２个普通球，再投１个花
１
球．记投进一个普通球得１分，普通球投进的概率为 ；投进一个花球得２分，花球投进的
２
１
概率为 ．记某队员进行一组定点投篮训练后得分为Ｘ，求Ｘ的分布列和期望Ｅ（Ｘ）；
４
（２）现选投篮成绩最好的３名队员进行传球展示，从甲开始，每次等可能地传给另外两名
队员，接到球的队员又等可能地传给另外两名队员，如此反复，假设传出的球都能接
住．求传了ｎ次球后，球在甲手上的概率ｐ．
ｎ
２２．（本小题１２分）
已知函数ｆ（ｘ）＝（ｅｘ＋ａ）ｘ，ｇ（ｘ）＝（ｘ＋ａ）ｌｎｘ．
（１）当ａ＝０时，求函数ｙ＝ｆ（ｘ）的极值；
１ １
（２）当ａ≥ 时，若ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）＝ｔ（ｔ＞０），求证：ｘ（ｘ＋１）ｌｎｔ≥－ ．
ｅ２ １ ２ １ ２ ｅ
高二数学试题 第 ４页（共４页）
{{##{{QQQQAABBbYYYASEtwgggiAQAgAJSIAAACAYQ5gqCQQQQWGOaCCwgiOQQkIkEAgGJUACgEQxgVOCQOFKAAMxsqAwAYANwAQBNAAA=B}A#A}=}#}
