文档内容
专题 17 抛物线
命题解读 考向 考查统计
1.高考对抛物线的考查，重点是 抛物线的定义、标准方程、几何性质 2024·新高考Ⅱ卷，10
（1）抛物线的定义、几何图形、标准
方程。
2022·新高考Ⅰ卷，11
（2）抛物线的简单几何性质（范围、 抛物线的定义、直线与抛物线的综合
2022·新高考Ⅱ卷，10
对称性、顶点、离心率）。 运用
2023·新高考Ⅱ卷，10
（3）直线和抛物线的位置关系及综合
应用。
命题分析
2024年高考新高考Ⅰ卷未考查抛物线，Ⅱ卷考查了抛物线与直线、圆知识点的综合，涉及到抛物线的知
识点主要有准线和定义，难度适中。抛物线是高考考查的热点，其中抛物线的定义、方程、焦点、准线及
其几何性质的应用是考查的重点。而且抛物线在多选题中考查的比较频繁，考生可以多多加强练习。预计
2025年高考还是主要考查抛物线的定义和直线与抛物线的综合运用。
试题精讲
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:20)(cid:21)
1(cid:25)(cid:26)2024(cid:27)(cid:28)(cid:29)Ⅱ(cid:30)·10(cid:31)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C(cid:10)y2 =4x(cid:34)(cid:35)(cid:33)(cid:36)l(cid:37)P(cid:36)C(cid:38)(cid:34)(cid:39)(cid:40)(cid:37)(cid:41)P(cid:42)(cid:43)A:x2(y4)2 =1(cid:34)
(cid:22)(cid:44)(cid:45)(cid:33)(cid:37)Q(cid:36)(cid:45)(cid:40)(cid:37)(cid:41)P(cid:42)l(cid:34)(cid:46)(cid:33)(cid:37)(cid:46)(cid:47)(cid:36)B(cid:37)(cid:48)(cid:26) (cid:31)
A(cid:25)l(cid:49)eA(cid:50)(cid:45)
B(cid:25)(cid:51)P(cid:37)A(cid:37)B(cid:52)(cid:40)(cid:53)(cid:33)(cid:54)(cid:37)|PQ|= 15
C(cid:25)(cid:51)|PB|=2(cid:54)(cid:37)PA^ AB
D(cid:25)(cid:55)(cid:47)|PA|=|PB|(cid:34)(cid:40)P(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:56)2(cid:59)
(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)ABD
(cid:60)(cid:64)(cid:65)(cid:63)A(cid:20)(cid:66)(cid:37)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:35)(cid:33)(cid:36)x=1(cid:37)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:77)B(cid:20)(cid:66)(cid:37)P,A,B(cid:52)(cid:40)(cid:53)(cid:33)(cid:54)(cid:37)(cid:78)(cid:79)
(cid:80)P(cid:34)(cid:81)(cid:82)(cid:37)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:80)(cid:45)(cid:33)(cid:86)(cid:77)C(cid:20)(cid:66)(cid:37)(cid:67)(cid:68) PB =2(cid:78)(cid:87)(cid:80)P(cid:34)(cid:81)(cid:82)(cid:37)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:91)k k =1(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:95)(cid:77)D
PA AB
(cid:20)(cid:66)(cid:37)(cid:67)(cid:68)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:34)(cid:96)(cid:97)(cid:37) PB = PF (cid:37)(cid:98)(cid:92)(cid:99)(cid:21)(cid:100)(cid:16)(cid:94) PA = PF (cid:34)P(cid:40)(cid:34)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:99)(cid:21)(cid:37)(cid:104)(cid:54)(cid:29)(cid:105)AF(cid:34)(cid:106)(cid:46)(cid:33)(cid:107)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:34)(cid:108)(cid:40)(cid:59)(cid:13)(cid:109)(cid:110)(cid:37)(cid:111)(cid:110)(cid:112)(cid:113)(cid:114)P(cid:40)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:115)(cid:79)(cid:116).
(cid:60)(cid:117)(cid:116)(cid:63)A(cid:20)(cid:66)(cid:37)(cid:32)(cid:14)(cid:33)y2 =4x(cid:34)(cid:35)(cid:33)(cid:36)x=1(cid:37)
eA(cid:34)(cid:69)(cid:70)(0,4)(cid:71)(cid:112)(cid:33)x=1(cid:34)(cid:72)(cid:73)(cid:118)(cid:88)(cid:92)1(cid:37)(cid:119)(cid:98)(cid:69)(cid:34)(cid:120)(cid:121)(cid:37)
(cid:122)(cid:35)(cid:33)l(cid:107)eA(cid:50)(cid:45)(cid:37)A(cid:20)(cid:66)(cid:123)(cid:124)(cid:77)
B(cid:20)(cid:66)(cid:37)P,A,B(cid:52)(cid:40)(cid:53)(cid:33)(cid:54)(cid:37)(cid:109)PA^l(cid:37)(cid:48)P(cid:34)(cid:125)(cid:81)(cid:82)y =4(cid:37)
P
(cid:126)y2 =4x (cid:37)(cid:85)(cid:71)x =4(cid:37)(cid:122)P(4,4)(cid:37)
P P P
(cid:104)(cid:54)(cid:45)(cid:33)(cid:86) PQ = PA 2r2 = 4212 = 15(cid:37)B(cid:20)(cid:66)(cid:123)(cid:124)(cid:77)
C(cid:20)(cid:66)(cid:37)(cid:51) PB =2(cid:54)(cid:37)x =1(cid:37)(cid:104)(cid:54)y2 =4x =4(cid:37)(cid:122)P(1,2)(cid:127)P(1,2)(cid:37)
P P P
42 42
(cid:51)P(1,2)(cid:54)(cid:37)A(0,4),B(1,2)(cid:37)k = =2(cid:37)k = =2(cid:37)
PA 01 AB 0(1)
(cid:128)(cid:55)(cid:47)k k =1(cid:77)
PA AB
4(2) 4(2)
(cid:51)P(1,2)(cid:54)(cid:37)A(0,4),B(1,2)(cid:37)k = =6(cid:37)k = =6(cid:37)
PA 01 AB 0(1)
(cid:128)(cid:55)(cid:47)k k =1(cid:77)
PA AB
(cid:98)(cid:92)PA^ AB(cid:128)(cid:94)(cid:95)(cid:37)C(cid:20)(cid:66)(cid:129)(cid:130)(cid:77)
D(cid:20)(cid:66)(cid:37)(cid:131)(cid:132)(cid:22)(cid:10)(cid:133)(cid:134)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:96)(cid:97)(cid:100)(cid:16)
(cid:67)(cid:68)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:34)(cid:96)(cid:97)(cid:37) PB = PF (cid:37)(cid:135)(cid:136)F(1,0)(cid:37)
(cid:98)(cid:92) PA = PB (cid:54)P(cid:40)(cid:34)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:99)(cid:21)(cid:100)(cid:16)(cid:94) PA = PF (cid:54)P(cid:40)(cid:34)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:99)(cid:21)(cid:37)
æ1 ö 1 1
A(0,4),F(1,0)(cid:37)AF(cid:106)(cid:40)ç ,2÷(cid:37)AF(cid:106)(cid:46)(cid:33)(cid:34)(cid:137)(cid:138)(cid:36) = (cid:37)
è2 ø k 4
AF
2x15
(cid:98)(cid:92)AF(cid:34)(cid:106)(cid:46)(cid:33)(cid:131)(cid:139)(cid:36)(cid:10)y= (cid:37)(cid:49)(cid:32)(cid:14)(cid:33)y2 =4x(cid:140)(cid:95)(cid:110)(cid:85)y216y30=0(cid:37)
8
D=1624´30=136>0(cid:37)(cid:109)AF(cid:34)(cid:106)(cid:46)(cid:33)(cid:107)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:56)(cid:141)(cid:59)(cid:108)(cid:40)(cid:37)
(cid:109)(cid:101)(cid:102)(cid:141)(cid:59)P(cid:40)(cid:37)(cid:142)(cid:85) PA = PF (cid:37)D(cid:20)(cid:66)(cid:123)(cid:124).
(cid:131)(cid:132)(cid:143)(cid:10)(cid:26)(cid:114)(cid:40)(cid:112)(cid:113)(cid:79)(cid:116)(cid:31)
æt2 ö
(cid:114)Pç ,t÷(cid:37)(cid:126)PB^l(cid:110)(cid:85)B1,t(cid:37)(cid:144)A(0,4)(cid:37)(cid:144) PA = PB (cid:37)
è 4 ø
t4 t2
(cid:67)(cid:68)(cid:141)(cid:40)(cid:145)(cid:34)(cid:72)(cid:73)(cid:7)(cid:146)(cid:37) (t4)2 = 1(cid:37)(cid:147)(cid:15)(cid:85)t216t30=0(cid:37)
16 4
D=1624´30=136>0(cid:37)(cid:48)(cid:3)(cid:98)t(cid:34)(cid:131)(cid:139)(cid:56)(cid:141)(cid:59)(cid:116)(cid:37)
(cid:109)(cid:101)(cid:102)(cid:141)(cid:59)(cid:135)(cid:148)(cid:34)P(cid:40)(cid:37)D(cid:20)(cid:66)(cid:123)(cid:124).
(cid:122)(cid:20)(cid:10)ABD(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:20)(cid:21)
1(cid:25)(cid:26)2022(cid:27)(cid:28)(cid:29)Ⅰ(cid:30)·11(cid:31)(cid:149)(cid:150)O(cid:36)(cid:81)(cid:82)(cid:151)(cid:40)(cid:37)(cid:40)A(1,1)(cid:102)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C:x2 =2py(p>0)(cid:38)(cid:37)(cid:41)(cid:40)B(0,1)(cid:34)(cid:112)
(cid:33)(cid:108)C(cid:98)P(cid:37)Q(cid:141)(cid:40)(cid:37)(cid:48)(cid:26) (cid:31)
A(cid:25)C(cid:34)(cid:35)(cid:33)(cid:36)y=1 B(cid:25)(cid:112)(cid:33)AB(cid:49)C(cid:50)(cid:45)
C(cid:25)OP ×OQ >|OA 2 D(cid:25)|BP|×|BQ|>|BA|2
(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)BCD
(cid:60)(cid:64)(cid:65)(cid:63)(cid:79)(cid:80)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:131)(cid:139)(cid:110)(cid:75)(cid:76)A(cid:37)(cid:140)(cid:95)AB(cid:49)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:34)(cid:131)(cid:139)(cid:79)(cid:108)(cid:40)(cid:110)(cid:75)(cid:76)B(cid:37)(cid:133)(cid:134)(cid:72)(cid:73)(cid:7)(cid:146)(cid:152)(cid:153)(cid:86)(cid:7)(cid:146)
(cid:110)(cid:75)(cid:76)C(cid:23)D.
1
(cid:60)(cid:117)(cid:116)(cid:63)(cid:154)(cid:40)A(cid:34)(cid:155)(cid:156)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:131)(cid:139)(cid:85)1=2p(cid:37)(cid:157)(cid:158)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:131)(cid:139)(cid:36)x2 = y(cid:37)(cid:122)(cid:35)(cid:33)(cid:131)(cid:139)(cid:36)y= (cid:37)A(cid:129)(cid:130)(cid:77)
4
1(1)
k = =2(cid:37)(cid:157)(cid:158)(cid:112)(cid:33)AB(cid:34)(cid:131)(cid:139)(cid:36)y=2x1(cid:37)
AB 10
ìy=2x1
(cid:140)(cid:95)í (cid:37)(cid:110)(cid:85)x22x1=0(cid:37)(cid:116)(cid:85)x=1(cid:37)(cid:122)B(cid:123)(cid:124)(cid:77)
îx2 = y
(cid:114)(cid:41)B(cid:34)(cid:112)(cid:33)(cid:36)l(cid:37)(cid:159)(cid:112)(cid:33)l(cid:49)y(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:37)(cid:48)(cid:112)(cid:33)l(cid:49)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C(cid:163)(cid:56)(cid:22)(cid:59)(cid:108)(cid:40)(cid:37)
(cid:157)(cid:158)(cid:37)(cid:112)(cid:33)l(cid:34)(cid:137)(cid:138)(cid:101)(cid:102)(cid:37)(cid:114)(cid:164)(cid:131)(cid:139)(cid:36)y=kx1(cid:37)P(x,y ),Q(x ,y )(cid:37)
1 1 2 2
ìy=kx1
(cid:140)(cid:95)í (cid:37)(cid:85)x2kx1=0(cid:37)
îx2 = y
ìΔ=k24>0
ï
(cid:157)(cid:158)í x x =k (cid:37)(cid:157)(cid:158)k >2(cid:127)k <2(cid:37)y y =(x x )2 =1(cid:37)
1 2 1 2 1 2
ï
xx =1
î 1 2
(cid:144)|OP|= x2y2 = y y2 (cid:37)|OQ|= x2y2 = y y2 (cid:37)
1 1 1 1 2 2 2 2
(cid:157)(cid:158)|OP|×|OQ|= y y (1y )(1y ) = kx ´kx =|k|>2=|OA|2(cid:37)(cid:122)C(cid:123)(cid:124)(cid:77)
1 2 1 2 1 2(cid:165)(cid:36)|BP|= 1k2 |x |(cid:37)|BQ|= 1k2 |x |(cid:37)
1 2
(cid:157)(cid:158)|BP|×|BQ|=(1k2)|x x |=1k2 >5(cid:37)(cid:84)|BA|2=5(cid:37)(cid:122)D(cid:123)(cid:124).
1 2
(cid:122)(cid:20)(cid:10)BCD
2(cid:25)(cid:26)2022(cid:27)(cid:28)(cid:29)Ⅱ(cid:30)·10(cid:31)(cid:149)(cid:150)O(cid:36)(cid:81)(cid:82)(cid:151)(cid:40)(cid:37)(cid:41)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C:y2 =2px(p>0)(cid:166)(cid:40)F(cid:34)(cid:112)(cid:33)(cid:49)C(cid:108)(cid:98)A(cid:37)B
(cid:141)(cid:40)(cid:37)(cid:164)(cid:106)A(cid:102)(cid:167)(cid:22)(cid:168)(cid:169)(cid:37)(cid:40)M(p,0)(cid:37)(cid:159)|AF|=|AM |(cid:37)(cid:48)(cid:26) (cid:31)
A(cid:25)(cid:112)(cid:33)AB(cid:34)(cid:137)(cid:138)(cid:36)2 6 B(cid:25)|OB|=|OF |
C(cid:25)|AB|>4|OF | D(cid:25)ÐOAM ÐOBM <180°
(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)ACD
3p 6p
(cid:60)(cid:64)(cid:65)(cid:63)(cid:126) AF = AM (cid:152)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:131)(cid:139)(cid:79)(cid:85)A( , )(cid:37)(cid:170)(cid:126)(cid:137)(cid:138)(cid:7)(cid:146)(cid:109)(cid:110)(cid:75)(cid:76)A(cid:20)(cid:66)(cid:77)(cid:171)(cid:172)(cid:80)(cid:112)(cid:33)AB(cid:34)
4 2
p 6p 25p
(cid:131)(cid:139)(cid:37)(cid:140)(cid:95)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:79)(cid:85)B( , )(cid:37)(cid:109)(cid:110)(cid:79)(cid:80) OB (cid:75)(cid:76)B(cid:20)(cid:66)(cid:77)(cid:126)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:34)(cid:96)(cid:97)(cid:79)(cid:80) AB = (cid:109)(cid:110)(cid:75)(cid:76)
3 3 12
uuur uuur uuur uuur
C(cid:20)(cid:66)(cid:77)(cid:126)OA×OB<0(cid:37) MA×MB<0 (cid:79)(cid:85)ÐAOB(cid:37)ÐAMB(cid:36)(cid:173)(cid:174)(cid:109)(cid:110)(cid:75)(cid:76)D(cid:20)(cid:66).
p
(cid:60)(cid:117)(cid:116)(cid:63)(cid:175)(cid:98)A(cid:37)(cid:176)(cid:85)F( ,0)(cid:37)(cid:126) AF = AM (cid:110)(cid:85)(cid:40)A(cid:102)FM (cid:34)(cid:46)(cid:112)(cid:177)(cid:64)(cid:33)(cid:38)(cid:37)(cid:48)A(cid:40)(cid:178)(cid:81)(cid:82)(cid:36)
2
p
p
2
3p(cid:37)
=
2 4
6p
(cid:155)(cid:156)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:110)(cid:85)y2 =2p× 3p = 3 p2(cid:37)(cid:48)A( 3p , 6p )(cid:37)(cid:48)(cid:112)(cid:33)AB(cid:34)(cid:137)(cid:138)(cid:36) 2 =2 6(cid:37)A(cid:123)(cid:124)(cid:77)
4 2 4 2 3p p
4 2
1 p 1
(cid:175)(cid:98)B(cid:37)(cid:126)(cid:137)(cid:138)(cid:36)2 6(cid:110)(cid:85)(cid:112)(cid:33)AB(cid:34)(cid:131)(cid:139)(cid:36)x= y (cid:37)(cid:140)(cid:95)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:131)(cid:139)(cid:85)y2 py p2 =0(cid:37)
2 6 2 6
2
6 6 6p æ 6pö p
(cid:114)B(x,y )(cid:37)(cid:48) py = p(cid:37)(cid:48)y = (cid:37)(cid:155)(cid:156)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:85)ç ÷ =2p×x (cid:37)(cid:116)(cid:85)x = (cid:37)(cid:48)
1 1 2 1 6 1 3 ç è 3 ÷ ø 1 1 3
p 6p
B( , )(cid:37)
3 3
æ pö 2 æ 6pö 2 7p p
(cid:48) OB = ç ÷ ç ç ÷ ÷ = ¹ OF = (cid:37)B(cid:129)(cid:130)(cid:77)
è 3ø è 3 ø 3 2
3p p 25p
(cid:175)(cid:98)C(cid:37)(cid:126)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:96)(cid:97)(cid:150)(cid:10) AB = p= >2p=4OF (cid:37)C(cid:123)(cid:124)(cid:77)
4 3 12
uuur uuur 3p 6p p 6p 3p p 6p æ 6pö 3p2
(cid:175)(cid:98)D(cid:37)OA×OB=( , )×( , )= × ×ç ÷= <0(cid:37)(cid:48)ÐAOB(cid:36)(cid:173)(cid:174)(cid:37)
ç ÷
4 2 3 3 4 3 2 è 3 ø 4
uuur uuur p 6p 2p 6p p æ 2pö 6p æ 6pö 5p2
(cid:144)MA×MB=( , )×( , )= ×ç ÷ ×ç
ç
÷
÷
= <0(cid:37)(cid:48)ÐAMB(cid:36)(cid:173)(cid:174)(cid:37)
4 2 3 3 4 è 3 ø 2 è 3 ø 6(cid:144)ÐAOBÐAMBÐOAM ÐOBM =360o(cid:37)(cid:48)ÐOAM ÐOBM <180o(cid:37)D(cid:123)(cid:124).
(cid:122)(cid:20)(cid:10)ACD.
3(cid:25)(cid:26)2023(cid:27)(cid:28)(cid:29)Ⅱ(cid:30)·10(cid:31)(cid:114)O(cid:36)(cid:81)(cid:82)(cid:151)(cid:40)(cid:37)(cid:112)(cid:33)y= 3x1(cid:41)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C:y2 =2pxp>0(cid:34)(cid:166)(cid:40)(cid:37)(cid:57)(cid:49)
C(cid:108)(cid:98)M(cid:37)N(cid:141)(cid:40)(cid:37)l(cid:36)C(cid:34)(cid:35)(cid:33)(cid:37)(cid:48)(cid:26) (cid:31)(cid:25)
8
A(cid:25)p=2 B(cid:25) MN =
3
C(cid:25)(cid:158)MN(cid:36)(cid:112)(cid:121)(cid:34)(cid:69)(cid:49)l(cid:50)(cid:45) D(cid:25)VOMN (cid:36)(cid:119)(cid:179)(cid:52)(cid:174)(cid:180)
(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)AC
(cid:60)(cid:64)(cid:65)(cid:63)(cid:78)(cid:79)(cid:85)(cid:166)(cid:40)(cid:81)(cid:82)(cid:37)(cid:181)(cid:84)(cid:79)(cid:85)p(cid:37)(cid:67)(cid:68)(cid:153)(cid:86)(cid:7)(cid:146)(cid:79)(cid:85) MN (cid:37)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:49)(cid:119)(cid:179)(cid:52)(cid:174)(cid:180)(cid:34)(cid:150)(cid:182)(cid:124)(cid:96)(cid:123)(cid:124)(cid:61)
(cid:62).
(cid:60)(cid:117)(cid:116)(cid:63)A(cid:20)(cid:66)(cid:10)(cid:112)(cid:33)y= 3x1(cid:41)(cid:40)1,0(cid:37)(cid:157)(cid:158)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C:y2 =2pxp>0(cid:34)(cid:166)(cid:40)F1,0(cid:37)
p
(cid:157)(cid:158) =1,p=2,2p=4(cid:37)(cid:48)A(cid:20)(cid:66)(cid:123)(cid:124)(cid:37)(cid:57)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C(cid:34)(cid:131)(cid:139)(cid:36)y2 =4x.
2
B(cid:20)(cid:66)(cid:10)(cid:114)Mx,y ,Nx ,y (cid:37)
1 1 2 2
ìïy= 3x1
(cid:126)í (cid:183)(cid:184)y(cid:185)(cid:16)(cid:186)(cid:85)3x210x3=x33x1=0(cid:37)
ïîy2 =4x
1 1 16
(cid:116)(cid:85)x =3,x = (cid:37)(cid:157)(cid:158) MN =x x p=3 2= (cid:37)B(cid:20)(cid:66)(cid:129)(cid:130).
1 2 3 1 2 3 3
C(cid:20)(cid:66)(cid:10)(cid:114)MN(cid:34)(cid:106)(cid:40)(cid:36)A(cid:37)M,N,A(cid:71)(cid:112)(cid:33)l(cid:34)(cid:72)(cid:73)(cid:64)(cid:187)(cid:36)d,d ,d(cid:37)
1 2
(cid:165)(cid:36)d = 1 d d = 1 MF NF = 1 MN (cid:37)
2 1 2 2 2
(cid:109)A(cid:71)(cid:112)(cid:33)l(cid:34)(cid:72)(cid:73)(cid:119)(cid:98)MN(cid:34)(cid:22)(cid:120)(cid:37)(cid:157)(cid:158)(cid:158)MN(cid:36)(cid:112)(cid:121)(cid:34)(cid:69)(cid:49)(cid:112)(cid:33)l(cid:50)(cid:45)(cid:37)C(cid:20)(cid:66)(cid:123)(cid:124).
D(cid:20)(cid:66)(cid:10)(cid:112)(cid:33)y= 3x1(cid:37)(cid:109) 3xy 3=0(cid:37)
3
O(cid:71)(cid:112)(cid:33) 3xy 3=0(cid:34)(cid:72)(cid:73)(cid:36)d = (cid:37)
21 16 3 4 3
(cid:157)(cid:158)(cid:52)(cid:174)(cid:180)OMN(cid:34)(cid:188)(cid:189)(cid:36) ´ ´ = (cid:37)
2 3 2 3
æ1 ö 2 3
(cid:126)(cid:38)(cid:190)(cid:64)(cid:65)(cid:110)(cid:150)y = 331=2 3,y = 3ç 1÷= (cid:37)
1 2 è3 ø 3
2 æ1ö 2 æ2 3ö 2 13
(cid:157)(cid:158) OM = 32 2 3 = 21,ON = ç ÷ ç ç ÷ ÷ = (cid:37)
è3ø è 3 ø 3
(cid:157)(cid:158)(cid:52)(cid:174)(cid:180)OMN(cid:128)(cid:92)(cid:119)(cid:179)(cid:52)(cid:174)(cid:180)(cid:37)D(cid:20)(cid:66)(cid:129)(cid:130).
(cid:122)(cid:20)(cid:10)AC.
(cid:22)(cid:23)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:34)(cid:96)(cid:97)
(cid:177)(cid:188)(cid:191)(cid:49)(cid:22)(cid:59)(cid:96)(cid:40)F (cid:107)(cid:22)(cid:44)(cid:96)(cid:112)(cid:33)l(FÏl)(cid:34)(cid:72)(cid:73)(cid:50)(cid:119)(cid:34)(cid:40)(cid:34)(cid:192)(cid:193)(cid:194)(cid:195)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:37)(cid:96)(cid:40)F (cid:194)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:34)(cid:166)(cid:40)(cid:37)(cid:96)
(cid:112)(cid:33)l(cid:194)(cid:195)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:33)(cid:25)
(cid:4)(cid:10)(cid:159)(cid:102)(cid:96)(cid:97)(cid:106)(cid:56)FÎl(cid:37)(cid:48)(cid:39)(cid:40)(cid:34)(cid:192)(cid:193)(cid:36)l(cid:34)(cid:46)(cid:33)(cid:37)(cid:46)(cid:47)(cid:36)(cid:40)F (cid:25)
(cid:143)(cid:23)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:34)(cid:131)(cid:139)(cid:23)(cid:196)(cid:180)(cid:152)(cid:103)(cid:197)
(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:34)(cid:82)(cid:35)(cid:131)(cid:139)(cid:56)4(cid:198)(cid:180)(cid:146)(cid:10)y2 =2px(cid:37)y2 =2px(cid:37)x2 =2py(cid:37)x2 =2py(p>0)(cid:37)(cid:164)(cid:106)(cid:22)(cid:199)(cid:66)(cid:49)(cid:175)(cid:200)(cid:160)
(cid:22)(cid:201)(cid:37)(cid:22)(cid:199)(cid:66)(cid:202)(cid:13)(cid:34)(cid:203)(cid:9)(cid:204)(cid:96)(cid:205)(cid:206)(cid:131)(cid:207)
(cid:196)(cid:180)
(cid:82)(cid:35)
y2 =2px(p>0) y2 =2px(p>0) x2 =2py(p>0) x2 =2py(p>0)
(cid:131)(cid:139)(cid:208)(cid:40) O(0(cid:37)0)
(cid:209)(cid:210) x³0(cid:37)yÎR x£0(cid:37)yÎR y³0(cid:37)xÎR y£0(cid:37)xÎR
(cid:175)(cid:200)(cid:160) x(cid:160) y(cid:160)
p p p p
(cid:166)(cid:40) F( (cid:37)0) F( (cid:37)0) F(0(cid:37) ) F(0(cid:37) )
2 2 2 2
(cid:73)(cid:70)(cid:138) e=1
p p p p
(cid:35)(cid:33)(cid:131)(cid:139) x= x= y= y=
2 2 2 2
(cid:166)(cid:120)(cid:121)
p p p p
AF =x AF =x AF = y AF =y
A(x(cid:37)y ) 1 2 1 2 1 2 1 2
1 1
(cid:60)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:211)(cid:134)(cid:212)(cid:213)(cid:63)
1(cid:23)(cid:40)P(x ,y )(cid:49)(cid:32)(cid:14)(cid:33)y2 =2px(p>0)(cid:34)(cid:3)(cid:202)
0 0
(cid:26)1(cid:31)P(cid:102)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:191)(cid:26)(cid:214)(cid:166)(cid:40)(cid:31)Û y2 <2px (cid:25)
0 0
(cid:26)2(cid:31)P(cid:102)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:38)Û y2 =2px (cid:25)
0 0
(cid:26)3(cid:31)P(cid:102)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:215)Û y2 >2px (cid:25)
0 0
2(cid:23)(cid:166)(cid:120)(cid:121)
p
(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:38)(cid:34)(cid:40)P(x ,y )(cid:49)(cid:166)(cid:40)F (cid:34)(cid:72)(cid:73)(cid:200)(cid:36)(cid:166)(cid:120)(cid:121)(cid:37)(cid:159)y2 =2px(p>0)(cid:37)(cid:48)(cid:166)(cid:120)(cid:121) PF =x (cid:37)
0 0 0 2
p
PF = (cid:25)
min 2
3(cid:23) p(p>0)(cid:34)(cid:216)(cid:217)(cid:218)(cid:97)
p(cid:36)(cid:166)(cid:40)F (cid:71)(cid:35)(cid:33)l(cid:34)(cid:72)(cid:73)(cid:37)(cid:109)(cid:166)(cid:35)(cid:72)(cid:37)p(cid:219)(cid:220)(cid:37)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:205)(cid:206)(cid:219)(cid:220)(cid:25)
4(cid:23)(cid:166)(cid:40)(cid:153)
(cid:159)AB(cid:36)(cid:32)(cid:14)(cid:33)y2 =2px(p>0)(cid:34)(cid:166)(cid:40)(cid:153)(cid:37)A(x,y )(cid:37)B(x ,y )(cid:37)(cid:48)(cid:56)(cid:158)(cid:221)(cid:212)(cid:213)(cid:10)
1 1 2 2
p2
(cid:26)1(cid:31)xx = (cid:25)
1 2 4
(cid:26)2(cid:31)y y =p2(cid:25)
1 2
(cid:26)3(cid:31)(cid:166)(cid:40)(cid:153)(cid:86)(cid:7)(cid:146)1(cid:10) AB =x x p(cid:37)x x ³2 xx = p(cid:37)(cid:51)x = x (cid:54)(cid:37)(cid:166)(cid:40)(cid:153)(cid:222)(cid:223)(cid:224)(cid:225)2p(cid:37)(cid:109)(cid:157)(cid:56)
1 2 1 2 1 2 1 2
(cid:166)(cid:40)(cid:153)(cid:106)(cid:226)(cid:121)(cid:223)(cid:227)(cid:37)(cid:164)(cid:86)(cid:228)(cid:36)2p(cid:25)
2p
(cid:166)(cid:40)(cid:153)(cid:86)(cid:7)(cid:146)2(cid:10) AB = (cid:26)a(cid:36)(cid:112)(cid:33)AB(cid:49)(cid:175)(cid:200)(cid:160)(cid:34)(cid:229)(cid:174)(cid:31)(cid:25)
sin2a
p2
(cid:26)4(cid:31)DAOB(cid:34)(cid:188)(cid:189)(cid:7)(cid:146)(cid:10)S = (cid:26)a(cid:36)(cid:112)(cid:33)AB(cid:49)(cid:175)(cid:200)(cid:160)(cid:34)(cid:229)(cid:174)(cid:31)(cid:25)
DAOB 2sina5(cid:23)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:34)(cid:153)
(cid:159)AB(cid:36)(cid:32)(cid:14)(cid:33)y2 =2px(p>0)(cid:34)(cid:230)(cid:218)(cid:22)(cid:44)(cid:153)(cid:37)A(x,y ),B(x ,y )(cid:37)(cid:153)(cid:34)(cid:106)(cid:40)(cid:36)M(x ,y )(y ¹0)(cid:37)(cid:48)
1 1 2 2 0 0 0
1
(cid:26)1(cid:31)(cid:153)(cid:86)(cid:7)(cid:146)(cid:10) AB = 1k2 x x = 1 y y (k =k ¹0)
1 2 k2 1 2 AB
p
(cid:26)2(cid:31)k =
AB y
0
p
(cid:26)3(cid:31)(cid:112)(cid:33)AB(cid:34)(cid:131)(cid:139)(cid:36)y y = (xx )
0 y 0
0
y
(cid:26)4(cid:31)(cid:33)(cid:231)AB(cid:34)(cid:46)(cid:112)(cid:177)(cid:64)(cid:33)(cid:131)(cid:139)(cid:36)y y = 0 (xx )
0 p 0
A
6(cid:23)(cid:79)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:82)(cid:35)(cid:131)(cid:139)(cid:34)(cid:166)(cid:40)(cid:107)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:232)(cid:233)(cid:131)(cid:132)(cid:26) (cid:132)(cid:31)
4
A A
(cid:26)1(cid:31)y2 = Ax(A¹0)(cid:166)(cid:40)(cid:36)( ,0)(cid:37)(cid:35)(cid:33)(cid:36)x=
4 4
A A
(cid:26)2(cid:31)x2 = Ay(A¹0)(cid:166)(cid:40)(cid:36)(0, )(cid:37)(cid:35)(cid:33)(cid:36)y=
4 4
y 1 1
(cid:234)y=4x2(cid:37)(cid:109)x2 = (cid:37)(cid:166)(cid:40)(cid:36)(0, )(cid:37)(cid:35)(cid:33)(cid:131)(cid:139)(cid:36)y=
4 16 16
7(cid:23)(cid:235)(cid:13)(cid:131)(cid:139)
ìx=2pt2
y2 =2px(p>0)(cid:34)(cid:235)(cid:13)(cid:131)(cid:139)(cid:36)í (cid:26)(cid:235)(cid:13)tÎR(cid:31)
îy=2pt
8(cid:23)(cid:45)(cid:33)(cid:131)(cid:139)(cid:107)(cid:45)(cid:40)(cid:153)(cid:131)(cid:139)
(cid:32)(cid:14)(cid:33)y2 =2px(p>0)(cid:34)(cid:45)(cid:33)(cid:131)(cid:139)(cid:36)y y= p(xx )(cid:37)(x ,y )(cid:36)(cid:45)(cid:40)
0 0 0 0
(cid:45)(cid:40)(cid:153)(cid:131)(cid:139)(cid:36)y y= p(xx )(cid:37)(cid:40)(x ,y )(cid:102)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:215)
0 0 0 0
(cid:49)(cid:106)(cid:40)(cid:153)(cid:177)(cid:115)(cid:34)(cid:112)(cid:33)(cid:36)y y= p(xx )(cid:37)(cid:104)(cid:112)(cid:33)(cid:49)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:50)(cid:73)(cid:37)(cid:40)(x ,y )(cid:26)(cid:214)(cid:166)(cid:40)(cid:31)(cid:92)(cid:153)AB(cid:34)(cid:106)(cid:40)(cid:37)(cid:106)(cid:40)
0 0 0 0
(cid:153)AB(cid:34)(cid:137)(cid:138)(cid:49)(cid:135)(cid:44)(cid:112)(cid:33)(cid:34)(cid:137)(cid:138)(cid:50)(cid:119)(cid:37)(cid:134)(cid:40)(cid:236)(cid:132)(cid:237)(cid:110)(cid:158)(cid:85)(cid:71)(cid:238)(cid:148)(cid:34)(cid:212)(cid:239)(cid:25)
9(cid:23)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:34)(cid:226)(cid:121)
(cid:41)(cid:166)(cid:40)(cid:57)(cid:46)(cid:112)(cid:98)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:175)(cid:200)(cid:160)(cid:34)(cid:153)(cid:194)(cid:195)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:34)(cid:226)(cid:121)(cid:25)
p p
(cid:175)(cid:98)(cid:32)(cid:14)(cid:33)y2 =2px(p>0)(cid:37)(cid:126)A( (cid:37)p)(cid:37)B( (cid:37) p)(cid:37)(cid:110)(cid:85)|AB|=2p(cid:37)(cid:122)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:34)(cid:226)(cid:121)(cid:86)(cid:36)2p(cid:25)
2 2
p
10(cid:23)(cid:153)(cid:34)(cid:106)(cid:40)(cid:81)(cid:82)(cid:49)(cid:153)(cid:157)(cid:102)(cid:112)(cid:33)(cid:34)(cid:137)(cid:138)(cid:34)(cid:3)(cid:202)(cid:10)y =
0 k
11(cid:23)(cid:166)(cid:40)(cid:153)(cid:34)(cid:211)(cid:29)(cid:103)(cid:197)
(cid:149)(cid:150)A(x(cid:37)y )(cid:23)B(x (cid:37)y )(cid:92)(cid:41)(cid:32)(cid:14)(cid:33)y2 =2px(p>0)(cid:166)(cid:40)F (cid:34)(cid:153)(cid:37)M (cid:92)AB(cid:34)(cid:106)(cid:40)(cid:37)l(cid:92)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:33)(cid:37)
1 1 2 2
MN ^l(cid:37)N(cid:36)(cid:46)(cid:47)(cid:25)y
C A
N M
O F x
D B
(cid:26)1(cid:31)(cid:158)AB(cid:36)(cid:112)(cid:121)(cid:34)(cid:69)(cid:240)(cid:49)(cid:35)(cid:33)l(cid:50)(cid:45)(cid:37)(cid:158)AF(cid:26)(cid:127)BF(cid:31)(cid:36)(cid:112)(cid:121)(cid:34)(cid:69)(cid:49)y(cid:160)(cid:50)(cid:45)(cid:77)
(cid:26)2(cid:31)FN ^ AB(cid:37)FC ^FD
p2
(cid:26)3(cid:31)xx = (cid:77)y y =p2
1 2 4 1 2
(cid:26)4(cid:31)(cid:114)BD^l(cid:37)D(cid:36)(cid:46)(cid:47)(cid:37)(cid:48)A(cid:23)O(cid:23)D(cid:52)(cid:40)(cid:102)(cid:22)(cid:44)(cid:112)(cid:33)(cid:38)
(cid:22)(cid:23)(cid:241)(cid:20)(cid:21)
1(cid:25)(cid:26)2024·(cid:161)(cid:242)·(cid:52)(cid:243)(cid:31)(cid:149)(cid:150)(cid:32)(cid:14)(cid:33)y2 =4x(cid:34)(cid:166)(cid:40)(cid:36)F (cid:37)(cid:41)(cid:40)F (cid:34)(cid:112)(cid:33)l(cid:108)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:98)A(cid:37)B(cid:141)(cid:40)(cid:37)(cid:40)A(cid:102)(cid:167)
(cid:22)(cid:168)(cid:169)(cid:37)(cid:40)O(cid:36)(cid:81)(cid:82)(cid:151)(cid:40)(cid:37)(cid:57)S =2S (cid:37)(cid:48)(cid:112)(cid:33)l(cid:34)(cid:137)(cid:138)(cid:36)(cid:26) (cid:31)
VAOF VBOF
A(cid:25)2 2 B(cid:25) 3 C(cid:25)1 D(cid:25)-1
(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)A
p p
(cid:60)(cid:64)(cid:65)(cid:63)(cid:114)(cid:112)(cid:33)AB(cid:34)(cid:244)(cid:137)(cid:174)(cid:36)a(cid:37)(cid:133)(cid:134)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:34)(cid:166)(cid:120)(cid:121)(cid:7)(cid:146) AF = (cid:37) BF = (cid:171)(cid:172)(cid:80) AF (cid:23)
1cosa 1cosa
BF (cid:37)(cid:170)(cid:67)(cid:68)S =2S (cid:37)(cid:79)(cid:80)cosa(cid:37)(cid:133)(cid:134)(cid:238)(cid:174)(cid:52)(cid:174)(cid:245)(cid:13)(cid:34)(cid:246)(cid:247)(cid:3)(cid:202)(cid:79)tana(cid:37)(cid:248)(cid:92)(cid:112)(cid:33)(cid:34)(cid:137)(cid:138).
VAOF VBOF
(cid:60)(cid:117)(cid:116)(cid:63)(cid:234)(cid:196)(cid:10)
(cid:114)(cid:112)(cid:33)(cid:244)(cid:137)(cid:174)(cid:36)a(cid:37)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:33)l(cid:10)x=1
(cid:42)AM ^l(cid:98)M (cid:37)(cid:67)(cid:68)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:34)(cid:96)(cid:97)(cid:37) AM = AF = DF AF ×cosa=2 AF ×cosa(cid:37)
2 2
(cid:157)(cid:158)|AF|= (cid:37)(cid:249)(cid:250)(cid:34)|BF|= .
1cosa 1cosa
1
(cid:126)S =2S (cid:150)|AF|=2|BF|(cid:37)(cid:85)cosa= (cid:37)(cid:122)k =tana=2 2.
VAOF VBOF 3
(cid:122)(cid:20)(cid:10)A2(cid:25)(cid:26)2024·(cid:251)(cid:252)·(cid:52)(cid:243)(cid:31)(cid:149)(cid:150)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C:y2 =2pxp>0(cid:34)(cid:166)(cid:40)(cid:36)F (cid:37)(cid:40)P m,2 2 (cid:102)C(cid:38)(cid:25)(cid:159)(cid:158)P(cid:36)(cid:69)(cid:70)(cid:37)
PF (cid:36)(cid:120)(cid:121)(cid:34)(cid:69)(cid:253)y(cid:160)(cid:254)(cid:85)(cid:34)(cid:153)(cid:86)(cid:36)2 5(cid:37)(cid:48)(cid:255)(cid:69)(cid:34)(cid:188)(cid:189)(cid:36)(cid:26) (cid:31)
A(cid:25)4π B(cid:25)6π C(cid:25)9π D(cid:25)10π
(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)C
4 p
(cid:60)(cid:64)(cid:65)(cid:63)(cid:67)(cid:68)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:34)(cid:96)(cid:97)(cid:37)(cid:110)(cid:158)(cid:85)(cid:71)(cid:255)(cid:69)(cid:34)(cid:120)(cid:121)(cid:36) (cid:37)(cid:170)(cid:133)(cid:134)(cid:153)(cid:86)(cid:7)(cid:146)(cid:37)(cid:212)(cid:162)(cid:149)(cid:150)(cid:109)(cid:110)(cid:116)(cid:80) p=2(cid:37)
p 2
(cid:223)(cid:89)(cid:67)(cid:68)(cid:255)(cid:69)(cid:34)(cid:120)(cid:121)(cid:256)(cid:87)(cid:188)(cid:189)(cid:109)(cid:110).
4 æ 4 ö
(cid:60)(cid:117)(cid:116)(cid:63)(cid:126)(cid:98)P m,2 2 (cid:102)y2 =2px(cid:38)(cid:37)(cid:122)8=2pm(cid:37)(cid:109)m= (cid:37)(cid:157)(cid:158)Pç ,2 2÷.
p è p ø
p 4 p
(cid:67)(cid:68)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:34)(cid:96)(cid:97)(cid:37) PF (cid:248)(cid:92)(cid:40)P(cid:71)(cid:112)(cid:33)x= (cid:34)(cid:72)(cid:73) (cid:37)
2 p 2
4 p
(cid:181)(cid:84)(cid:255)(cid:69)(cid:34)(cid:120)(cid:121)(cid:36) .
p 2
4 æ 4 pö 2 æ 4ö 2
(cid:126)(cid:98)(cid:69)(cid:70)P(cid:71)y(cid:160)(cid:34)(cid:72)(cid:73)(cid:36) (cid:37)(cid:122)(cid:255)(cid:69)(cid:253)y(cid:160)(cid:254)(cid:85)(cid:34)(cid:153)(cid:86)(cid:36)2 ç ÷ ç ÷ .
p
è p 2ø è pø
2 2
æ 4 pö æ 4ö
(cid:181)(cid:84)(cid:68)(cid:149)(cid:150)(cid:56)2 ç ÷ ç ÷ =2 5(cid:37)
è p 2ø è pø
æ 4 pö 2 æ 4ö 2 p æ8 pö p2
(cid:122)5=ç ÷ ç ÷ = ×ç ÷=4 (cid:37)(cid:116)(cid:85)p=2.
è p 2ø è pø 2 è p 2ø 4
4 p 4 2
(cid:157)(cid:158)(cid:255)(cid:69)(cid:34)(cid:120)(cid:121)(cid:36) = =3(cid:37)(cid:122)(cid:188)(cid:189)(cid:36)9π.
p 2 2 2
(cid:122)(cid:20)(cid:10)C.
3(cid:25)(cid:26)2024·(cid:257)(cid:258)(cid:259)(cid:252)·(cid:143)(cid:243)(cid:31)(cid:149)(cid:150)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C: y2 =6x(cid:34)(cid:166)(cid:40)(cid:36)F (cid:37)(cid:35)(cid:33)(cid:36)l,P(cid:92)l(cid:38)(cid:22)(cid:40)(cid:37)Q(cid:92)(cid:112)(cid:33)PF(cid:49)C(cid:34)
uuur uuur uuur
(cid:22)(cid:59)(cid:108)(cid:40)(cid:37)(cid:159)FP=3FQ(cid:37)(cid:48)QF =(cid:26) (cid:31)
7 5
A(cid:25) B(cid:25)3 C(cid:25) D(cid:25)2
2 2
(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)D
(cid:60)(cid:64)(cid:65)(cid:63)(cid:126)(cid:21)(cid:218)(cid:116)(cid:80)Q(cid:40)(cid:178)(cid:81)(cid:82)(cid:37)(cid:126)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:34)(cid:96)(cid:97)(cid:79)(cid:116).
æ3 ö 3
(cid:60)(cid:117)(cid:116)(cid:63)(cid:126)(cid:21)(cid:218)(cid:110)(cid:150)(cid:10)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C: y2 =6x(cid:34)(cid:166)(cid:40)(cid:36)Fç ,0÷(cid:37)(cid:35)(cid:33)(cid:36)l:x= (cid:37)
è2 ø 2
æ 3 ö uuur uuur æ 3 ö
(cid:114)Pç ,t÷(cid:37)Q(x ,y )(cid:37)(cid:48)FP=3,t,FQ=çx ,y ÷(cid:37)
è 2 ø 0 0 è 0 2 0ø
uuur uuur æ 3ö 1
(cid:165)(cid:36)FP=3FQ(cid:37)(cid:48)3=3çx ÷(cid:37)(cid:85)x = (cid:37)
è 0 2ø 0 2uuur 1 3
(cid:126)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:96)(cid:97)(cid:85) QF = =2.
2 2
(cid:122)(cid:20)(cid:10)D.
4(cid:25)(cid:26)2024·(cid:260)(cid:261)(cid:262)(cid:97)·(cid:52)(cid:243)(cid:31)(cid:114)M(cid:92)(cid:32)(cid:14)(cid:33)y2 =4x(cid:38)(cid:34)(cid:22)(cid:40)(cid:37)F(cid:92)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:34)(cid:166)(cid:40)(cid:37)O(cid:47)(cid:81)(cid:82)(cid:151)(cid:40)(cid:37)(cid:159)ÐOFM =120°(cid:37)
(cid:48) FM =(cid:26) (cid:31)
A(cid:25)5 B(cid:25)4 C(cid:25)3 D(cid:25)2
(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)B
(cid:60)(cid:64)(cid:65)(cid:63)(cid:41)(cid:40)M (cid:42)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:35)(cid:33)l(cid:34)(cid:46)(cid:33)(cid:37)(cid:46)(cid:47)(cid:36)(cid:40)N (cid:37)(cid:263)(cid:113)FN (cid:37)(cid:64)(cid:65)(cid:80)VFNM (cid:36)(cid:119)(cid:264)(cid:52)(cid:174)(cid:180)(cid:37)(cid:79)(cid:80) FN (cid:37)
(cid:109)(cid:110)(cid:85)(cid:116).
(cid:60)(cid:117)(cid:116)(cid:63)(cid:41)(cid:40)M (cid:42)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:35)(cid:33)l(cid:34)(cid:46)(cid:33)(cid:37)(cid:46)(cid:47)(cid:36)(cid:40)N (cid:37)(cid:263)(cid:113)FN (cid:37)(cid:234)(cid:221)(cid:196)(cid:157)(cid:172)(cid:10)
(cid:165)(cid:36)ÐOFM =120°(cid:37)MN//x(cid:160)(cid:37)(cid:48)ÐFMN =60°(cid:37)
(cid:126)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:34)(cid:96)(cid:97)(cid:110)(cid:85) MN = FM (cid:37)(cid:157)(cid:158)VFNM (cid:36)(cid:119)(cid:264)(cid:52)(cid:174)(cid:180)(cid:37)(cid:48)ÐFNM =60°(cid:37)
(cid:32)(cid:14)(cid:33)y2 =4x(cid:34)(cid:35)(cid:33)(cid:131)(cid:139)(cid:36)x=1(cid:37)
(cid:114)(cid:112)(cid:33)x=1(cid:108)x(cid:160)(cid:98)(cid:40)E(cid:37)(cid:48)ÐENF =30°(cid:37)
(cid:176)(cid:150) EF =2(cid:37)ÐFEN =90°(cid:37)(cid:48) FM = FN =2 EF =4.
(cid:122)(cid:20)(cid:10)B.
5(cid:25)(cid:26)2024·(cid:265)(cid:266)(cid:267)(cid:268)(cid:269)·(cid:52)(cid:243)(cid:31)(cid:41)(cid:32)(cid:14)(cid:33)y2 =2x(cid:38)(cid:34)(cid:22)(cid:40)P(cid:42)(cid:69)C(cid:10)x42y2 =1(cid:34)(cid:45)(cid:33)(cid:37)(cid:45)(cid:40)(cid:36)A(cid:37)B(cid:37)
(cid:48) AB × PC (cid:110)(cid:270)(cid:34)(cid:222)(cid:225)(cid:92)(cid:26) (cid:31)
A(cid:25)1 B(cid:25)4 C(cid:25) 6 D(cid:25)5
(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)D
(cid:60)(cid:64)(cid:65)(cid:63)(cid:114)P(x ,y )(cid:37)(cid:133)(cid:134)(cid:69)(cid:34)(cid:45)(cid:33)(cid:103)(cid:197)(cid:37)(cid:271)(cid:272)(cid:196)(cid:180)(cid:34)(cid:188)(cid:189)(cid:273) AB × PC (cid:171)(cid:172)(cid:36)x (cid:34)(cid:245)(cid:13)(cid:37)(cid:170)(cid:79)(cid:80)(cid:245)(cid:13)(cid:34)(cid:223)
0 0 0(cid:224)(cid:225)(cid:109)(cid:110).
(cid:60)(cid:117)(cid:116)(cid:63)(cid:114)P(x ,y )(cid:37)(cid:48)y2 =2x (cid:37)(cid:69)C(cid:34)(cid:69)(cid:70)C(4,0)(cid:37)(cid:120)(cid:121)r=1
0 0 0 0
(cid:126)PA,PB(cid:45)(cid:69)C(cid:98)(cid:40)A,B(cid:37)(cid:85)PC ^ AB,PA^ AC(cid:37)
(cid:48)|AB|×|PC|=2S =4S =2|PA|×|AC|=2 |PC|2 1=2 (x 4)2y21
PACB VPAC 0 0
=2 x26x 15=2 (x 3)26³2 6(cid:37)(cid:51)(cid:57)(cid:58)(cid:51)x =3(cid:54)(cid:222)(cid:119)(cid:9)(cid:37)
0 0 0 0
(cid:157)(cid:158) AB × PC (cid:34)(cid:223)(cid:224)(cid:225)(cid:36)2 6(cid:37)ABC(cid:128)(cid:92)(cid:37)D(cid:92).
(cid:122)(cid:20)(cid:10)D
6(cid:25)(cid:26)2024·(cid:251)(cid:260)(cid:274)(cid:275)(cid:206)·(cid:52)(cid:243)(cid:31)(cid:149)(cid:150)(cid:32)(cid:14)(cid:33)x2 =2y(cid:34)(cid:166)(cid:40)(cid:36)F(cid:37)O(cid:36)(cid:151)(cid:40)(cid:37)(cid:112)(cid:33)y=2xt(cid:49)(cid:255)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:108)(cid:98)
M(cid:37)N(cid:141)(cid:40)(cid:37)(cid:57)OM ^ON(cid:37)(cid:48)|MF||NF|=(cid:26) (cid:31)
A(cid:25)12 B(cid:25)13 C(cid:25)14 D(cid:25)15
(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)B
y y
(cid:60)(cid:64)(cid:65)(cid:63)(cid:154)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:49)(cid:112)(cid:33)(cid:140)(cid:95)(cid:37)(cid:133)(cid:134)(cid:276)(cid:277)(cid:96)(cid:15)(cid:37)(cid:79)(cid:116)(cid:80)x ×x =2t,y ×y =t2(cid:37)(cid:133)(cid:134)(cid:46)(cid:112)(cid:3)(cid:202)(cid:37) 2 × 1 =1
1 2 1 2 x x
2 1
p p
(cid:79)(cid:116)t(cid:37)(cid:109)(cid:110)(cid:85)(cid:71)y y (cid:37)(cid:155)(cid:156)|MF||NF|= y y (cid:109)(cid:110)(cid:85)(cid:71)(cid:61)(cid:62).
1 2 1 2 2 2
ìx2 =2y
(cid:60)(cid:117)(cid:116)(cid:63)(cid:114)Mx,y ,Nx ,y (cid:37)(cid:154)(cid:112)(cid:33)(cid:49)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:140)(cid:95)í (cid:37)
1 1 2 2 îy=2xt
(cid:183)(cid:184)y(cid:56)(cid:10)x24x2t =0(cid:37)(cid:56)x x =4,x ×x =2t(cid:37)(cid:48)
1 2 1 2
y ×y =2x t2x t=4x.x 2tx x t2 =8t8tt2 =t2,
1 2 1 2 1 2 1 2
y y t2
(cid:126)(cid:98)OM ^ON(cid:37)(cid:165)(cid:104) 2 × 1 =1(cid:37)(cid:109) =1(cid:37)(cid:85)(cid:71)t=2,
x x 2t
2 1
(cid:165)(cid:104)y y =2x t2x t =822=12(cid:37)
1 2 1 2
(cid:126)(cid:98)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:106)p=1(cid:37)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:38)(cid:40)(cid:71)(cid:166)(cid:40)(cid:72)(cid:73)(cid:119)(cid:98)(cid:71)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:72)(cid:73)(cid:37)
P P
(cid:165)(cid:104)|MF||NF|= y y =121=13.
1 2 2 2
(cid:122)(cid:20)(cid:10)B
7(cid:25)(cid:26)2024·(cid:27)(cid:278)·(cid:52)(cid:243)(cid:31)(cid:149)(cid:150)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C(cid:10)y2=x(cid:34)(cid:166)(cid:40)(cid:36)F(cid:37)(cid:102)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C(cid:38)(cid:101)(cid:102)(cid:279)(cid:59)(cid:40)P(cid:37)M(cid:37)Q(cid:37)N(cid:37)(cid:159)(cid:153)PQ1 1
(cid:49)(cid:153)MN(cid:34)(cid:108)(cid:40)(cid:280)(cid:281)(cid:36)F(cid:37)(cid:57)PQ^MN(cid:37)(cid:48) =(cid:26) (cid:31)
PQ MN
2
A(cid:25) B(cid:25)1 C(cid:25) 2 D(cid:25)2
2
(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)B
p p
(cid:60)(cid:64)(cid:65)(cid:63)(cid:126)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:34)(cid:131)(cid:139)(cid:110)(cid:85)(cid:166)(cid:40)F(cid:34)(cid:81)(cid:82)(cid:37)(cid:282)(cid:134)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:166)(cid:40)(cid:153)(cid:103)(cid:197) PF = (cid:37) QF = (cid:37)
1cosq 1cosq
p p 1 1 1
MF = (cid:37) NF = (cid:37)(cid:212)(cid:162)(cid:52)(cid:174)(cid:34)(cid:283)(cid:119)(cid:284)(cid:285)(cid:34)(cid:16)(cid:186)(cid:110)(cid:85) = (cid:37)(cid:109)(cid:110)(cid:79)(cid:116).
1sinq 1sinq PQ MN 2p
1 1
(cid:60)(cid:117)(cid:116)(cid:63)(cid:126)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C:y2 =x(cid:85)2p=1(cid:37)(cid:48)p= (cid:37)F( ,0)(cid:37)
2 4
æ πö
(cid:128)(cid:286)(cid:114)PQ(cid:34)(cid:244)(cid:137)(cid:174)(cid:36)qç00)(cid:37)(cid:126)í (cid:183)(cid:184)x(cid:85)y24my 4=0(cid:37)
îy2 =4x
π
(cid:48)D=16m216=0(cid:37)(cid:85)m=1(cid:37)(cid:112)(cid:33)MB(cid:34)(cid:137)(cid:138)(cid:36)1(cid:37)(cid:244)(cid:137)(cid:174)(cid:36) (cid:37)
4
π 2 |MF| 2
(cid:98)(cid:92)q = (cid:37)(cosq) = (cid:37)(cid:157)(cid:158) (cid:34)(cid:223)(cid:224)(cid:225)(cid:36) .
max 4 min 2 |MB| 2
(cid:122)(cid:20)(cid:10)A
(cid:143)(cid:23)(cid:24)(cid:20)(cid:21)
9(cid:25)(cid:26)2024·(cid:291)(cid:258)(cid:292)(cid:293)·(cid:52)(cid:243)(cid:31)(cid:149)(cid:150)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C(cid:10)y2 =2pxp>0(cid:34)(cid:166)(cid:40)(cid:36)F (cid:37)O(cid:36)(cid:81)(cid:82)(cid:151)(cid:40)(cid:37)(cid:39)(cid:40)P(cid:102)C(cid:38)(cid:37)
(cid:159)(cid:96)(cid:40)M 2, 3 (cid:55)(cid:47) MF =2OF (cid:37)(cid:48)(cid:26) (cid:31)
A(cid:25)C(cid:34)(cid:35)(cid:33)(cid:131)(cid:139)(cid:36)x=2 B(cid:25)(cid:294)PMF(cid:295)(cid:86)(cid:34)(cid:223)(cid:224)(cid:225)(cid:36)5
uuuur uuur
C(cid:25)(cid:279)(cid:264)(cid:180)OPMF(cid:110)(cid:270)(cid:92)(cid:177)(cid:115)(cid:279)(cid:264)(cid:180) D(cid:25)FM×OP(cid:34)(cid:223)(cid:224)(cid:225)(cid:36)3
(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)BD
(cid:60)(cid:64)(cid:65)(cid:63)(cid:296)(cid:78)(cid:171)(cid:172)(cid:80)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:34)(cid:166)(cid:40)(cid:81)(cid:82)(cid:49)(cid:35)(cid:33)(cid:131)(cid:139)(cid:37)(cid:126)(cid:72)(cid:73)(cid:7)(cid:146)(cid:85)(cid:71)(cid:131)(cid:139)(cid:37)(cid:109)(cid:110)(cid:79)(cid:80)p(cid:37)(cid:79)(cid:80)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:131)(cid:139)(cid:37)
æ y2 ö
(cid:109)(cid:110)(cid:75)(cid:76)A(cid:77)(cid:67)(cid:68)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:34)(cid:96)(cid:97)(cid:75)(cid:76)B(cid:37)(cid:79)(cid:80)P(cid:40)(cid:81)(cid:82)(cid:37)(cid:109)(cid:110)(cid:75)(cid:76)C(cid:77)(cid:114)Pç ,y÷(cid:37)(cid:212)(cid:162)(cid:13)(cid:297)(cid:189)(cid:34)(cid:81)(cid:82)(cid:287)
è 4 ø
(cid:87)(cid:64)(cid:65)(cid:79)(cid:116).æ p ö p
(cid:60)(cid:117)(cid:116)(cid:63)(cid:175)(cid:98)(cid:20)(cid:66)A(cid:10)(cid:165)(cid:36)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C(cid:34)(cid:166)(cid:40)(cid:36)Fç ,0÷(cid:37)(cid:35)(cid:33)(cid:131)(cid:139)(cid:36)x= (cid:37)
è 2 ø 2
(cid:144)(cid:40)M 2, 3 (cid:55)(cid:47) MF =2OF (cid:37)(cid:48) æ ç p 2 ö ÷ 2 0 3 2 =2´ p (cid:37)
è 2 ø 2
14
(cid:147)(cid:15)(cid:85)3p28p28=0(cid:37)(cid:116)(cid:85)p=2(cid:127)p= (cid:26)(cid:298)(cid:184)(cid:31)(cid:37)
3
(cid:109)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C:y2 =4x(cid:37)
(cid:157)(cid:158)(cid:35)(cid:33)(cid:131)(cid:139)(cid:36)x=1(cid:37)(cid:166)(cid:40)(cid:36)F1,0(cid:37)(cid:122)A(cid:129)(cid:130)(cid:77)
(cid:175)(cid:98)(cid:20)(cid:66)B(cid:10)(cid:41)(cid:40)P(cid:42)(cid:35)(cid:33)x=1(cid:34)(cid:46)(cid:33)(cid:37)(cid:46)(cid:47)(cid:36)H(cid:37)
(cid:126)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:34)(cid:96)(cid:97)(cid:110)(cid:150) PH = PF (cid:37)
(cid:48)(cid:294)PMF(cid:295)(cid:86)C = PM MF PF = PM MF PH
VPMF
= PM PH 2³ MH 2=5(cid:37)
(cid:51)(cid:57)(cid:58)(cid:51)M (cid:23)P(cid:23)H(cid:52)(cid:40)(cid:53)(cid:33)(cid:54)(cid:222)(cid:119)(cid:9)(cid:37)
(cid:157)(cid:158)(cid:294)PMF(cid:295)(cid:86)(cid:34)(cid:223)(cid:224)(cid:225)(cid:36)5(cid:37)(cid:122)B(cid:123)(cid:124)(cid:77)
(cid:175)(cid:98)(cid:20)(cid:66)C(cid:10)(cid:41)(cid:40)M (cid:42)OF (cid:34)(cid:177)(cid:115)(cid:33)(cid:37)(cid:108)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:98)(cid:40)P(cid:37)
ì 3
ìïy2 =4x ïx= æ3 ö
(cid:109)í (cid:37)(cid:116)(cid:85)í 4 (cid:37)(cid:109)Pç , 3÷(cid:37)
ïîy= 3 ï è4 ø
îy= 3
3 5
(cid:48) MP =2 = ¹ OF (cid:37)
4 4
(cid:157)(cid:158)(cid:279)(cid:264)(cid:180)OPMF(cid:128)(cid:92)(cid:177)(cid:115)(cid:279)(cid:264)(cid:180)(cid:37)(cid:122)C(cid:129)(cid:130)(cid:77)
æ y2 ö uuuur uuur æ y2 ö
(cid:175)(cid:98)(cid:20)(cid:66)D(cid:10)(cid:114)Pç ,y÷(cid:37)(cid:48)FM = 1, 3 ,OP=ç ,y÷(cid:37)
è 4 ø è 4 ø
uuuur uuur y2 1 2
(cid:110)(cid:85)FM×OP= 3y= y2 3 3³3(cid:37)
4 4
(cid:51)(cid:57)(cid:58)(cid:51)y=2 3(cid:54)(cid:37)(cid:119)(cid:9)(cid:94)(cid:95)(cid:37)
uuuur uuur
(cid:157)(cid:158)FM×OP(cid:34)(cid:223)(cid:224)(cid:225)(cid:36)3(cid:37)(cid:122)D(cid:123)(cid:124)(cid:77)
(cid:122)(cid:20)(cid:10)BD10(cid:25)(cid:26)2024·(cid:299)(cid:300)(cid:265)·(cid:143)(cid:243)(cid:31)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C:y2 =2pxp>0(cid:34)(cid:166)(cid:40)F (cid:71)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:72)(cid:73)(cid:36)4(cid:37)(cid:41)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:34)(cid:166)(cid:40)(cid:42)(cid:141)(cid:44)(cid:301)
(cid:50)(cid:46)(cid:112)(cid:34)(cid:112)(cid:33)(cid:37)(cid:49)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C(cid:64)(cid:187)(cid:108)(cid:98)(cid:40)A(cid:37)B(cid:107)(cid:40)M (cid:37)N (cid:37)(cid:48)(cid:26) (cid:31)
A(cid:25)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C(cid:34)(cid:35)(cid:33)(cid:131)(cid:139)(cid:92)x=4
B(cid:25)(cid:41)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C(cid:34)(cid:166)(cid:40)(cid:34)(cid:223)(cid:227)(cid:153)(cid:86)(cid:36)8
C(cid:25)(cid:159)(cid:153)MN(cid:34)(cid:106)(cid:40)(cid:36)
m,2
(cid:37)(cid:48)(cid:112)(cid:33)MN(cid:34)(cid:131)(cid:139)(cid:36)y=2x4
D(cid:25)(cid:279)(cid:264)(cid:180)AMBN (cid:188)(cid:189)(cid:34)(cid:223)(cid:224)(cid:225)(cid:36)128
(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)BCD
(cid:60)(cid:64)(cid:65)(cid:63)(cid:296)(cid:78)(cid:171)(cid:172)(cid:80)(cid:166)(cid:40)(cid:81)(cid:82)(cid:49)(cid:35)(cid:33)(cid:131)(cid:139)(cid:37)(cid:289)(cid:21)(cid:218)(cid:79)(cid:80)p(cid:37)(cid:109)(cid:110)(cid:85)(cid:71)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:131)(cid:139)(cid:37)(cid:181)(cid:84)(cid:75)(cid:76)A(cid:37)(cid:67)(cid:68)(cid:166)(cid:40)
(cid:153)(cid:34)(cid:103)(cid:197)(cid:75)(cid:76)B(cid:37)(cid:133)(cid:134)(cid:40)(cid:236)(cid:132)(cid:79)(cid:80)k (cid:37)(cid:109)(cid:110)(cid:75)(cid:76)C(cid:37)(cid:114)(cid:112)(cid:33)AB(cid:36)y=kx2k ¹0(cid:37)(cid:140)(cid:95)(cid:112)(cid:33)(cid:49)(cid:32)(cid:14)(cid:33)
MN
1
(cid:131)(cid:139)(cid:37)(cid:183)(cid:302)(cid:37)(cid:303)(cid:80)(cid:276)(cid:277)(cid:96)(cid:15)(cid:37)(cid:126)(cid:166)(cid:40)(cid:153)(cid:7)(cid:146)(cid:171)(cid:172)(cid:80) AB (cid:37) MN (cid:37)(cid:170)(cid:126)S = AB MN (cid:152)(cid:246)(cid:247)(cid:128)(cid:119)(cid:146)(cid:256)(cid:87)
AMBN 2
(cid:188)(cid:189)(cid:223)(cid:224)(cid:225)(cid:37)(cid:109)(cid:110)(cid:75)(cid:76)D.
æ p ö p
(cid:60)(cid:117)(cid:116)(cid:63)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C:y2 =2pxp>0(cid:166)(cid:40)Fç ,0÷(cid:37)(cid:35)(cid:33)(cid:131)(cid:139)(cid:36)x= (cid:37)
è 2 ø 2
(cid:289)(cid:21)(cid:218)(cid:110)(cid:85)p=4(cid:37)(cid:48)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:131)(cid:139)(cid:36)y2 =8x(cid:37)(cid:157)(cid:158)(cid:35)(cid:33)(cid:131)(cid:139)(cid:36)x=2(cid:37)(cid:122)A(cid:129)(cid:130)(cid:77)
(cid:41)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C(cid:34)(cid:166)(cid:40)(cid:57)(cid:49)x(cid:160)(cid:46)(cid:112)(cid:54)(cid:153)(cid:86)(cid:223)(cid:227)(cid:37)(cid:223)(cid:227)(cid:153)(cid:86)(cid:36)2p=8(cid:37)(cid:122)B(cid:123)(cid:124)(cid:77)
(cid:114)Mx,y (cid:37)Nx ,y (cid:37)(cid:48)y2 =8x (cid:37)y2 =8x (cid:37)
1 1 2 2 1 1 2 2
(cid:157)(cid:158)y2y2 =8x x (cid:37)(cid:109) y y y y =8x x (cid:37)
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
(cid:144)(cid:153)MN(cid:34)(cid:106)(cid:40)(cid:36)m,2(cid:37)(cid:157)(cid:158)y y =4(cid:37)
1 2
y y 8
(cid:157)(cid:158) 1 2 = =2(cid:37)(cid:109)k =2(cid:37)
x x y y MN
1 2 1 2
(cid:144)(cid:153)MN(cid:41)(cid:166)(cid:40)F2,0(cid:37)(cid:157)(cid:158)(cid:153)MN(cid:34)(cid:131)(cid:139)(cid:36)y=2x2(cid:37)(cid:109)y=2x4(cid:37)(cid:122)C(cid:123)(cid:124)(cid:77)
(cid:289)(cid:21)(cid:218)(cid:112)(cid:33)AB(cid:34)(cid:137)(cid:138)(cid:101)(cid:102)(cid:57)(cid:128)(cid:36)0(cid:37)(cid:114)(cid:112)(cid:33)AB(cid:36)y=kx2k ¹0(cid:37)
ìy=kx2
(cid:126)í (cid:37)(cid:183)(cid:184)y(cid:147)(cid:15)(cid:85)k2x2 4k28 x4k2 =0(cid:37)(cid:118)(cid:88)D>0(cid:37)
îy2 =8x
4k28 4k28 8
(cid:157)(cid:158)x x = (cid:37)(cid:157)(cid:158) AB =x x p= 4=8 (cid:37)
A B k2 A B k2 k2
(cid:238)(cid:15)(cid:110)(cid:85) MN =88k2(cid:37)
(cid:157)(cid:158)S = 1 AB MN = 1æ ç8 8 ö ÷ 88k2 =32 æ ç2k2 1 ö ÷
AMBN 2 2è k2 ø è k2 ø
æ 1 ö
³32ç22 k2× ÷=128(cid:37)
ç
è
k2 ÷
ø1
(cid:51)(cid:57)(cid:58)(cid:51)k2 = (cid:37)(cid:109)k=±1(cid:54)(cid:222)(cid:119)(cid:9)(cid:37)(cid:122)D(cid:123)(cid:124).
k2
(cid:122)(cid:20)(cid:10)BCD
11(cid:25)(cid:26)2024·(cid:304)(cid:305)(cid:220)(cid:263)·(cid:22)(cid:243)(cid:31)(cid:149)(cid:150)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C:x2 =4y(cid:34)(cid:166)(cid:40)(cid:36)F (cid:37)(cid:35)(cid:33)l(cid:49)y(cid:160)(cid:34)(cid:108)(cid:40)(cid:36)D(cid:37)(cid:41)(cid:40)F (cid:34)(cid:112)(cid:33)m
(cid:49)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C(cid:108)(cid:98)A(cid:37)B(cid:141)(cid:40)(cid:37)(cid:40)O(cid:36)(cid:81)(cid:82)(cid:151)(cid:40)(cid:37)(cid:221)(cid:303)(cid:212)(cid:213)(cid:123)(cid:124)(cid:34)(cid:92)(cid:26) (cid:31)
π
A(cid:25)(cid:101)(cid:102)(cid:40)A(cid:23)B(cid:37)(cid:142)ÐAOB£
2
B(cid:25)(cid:159)(cid:40)M (cid:92)(cid:153)AB(cid:34)(cid:106)(cid:40)(cid:37)(cid:48)(cid:40)M(cid:71)(cid:112)(cid:33)l(cid:34)(cid:72)(cid:73)(cid:34)(cid:223)(cid:224)(cid:225)(cid:36)2
C(cid:25)DF(cid:177)(cid:64)ÐADB
D(cid:25)(cid:158)AF(cid:36)(cid:112)(cid:121)(cid:34)(cid:69)(cid:49)x(cid:160)(cid:50)(cid:45)
(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)BCD
(cid:60)(cid:64)(cid:65)(cid:63)(cid:114)Ax,y ,Bx ,y (cid:37)(cid:112)(cid:33)m(cid:34)(cid:131)(cid:139)(cid:36)y=kx1(cid:37)(cid:140)(cid:95)(cid:112)(cid:33)(cid:49)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:131)(cid:139)(cid:37)(cid:183)(cid:302)(cid:23)(cid:303)(cid:80)(cid:276)(cid:277)(cid:96)(cid:15)(cid:37)
1 1 2 2
uur uuur
(cid:67)(cid:68) OA×OB<0 (cid:75)(cid:76)A(cid:37)(cid:67)(cid:68)(cid:166)(cid:120)(cid:121)(cid:7)(cid:146)(cid:75)(cid:76)B(cid:37)(cid:226)(cid:41)(cid:256)(cid:87)k k (cid:109)(cid:110)(cid:75)(cid:76)C(cid:77)(cid:212)(cid:162)(cid:21)(cid:218)(cid:212)(cid:162)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:34)(cid:96)
DA DB
(cid:97)(cid:64)(cid:65)(cid:75)(cid:76)D(cid:77)
(cid:60)(cid:117)(cid:116)(cid:63)(cid:175)(cid:98)A(cid:37)(cid:126)(cid:21)(cid:218)(cid:110)(cid:150)(cid:10)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C(cid:34)(cid:166)(cid:40)F(cid:34)(cid:81)(cid:82)(cid:36)0,1(cid:37)(cid:35)(cid:33)l:y=1(cid:37)
(cid:112)(cid:33)m(cid:34)(cid:137)(cid:138)(cid:22)(cid:96)(cid:101)(cid:102)(cid:57)(cid:49)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C(cid:50)(cid:108)(cid:37)
(cid:114)Ax,y ,Bx ,y (cid:37)(cid:112)(cid:33)m(cid:34)(cid:131)(cid:139)(cid:36)y=kx1(cid:37)
1 1 2 2
(cid:49)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C:x2 =4y(cid:140)(cid:95)(cid:37)(cid:85)x24kx4=0(cid:37)(cid:48)x x =4k(cid:37)xx =4(cid:37)
1 2 1 2
uuur uuur x2 x2
(cid:110)(cid:85)OA×OB= x x y y = x x 1 × 2 =41=3<0(cid:37)
1 2 1 2 1 2 4 4
(cid:157)(cid:158)ÐAOB(cid:36)(cid:173)(cid:174)(cid:37)(cid:122)A(cid:129)(cid:130)(cid:77)(cid:175)(cid:98)B(cid:37)(cid:165)(cid:36) AB = y y 2=kx 1kx 12=kx x 4=4k24³4(cid:37)
1 2 1 2 1 2
(cid:51)(cid:57)(cid:58)(cid:51)k =0(cid:54)(cid:37)(cid:119)(cid:9)(cid:94)(cid:95)(cid:37)
1
(cid:157)(cid:158)(cid:40)M(cid:71)(cid:112)(cid:33)l(cid:34)(cid:72)(cid:73)(cid:36) AB ³2(cid:37)(cid:122)B(cid:123)(cid:124)(cid:77)
2
y 1 y 1
(cid:175)(cid:98)C(cid:37)(cid:165)(cid:36)(cid:40)D(0,1)(cid:37)(cid:165)(cid:36)k k = 1 2
DA DB x x
1 2
kx 2 kx 2 2kxx 2x x 2k´(4)2´4k
= 1 2 = 1 2 1 2 = =0(cid:37)
x x xx xx
1 2 1 2 1 2
(cid:109)(cid:112)(cid:33)DA(cid:107)(cid:112)(cid:33)DB(cid:34)(cid:244)(cid:137)(cid:174)(cid:301)(cid:306)(cid:37)(cid:157)(cid:158)DF(cid:177)(cid:64)ÐADB(cid:37)(cid:122)C(cid:123)(cid:124)(cid:77)
1 1
(cid:175)(cid:98)D(cid:37)(cid:126)(cid:21)(cid:218)(cid:110)(cid:150)(cid:10)AF(cid:34)(cid:106)(cid:40)(cid:71)x(cid:160)(cid:72)(cid:73)d = y 1= AF (cid:37)
2 1 2
(cid:110)(cid:150)(cid:158)AF(cid:36)(cid:112)(cid:121)(cid:34)(cid:69)(cid:49)x(cid:160)(cid:50)(cid:45)(cid:37)(cid:122)D(cid:123)(cid:124)(cid:25)
(cid:122)(cid:20)(cid:10)BCD(cid:25)
12(cid:25)(cid:26)2024·(cid:251)(cid:260)·(cid:143)(cid:243)(cid:31)(cid:149)(cid:150)O(cid:36)(cid:81)(cid:82)(cid:151)(cid:40)(cid:37)(cid:166)(cid:40)(cid:36)F (cid:34)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C:x2 =2pyp>0(cid:41)(cid:40)M2,1(cid:37)(cid:41)M (cid:57)(cid:49)
OM (cid:46)(cid:112)(cid:34)(cid:112)(cid:33)l(cid:49)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C(cid:34)(cid:307)(cid:22)(cid:108)(cid:40)(cid:36)N (cid:37)(cid:48)(cid:26) (cid:31)
A(cid:25)p=2 B(cid:25) MF =3
C(cid:25) MN =12 5 D(cid:25)(cid:112)(cid:33)l(cid:49)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C(cid:34)(cid:35)(cid:33)(cid:50)(cid:108)(cid:98)(cid:40)3,1
(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)ACD
(cid:60)(cid:64)(cid:65)(cid:63)(cid:154)(cid:40)M2,1(cid:155)(cid:156)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:131)(cid:139)(cid:110)(cid:124)(cid:96)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:131)(cid:139)(cid:37)(cid:110)(cid:75)(cid:76)A(cid:77)(cid:126)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:96)(cid:97)(cid:110)(cid:79) MF (cid:37)(cid:110)(cid:75)(cid:76)B(cid:77)
(cid:79)(cid:80)(cid:112)(cid:33)l(cid:34)(cid:131)(cid:139)(cid:37)(cid:49)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:131)(cid:139)(cid:140)(cid:95)(cid:116)(cid:85)(cid:40)N (cid:37)(cid:181)(cid:84)(cid:79)(cid:80) MN (cid:37)(cid:110)(cid:75)(cid:76)C(cid:77)(cid:176)(cid:79)(cid:80)(cid:112)(cid:33)l(cid:49)(cid:35)(cid:33)(cid:108)(cid:40)(cid:37)(cid:110)
(cid:75)(cid:76)D.
(cid:60)(cid:117)(cid:116)(cid:63)(cid:126)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C:x2 =2pyp>0(cid:41)(cid:40)M2,1(cid:37)
(cid:110)(cid:85)4=2p(cid:37)(cid:48)p=2(cid:37)(cid:122)A(cid:123)(cid:124)(cid:77)
(cid:126)(cid:38)(cid:110)(cid:150)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C:x2 =4y(cid:37)(cid:35)(cid:33)(cid:131)(cid:139)(cid:36)y=1(cid:37)
(cid:157)(cid:158) MF =11=2(cid:37)(cid:122)B(cid:129)(cid:130)(cid:77)
1
(cid:126)(cid:149)(cid:150)(cid:110)(cid:85)k = (cid:37)(cid:157)(cid:158)(cid:112)(cid:33)l(cid:34)(cid:131)(cid:139)(cid:36)y1=2x2(cid:37)(cid:109)y=2x5(cid:37)
OM 2
ìy=2x5
(cid:140)(cid:95)(cid:131)(cid:139)(cid:308)í (cid:37)(cid:85)x28x20=0(cid:37)
îx2 =4y
(cid:116)(cid:85)x=10(cid:127)x=2(cid:37)(cid:122)N10,25(cid:37)
(cid:157)(cid:158) MN = 10222512 =12 5(cid:37)(cid:122)C(cid:123)(cid:124)(cid:77)
(cid:126)(cid:112)(cid:33)l(cid:34)(cid:131)(cid:139)y=2x5(cid:37)(cid:309)y=1(cid:37)(cid:85)x=3(cid:37)
(cid:157)(cid:158)(cid:112)(cid:33)l(cid:49)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C(cid:34)(cid:35)(cid:33)(cid:50)(cid:108)(cid:98)(cid:40)3,1(cid:37)(cid:122)D(cid:123)(cid:124).(cid:122)(cid:20)(cid:10)ACD
13(cid:25)(cid:26)2024·(cid:251)(cid:252)·(cid:143)(cid:243)(cid:31)(cid:149)(cid:150)O(cid:92)(cid:81)(cid:82)(cid:151)(cid:40)(cid:37)(cid:41)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C:y2 =4x(cid:34)(cid:166)(cid:40)F (cid:34)(cid:112)(cid:33)l(cid:49)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C(cid:108)(cid:98)A,B(cid:141)
(cid:40)(cid:37)(cid:164)(cid:106)A(cid:102)(cid:167)(cid:22)(cid:168)(cid:169)(cid:37)(cid:159) AF =3 BF (cid:37)(cid:40)M1,m(cid:102)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C(cid:38)(cid:37)(cid:48)(cid:26) (cid:31)
8
A(cid:25)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C(cid:34)(cid:35)(cid:33)(cid:131)(cid:139)(cid:36)x=1 B(cid:25) AB =
3
π
C(cid:25)(cid:112)(cid:33)l(cid:34)(cid:244)(cid:137)(cid:174)(cid:36) D(cid:25) MF = OF
3
(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)AC
(cid:60)(cid:64)(cid:65)(cid:63)(cid:126)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:131)(cid:139)y2 =4x(cid:110)(cid:75)(cid:76)AD(cid:37)(cid:140)(cid:95)(cid:112)(cid:33)(cid:49)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:131)(cid:139)(cid:37)(cid:126) AF =3 BF (cid:212)(cid:162)(cid:276)(cid:277)(cid:96)(cid:15)(cid:152)(cid:141)(cid:40)(cid:145)
(cid:72)(cid:73)(cid:7)(cid:146)(cid:110)(cid:75)(cid:76)BC(cid:37)(cid:37)
(cid:60)(cid:117)(cid:116)(cid:63)(cid:20)(cid:66)A(cid:10)(cid:165)(cid:36)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C:y2 =4x(cid:37)(cid:157)(cid:158)F1,0(cid:37)(cid:35)(cid:33)(cid:131)(cid:139)(cid:36)x=1(cid:37)(cid:122)A(cid:123)(cid:124)(cid:77)
(cid:20)(cid:66)B(cid:10)(cid:114)Ax,y ,Bx ,y (cid:37)(cid:114)(cid:112)(cid:33)l:x=ty1(cid:37)
1 1 2 2
(cid:49)y2 =4x(cid:140)(cid:95)(cid:85)y24ty4=0(cid:37)(cid:157)(cid:158)y y =4t,y y =4(cid:37)
1 2 1 2
uuur uuur
(cid:126) AF =3 BF (cid:85)AF =3FB(cid:37)(cid:109)1x,y =3x 1,y (cid:37)(cid:157)(cid:158)y =3y (cid:37)
1 1 2 2 1 2
2 3 3
(cid:157)(cid:158)y = (cid:37)(cid:110)(cid:85)t = ,y =2 3(cid:37)
2 3 3 1
æ1 2 3ö æ 1ö 2 æ 2 3ö 2 16
(cid:48)A 3,2 3 ,B ç ç , ÷ ÷ , AB = ç3 ÷ ç ç2 3 ÷ ÷ = (cid:37)(cid:122)B(cid:129)(cid:130)(cid:77)
è3 3 ø è 3ø è 3 ø 3
2 3
2 3
π
(cid:20)(cid:66)C(cid:10)(cid:112)(cid:33)l(cid:34)(cid:137)(cid:138)(cid:36) 3 = 3(cid:37)(cid:244)(cid:137)(cid:174)(cid:36) (cid:37)(cid:122)C(cid:123)(cid:124)(cid:77)
1 3
3
3
(cid:20)(cid:66)D(cid:10)M1,2(cid:37)(cid:122) MF =2,OF =1(cid:37)(cid:122)D(cid:129)(cid:130).
(cid:122)(cid:20)(cid:10)AC.14(cid:25)(cid:26)2024·(cid:251)(cid:260)(cid:310)(cid:311)·(cid:143)(cid:243)(cid:31)(cid:149)(cid:150)F (cid:36)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C:y2 =2px(p>0)(cid:34)(cid:166)(cid:40)(cid:37)(cid:112)(cid:33)l(cid:41)F (cid:57)(cid:49)C(cid:108)(cid:98)A,B(cid:141)(cid:40)(cid:37)
O(cid:36)(cid:81)(cid:82)(cid:151)(cid:40)(cid:37)P2,y (cid:36)C(cid:38)(cid:22)(cid:40)(cid:37)(cid:57) PF =3(cid:37)(cid:48)(cid:26) (cid:31)
0
A(cid:25)(cid:41)(cid:40)M2,3(cid:57)(cid:49)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C(cid:58)(cid:56)(cid:22)(cid:59)(cid:7)(cid:53)(cid:40)(cid:34)(cid:112)(cid:33)(cid:56)3(cid:44)
9
B(cid:25)(cid:51)VAOB(cid:34)(cid:188)(cid:189)(cid:36)2 2(cid:54)(cid:37) AF × BF =
4
C(cid:25)VAOB(cid:36)(cid:173)(cid:174)(cid:52)(cid:174)(cid:180)
D(cid:25)2 AF BF (cid:34)(cid:223)(cid:224)(cid:225)(cid:36)32 2
(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)ACD
(cid:60)(cid:64)(cid:65)(cid:63)(cid:126)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:34)(cid:96)(cid:97)(cid:152)(cid:40)(cid:71)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:72)(cid:73)(cid:110)(cid:79)(cid:116)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:34)(cid:131)(cid:139)(cid:37)(cid:75)(cid:76)(cid:40)P(cid:49)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C(cid:34)(cid:290)(cid:312)(cid:3)(cid:202)(cid:109)(cid:110)(cid:75)
(cid:76)A(cid:77)(cid:140)(cid:95)(cid:112)(cid:33)(cid:49)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:131)(cid:139)(cid:37)(cid:85)(cid:276)(cid:277)(cid:96)(cid:15)(cid:37)(cid:109)(cid:110)(cid:67)(cid:68)(cid:153)(cid:86)(cid:7)(cid:146)(cid:79)(cid:116)(cid:188)(cid:189)(cid:37)(cid:133)(cid:134)(cid:166)(cid:120)(cid:121)(cid:7)(cid:146)(cid:109)(cid:110)(cid:79)(cid:116)B(cid:77)
(cid:67)(cid:68)(cid:13)(cid:297)(cid:189)(cid:34)(cid:81)(cid:82)(cid:287)(cid:87)(cid:109)(cid:110)(cid:79)(cid:116)C(cid:77)(cid:67)(cid:68)(cid:166)(cid:120)(cid:121)(cid:7)(cid:146)(cid:37)(cid:212)(cid:162)(cid:246)(cid:247)(cid:128)(cid:119)(cid:146)(cid:109)(cid:110)(cid:79)(cid:116)D.
p
(cid:60)(cid:117)(cid:116)(cid:63)(cid:234)(cid:196) (cid:157)(cid:172)(cid:37)(cid:165)(cid:36) PF =3(cid:37)(cid:157)(cid:158) 2=3(cid:37)(cid:116)(cid:85)p=2(cid:37)
2
①
(cid:157)(cid:158)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C(cid:34)(cid:82)(cid:35)(cid:131)(cid:139)(cid:36)y2 =4x.
(cid:175)(cid:98)A(cid:37)(cid:165)(cid:36)y2 =4x(cid:37)(cid:51)x=2(cid:54)(cid:37) y =2 2 <3(cid:37)
(cid:122)(cid:40)M2,3(cid:102)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:34)(cid:215)(cid:313)(cid:37)
(cid:157)(cid:158)(cid:49)C(cid:58)(cid:56)(cid:22)(cid:59)(cid:7)(cid:53)(cid:40)(cid:34)(cid:112)(cid:33)(cid:56)3(cid:44)(cid:37)(cid:122)A(cid:123)(cid:124)(cid:77)
ìx=my1,
(cid:175)(cid:98)B(cid:37)(cid:126)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C(cid:34)(cid:131)(cid:139)(cid:110)(cid:150)(cid:37)(cid:166)(cid:40)F1,0(cid:37)(cid:114)l(cid:34)(cid:131)(cid:139)(cid:36)x=my1,Ax,y ,Bx ,y (cid:37)(cid:140)(cid:95)í
1 1 2 2 îy2 =4x,
(cid:183)(cid:184)x(cid:37)
(cid:147)(cid:15)(cid:85)y24my4=0(cid:37)(cid:157)(cid:158)Δ=16m216>0,y y =4m,y y =4(cid:37)
1 2 1 2
(cid:144) OF =1(cid:37)(cid:157)(cid:158)
1 1 1
S = ´OF ´ y y = ´OF ´ y y 24y y = 16m216 =2 2(cid:37)
VAOB 2 1 2 2 1 2 1 2 2
y y 2
(cid:116)(cid:85)m=±1(cid:37)(cid:48) x x =my y 2=4m22=6,xx = 1 2 =1 (cid:37)
1 2 1 2 1 2 16
(cid:48) AF × BF =x 1x 1=xx x x 1=8(cid:37)(cid:122)B(cid:129)(cid:130)(cid:77)
1 2 1 2 1 2uuur uuur
(cid:175)(cid:98)C(cid:37)(cid:126)(cid:20)(cid:66)B(cid:110)(cid:150)xx =1,y y =4(cid:37)(cid:157)(cid:158)OA × OB = xx y y = 1 4 = 3 < 0(cid:37)(cid:122)ÐAOB(cid:36)(cid:173)
1 2 1 2 1 2 1 2
(cid:174)(cid:37)
(cid:157)(cid:158)VAOB(cid:36)(cid:173)(cid:174)(cid:52)(cid:174)(cid:180)(cid:37)(cid:122)C(cid:123)(cid:124)(cid:77)
(cid:175)(cid:98)D(cid:37)(cid:126)(cid:20)(cid:66)B(cid:110)(cid:150)xx =1(cid:37)
1 2
1
(cid:157)(cid:158)2 AF BF =21x 1x =32x
1 2 1 x
1
1
³32 2x × =32 2(cid:37)
1 x
1
1 2
(cid:51)(cid:57)(cid:58)(cid:51)2x = (cid:37)(cid:109)x = ,x = 2(cid:54)(cid:119)(cid:9)(cid:94)(cid:95)(cid:37)(cid:122)D(cid:123)(cid:124).
1 x 1 2 2
1
(cid:122)(cid:20)(cid:10)ACD.
(cid:196)
15(cid:25)①(cid:26)2024·(cid:314)(cid:260)(cid:315)(cid:316)·(cid:143)(cid:243)(cid:31)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C:x2 =2py(cid:34)(cid:166)(cid:40)(cid:36)F (cid:37)P(cid:36)(cid:164)(cid:38)(cid:22)(cid:39)(cid:40)(cid:37)(cid:51)P(cid:287)(cid:39)(cid:71)(t,1)(cid:54)(cid:37)
|PF|=2(cid:37)(cid:112)(cid:33)l(cid:49)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:50)(cid:108)(cid:98)A(cid:23)B(cid:141)(cid:40)(cid:37)(cid:221)(cid:303)(cid:212)(cid:213)(cid:123)(cid:124)(cid:34)(cid:92)(cid:26) (cid:31)
A(cid:25)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:34)(cid:131)(cid:139)(cid:36)(cid:10)x2 =8y
B(cid:25)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:33)(cid:131)(cid:139)(cid:36)(cid:10)y=1
C(cid:25)(cid:51)(cid:112)(cid:33)l(cid:41)(cid:166)(cid:40)F (cid:54)(cid:37)(cid:158)AF(cid:36)(cid:112)(cid:121)(cid:34)(cid:69)(cid:49)x(cid:160)(cid:50)(cid:45)
D(cid:25) AF BF ³4
(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)BC
(cid:60)(cid:64)(cid:65)(cid:63)(cid:67)(cid:68)(cid:166)(cid:120)(cid:121)(cid:109)(cid:110)(cid:79)(cid:116)A(cid:37)(cid:67)(cid:68)(cid:35)(cid:33)(cid:131)(cid:139)(cid:109)(cid:110)(cid:79)(cid:116)B(cid:37)(cid:79)(cid:116)(cid:69)(cid:70)(cid:107)(cid:120)(cid:121)(cid:109)(cid:110)(cid:75)(cid:76)C(cid:37)(cid:114)(cid:80)(cid:112)(cid:33)l(cid:131)(cid:139)(cid:37)
(cid:49)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:131)(cid:139)(cid:140)(cid:95)(cid:37)(cid:276)(cid:277)(cid:96)(cid:15)(cid:37)(cid:133)(cid:134)(cid:166)(cid:120)(cid:121)(cid:7)(cid:146)(cid:79)(cid:80) AF BF (cid:37)(cid:109)(cid:110)(cid:75)(cid:76)D.
p
(cid:60)(cid:117)(cid:116)(cid:63)(cid:175)(cid:98)A(cid:10)(cid:51)P(cid:287)(cid:39)(cid:71)t,1(cid:54)(cid:37) PF =1 =2(cid:37)(cid:122)p=2(cid:37)(cid:109)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:36)x2 =4y(cid:37)(cid:122)A(cid:129)(cid:130)(cid:77)
2
(cid:175)(cid:98)B(cid:10)(cid:126)x2 =4y(cid:37)(cid:122)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:33)(cid:131)(cid:139)(cid:36)(cid:10)y=1(cid:37)(cid:122)B(cid:123)(cid:124)(cid:77)
p
(cid:175)(cid:98)C(cid:10)(cid:51)(cid:112)(cid:33)l(cid:41)(cid:166)(cid:40)F (cid:54)(cid:37)(cid:114)A(cid:36)x ,y (cid:37)(cid:48) FA = y = y 1(cid:37)
0 0 0 2 0
y 1 æx y 1ö
(cid:122)(cid:158)AF(cid:36)(cid:112)(cid:121)(cid:34)(cid:69)(cid:34)(cid:120)(cid:121)(cid:36) 0 (cid:37)(cid:144)F0,1(cid:37)(cid:122)(cid:158)AF(cid:36)(cid:112)(cid:121)(cid:34)(cid:69)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:81)(cid:82)(cid:36)ç 0 , 0 ÷(cid:37)
2 è 2 2 ø(cid:69)(cid:70)(cid:71)x(cid:160)(cid:34)(cid:72)(cid:73)(cid:49)(cid:255)(cid:69)(cid:120)(cid:121)(cid:50)(cid:119)(cid:37)(cid:109)(cid:255)(cid:69)(cid:49)x(cid:160)(cid:50)(cid:45)(cid:37)(cid:122)C(cid:123)(cid:124)(cid:77)
ìy=kxm
(cid:175)(cid:98)D(cid:10)(cid:126)(cid:21)(cid:218)(cid:112)(cid:33)l(cid:137)(cid:138)(cid:101)(cid:102)(cid:37)(cid:114)l(cid:34)(cid:131)(cid:139)(cid:36)y=kxm(cid:37)(cid:140)(cid:95)í (cid:37)
îx2 =4y
(cid:147)(cid:15)(cid:85)x24kx4m=0(cid:37)Δ=4k216m>0(cid:37)(cid:109)k2m>0(cid:37)
(cid:157)(cid:158)x x =4k,x x =4m(cid:37)
A B A B
x2 x2
(cid:157)(cid:158)y y =k(x x )2m=4k22m(cid:37)y y = A × B =m2(cid:37)
A B A B A B 4 4
(cid:157)(cid:158) AF BF = y 1y 1= y y 2=4k22m2(cid:37)
A B A B
(cid:128)(cid:270)(cid:124)(cid:96)(cid:317)(cid:318)(cid:54)(cid:319)(cid:223)(cid:224)(cid:37)(cid:48)D(cid:129)(cid:130).
(cid:122)(cid:20)(cid:10)BC
16(cid:25)(cid:26)2024·(cid:251)(cid:260)·(cid:52)(cid:243)(cid:31)(cid:149)(cid:150)F(cid:36)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C:x2 =4y(cid:34)(cid:166)(cid:40)(cid:37)Mx,y (cid:37)Nx ,y (cid:36)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:38)(cid:128)(cid:238)(cid:34)(cid:141)(cid:39)(cid:40)(cid:37)
1 1 2 2
(cid:64)(cid:187)(cid:41)M(cid:37)N(cid:42)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C(cid:34)(cid:45)(cid:33)(cid:37)(cid:141)(cid:45)(cid:33)(cid:108)(cid:98)(cid:40)P(cid:37)(cid:48)(cid:26) (cid:31)
5
A(cid:25)(cid:159)x x =4 3(cid:37)(cid:48)(cid:112)(cid:33)MN(cid:34)(cid:244)(cid:137)(cid:174)(cid:36) π
1 2 6
B(cid:25)(cid:112)(cid:33)PM(cid:34)(cid:131)(cid:139)(cid:36)xx2y2y =0
1 1
C(cid:25)(cid:159)(cid:33)(cid:231)MN(cid:34)(cid:106)(cid:40)(cid:36)Q(cid:37)(cid:48)(cid:112)(cid:33)PQ(cid:177)(cid:115)(cid:98)y(cid:160)
D(cid:25)(cid:159)(cid:40)P(cid:102)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C(cid:34)(cid:35)(cid:33)(cid:38)(cid:37)(cid:48)PF ^MN
(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)BD
1
(cid:60)(cid:64)(cid:65)(cid:63)(cid:126)(cid:40)M,N(cid:102)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C(cid:38)(cid:37)(cid:140)(cid:95)(cid:131)(cid:139)(cid:308)(cid:37)(cid:42)(cid:236)(cid:212)(cid:162)(cid:137)(cid:138)(cid:7)(cid:146)(cid:37)(cid:110)(cid:75)(cid:96)A(cid:128)(cid:123)(cid:124)(cid:77)(cid:79)(cid:85)y¢ = x(cid:37)
2
(cid:133)(cid:134)(cid:320)(cid:13)(cid:34)(cid:216)(cid:217)(cid:218)(cid:97)(cid:37)(cid:79)(cid:85)(cid:45)(cid:33)(cid:131)(cid:139)(cid:37)(cid:110)(cid:75)(cid:96)B(cid:123)(cid:124)(cid:77)(cid:140)(cid:95)(cid:131)(cid:139)(cid:308)(cid:37)(cid:79)(cid:85)(cid:40)P(cid:34)(cid:178)(cid:81)(cid:82)(cid:36)x (cid:152)
P
x x
x = 1 2 (cid:37)(cid:85)(cid:71)x =x (cid:37)(cid:126)x x =0(cid:54)(cid:37)(cid:110)(cid:85)(cid:112)(cid:33)PQ(cid:49)y(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:37)(cid:110)(cid:75)(cid:96)C(cid:128)(cid:123)(cid:124)(cid:77)(cid:79)(cid:85)(cid:40)
Q 2 P Q 1 2
x x x x 4
P( 1 2,1)(cid:37)(cid:85)(cid:71)k = 2 1 (cid:107)k = (cid:37)(cid:212)(cid:162)k ×k =1(cid:37)(cid:110)(cid:75)(cid:96)D(cid:123)(cid:124).
2 MN 4 PF x x MN PF
1 2
(cid:60)(cid:117)(cid:116)(cid:63)(cid:175)(cid:98)A(cid:106)(cid:37)(cid:126)(cid:40)Mx,y (cid:37)Nx ,y (cid:36)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C:x2 =4y(cid:38)(cid:37)
1 1 2 2
ìx2 =4y
(cid:110)(cid:85)í 1 1 (cid:37)(cid:141)(cid:146)(cid:50)(cid:321)(cid:85)(x x )(x x )=4(y y )(cid:37)
îx2 =4y 2 1 2 1 2 2
2 2y y x x
(cid:165)(cid:36)x x =4 3(cid:37)(cid:110)(cid:85) 2 2 = 2 1 = 3(cid:37)(cid:109)MN(cid:34)(cid:137)(cid:138)(cid:36)k = 3(cid:37)
1 2 x x 4
2 1
2π
(cid:157)(cid:158)(cid:112)(cid:33)MN(cid:34)(cid:244)(cid:137)(cid:174)(cid:36) (cid:37)(cid:157)(cid:158)A(cid:128)(cid:123)(cid:124)(cid:77)
3
1 1 1
(cid:175)(cid:98)B(cid:106)(cid:37)(cid:126)x2 =4y(cid:37)(cid:110)(cid:85)y = x2(cid:37)(cid:48)y¢ = x(cid:37)(cid:157)(cid:158)y¢| = x (cid:37)
4 2 x=x1 2 1
1
(cid:109)(cid:41)(cid:40)Mx,y (cid:34)(cid:45)(cid:33)(cid:34)(cid:137)(cid:138)(cid:36)k = x (cid:37)
1 1 1 2 1
1
(cid:157)(cid:158)(cid:45)(cid:33)PM (cid:34)(cid:131)(cid:139)(cid:36)yy = x(xx)(cid:37)(cid:109)xxx22y2y =0(cid:37)
1 2 1 1 1 1 1
(cid:144)(cid:165)(cid:36)x2 = 4y(cid:37)(cid:157)(cid:158)(cid:45)(cid:33)(cid:131)(cid:139)(cid:36)xx2y2y =0(cid:37)(cid:157)(cid:158)B(cid:123)(cid:124)(cid:77)
1 1 1 1
(cid:175)(cid:98)C(cid:106)(cid:37)(cid:238)(cid:15)(cid:110)(cid:85)(cid:37)(cid:45)(cid:33)PN (cid:131)(cid:139)(cid:36)x x2y2y =0(cid:37)
2 2
1 1
ìxx2y2y =0 2( x2 x2)
(cid:140)(cid:95)(cid:131)(cid:139)(cid:308)í 1 1 (cid:37)(cid:116)(cid:85) 2(y y ) 4 2 4 1 x x (cid:37)
îx
2
x2y2y
2
=0 x=
x
2
x
1 =
x x
= 1
2
2
2 1 2 1
x x
(cid:157)(cid:158)(cid:40)P(cid:34)(cid:178)(cid:81)(cid:82)(cid:36)x = 1 2 (cid:37)
P 2
x x
(cid:144)(cid:165)(cid:36)Q(cid:36)MN(cid:34)(cid:106)(cid:40)(cid:37)(cid:110)(cid:85)x = 1 2 (cid:37)(cid:157)(cid:158)x =x (cid:37)
Q 2 P Q
(cid:51)x x ¹0(cid:54)(cid:37)(cid:110)(cid:85)PQ//y(cid:160)(cid:37)(cid:77)(cid:322)(cid:51)x x =0(cid:54)(cid:37)(cid:110)(cid:85)(cid:112)(cid:33)PQ(cid:49)y(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:37)
1 2 1 2
(cid:157)(cid:158)C(cid:128)(cid:123)(cid:124)(cid:77)
(cid:175)(cid:98)D(cid:106)(cid:37)(cid:126)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C:x2 =4y(cid:37)(cid:110)(cid:85)(cid:166)(cid:40)F(0,1)(cid:37)(cid:35)(cid:33)(cid:131)(cid:139)(cid:36)y=1(cid:37)
x x
(cid:159)(cid:40)P(cid:102)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C(cid:34)(cid:35)(cid:33)(cid:38)(cid:37)(cid:110)(cid:85)(cid:40)P( 1 2,1)(cid:37)(cid:157)(cid:158)xx =2(cid:37)
2 1 2
y y x x x x
(cid:144)(cid:126)A(cid:66)(cid:37)(cid:110)(cid:85) 2 2 = 2 1 (cid:37)(cid:109)(cid:112)(cid:33)MN(cid:34)(cid:137)(cid:138)(cid:36)k = 2 1
x x 4 MN 4
2 1
1(1) 4
k = =
(cid:165)(cid:36) PF x x x x (cid:37)(cid:157)(cid:158)k ×k =1(cid:37)(cid:157)(cid:158)PF ^MN (cid:37)(cid:157)(cid:158)D(cid:123)(cid:124).
1 2 1 2 MN PF
2
(cid:122)(cid:20)(cid:10)BD.
17(cid:25)(cid:26)2024·(cid:299)(cid:300)(cid:265)(cid:323)(cid:324)(cid:325)·(cid:52)(cid:243)(cid:31)(cid:41)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C(cid:10)y2 =2px(cid:38)(cid:34)(cid:22)(cid:40)M2,4(cid:42)(cid:141)(cid:44)(cid:112)(cid:33)l (cid:37)l (cid:37)(cid:64)(cid:187)(cid:108)(cid:32)(cid:14)(cid:33)
1 2
C(cid:98)A(cid:37)B(cid:141)(cid:40)(cid:37)F(cid:36)(cid:166)(cid:40)(cid:26) (cid:31)A(cid:25)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:33)(cid:131)(cid:139)(cid:36)x=2
B(cid:25)(cid:41)(cid:40)M2,4(cid:49)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:56)(cid:57)(cid:163)(cid:56)(cid:22)(cid:59)(cid:7)(cid:53)(cid:40)(cid:34)(cid:112)(cid:33)(cid:56)1(cid:44)
uuuur uuur uuur r
C(cid:25)(cid:159)FM FAFB=0(cid:37)(cid:48) FM FA FB =9
D(cid:25)(cid:159)k k =0(cid:37)(cid:48)k =1
AM BM AB
(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)AD
(cid:60)(cid:64)(cid:65)(cid:63)(cid:154)M2,4(cid:155)(cid:156)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:131)(cid:139)(cid:37)(cid:79)(cid:80)p(cid:37)(cid:109)(cid:110)(cid:75)(cid:76)A(cid:77)(cid:64)(cid:112)(cid:33)(cid:137)(cid:138)(cid:92)(cid:93)(cid:36)(cid:326)(cid:327)(cid:213)(cid:109)(cid:110)(cid:75)(cid:76)B(cid:77)(cid:114)
uuuur uuur uuur r
Ax,y ,Bx ,y (cid:37)(cid:67)(cid:68)FM FAFB=0(cid:37)(cid:79)(cid:80)x x (cid:37)(cid:170)(cid:67)(cid:68)(cid:166)(cid:120)(cid:121)(cid:7)(cid:146)(cid:109)(cid:110)(cid:75)(cid:76)C(cid:77)(cid:114)(cid:112)(cid:33)l (cid:34)(cid:131)(cid:139)
1 1 2 2 1 2 1
(cid:36)x2=ny4n¹0(cid:37)(cid:48)l (cid:34)(cid:131)(cid:139)(cid:36)x2=ny4(cid:37)(cid:140)(cid:95)(cid:131)(cid:139)(cid:37)(cid:79)(cid:80)A,B(cid:141)(cid:40)(cid:34)(cid:81)(cid:82)(cid:37)(cid:170)(cid:67)(cid:68)(cid:137)(cid:138)(cid:7)
2
(cid:146)(cid:109)(cid:110)(cid:75)(cid:76)D.
(cid:60)(cid:117)(cid:116)(cid:63)(cid:126)(cid:21)(cid:218)(cid:110)(cid:85)16=4p(cid:37)(cid:157)(cid:158)p=4(cid:37)(cid:48)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C(cid:34)(cid:131)(cid:139)(cid:36)y2 =8x(cid:37)(cid:35)(cid:33)(cid:131)(cid:139)(cid:36)x=2(cid:37)(cid:122)A(cid:123)(cid:124)(cid:77)
(cid:51)(cid:41)(cid:40)M2,4(cid:34)(cid:112)(cid:33)(cid:137)(cid:138)(cid:119)(cid:98)(cid:326)(cid:54)(cid:37)(cid:112)(cid:33)(cid:131)(cid:139)(cid:36)y=4(cid:37)
(cid:112)(cid:33)y=4(cid:49)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:34)(cid:108)(cid:40)(cid:81)(cid:82)(cid:36)M2,4(cid:37)(cid:163)(cid:56)(cid:22)(cid:59)(cid:108)(cid:40)(cid:37)
(cid:51)(cid:41)(cid:40)M2,4(cid:34)(cid:112)(cid:33)(cid:137)(cid:138)(cid:128)(cid:119)(cid:98)(cid:326)(cid:54)(cid:37)(cid:114)(cid:112)(cid:33)(cid:131)(cid:139)(cid:36)x2=my4(cid:37)
ìx2=my4
(cid:140)(cid:95)í (cid:37)(cid:183)x(cid:85)y28my32m16=0(cid:37)
îy2 =8x
(cid:51)(cid:41)(cid:40)M2,4(cid:49)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:56)(cid:57)(cid:163)(cid:56)(cid:22)(cid:59)(cid:7)(cid:53)(cid:40)(cid:54)(cid:37)Δ=64m2432m16=0(cid:37)(cid:116)(cid:85)m=1(cid:37)
(cid:328)(cid:38)(cid:157)(cid:190)(cid:37)(cid:41)(cid:40)M2,4(cid:49)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:56)(cid:57)(cid:163)(cid:56)(cid:22)(cid:59)(cid:7)(cid:53)(cid:40)(cid:34)(cid:112)(cid:33)(cid:56)2(cid:44)(cid:37)(cid:122)B(cid:129)(cid:130)(cid:77)
(cid:114)Ax,y ,Bx ,y (cid:37)F2,0(cid:37)
1 1 2 2
uuuur uuur uuur r r
(cid:126)FM FAFB=0(cid:37)(cid:85)0,4x 2,y x 2,y =x x 4,y y 4=0(cid:37)
1 1 2 2 1 2 1 2
(cid:157)(cid:158)x x 4=0(cid:37)(cid:109)x x = 4(cid:37)
1 2 1 2
p p
(cid:157)(cid:158) FM FA FB =4x x =4x x p=12(cid:37)(cid:122)C(cid:129)(cid:130)(cid:77)
1 2 2 2 1 2
(cid:175)(cid:98)D(cid:20)(cid:66)(cid:37)(cid:126)(cid:21)(cid:218)(cid:37)(cid:112)(cid:33)l,l (cid:34)(cid:137)(cid:138)(cid:101)(cid:102)(cid:57)(cid:128)(cid:36)(cid:326)(cid:37)
1 2
(cid:114)(cid:112)(cid:33)l (cid:34)(cid:131)(cid:139)(cid:36)x2=ny4n¹0(cid:37)(cid:48)l (cid:34)(cid:131)(cid:139)(cid:36)x2=ny4(cid:37)
1 2
ìx2=ny4
(cid:140)(cid:95)í (cid:37)(cid:183)x(cid:85)y28ny32n16=0(cid:37)
îy2 =8x
(cid:48)4y =32n16(cid:37)(cid:157)(cid:158)y =8n4(cid:37)
1 1
(cid:48)x = y 1 2 =8n28n2(cid:37)(cid:157)(cid:158)A 8n28n2,8n4 (cid:37)
1 8
(cid:238)(cid:15)(cid:110)(cid:85)B 8n28n2,8n4 (cid:37)8n48n4 16n
(cid:48)k
AB
=
8n28n2 8n28n2
=
16n
=1(cid:37)(cid:122)D(cid:123)(cid:124).
(cid:122)(cid:20)(cid:10)AD.
18(cid:25)(cid:26)2024·(cid:329)(cid:330)·(cid:52)(cid:243)(cid:31)(cid:149)(cid:150)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C :y2 = px(p>0)(cid:107)C :y2 =2px(cid:34)(cid:166)(cid:40)(cid:64)(cid:187)(cid:36)F,F (cid:37)(cid:39)(cid:112)(cid:33)l(cid:49)C (cid:108)(cid:98)
1 2 1 2 1
Mx,y ,Nx ,y (cid:141)(cid:40)(cid:37)(cid:49)C (cid:108)(cid:98)Px ,y ,Qx ,y (cid:141)(cid:40)(cid:37)(cid:164)(cid:106)y ,y >0,y ,y <0(cid:37)(cid:57)(cid:51)l(cid:41)(cid:40)F (cid:54)(cid:37)
1 1 2 2 2 3 3 4 4 1 3 2 4 2
y y =4(cid:37)(cid:48)(cid:221)(cid:303)(cid:331)(cid:132)(cid:106)(cid:123)(cid:124)(cid:34)(cid:92)(cid:26) (cid:31)
3 4
A(cid:25)C (cid:34)(cid:131)(cid:139)(cid:36)y2 =2x
1
æ 3ö
B(cid:25)(cid:149)(cid:150)(cid:40)Aç2, ÷(cid:37)(cid:48) MA MF (cid:34)(cid:223)(cid:224)(cid:225)(cid:36)3
è 2ø 1
1 1 1 1
C(cid:25) =
y y y y
1 2 3 4
|MP|
D(cid:25)(cid:159) =2(cid:37)(cid:48)(cid:294)MFF (cid:49)VQFF(cid:34)(cid:188)(cid:189)(cid:50)(cid:119)
|NQ| 1 2 1 2
(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)ACD
p
(cid:60)(cid:64)(cid:65)(cid:63)(cid:175)(cid:98)A(cid:37)(cid:114)l:x=my (cid:37)(cid:140)(cid:95)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C (cid:34)(cid:131)(cid:139)(cid:37)(cid:212)(cid:162)(cid:276)(cid:277)(cid:96)(cid:15)(cid:79)(cid:80)p(cid:109)(cid:110)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:175)(cid:98)B(cid:37)(cid:212)(cid:162)(cid:32)
2 2
(cid:14)(cid:33)(cid:96)(cid:97)(cid:23)(cid:52)(cid:174)(cid:180)(cid:52)(cid:264)(cid:3)(cid:202)(cid:109)(cid:110)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:175)(cid:98)C(cid:37)(cid:114)l:x=myt(cid:37)(cid:64)(cid:187)(cid:140)(cid:95)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:131)(cid:139)(cid:37)(cid:212)(cid:162)(cid:276)(cid:277)(cid:96)(cid:15)(cid:109)(cid:110)
y y y y y y MP
(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:175)(cid:98)D(cid:37)(cid:126)C(cid:20)(cid:66)(cid:64)(cid:65)(cid:110)(cid:85) 3 1 = 2 4 (cid:37)(cid:212)(cid:162) 3 1 = =2(cid:158)(cid:152)(cid:276)(cid:277)(cid:96)(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:85)(cid:80)(cid:141)(cid:59)
y y y y y y NQ
1 3 2 4 2 4
(cid:52)(cid:174)(cid:180)(cid:34)(cid:28)(cid:50)(cid:119)(cid:37)(cid:118)(cid:88)(cid:52)(cid:174)(cid:180)(cid:238)(cid:332)(cid:37)(cid:126)(cid:104)(cid:109)(cid:110)(cid:75)(cid:76).
(cid:60)(cid:117)(cid:116)(cid:63)ì p
p ïx=my
(cid:51)l(cid:41)(cid:40)F (cid:54)(cid:37)(cid:114)l:x=my (cid:37)(cid:140)(cid:95)í 2 (cid:37)(cid:110)(cid:85)y2 2pmy p2 =0(cid:37)
2 2 ï îy2 =2px
D=4p2m24p2 >0(cid:37)
(cid:122)y y =p2 =4(cid:37)(cid:116)(cid:85)p=2(cid:37)(cid:48)C :y2 =2x,C :y2 =4x(cid:37)(cid:122)A(cid:123)(cid:124)(cid:77)
3 4 1 2
(cid:41)(cid:40)M,A(cid:207)C (cid:34)(cid:35)(cid:33)(cid:333)(cid:46)(cid:33)(cid:37)(cid:46)(cid:47)(cid:64)(cid:187)(cid:36)B,C(cid:37)
1
5
(cid:40)A(cid:71)C (cid:34)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:72)(cid:73)d = (cid:37)
1 2
5
(cid:126)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:96)(cid:97)(cid:110)(cid:150) MA MF = MA MB ³ AB ³ AC =d = (cid:37)
1 2
(cid:119)(cid:9)(cid:94)(cid:95)(cid:51)(cid:57)(cid:58)(cid:51)(cid:40)M (cid:36)AC(cid:49)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:34)(cid:108)(cid:40)(cid:37)(cid:122)B(cid:129)(cid:130)(cid:77)
ìx=myt
(cid:114)l:x=myt(cid:37)(cid:126)í (cid:37)(cid:110)(cid:85)y22my2t=0(cid:37)
îy2 =2x
D =4m28t >0,y y =2m,y y =2t(cid:37)
1 1 2 1 2
ìx=myt
(cid:126)í (cid:37)(cid:110)(cid:85)y24my4t=0(cid:37)
îy2 =4x
D =16m216t >0,y y =4m,y y =4t(cid:37)
2 1 2 1 2
1 1 y y m 1 1 m
(cid:122) = 1 2 = (cid:37)(cid:238)(cid:15)(cid:110)(cid:85) = (cid:37)(cid:122)C(cid:123)(cid:124)(cid:77)
y y y y t y y t
1 2 1 2 3 41 1 1 1 y y y y y y y y
= Û 3 1 = 2 4 (cid:37)(cid:122) 3 1 = 2 4 (cid:37)
y y y y y y y y y y y y
1 2 3 4 1 3 2 4 1 3 2 4
4t
y ×
y y MP y y 1 y 2y2
(cid:4)(cid:218)(cid:71) 3 1 = =2(cid:37)(cid:110)(cid:85) 1 3 = 4 = 1 =2(cid:37)
y y NQ y y 2t y2
2 4 2 4 y × 4
4 y
1
(cid:157)(cid:158) y = y (cid:37)(cid:181)(cid:84)(cid:294)MFF (cid:49)VQFF(cid:34)(cid:188)(cid:189)(cid:50)(cid:119)(cid:37)(cid:122)D(cid:123)(cid:124).
1 4 1 2 1 2
(cid:122)(cid:20)(cid:10)ACD.
(cid:60)(cid:40)(cid:334)(cid:63)(cid:3)(cid:335)(cid:40)(cid:40)(cid:334)(cid:10)(cid:75)(cid:76)D(cid:20)(cid:66)(cid:34)(cid:3)(cid:335)(cid:92)(cid:85)(cid:80) y = y (cid:37)(cid:126)(cid:104)(cid:109)(cid:110)(cid:262)(cid:133)(cid:85)(cid:116).
1 4
(cid:52)(cid:23)(cid:336)(cid:337)(cid:21)
19(cid:25)(cid:26)2024·(cid:260)(cid:261)·(cid:52)(cid:243)(cid:31)(cid:149)(cid:150)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C:y2 =4x(cid:34)(cid:166)(cid:40)(cid:36)F (cid:37)(cid:48)F (cid:34)(cid:81)(cid:82)(cid:36) (cid:77)(cid:41)(cid:40)F (cid:34)(cid:112)(cid:33)(cid:108)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C
(cid:98)A,B(cid:141)(cid:40)(cid:37)(cid:159) AF =4(cid:37)(cid:48)(cid:294)OAF(cid:34)(cid:188)(cid:189)(cid:36) (cid:25)
(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63) (1,0) 3
(cid:60)(cid:64)(cid:65)(cid:63)(cid:126)(cid:338)(cid:96)(cid:34)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:131)(cid:139)(cid:112)(cid:113)(cid:79)(cid:80)(cid:166)(cid:40)(cid:81)(cid:82)(cid:77)(cid:133)(cid:134)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:96)(cid:97)(cid:79)(cid:80)(cid:40)A(cid:34)(cid:125)(cid:81)(cid:82)(cid:37)(cid:170)(cid:79)(cid:80)(cid:52)(cid:174)(cid:180)(cid:188)(cid:189).
(cid:60)(cid:117)(cid:116)(cid:63)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C:y2 =4x(cid:34)(cid:166)(cid:40)(cid:36)F(1,0)(cid:37)(cid:35)(cid:33)(cid:131)(cid:139)(cid:36)x=1(cid:37)
(cid:114)A(x ,y )(cid:37)(cid:48)|AF|=x 1=4(cid:37)(cid:116)(cid:85)x =3(cid:37)(cid:98)(cid:92)y2 =4x =12(cid:37)| y |=2 3(cid:37)
0 0 0 0 0 0 0
1 1
(cid:157)(cid:158)(cid:294)OAF(cid:34)(cid:188)(cid:189)(cid:36)S = |OF|×|y |= ´1´2 3= 3.
2 0 2
(cid:122)(cid:61)(cid:62)(cid:36)(cid:10)(1,0)(cid:77)
3
20(cid:25)(cid:26)2024·(cid:260)(cid:261)·(cid:52)(cid:243)(cid:31)(cid:149)(cid:150)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C:y2 =4x(cid:34)(cid:166)(cid:40)(cid:36)F(cid:37)(cid:35)(cid:33)(cid:49)x(cid:160)(cid:34)(cid:108)(cid:40)(cid:36)A(cid:37)(cid:40)B(cid:102)C(cid:38).(cid:159)
|FB|=2(cid:37)(cid:48)(cid:112)(cid:33)AB(cid:34)(cid:131)(cid:139)(cid:36) .
(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)xy1=0(cid:127)xy1=0
(cid:60)(cid:64)(cid:65)(cid:63)(cid:78)(cid:67)(cid:68)(cid:166)(cid:120)(cid:121)(cid:7)(cid:146)(cid:79)(cid:80)(cid:40)B(cid:81)(cid:82)(cid:37)(cid:83)(cid:84)(cid:110)(cid:85)(cid:112)(cid:33)(cid:131)(cid:139).
(cid:60)(cid:117)(cid:116)(cid:63)(cid:114)Bx,y(cid:37)(cid:48)|FB|=x1=2(cid:37)(cid:48)x=1(cid:37)(cid:104)(cid:54)y=±2(cid:37)
(cid:157)(cid:158)B1,2(cid:127)B1,2(cid:37)(cid:144)(cid:126)(cid:149)(cid:150)A1,0(cid:37)
20 20
(cid:112)(cid:33)AB(cid:34)(cid:131)(cid:139)(cid:36)y= x1 (cid:127)y= x1 (cid:37)
11 11
(cid:147)(cid:15)(cid:85)xy1=0(cid:127)xy1=0.(cid:122)(cid:61)(cid:62)(cid:36)(cid:10)xy1=0(cid:127)xy1=0.
21(cid:25)(cid:26)2024·(cid:329)(cid:330)·(cid:143)(cid:243)(cid:31)(cid:149)(cid:150)(cid:32)(cid:14)(cid:33)y=ax2(cid:34)(cid:166)(cid:40)F (cid:37)(cid:112)(cid:33)l(cid:41)F (cid:49)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:108)(cid:98)A(cid:37)B(cid:141)(cid:40)(cid:37)(cid:159)A4,4(cid:37)(cid:48)
(cid:112)(cid:33)l(cid:34)(cid:131)(cid:139)(cid:36) (cid:37)VOAB(cid:34)(cid:188)(cid:189)(cid:36) (cid:26)O(cid:36)(cid:81)(cid:82)(cid:151)(cid:40)(cid:31)(cid:25)
3 5
(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63) y= x1 /2.5
4 2
(cid:60)(cid:64)(cid:65)(cid:63)(cid:126)(cid:21)(cid:218)(cid:79)(cid:80)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:131)(cid:139)(cid:37)(cid:83)(cid:84)(cid:79)(cid:80)(cid:112)(cid:33)l(cid:34)(cid:131)(cid:139)(cid:37)(cid:140)(cid:95)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:131)(cid:139)(cid:37)(cid:79)(cid:85)x =4(cid:37)x =1(cid:37)(cid:212)(cid:162)
1 2
S = 1 OF × x x (cid:256)(cid:87)(cid:109)(cid:110)(cid:79)(cid:116).
2 1 2
1
(cid:60)(cid:117)(cid:116)(cid:63)(cid:165)(cid:36)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:41)(cid:40)A(cid:37)(cid:157)(cid:158)4=16a(cid:37)(cid:116)(cid:85)a= (cid:37)(cid:157)(cid:158)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:34)(cid:131)(cid:139)(cid:36)x2 =4y(cid:37)
4
3
(cid:48)F0,1(cid:37)(cid:85)(cid:112)(cid:33)l(cid:34)(cid:131)(cid:139)(cid:36)y= x1(cid:37)(cid:49)x2 =4y(cid:140)(cid:95)(cid:147)(cid:15)(cid:85)x23x4=0(cid:37)
4
(cid:114)Ax,y ,Bx ,y (cid:37)(cid:122)x =4(cid:37)x =1(cid:37)
1 1 2 2 1 2
(cid:122)VOAB(cid:34)(cid:188)(cid:189)(cid:36)S = 1 OF × x x = 5 (cid:25)
2 1 2 2
3 5
(cid:122)(cid:61)(cid:62)(cid:36)(cid:10)y= x1(cid:77)
4 2
22(cid:25)(cid:26)2024·(cid:339)(cid:266)(cid:340)(cid:341)·(cid:52)(cid:243)(cid:31)(cid:159)(cid:112)(cid:33)l:y=x3(cid:49)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C :x2 =12y(cid:107)(cid:69)C :x2(y3)2 =1(cid:181)(cid:342)(cid:71)(cid:343)(cid:289)(cid:199)(cid:108)
1 2
(cid:98)(cid:40)A､B､C､D(cid:37)(cid:48) AB CD = .
(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)22
(cid:60)(cid:64)(cid:65)(cid:63)(cid:67)(cid:68)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:34)(cid:166)(cid:120)(cid:121)(cid:7)(cid:146)(cid:107)(cid:69)(cid:34)(cid:112)(cid:121)(cid:110)(cid:79) AB CD (cid:34)(cid:225).
(cid:60)(cid:117)(cid:116)(cid:63)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C :x2 =12y(cid:34)(cid:166)(cid:40)0,3(cid:109)(cid:36)C 0,3(cid:37)(cid:69)(cid:34)(cid:120)(cid:121)(cid:36)1(cid:37)
1 2
ìy=x3
(cid:114)Ax,y ,Dx ,y (cid:37)(cid:126)í (cid:85)y218y9=0(cid:37)
1 1 2 2 îx2 =12y
(cid:157)(cid:158)y y =18(cid:37) AD = AC DC = y 3y 3= y y 6=24(cid:37)
1 2 2 2 1 2 1 2(cid:122) AB CD = AD BC =242=22.
(cid:122)(cid:61)(cid:62)(cid:36)(cid:10)22.
23(cid:25)(cid:26)2024·(cid:279)(cid:344)(cid:345)(cid:346)·(cid:52)(cid:243)(cid:31)(cid:149)(cid:150)(cid:69)C(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:92)(cid:32)(cid:14)(cid:33)x2 =8y(cid:34)(cid:166)(cid:40)(cid:37)(cid:112)(cid:33)2xy3=0(cid:49)(cid:69)C(cid:50)(cid:108)(cid:98)A(cid:37)
B(cid:141)(cid:40)(cid:37)|AB|=2(cid:37)(cid:48)(cid:69)C(cid:34)(cid:120)(cid:121)(cid:36) (cid:25)
(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63) 6
(cid:60)(cid:64)(cid:65)(cid:63)(cid:296)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:34)(cid:166)(cid:40)(cid:81)(cid:82)(cid:37)(cid:170)(cid:79)(cid:80)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:112)(cid:33)(cid:34)(cid:72)(cid:73)(cid:37)(cid:114)(cid:69)C(cid:34)(cid:120)(cid:121)(cid:36)rr>0(cid:37)(cid:48)
|AB|=2 r2d2 (cid:37)(cid:116)(cid:85)(cid:109)(cid:110).
(cid:60)(cid:117)(cid:116)(cid:63)(cid:32)(cid:14)(cid:33)x2 =8y(cid:34)(cid:166)(cid:40)(cid:36)0,2(cid:37)
023
(cid:157)(cid:158)(cid:69)(cid:70)C0,2(cid:71)(cid:112)(cid:33)2xy3=0(cid:34)(cid:72)(cid:73)d = = 5(cid:37)
2212
(cid:144)|AB|=2(cid:37)(cid:114)(cid:69)C(cid:34)(cid:120)(cid:121)(cid:36)rr>0(cid:37)(cid:48)|AB|=2 r2d2 =2 r2 5 2 =2(cid:37)(cid:116)(cid:85)r= 6.
(cid:122)(cid:61)(cid:62)(cid:36)(cid:10) 6
24(cid:25)(cid:26)2024·(cid:251)(cid:260)(cid:347)(cid:275)(cid:348)·(cid:143)(cid:243)(cid:31)(cid:114)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C:y2 =2px(p>0)(cid:34)(cid:166)(cid:40)(cid:36)F (cid:37)(cid:35)(cid:33)(cid:36)l.(cid:137)(cid:138)(cid:36)
3
(cid:34)(cid:112)(cid:33)(cid:349)(cid:41)(cid:166)
(cid:40)F (cid:37)(cid:108)C(cid:98)(cid:40)A(cid:37)(cid:108)(cid:35)(cid:33)l(cid:98)(cid:40)B(cid:26)A(cid:37)B(cid:102)x(cid:160)(cid:34)(cid:141)(cid:350)(cid:31)(cid:37)(cid:159)|AB|=16(cid:37)(cid:48)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C(cid:34)(cid:131)(cid:139)(cid:36) .
(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)y2 =8x
(cid:60)(cid:64)(cid:65)(cid:63)(cid:296)(cid:78)(cid:171)(cid:172)(cid:80)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:34)(cid:166)(cid:40)(cid:81)(cid:82)(cid:49)(cid:35)(cid:33)(cid:131)(cid:139)(cid:37)(cid:109)(cid:110)(cid:85)(cid:71)(cid:112)(cid:33)l(cid:34)(cid:131)(cid:139)(cid:37)(cid:181)(cid:84)(cid:79)(cid:80)B(cid:40)(cid:81)(cid:82)(cid:37)(cid:170)(cid:140)(cid:95)(cid:112)
(cid:33)(cid:49)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:131)(cid:139)(cid:37)(cid:79)(cid:80)A(cid:40)(cid:81)(cid:82)(cid:37)(cid:170)(cid:126)(cid:72)(cid:73)(cid:7)(cid:146)(cid:85)(cid:71)(cid:131)(cid:139)(cid:37)(cid:116)(cid:85)(cid:109)(cid:110).
æ p ö p
(cid:60)(cid:117)(cid:116)(cid:63)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C:y2 =2px(p>0)(cid:34)(cid:166)(cid:40)(cid:36)Fç ,0÷(cid:37)(cid:35)(cid:33)(cid:131)(cid:139)(cid:36)x= (cid:37)
è 2 ø 2
æ pö
(cid:289)(cid:21)(cid:218)(cid:112)(cid:33)l(cid:34)(cid:131)(cid:139)(cid:36)y= 3çx ÷(cid:37)
è 2ø
p æ p ö
(cid:309)x= (cid:110)(cid:85)y= 3p(cid:37)(cid:109)Bç , 3p÷(cid:37)
2 è 2 ø
ì æ pö
ïy= 3çx ÷ æ pö 2 1 3
(cid:126)í è 2ø(cid:37)(cid:183)(cid:184)y(cid:85)3çx ÷ =2px(cid:37)(cid:116)(cid:85)x= p(cid:127)x= p(cid:37)
ï è 2ø 6 2
îy2 =2px
3 æ3 ö
(cid:144)A(cid:37)B(cid:102)x(cid:160)(cid:34)(cid:141)(cid:350)(cid:37)(cid:157)(cid:158)x = p(cid:37)(cid:48)y = 3p(cid:37)(cid:157)(cid:158)Aç p, 3p÷(cid:37)
A 2 A è2 ø
2
(cid:157)(cid:158) AB = æ ç p 3pö ÷ 3p 3p 2 =16(cid:37)(cid:116)(cid:85)p=4(cid:127)p=4(cid:26)(cid:298)(cid:184)(cid:31)(cid:37)
è 2 2 ø
(cid:157)(cid:158)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C(cid:34)(cid:131)(cid:139)(cid:36)y2 =8x.
(cid:122)(cid:61)(cid:62)(cid:36)(cid:10)y2 =8x
25(cid:25)(cid:26)2024·(cid:314)(cid:260)(cid:351)(cid:352)·(cid:52)(cid:243)(cid:31)(cid:149)(cid:150)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C:y2=x(cid:34)(cid:166)(cid:40)(cid:36)F ,A(cid:37)B(cid:92)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C(cid:38)(cid:3)(cid:98)(cid:164)(cid:175)(cid:200)(cid:160)(cid:175)(cid:200)(cid:34)(cid:141)(cid:40)(cid:37)(cid:159)AF(cid:353)OB(cid:37)O(cid:36)(cid:81)(cid:82)(cid:151)(cid:40)(cid:37)(cid:48)(cid:40)A(cid:34)(cid:178)(cid:81)(cid:82)(cid:36) .
5
(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63) /1.25
4
uuur uuur
(cid:60)(cid:64)(cid:65)(cid:63)(cid:126)(cid:21)(cid:110)(cid:150)(cid:37)AF(cid:353)OB(cid:37)(cid:122)AF×OB=0(cid:37)(cid:354)(cid:80)(cid:175)(cid:282)(cid:34)(cid:81)(cid:82)(cid:256)(cid:87)(cid:109)(cid:110)(cid:79)(cid:116)(cid:40)A(cid:34)(cid:178)(cid:81)(cid:82).
(cid:60)(cid:117)(cid:116)(cid:63)
æ1 ö
(cid:165)(cid:36)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C:y2=x(cid:34)(cid:166)(cid:40)(cid:36)F (cid:37)(cid:48)Fç (cid:37)0÷(cid:37)
è4 ø
(cid:144)(cid:165)(cid:36)A(cid:37)B(cid:92)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C(cid:38)(cid:3)(cid:98)(cid:164)(cid:175)(cid:200)(cid:160)(cid:175)(cid:200)(cid:34)(cid:141)(cid:40)(cid:37)
(cid:114)A y2,y ,B y2,y (cid:37)(cid:165)(cid:36)AF(cid:353)OB(cid:37)
(cid:48) u A u F ur ×O uu B ur =0(cid:37) u A u F ur = æ ç 1 y2,y ö ÷,O uu B ur = y2,y
è4 ø
(cid:157)(cid:158) u A u F ur ×O uu B ur = æ ç 1 y2,y ö ÷× y2,y = 5 y2y4 =0(cid:37)
è4 ø 4
5 5
(cid:116)(cid:85)y2 =0(cid:26)(cid:298)(cid:31)(cid:127)y2 = .(cid:109)(cid:40)A(cid:34)(cid:178)(cid:81)(cid:82)(cid:36) (cid:37)
4 4
5
(cid:122)(cid:61)(cid:62)(cid:36)(cid:10)
4
