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四川省 2024-2025 学年上学期期中调研测试
高二数学试卷
试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1，考查范围：必修第二册第十章，选择性必修第一册第一章和第二章。
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上。
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷
上无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．直线 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．0
2．直线 与 之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．圆 与圆 的公切线条数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．过点 作圆 的切线，则切线的斜率为（ ）
A． 或 B． C． 或 D．
5．若连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，则两次抛掷骰子的点数之积为奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．在正方体 中， 为 的中点，则平面 与平面 夹角的余弦值为
（ ）A． B． C． D．
7．如图， 是棱长为1的正方体 内部（含表面）一动点，则 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在直三棱柱 中， 为腰长为 1 的等腰直角三角形，且 ，侧面
为正方形， 为平面 内一动点，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．在空间直角坐标系 中，下列叙述正确的是（ ）
A．点 与点 关于 轴对称 B．点 与点 关于 轴对称
C．点 与点 关于平面 对称 D．坐标轴两两确定的平面把空间分为12个部分
10．已知直线 在 轴上的截距大于0，直线 与 轴交于点 ，则
（ ）A． B． 恒过定点
C．点 到直线 的距离可能为3 D．不存在 使得
11 ． 已 知 平 面 内 一 动 点 到 坐 标 原 点 的 距 离 为 1 ， 以 为 圆 心 、 1 为 半 径 的 动 圆 与 圆
交于 两点，则（ ）
A．存在唯一的圆 ，使得 两点重合 B．
C．若 存在，则其不可能为等边三角形 D． 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知空间向量 满足 ，则 ______．
13．已知圆 过 三点，则圆 的面积为______．
14．在正三棱锥 中， 平面 ，点 在底面 内的投影为点 是平面
内以 为圆心、1为半径的圆上一动点，则异面直线 与 所成角的余弦值最大为______。
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知 三点，点 在圆 上运动．
（1）若直线 与圆 有唯一公共点，求 ；
（2）求 的最小值．
16．（15分）已知在 中， 分别在线段 上，且 ．
（1）求 边上的高所在直线的斜截式方程；
（2）若 的面积为 面积的 ，求直线 的一般式方程．
17．（15分）如图，在四面体 中， ，且 为 的中点，
点 是线段 上的动点（含端点）．（1）以 为基底表示 ；
（2）求 的最小值．
18．（17分）已知在空间直角坐标系中，点 ．
（1）证明： 不共面；
（2）求点 到平面 的距离；
（3）设 为平面 上的一个动点，且 ，求 的夹角 取得最小值时， 的值．
19．（17分）现定义：若圆 上一动点 ，圆 外一定点 ，满足 的最大值为其最小值的两倍，则
称 为圆 的“上进点”．若点 同时是圆 和圆 的“上进点”，则称 为圆“ ”的“牵连
点”．已知圆 ．
（1）若点 为圆 的“上进点”，求点 的轨迹方程并说明轨迹的形状；
（2）已知圆 ，且 均为圆“ ”的“牵连点”．
（ⅰ）求直线 的方程；
（ⅱ）若圆 是以线段 为直径的圆，直线 与 交于 两点，探究当 不断变化时，在
轴上是否存在一点 ，使得 （ 和 分别为直线 和 的斜率）恒成立？若存在，
求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．四川省 2024-2025 学年上学期期中调研测试
高二数学参考答案及评分细则
1．【答案】A
【解析】因为 为一常数，故直线 的倾斜角为 ．故选A．
2．【答案】D
【 解 析 】 因 为 直 线 和 平 行 ， 由 两 条 平 行 直 线 间 的 距 离 公 式 可 得
．故选D．
3．【答案】C
【解析】圆 ，则圆心 ，半径 ，圆 ，则圆心
，半径 3，则 ，由于 ，即 ，故圆
与圆 相交，其公切线条数为2．故选 C．
4．【答案】A
【解析】因为圆 的圆心为 ，半径为 ，易知过点 的切线 斜率存在，
设 的方程为 ，即 ，则 ，解得 或 ．
故选A．
5．【答案】B
【解析】连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，基本事件总数为 个．其中事件“两次抛掷骰子的点
数之积为奇数”包含的样本点有： ，共 9 个，故
．故选B．
6．【答案】D
【解析】取 的中点为 ，连接 ，则 ，又因为 ，故 平面，由正方体性质易得 平面 ，显然 两两垂直，故以 为坐标原点，
所 在 的 直 线 分 别 为 轴 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 ， 设 ， 则
， 所 以 为 平 面 的 一 个 法 向 量 ，
为 平 面 的 一 个 法 向 量 ， 设 平 面 与 平 面 的 夹 角 为 ， 则
，故平面 与平面 夹角的余弦值为 ．故选D．
7．【答案】C
【解析】以 为坐标原点， 所在的直线分别为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则
， 设 ， 则
，则 ，
，当 时取到最大值 ．故选C．8．【答案】A
【解析】由题意，以 为坐标原点， 所在的直线分别为 轴，建立如图所示的空间直角坐
标 系 ， 则 ， 所 以
， 设 关 于 平 面 的 对 称 点 为 ， 则
，设平面 的法向量 ，则 即
令 ， 则 ， 所 以 ， 所 以 与 到 平 面 的 距 离
，即 ①，又 ，所以 ②，所以由
① ② 得 ， 又 由 可 得 ， 所 以 ， 所 以
，当且仅当 三
点共线时取等号，所以 的最小值为 ．故选A．9．【答案】AC（每选对1个得3分）
【解析】点 与点 关于 轴对称，A正确；点 关于 轴的对称点是 ，B错误；
点 与点 关于平面 对称，C正确；坐标轴两两确定的平面把空间分为8个部分，D错误．
故选AC．
10．【答案】BD（每选对1个得3分）
【解析】对于A，把 代入 ，得 ，所以 或 ，A错误；对
于B，将直线 改写为 ，所以 所以 所以 恒
过定点 ，B正确；对于C，对于 ，令 可得 ，易得当 时，点
到直线 的距离取得最大值 ，C错误；对于D，因为直线 恒过的定点
也在直线 上，即 至少有一个交点 ，D正确．故选BD．
11．【答案】BCD（每选对1个得2分）
【解析】由于坐标原点与 其中一点重合，不妨设坐标原点为 ，当动圆 与圆 内切或外切时，均有
两 点 重 合 ， A 错 误 ； 点 在 以 为 圆 心 、 1 为 半 径 的 圆 上 运 动 ， 故
，B正确；由于 ，要使 为等边三角形，
则 ，又因为 ，所以 不可能为等边三角形，C正确；要使
最大，即 最大，只需要 取最大值即可，由 ，当且仅当 三点共线时等号成立，此时 ，故此时 ，D正确．故选BCD．
12．【答案】4
【解析】因为 ，故 ，解得 ．
13．【答案】
【解析】 设圆 的方程为 ，代入 三点坐标可得
解得 所以圆 的方程为 ，其标准方程为
，故其面积 ．
14．【答案】
【 解 析 】 正 三 棱 锥 中 ， 因 为 平 面 ， 又 平 面 ， 因 此
， 故 ， 故 ， 则
，延长 交 于点 ，过点 作 的平行线交 于点 ，易知
两 两 垂 直 ， 以 为 坐 标 原 点 ， 建 立 如 下 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 ， 则，设 ，则 ，
，设直线 与 所成的角为 ，则 ，
当 或 时，取最大值 ．
15．解：（1）由题意知，圆 的圆心为 ，半径 ，
故 ，
由题意可得直线 与圆 相切，且唯一公共点为点 ，
在 中，由勾股定理可得 ．
（2）设 ，且 ，
故
，
而 ，当 时，取得最小值56．
【评分细则】
第二问若结果正确，未指明取得最值的条件不扣分．
16．解：（1）直线 的斜率为 ，
所以 边上的高所在直线的斜率为 ，所以 边上的高所在直线的方程为 ，
化为斜截式为 ．
（2）因为 的面积为 面积的 分别在线段 上，且 ，
所以 为 的中点，即 ，
又直线 的斜率为 ，
所以直线 的斜率也为 ．
所以直线 的方程为 ，即 ，
所以直线 的一般式方程为 ．
【评分细则】
1．两问的最终结果如果不是题目要求的直线形式，每个结果扣1分；
2．第二问结果写成 也正确；
3．如使用其他方法酌情给分．
17 ． 解 ： （ 1 ） 由 题 意 可 得
．
所以 ．
（2）设 ．
因为 ．
所以 ．故当 时， 取得最小值，最小值为 ．
【评分细则】
1．第一问若用其他基底向量表示不给分；
2．第二问可用其他方法进行求解，只要答案正确，均给满分．
18．（1）证明：由题意假设存在 ，使得 成立，
则 ，即 ，
可得 此方程组无解，所以假设不成立，故 不共面．
（2）解：由题意可得 ，
设平面 的法向量为 ，所以
令 ，则 ，故平面 的一个法向量为 ，
故点 到平面 的距离 ．
（3）解：设 的夹角为 ，则 ．
所以 ，所以
．
【评分细则】
第一问用其他方法证明酌情给分．
19．解：（1）因为点 为圆 的“上进点”，所以 ，即 ，
所以 的轨迹方程为 ，
所以点 的轨迹是以 为圆心、 为半径的圆．（2）（ⅰ）因为 为圆 的“上进点”，则 ，所以 ，
即点 在圆 上，
则点 是圆 和 的交点．
因为 均为圆“ ”的“牵连点”，
所以直线 即为圆 和 的公共弦所在直线，
两圆方程相减可得 ，故直线 的方程为 ．
（ⅱ）设 的圆心为 ，半径为 ， 的圆心为 ，
半径为3．
直线 的方程为 ，与 联立得 的中点坐标为 ，
点 到直线 的距离为 ，则 ，
所以圆 的方程为 ．
假设 轴上存在点 满足题意，设 ．
则 ，即 ，整理得 ．
将 ，代入上式可得 ，
整理得 ①，联立 可得 ，
所以 ，代入（1）并整理得 ，
此式对任意的 都成立，所以 。
故 轴上存在点 ，使得 恒成立。
【评分细则】
1．第一问如果未说明轨迹形状扣1分；
2．如用其他解法酌情给分．
