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专题 12 二次函数
课标要求 考点 考向
1. 会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函 考向一 二次函数的图象和性质
数的性质；用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为 考向二 二次函数的图象与系数
y＝a(x－h)²＋k的形式，并能由此得到二次函数图象的顶 的关系
二次函
点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，并能
考向三 二次函数的最值
数
解决简单实际问题；
考向四 待定系数法求二次函数
2. 会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．结合
的解析式
具体情况体会二次函数的意义，能根据已知条件确定二次
函数的表达式；会利用待定系数法确定二次函数的表达 考向五 二次函数图象的平移
式．
考向一 二次函数与一元二次方
3. 通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义；会用配
程
二次函
方法将数字系数的二次函数的表达式化为 y＝a(x－h)²＋k
数的应 考向二 二次函数与不等式
的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，说出图
用
象的开口方向，画出图象的对称轴，并能解决实际问题．
考向三 实际问题与二次函数
4.能运用二次函数的知识解决综合型问题.
考点一 二次函数
►考向一 二次函数的图象和性质
解题技巧/易错易混
1．二次函数的一般形式的结构特征：①函数的关系式是整式；②自变量的最高次数是2；③二次项系数不
等于零．
2．一般式，顶点式，交点式是二次函数常见的表达式，它们之间可以互相转化．
3.二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，叫做抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与
抛物线的交点叫做抛物线的顶点.
4.二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，叫做抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与
抛物线的交点叫做抛物线的顶点.
1．（2024·广东·中考真题）若点 都在二次函数 的图象上，则（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，根据二次函数的解
析式得出函数图象的对称轴是y轴（直线 ），图象的开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增
大，再比较即可．
【详解】解∶ 二次函数 的对称轴为y轴，开口向上，
∴当 时， y随x的增大而增大，
∵点 都在二次函数 的图象上，且 ，
∴ ，
故选∶A．
2．（2024·西藏·中考真题）如图，已知二次函数 的图象与x轴相交于点 ，
，则下列结论正确的个数是（ ）
①
②
③对任意实数m， 均成立
④若点 ， 在抛物线上，则
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子的符号，由图象可得：抛物线
开口向上，对称轴在 轴左侧，交 轴于负半轴，即可得出 ， ， ，从而求出 ，
即可判断①；根据二次函数与 轴的交点得出二次函数的对称轴为直线 ， ，
，计算即可判断②；根据当 时，二次函数有最小值 ，即可判断③；根据
即可判断④；熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：由图象可得：抛物线开口向上，对称轴在 轴左侧，交 轴于负半轴，
∴ ， ， ，
∴ ，∴ ，故①正确；
∵二次函数 的图象与x轴相交于点 ， ，
∴二次函数的对称轴为直线 ， ， ，
由 得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，故②错误；
当 时，二次函数有最小值 ，
由图象可得，对任意实数m， ，
∴对任意实数m， 均成立，故③正确；
∵点 ， 在抛物线上，且 ，
∴ ，故④错误；
综上所述，正确的有①③，共 个，
故选：B．
3．（2024·四川·中考真题）二次函数 的图象如图所示，给出下列结论：① ；②
；③当 时， ．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的
关键．根据图象与 轴交点 在 轴负半轴，可得 ，故①正确；根据图象可得二次函数的对称轴为
，由于对称轴为 ，可得 ，故②正确；当 时，二次函数图象位于 轴
下方，即当 ，所对应的 ，故③正确．
【详解】解：① 当 时， ，根据图象可知，二次函数 的图象与 轴交点
在 轴负半轴，即 ，故①正确，符合题意；②根据图象可知，二次函数 的对称轴是直线 ，即 ，故②正确，
符合题意；
③根据图象可知，当 时，图象位于 轴下方，即当 ，所对应的 ，故③正确，符合
题意；
综上所述，①②③结论正确，符合题意．
故选：D．
4．（2024·福建·中考真题）已知二次函数 的图象经过 ， 两点，则
下列判断正确的是（ ）
A．可以找到一个实数 ，使得 B．无论实数 取什么值，都有
C．可以找到一个实数 ，使得 D．无论实数 取什么值，都有
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据题意得到二次函数开口向上，且对称轴为 ，
顶点坐标为 ，再分情况讨论，当 时，当 时， ， 的大小情况，即可解题．
【详解】解： 二次函数解析式为 ，
二次函数开口向上，且对称轴为 ，顶点坐标为 ，
当 时， ，
当 时， ，
，
当 时， ，
，
故A、B错误，不符合题意；
当 时， ，
由二次函数对称性可知， ，
当 时， ，由二次函数对称性可知， ，不一定大于 ，
故C正确符合题意；D错误，不符合题意；
故选：C．
5．（2024·新疆·中考真题）如图，抛物线 与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且 ．当 的值最小时，点C的坐标为
．
【答案】
【分析】在y轴上取点 ，证明四边形 是平行四边形，得出 ，利用抛物线的对称性得
出 ，则 ，当E、C、F三点共线时， 最小，利用待定系数法求出直
线 解析式，然后把 代入，即可求出C的坐标．
【详解】解： ，
∴对称轴为 ，
如图，设抛物线与x轴另一个交点为F，
当 时， ，
∴ ，
当 时， ，
解得 ， ，
∴ ， ，
在y轴上取点 ，连接 ， ， ，
∴ ，
∵ ，∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵抛物线对称轴为 ，
∴ ，
∴ ，
当E、C、F三点共线时， 最小，
设直线 解析式为 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
当 时， ，
∴当 最小时，C的坐标为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，平行四边形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，两点之
间线段最短等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造平行四边形是解题的关键．
6．（2024·上海·中考真题）对于一个二次函数 （ ）中存在一点 ，使得
，则称 为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线 “开口大小”为
．
【答案】4
【分析】本题考查新定义运算与二次函数综合，涉及二次函数性质、分式化简求值等知识，读懂题意，理
解新定义抛物线的“开口大小”，利用二次函数图象与性质将一般式化为顶点式得到 ，按照定义
求解即可得到答案，熟记二次函数图象与性质、理解新定义是解决问题的关键．
【详解】解：根据抛物线的“开口大小”的定义可知 中存在一点 ，使得
，则 ，，
中存在一点 ，有 ，解得 ，则 ，
抛物线 “开口大小”为 ，
故答案为： ．
7．（2024·安徽·中考真题）已知抛物线 （b为常数）的顶点横坐标比抛物线 的顶
点横坐标大1．
(1)求b的值；
(2)点 在抛物线 上，点 在抛物线 上．
（ⅰ）若 ，且 ， ，求h的值；
（ⅱ）若 ，求h的最大值．
【答案】(1)b=4
(2)（ⅰ）3；（ⅱ）
【分析】题目主要考查二次函数的性质及化为顶点式，解一元二次方程，理解题意，熟练掌握二次函数的
性质是解题关键．
（1）根据题意求出 的顶点为 ，确定抛物线 （b为常数）的顶点横坐标为2，
即可求解；
（2）根据题意得出 ， ，然后整理化简
；（ⅰ）将 代入求解即可；（ⅱ）将 代入整理为顶点式，即可得出
结果．
【详解】（1）解： ，
∴ 的顶点为 ，
∵抛物线 （b为常数）的顶点横坐标比抛物线 的顶点横坐标大1，
∴抛物线 （b为常数）的顶点横坐标为2，
∴ ，∴b=4；
（2）由（1）得
∵点A(x ,y )在抛物线 上，点 在抛物线 上．
1 1
∴ ， ，
整理得：
（ⅰ）∵ ，
∴ ，
整理得： ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（ⅱ）将 代入 ，
整理得 ，
∵ ，
∴当 ，即 时，h取得最大值为 ．
►考向二 二次函数的图象与系数的关系
解题技巧/易错易混
二次函数图象的特征与a，b，c的关系
字母的符号 图象的特征
a>0 开口向上
a
a<0 开口向下
b=0 对称轴为y轴
b ab>0（a与b同号） 对称轴在y轴左侧
ab<0（a与b异号） 对称轴在y轴右侧
c=0 经过原点
c c>0 与y轴正半轴相交
c<0 与y轴负半轴相交8．（2024·湖北·中考真题）抛物线 的顶点为 ，抛物线与 轴的交点位于 轴上方．
以下结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图像与系数的关系．根据二次函数的解析式结合二次函
数的性质，画出草图，逐一分析即可得出结论．
【详解】解：根据题意画出函数 的图像，如图所示：
∵开口向上，与 轴的交点位于 轴上方，
∴ ， ，
∵抛物线与 轴有两个交点，
∴ ，
∵抛物线 的顶点为 ，
∴ ，
观察四个选项，选项C符合题意，
故选：C．
9．（2024·陕西·中考真题）已知一个二次函数 的自变量x与函数y的几组对应值如下表，
x … 0 3 5 …
y … 0 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向上 B．当 时，y的值随x的值增大而增大
C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线
【答案】D
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质．先利用待定系数法求得二次函数解
析式，再根据二次函数的性质逐一判断即可．
【详解】解：由题意得 ，解得 ，∴二次函数的解析式为 ，
∵ ，
∴图象的开口向下，故选项A不符合题意；
图象的对称轴是直线 ，故选项D符合题意；
当 时，y的值随x的值增大而增大，当x>1时，y的值随x的值增大而减小，故选项B不符合题意；
∵顶点坐标为 且经过原点，图象的开口向下，
∴图象经过第一、三、四象限，故选项C不符合题意；
故选：D．
10．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知抛物线 过点 与x轴交点的横坐标分别
为 ， ，且 ， ，则下列结论：
① ；
②方程 有两个不相等的实数根；
③ ；
④ ；
⑤ ．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键；由当 时，
，可判断①，由函数的最小值 ，可判断②，由抛物线的对称轴为直线 ，且
，可判断③，由 时， ，当 时， ，可判断④，由根与
系数的关系可判断⑤；
【详解】解：① 抛物线开口向上， ， ，
∴当 时， ，故①不符合题意；
②∵抛物线 过点 ，
∴函数的最小值 ，∴ 有两个不相等的实数根；
∴方程 有两个不相等的实数根；故②符合题意；
③∵ ， ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，且 ，
∴ ，而 ，
∴ ，
∴ ，故③不符合题意；
④∵抛物线 过点 ，
∴ ，
∵x=−1时， ，
即 ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故④符合题意；
⑤∵ ， ，
∴ ，
由根与系数的关系可得： ， ，
∴
∴ ，
∴ ，故⑤符合题意；
故选：C．►考向三 二次函数的最值
11．（2024·山东日照·中考真题）已知二次函数 图象的一部分如图所示，该函数图象
经过点 ，对称轴为直线 ．对于下列结论：① ；② ；③多项式 可因式
分解为 ；④当 时，关于 的方程 无实数根．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质，二次函数的最值问题，熟练掌握
二次函数图象与系数的关系是解题的关键．①根据图像分别判断 ， ， 的符号即可；②将点 代入
函数即可得到答案；③根据题意可得该函数与 轴的另一个交点的横坐标为5，即可得到
；④由 ， 得到 ， ，将 代入函数得 ，
从而推出当 时，该抛物线与直线 的图象无交点，即可判断．
【详解】解：由题图可知 ， ，
，故①正确；
当 时， ，即 ，故②正确；
二次函数与 轴的一个交点的横坐标为 ，对称轴为直线 ，
二次函数与 轴的另一个交点的横坐标为5，
多项式 ，故③错误；
当 时， 有最大值，即 ，
当 时，抛物线 与直线 的图象无交点，
即关于x的方程 无实数根，故④正确．
综上，①②④正确．故选：C．
12．（2024·四川眉山·中考真题）定义运算： ，例如 ，则函数
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次函数求最值，根据新定义，得到二次函数关系式，进而利用二次函数的性质，求最
值即可．
【详解】解：由题意得， ，
即 ，
当 时，函数 的最小值为 ．
故选：B．
13．（2024·四川乐山·中考真题）已知二次函数 ，当 时，函数取得最大值；
当 时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质是
解题的关键．
由 ，可知图象开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，当 时，
，即 关于对称轴对称的点坐标为 ，由当 时，函数取得最大值；当 时，函数取得
最小值，可得 ，计算求解，然后作答即可．
【详解】解：∵ ，
∴图象开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，
当 时， ，
∴ 关于对称轴对称的点坐标为 ，
∵当 时，函数取得最大值；当 时，函数取得最小值，
∴ ，
解得， ，
故选：C．
14．（2024·四川·中考真题）在完成劳动课布置的“青稞生长状态观察”的实践作业时，需要测量青稞穗长．
同学们查阅资料得知：由于受仪器精度和观察误差影响，n次测量会得到n个数据 ， ，…， ，如果a
与各个测量数据的差的平方和最小，就将a作为测量结果的最佳近似值．若5名同学对某株青稞的穗长测
量得到的数据分别是：5.9，6.0，6.0，6.3，6.3（单位： ），则这株青稞穗长的最佳近似值为 ．【答案】
【分析】根据题意，这些青稞穗的最佳近似长度可以取使函数 为
最小值的 的值，整理上式，并求出青稞穗长的最佳近似长度．
【详解】解：由题意，a与各个测量数据的差的平方和
，
时， 有最小值，
青稞穗长的最佳近似长度为 ．
故答案为： ．
15．（2024·广西·中考真题）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数 的最值
问题展开探究．
【经典回顾】二次函数求最值的方法．
（1）老师给出 ，求二次函数 的最小值．
①请你写出对应的函数解析式；
②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值；
【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整
理成下表：
a … 0 2 4 …
x … * 2 0 …
y的最小值 … * …
注：*为②的计算结果．
【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．”
甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取 ，就能得到y的最小值．”
乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜
想y的最小值中存在最大值．”
（2）请结合函数解析式 ，解释甲同学的说法是否合理？
（3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由．
【答案】（1）① ；②当 时， 有最小值为 （2）见解析（3）正确，
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键：
（1）①把 代入解析式，写出函数解析式即可；②将一般式转化为顶点式，进行求解即可；
（2）将一般式转化为顶点式，根据二次函数的性质进行解释即可；
（3）将一般式转化为顶点式，表示出 的最大值，再利用二次函数求最值即可．【详解】解：（1）①把 代入 ，得：
；
∴ ；
②∵ ，
∴当 时， 有最小值为 ；
（2）∵ ，
∵抛物线的开口向上，
∴当 时， 有最小值；
∴甲的说法合理；
（3）正确；
∵ ，
∴当 时， 有最小值为 ，
即： ，
∴当 时， 有最大值，为 ．
►考向四 待定系数法求二次函数的解析式
16．（2024·贵州·中考真题）如图，二次函数 的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是 ，
顶点坐标为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．二次函数图象的对称轴是直线
B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2
C．当 时，y随x的增大而减小
D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3
【答案】D【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数的性质，对称性，增
减性判断选项A、B、C，利用待定系数法求出二次函数的解析式，再求出与y轴的交点坐标即可判定选项
D．
【详解】解∶ ∵二次函数 的顶点坐标为 ，
∴二次函数图象的对称轴是直线 ，故选项A错误；
∵二次函数 的图象与x轴的一个交点的横坐标是 ，对称轴是直线 ，
∴二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是1，故选项B错误；
∵抛物线开口向下， 对称轴是直线 ，
∴当 时，y随x的增大而增大，故选项C错误；
设二次函数解析式为 ，
把 代入，得 ，
解得 ，
∴ ，
当 时， ，
∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3，故选项D正确，
故选D．
17．（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 与相交于点 ， ，
点 的坐标为 ，若点 在抛物线上，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了待定系数求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练求解二次函数的解析式是
解题的关键．先利用待定系数法求得抛物线 ，再令 ，得 ，解得x=−1或
，从而即可得解．
【详解】解：把点 ，点 代入抛物线 得，
，
解得 ，∴抛物线 ，
令 ，得 ，
解得x=−1或 ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
18．（2024·西藏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于 ，
两点，与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线l．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图（甲），设点C关于直线l的对称点为点D，在直线l上是否存在一点P，使 有最大值？若
存在，求出 的最大值；若不存在，请说明理由；
(3)如图（乙），设点M为抛物线上一点，连接 ，过点M作 交直线l于点N．若
，求点M的坐标．
【答案】(1)
(2) 存在最大值；最大值为
(3)点M的坐标为 或 或 或
【分析】（1）把 ， 代入抛物线求出a、b的值，即可得出抛物线的解析式；
（2）先求出点C的坐标为(0,3)，连接 、 、 ，根据轴对称的性质得出 ，
，得出当 最大时， 最大，根据当点A、C、P三点在同一直线上时，
最大，即当点P在点 时， 最大，求出最大值即可；
（3）过点M作 轴，过点C作 于点D，过点N作 于点E，设点M的坐标为：
，得出 ， ，证明 ，得出
，从而得出 ，分四种情况：当 时，当 时，当 时，
当 时，分别求出点M的坐标即可．【详解】（1）解：把 ， 代入 得：
，
解得： ，
∴抛物线的解析式为： ；
（2）解： 存在最大值；
把 代入 得： ，
∴点C的坐标为(0,3)，
∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
连接 、 、 ，如图所示：
∵点C关于直线l的对称点为点D，点P在直线l上，
∴ ，
∴ ，
∴当 最大时， 最大，
∴当点A、C、P三点在同一直线上时， 最大，即当点P在点 时， 最大，
∴ 最大值为： ．
（3）解：过点M作 轴，过点C作 于点D，过点N作 于点E，如图所示：
∵ ，∴ ，
∴ ，
设点M的坐标为： ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当 时， ， ，则：
，
解得： ， （舍去），
此时点M坐标为： ；
当 时， ， ，则：
，
解得： （舍去），
此时点M坐标为： ；
当 时， ， ，则：
，
解得： ， （舍去），
此时点M坐标为： ；
当 时， ， ，则：
，解得： ， （舍去），
此时点M坐标为： ；
综上分析可知：点M坐标为： 或 或 或 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，轴对称的性质，两点间距离公式，解
直角三角形的相关计算，解一元二次方程，相似三角形的判定和性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握
相关的判定和性质，注意进行分类讨论．
19．（2024·湖北·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点 和点B，
与y轴交于点C．
(1)求b的值；
(2)如图，M是第一象限抛物线上的点， ，求点M的横坐标；
(3)将此抛物线沿水平方向平移，得到的新抛物线记为L，L与y轴交于点N．设L的顶点横坐标为n，
的长为d．
①求d关于n的函数解析式；
②L与x轴围成的区域记为U，U与 内部重合的区域（不含边界）记为W．当d随n的增大而增大，
且W内恰好有两个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出n的取值范围．
【答案】(1)
(2)点M的横坐标为
(3)① ；② 或
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）设 ，作 轴于点 ，构造直角三角形，利用锐角三角函数或者相似建立关
于 的方程求解即可；
（3）①由二次函数平移可得出图象 的解析式为 ，从而得到
，再分类讨论去绝对值即可；
②根据题干条件得出整数点 ， ， ，再分别两两进行分类讨论，建立二次函数不等式即可解决．
【详解】（1）解： 二次函数 与 轴交于 ，，
解得： ；
（2） ，
二次函数表达式为： ，
令 ，解得 或 ，令 得 ，
， ， ，
设 ，
作 轴于点 ，如图，
，
，即 ，
解得 或 （舍去），
的横坐标为 ；
（3）① 将二次函数沿水平方向平移，
纵坐标不变为4，
图象 的解析式为 ，
，
，
；
②由①得 ，画出大致图象如下，随着 增加而增加，
或 ，
中含 ， ， 三个整点（不含边界），
当 内恰有2个整数点 ， 时，
当 时， ，当 时， ，
，
， 或 ，
，
或 ，
；
当 内恰有2个整数点 ， 时，
当 时， ，当 时， ，
，
或 ， ，
，
或 ，
；
当 内恰有2个整数点 ， 时，此种情况不存在，舍去．
综上所述， 的取值范围为 或 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，包括用待定系数法求二次函数表达式及二次函数与线段交点的问
题，也考查了二次函数与不等式，相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质以及数形结
合法是解题关键．
20．（2024·吉林·中考真题）小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图
（1）所示，输入x的值为 时，输出y的值为1；输入x的值为2时，输出y的值为3；输入x的值为3时，
输出y的值为6．(1)直接写出k，a，b的值．
(2)小明在平面直角坐标系中画出了关于x的函数图像，如图（2）．
Ⅰ．当y随x的增大而增大时，求x的取值范围．
Ⅱ．若关于x的方程 （t为实数），在 时无解，求t的取值范围．
Ⅲ．若在函数图像上有点P，Q（P与Q不重合）．P的横坐标为m，Q的横坐标为 ．小明对P，Q
之间（含P，Q两点）的图像进行研究，当图像对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，直接
写出m的取值范围．
【答案】(1)
(2)Ⅰ： 或 ；Ⅱ： 或 ；Ⅲ： 或
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图像与性质，待定系数法求函数解析式，一元二次方程的解，
正确理解题意，利用数形结合的思想是解决本题的额关键．
（1）先确定输入x值的范围，确定好之后将x，y的值代入所给的y关于x的函数解析式种解方程或方程组
即可；
（2）Ⅰ：可知一次函数解析式为： ，二次函数解析式为： ，当 时，
，对称为直线 ，开口向上，故 时，y随着x的增大而增大；当 时， ，
，故 时，y随着x的增大而增大；
Ⅱ：问题转化为抛物线 与直线 在 时无交点，考虑两个临界状态，当 时，抛
物线 与直线 在 时正好一个交点，因此当 时，抛物线 与直线
在 时没有交点；当 ， ，故当 时，抛物线 与直线 在
时正好一个交点，因此当 时，抛物线 与直线 在 时没有交点，当 或
时，抛物线 与直线 在 时没有交点，即方程 无解；
Ⅲ： 可求点P、Q关于直线 对称，当 ， ，当 时， ，当图像对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，而当 时， ， 时， ，故①当 ，由题意
得： ，则 ；②当 ，由题意得： ，则 ，综上：
或 ．
【详解】（1）解：∵ ，
∴将 ， 代入 ，
得： ，
解得： ，
∵ ，
∴将 ， 代入
得： ，
解得： ；
（2）解：Ⅰ，∵ ，
∴一次函数解析式为： ，二次函数解析式为：
当 时， ，对称为直线 ，开口向上，
∴ 时，y随着x的增大而增大；
当 时， ， ，
∴ 时，y随着x的增大而增大，
综上，x的取值范围： 或 ；
Ⅱ，∵ ，
∴ ，在 时无解，
∴问题转化为抛物线 与直线 在 时无交点，
∵对于 ，当 时，
∴顶点为 ，如图：∴当 时，抛物线 与直线 在 时正好一个交点，
∴当 时，抛物线 与直线 在 时没有交点；
当 ， ，
∴当 时，抛物线 与直线 在 时正好一个交点，
∴当 时，抛物线 与直线 在 时没有交点，
∴当 或 时，抛物线 与直线 在 时没有交点，
即：当 或 时，关于x的方程 （t为实数），在 时无解；
Ⅲ：∵ ，
∴ ，
∴点P、Q关于直线 对称，
当 ， ，当 时， ，
∵当图像对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，而当 时， ， 时， ，
∴①当 ，如图：由题意得： ，
∴ ；
②当 ，如图：
由题意得： ，
∴ ，
综上： 或 ．
►考向五 二次函数图象的平移
21．（2024·江苏南通·中考真题）将抛物线 向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据平移规
律，上加下减，左加右减，可得顶点式解析式．
【详解】解∶ 抛物线 向右平移3个单位后得到新抛物为
，
∴新抛物线的顶点坐标为 ，
故选∶D．
22．（2024·内蒙古包头·中考真题）将抛物线 向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数的平移以及顶点式，根据平移的规律“上加下减．左加右减”可得出平移
后的抛物线为 ，再把 化为顶点式即可．
【详解】解：抛物线 向下平移2个单位后，
则抛物线变为 ，
∴ 化成顶点式则为 ，
故选：A．
23．（2024·江苏连云港·中考真题）已知抛物线 （a、b、c是常数， ）的顶点为 ．
小烨同学得出以下结论：① ；②当 时， 随 的增大而减小；③若 的一个根为
3，则 ；④抛物线 是由抛物线 向左平移1个单位，再向下平移2个单位得
到的．其中一定正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
【答案】B
【分析】根据抛物线的顶点公式可得 ，结合 ， ，由此可判断①；由二次函数的增
减性可判断②；用a表示b、c的值，再解方程即可判断③，由平移法则即可判断④．
【详解】解：根据题意可得： ，
，，
即 ，
，
，
的值可正也可负，
不能确定 的正负；故①错误；
，
抛物线开口向下，且关于直线 对称，
当 时， 随 的增大而减小；故②正确；
，
抛物线为 ，
，
，故③正确；
抛物线 ，
将 向左平移1个单位得： ，
抛物线 是由抛物线 向左平移1个单位得到的，故④错误；
正确的有②③，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的平移，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一元
二次方程，一元二次方程的解的定义，用a表示b、c的值是本题的关键．
24．（2024·内蒙古·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 ．
(1)若 ，则 _________，通过配方可以将其化成顶点式为_________；
(2)已知点 在抛物线上，其中 ．若 且 ，比较 与 的大小关系，并
说明理由；
(3)若 ，将抛物线向上平移4个单位得到的新抛物线与直线 交于A，B两点，直线与y轴交于
点C，点E为 中点，过点E作x轴的垂线，垂足为点F，连接 ， ．求证： ．
【答案】(1)2，
(2) ，理由见解析
(3)证明见解析
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象的平移、两点之间的距离公式等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
（1）将点 代入二次函数的解析式即可得 的值，再利用完全平方公式进行配方，化成顶点式即可得；
（2）先求出 ，从而可得抛物线的对称轴 ，再求出 ，得出点 到对称轴的距
离大于 到对称轴的距离，然后根据抛物线的开口向上即可得；
（3）先分别求出点 的坐标，再利用两点之间的距离公式即可得证．
【详解】（1）解：∵抛物线 经过点 ，且 ，
∴将点 代入 得： ，
解得 ，
则 化成顶点式为 ，
故答案为：2， ．
（2）解： ，理由如下：
∵抛物线 经过点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
二次函数 的对称轴为直线 ，
，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴点 到对称轴的距离大于 到对称轴的距离，
又∵抛物线的开口向上，
∴ ．
（3）证明：若 ，则 ，
将 向上平移4个单位得到新抛物线 ，
∵抛物线 与直线 交于点 ，∴设点 的坐标为 ，
将 代入 得： ，
∴ ，
∵点 为 中点，
∴ ，
轴于点 ，
，
∴ ，
，
∴ ．
25．（2024·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，已知平移抛物线 后得到的新抛物线经过
和 ．
(1)求平移后新抛物线的表达式；
(2)直线 （ ）与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q．
①如果 小于3，求m的取值范围；
②记点P在原抛物线上的对应点为 ，如果四边形 有一组对边平行，求点P的坐标．
【答案】(1) 或 ；(2)① ；② ．
【分析】（1）设平移抛物线 后得到的新抛物线为 ，把 和 代入可得
答案；
（2）①如图，设 ，则 ， ，结合 小于3，可得 ，结
合 ，从而可得答案；②先确定平移方式为，向右平移2个单位，向下平移3个单位，由题意
可得： 在 的右边，当 时，可得 ，结合平移的性质可得答案如图，当 时，
则 ，过 作 于 ，证明 ，可得 ，设 ，则
， ， ，再建立方程求解即可.
【详解】（1）解：设平移抛物线 后得到的新抛物线为 ，
把 和 代入可得：
，
解得： ，
∴新抛物线为 ；
（2）解：①如图，设 ，则 ，∴ ，
∵ 小于3，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
②∵ ，
∴平移方式为，向右平移2个单位，向下平移3个单位，
由题意可得： 在 的右边，当 时，
∴ 轴，
∴ ，
∴ ，由平移的性质可得： ，即 ；
如图，当 时，则 ，
过 作 于 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ， ，
∴ ，
解得： （不符合题意舍去）；
综上： ；
【点睛】本题属于二次函数的综合题，抛物线的平移，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数
的图象与性质 ，相似三角形的判定与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键.
26．（2024·山东·中考真题）在平面直角坐标系 中，点 在二次函数 的图
像上，记该二次函数图像的对称轴为直线 ．
(1)求 的值；
(2)若点 在 的图像上，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次
函数的图像．当 时，求新的二次函数的最大值与最小值的和；
(3)设 的图像与 轴交点为 ， ．若 ，求 的取值范围．
【答案】(1)(2)新的二次函数的最大值与最小值的和为 ；
(3)
【分析】（1）把点 代入 可得 ，再利用抛物线的对称轴公式可得答案；
（2）把点 代入 ，可得： ，可得抛物线为 ，将该二
次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为： ，再利用二次
函数的性质可得答案；
（3）由根与系数的关系可得 ， ，结合 ， ，再
建立不等式组求解即可.
【详解】（1）解：∵点 在二次函数 的图像上，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线为： ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ；
（2）解：∵点 在 的图像上，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线为 ，
将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为：
，
∵ ，
∴当 时，函数有最小值为 ，
当 时，函数有最大值为
∴新的二次函数的最大值与最小值的和为 ；
（3）∵ 的图像与 轴交点为 ， ．
∴ ， ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ 即 ，
解得： .
【点睛】本题属于二次函数的综合题，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，一元二
次方程根与系数的关系，熟练的利用各知识点建立方程或不等式组解题是关键.
考点二 二次函数的应用
►考向一 二次函数与一元二次方程
解题技巧/易错易混
1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．
2．ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标．
3．（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；
（2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；
（3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．
27．（2024·内蒙古·中考真题）下列说法中，正确的个数有（ ）
二次函数 的图象经过 两点，m，n是关于x的元二次方程
① 的两个实数根，且 ，则 恒成立．
在半径为r的 中，弦 互相垂直于点P，当 时，则 ．
② 为平面直角坐标系中的等腰直角三角形且 ，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，
③
点C是反比例函数 的图象上一点，则 ．
已知矩形的一组邻边长是关于x的一元二次方程 的两个实数根，且矩形的周长
④值与面积值相等，则矩形的对角线长是 ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】利用二次函数与一元二次方程的关系及二次函数的图象和性质即可判断①；过点O作
，垂足分别为M，N，连接 ，先证明四边形 是矩形，再利用勾股定理，
垂径定理求解即可判断②；先证明 ，进而得出点C的坐标，即可求解，进而判断③；
先由一元二次方程根与系数的关系得出 的值，再根据题意得出一元二次方程，求出a的值，进而求解即可判断④．
【详解】∵二次函数 的图象经过 两点，
∴当 时， ，
∵m，n是关于x的元二次方程 的两个实数根，且 ，
∴ ，故①正确；
如图，过点O作 ，垂足分别为M，N，连接 ，
∴M、N分别为 的中点， ，
∵弦 互相垂直，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理可得 ，
∴ ，故②正确；
当点C在第一象限时，过点C作 于点D，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵点A的坐标为(1,0)，点B的坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵点C是反比例函数 的图象上一点，
∴ ；
当点C在第二象限时，同理可得
∴ ；
综上， 或 ，故③错误；
设矩形两边分别为m，n，
∵矩形的一组邻边长是关于x的一元二次方程 的两个实数根，且矩形的周长值与面
积值相等，
∴ ，
∴ ，
解得 （负舍），
∴ ，
∵矩形对角线 ，故④正确；
综上，正确的个数有3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的图象和性质，勾股定理，垂径定理，全
等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，反比例函数的解析式，一元二次方程根与系数的关系等，熟
练掌握知识点是解题的关键．
28．（2024·山东泰安·中考真题）如图所示是二次函数 的部分图象，该函数图象的对
称轴是直线 ，图象与 轴交点的纵坐标是2，则下列结论：① ；②方程 一定有
一个根在 和 之间；③方程 一定有两个不相等的实数根；④ ．其中，正确结
论的个数有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题主要考查的是图象法求一元二次方程的近似值、抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数
的关系、二次函数与方程的关系等知识点，掌握二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系是解题的关
键．
根据抛物线与坐标轴的交点情况、二次函数与方程的关系、二次函数的性质逐个判断即可．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ,
∴ ，故①正确；
∵抛物线 的对称轴为直线 ，与x轴的一个交点在2、3之间，
∴与x轴的另一个交点在 、0之间，
∴方程 一定有一个根在 和0之间，故②错误；
∵抛物线 与直线 有两个交点，
∴方程 一定有两个不相等的实数根，故③正确；
∵抛物线与x轴的另一个交点在 ，0之间，
∴ ，
∵图象与y轴交点的纵坐标是2，
∴ ，
∴ ，
∴ ．故④错误．
综上，①③正确，共2个．
故选：B．
29．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A、B
两点， ，与y轴交点C的纵坐标在 ～ 之间，根据图象判断以下结论：① ；②
；③若 且 ，则 ；④直线 与抛物线的一个交点 ，则 ．其中正确的结论是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数和一元二次方程的关系，掌握二次函数和一元二次方
程的关系是解题的关键，
根据题意得到抛物线的解析式为 ，即可得到 ， ，代入即可判断①；根据
判断②；把 代入 ，然后利用因式分解法解方程即可判断③；然后把
， 代入解方程求出m的值判断④．
【详解】解：设抛物线的解析式为： ，
∴ ， ，
∴ ，故①正确；
∵点C的纵坐标在 ～ 之间，
∴ ，即 ，
∴ ，故②正确；
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，故③错误；
∵令 相等，则
∴ ，解得 （舍）， ，
∴ ，故④正确；
故选A．30．（2024·吉林长春·中考真题）若抛物线 （ 是常数）与 轴没有交点，则 的取值范围是
．
【答案】
【分析】本题主要考查了抛物线 与x轴的交点问题，掌握抛物线 与x轴没有
交点与 没有实数根是解题的关键．
由抛物线与x轴没有交点，运用根的判别式列出关于c的一元一次不等式求解即可．
【详解】解：∵抛物线 与x轴没有交点，
∴ 没有实数根，
∴ ， ．
故答案为： ．
►考向二 二次函数与不等式
31．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数 的图象与 轴交于 ，
，其中 ．结合图象给出下列结论：
① ；② ；
③当x>1时， 随 的增大而减小；
④关于 的一元二次方程 的另一个根是 ；
⑤ 的取值范围为 ．其中正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的图象与性质判断结论①②③正误；由二次函数与一元二次方程的关系判断结论④；
利用结论④及题中条件 可求得 的取值范围，再由结论② 可得 取值范围，判断⑤是否
正确．【详解】解：由图可得： ，对称轴 ，
，
，①错误；
由图得，图象经过点 ，将 代入y=ax2+bx+c可得 ，
，②正确；
该函数图象与 轴的另一个交点为 ，且 ，
对称轴 ，
该图象中，当 时， 随着 的增大而减小，当 时， 随着 的增大而增大，
当x>1时， 随着 的增大而减小，
③正确；
， ，
关于 的一元二次方程 的根为
，
，
， ，
④正确；
，即 ，
解得 ，
即 ，
，
，
⑤正确．
综上，②③④⑤正确，共 个．
故选： ．
【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质、抛物线与 轴的交点问题、一元二次方程的根与系
数的关系、二次函数与不等式的关系等知识，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．►考向三 实际问题与二次函数
32．（2024·山东济南·中考真题）如图1， 是等边三角形，点 在边 上， ，动点 以每秒
1个单位长度的速度从点 出发，沿折线 匀速运动，到达点 后停止，连接 ．设点 的运动时
间为 ， 为 ．当动点 沿 匀速运动到点 时， 与 的函数图象如图2所示．有以下四个结论：
① ；
②当 时， ；
③当 时， ；
④动点 沿 匀速运动时，两个时刻 ， 分别对应 和 ，若 ，则 ．其中
正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①② C．③④ D．①②④
【答案】D
【分析】由图知当动点 沿 匀速运动到点 时， ，作 于点 ，利用解直角三角形和
勾股定理，即可得到 ，即可判断①，当 时，证明 是等边三角形，即可判断②，当 时，
且 时， 最小，求出最小值即可判断③，利用勾股定理分别表示出 和 进行比较，即可判断
④．
【详解】解：由图知当动点 沿 匀速运动到点 时， ，
作 于点 ，
是等边三角形，点 在边 上， ，
， ，
， ，，
，
故①正确；
当 时， ， ，
，
是等边三角形，
，
，
故②正确；
当 时，且 时， 最小，
， ，
，
最小为 ，即 能取到 ，
故③错误；
动点 沿 匀速运动时，
， ，
， ， ，
；
当 时， ， ，
；，
；
故④正确；
综上所述，正确的有①②④，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数综合，等边三角形性质，解直角三角形，勾股定理，涉及到动点问题、读懂
函数图象、正确理解题意，利用数形结合求解是解本题的关键．
33．（2024·天津·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 （单位： ）与小球的运动时间
（单位： ）之间的关系式是 ．有下列结论：
小球从抛出到落地需要 ；
①小球运动中的高度可以是 ；
②小球运动 时的高度小于运动 时的高度．
③其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的图像和性质，令 解方程即可判断 ；配方成顶点式即可判断 ；把
和 代入计算即可判断 ．
① ②
【详解】解：令 ，则 ③ ，解得： ， ，
∴小球从抛出到落地需要 ，故 正确；
∵ ，①
∴最大高度为 ，
∴小球运动中的高度可以是 ，故 正确；
当 时， ；当② 时， ；
∴小球运动 时的高度大于运动 时的高度，故 错误；
故选C．
③
34．（2024·广西·中考真题）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度 是 ，出手后实心
球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是 ，高度是 ．若实心球落地点为M，则
．
【答案】【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，设抛物线为 ，把点 ，代入即可求出解
析式；当 时，求得x的值，即为实心球被推出的水平距离 ．
【详解】解：以点O为坐标原点，射线 方向为x轴正半轴，射线 方向为y轴正半轴，建立平面直
角坐标系，
∵出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是 ，高度是 ．
设抛物线解析式为： ，
把点 代入得： ，
解得： ，
∴抛物线解析式为： ；
当 时， ，
解得， （舍去）， ，
即此次实心球被推出的水平距离 为 ．
故答案为：
35．（2024·甘肃·中考真题）如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2
是棚顶的竖直高度y（单位： ）与距离停车棚支柱 的水平距离x（单位： ）近似满足函数关系
的图象，点 在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作
长 ，高 的矩形，则可判定货车 完全停到车棚内（填“能”或“不能”）．
【答案】能
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意求出当 时，y的值，若此时y的值大于 ，
则货车能完全停到车棚内，反之，不能，据此求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
在 中，当 时， ，
∵ ，∴可判定货车能完全停到车棚内，
故答案为：能．
36．（2024·湖北·中考真题）如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实
验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位：m)，
与墙平行的一边长为y(单位：m)，面积为S(单位： )．
(1)直接写出y与x，S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围)；
(2)矩形实验田的面积S能达到 吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．
(3)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？
【答案】(1) ，
(2)
(3)当 时，实验田的面积S最大，最大面积是
【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数的实际应用，计算 的取值范围是解题的关键．
（1）根据 ，求出 与 的函数解析式，根据矩形面积公式求出 与 的函数解析式；
（2）先求出 的取值范围，再将 代入函数中，求出 的值；
（3）将 与 的函数配成顶点式，求出 的最大值．
【详解】（1）解： ，
，
，
；
（2） ，
，
，
，
当 时， ，
，
，
，
当 时，矩形实验田的面积 能达到 ；
（3） ，
当 时， 有最大值 ．37．（2024·青海·中考真题）在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡 ，从点O处抛出一个小球，落
到点 处．小球在空中所经过的路线是抛物线 的一部分．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求抛物线最高点的坐标；
(3)斜坡上点B处有一棵树，点B是 的三等分点，小球恰好越过树的顶端C，求这棵树的高度．
【答案】(1)
(2)
(3)这棵树的高为2
【分析】本题考查了二次函数的应用，其中涉及到待定系数法求二次函数的解析式，二次函数顶点坐标的
求解方法，相似三角形的判定和性质，难度适中利用数形结合与方程思想是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）配成顶点式，利用二次函数的性质即可求解；
（3）过点A、B分别作x轴的垂线，证明 ，利用相似三角形的性质求得 ， ，
据此求解即可．
【详解】（1）解：∵点 是抛物线 上的一点，
把点 代入 中，得： ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：由（1）得： ，
∴抛物线最高点对坐标为 ；
（3）解：过点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别是点E、D，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵点B是 的三等分点，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
解得 ，
∴点C的横坐标为1，
将 代入 中， ，
∴点C的坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
答：这棵树的高为2．
38．（2024·广东·中考真题）广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额
居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外．若按每吨5
万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨．该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值．（题中“元”为人民币）
【答案】当定价为4.5万元每吨时，利润最大，最大值为312.5万元
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，设每吨降价x万元，每天的利润为w万元，根据利润 每
吨的利润 销售量列出w关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：设每吨降价x万元，每天的利润为w万元，
由题意得，
，
∵ ，
∴当 时，w有最大值，最大值为 ，
∴ ，
答：当定价为 万元每吨时，利润最大，最大值为 万元．
39．（2024·天津·中考真题）将一个平行四边形纸片 放置在平面直角坐标系中，点O(0,0)，点
，点 在第一象限，且 ．
(1)填空：如图①，点 的坐标为______，点 的坐标为______；
(2)若 为 轴的正半轴上一动点，过点 作直线 轴，沿直线 折叠该纸片，折叠后点 的对应点 落
在 轴的正半轴上，点 的对应点为 ．设 ．
①如图②，若直线 与边 相交于点 ，当折叠后四边形 与 重叠部分为五边形时，
与 相交于点 ．试用含有 的式子表示线段 的长，并直接写出 的取值范围；
②设折叠后重叠部分的面积为 ，当 时，求 的取值范围（直接写出结果即可）．
【答案】(1)
(2)① ；②
【分析】（1）根据平行四边形的性质，得出 结合勾股定理
，即可作答．
（2）①由折叠得 ， ，再证明 是等边三角形，运用线段的和差关系列式化简， ，考虑当 与点 重合时，和当 与点B重合时，分别作图，得出 的
取值范围，即可作答．
②根据①的结论，根据解直角三角形的性质得出 ，再分别以 时， 时， ，
分别作图，运用数形结合思路列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：如图：过点C作
∵四边形 是平行四边形， ，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为： ，
（2）解：①∵过点 作直线 轴，沿直线 折叠该纸片，折叠后点 的对应点 落在 轴的正半轴上，
∴ ， ，
∴
∵
∴
∴
∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形∴
∵
∴
∴ ；
当 与点 重合时，
此时 与 的交点为E与A重合，
如图：当 与点B重合时，
此时 与 的交点为E与B重合，
∴ 的取值范围为 ；
②如图：过点C作
由（1）得出 ，
∴ ，∴
当 时，
∴ ，开口向上，对称轴直线
∴在 时， 随着 的增大而增大
∴ ；
当 时，如图：
∴ ， 随着 的增大而增大
∴在 时 ；在 时 ；
∴当 时，
∵当 时，过点E作，如图：
∵由①得出 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，∴
∵
∴开口向下，在 时， 有最大值
∴
∴在 时，
∴
则在 时， ；
当 时，如图，
∴ ， 随着 的增大而减小
∴在 时，则把 分别代入
得出 ，
∴在 时，综上：
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形的性质，折叠性质，二次函数的图象性质，正确掌
握相关性质内容是解题的关键．
40．（2024·贵州·中考真题）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价
不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值．
销售单价
… 12 14 16 18 20 …
x/元
销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 …
(1)求y与x的函数表达式；
(2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？
(3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日
销售获得的最大利润为392元，求m的值．
【答案】(1)
(2)糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元
(3)2
【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数
的性质求解即可；
（3）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量-m×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用
二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解∶设y与x的函数表达式为 ，
把 ， ； ， 代入，得 ，
解得 ，
∴y与x的函数表达式为 ；
（2）解：设日销售利润为w元，
根据题意，得
，
∴当 时， 有最大值为450，
∴糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元；（3）解：设日销售利润为w元，
根据题意，得
，
∴当 时， 有最大值为 ，
∵糖果日销售获得的最大利润为392元，
∴ ，
化简得
解得 ，
当 时， ,
则每盒的利润为： ,舍去，
∴m的值为2．
41．（2024·河南·中考真题）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度 满足关系式 ，其
中 是物体运动的时间， 是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖
直向上发射小球．
(1)小球被发射后_________ 时离地面的高度最大（用含 的式子表示）．
(2)若小球离地面的最大高度为 ，求小球被发射时的速度．
(3)按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的时
间为 ．”已知实验楼高 ，请判断他的说法是否正确，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)小明的说法不正确，理由见解析
【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：
（1）把函数解析式化成顶点式，然后利用二次函数的性质求解即可；
（2）把 ， 代入 求解即可；
（3）由（2），得 ，把 代入，求出t的值，即可作出判断.
【详解】（1）解：，
∴当 时，h最大，
故答案为： ；
（2）解：根据题意，得
当 时， ，
∴ ，
∴ （负值舍去）；
（3）解：小明的说法不正确．
理由如下：
由（2），得 ，
当 时， ，
解方程，得 ， ，
∴两次间隔的时间为 ，
∴小明的说法不正确．
42．（2024·新疆·中考真题）某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，
销售额 （万元）与销售量x（吨）的函数解析式为 ；成本 （万元）与销售量x（吨）的函数图象
是如图所示的抛物线的一部分，其中 是其顶点．
(1)求出成本 关于销售量x的函数解析式；
(2)当成本最低时，销售产品所获利润是多少？
(3)当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？（注：利润=销售额 成本）
【答案】(1)(2)销售产品所获利润是 万元；
(3)当销售量 吨时，获得最大利润，最大利润为： 万元；
【分析】（1）设抛物线为： ，再利用待定系数法求解即可；
（2）先求解当 时，成本的最小值为 ，再计算销售额，从而可得答案；
（3）设销售利润为 万元，可得 ，再利用二次函数的性质解题即可；
【详解】（1）解：∵成本 （万元）与销售量x（吨）的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中
是其顶点．
∴设抛物线为： ，
把 代入可得： ，
解得： ，
∴抛物线为 ；
（2）解：∵ ，
∴当 时，成本最小值为 ，
∴ ，
∴销售产品所获利润是 （万元）；
（3）解：设销售利润为 万元，
∴
，
当 时，获得最大利润，
最大利润为： （万元）；
【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，一次函数的应用，二次函数的性质，待定系数法的含义，熟
练的建立二次函数的关系式是解本题的关键．43．（2024·陕西·中考真题）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索 与缆索 均呈抛物线
型，桥塔 与桥塔 均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线 为x轴，以桥塔 所在直线
为y轴，建立平面直角坐标系．
已知：缆索 所在抛物线与缆索 所在抛物线关于y轴对称，桥塔 与桥塔 之间的距离 ，
，缆索 的最低点P到 的距离 （桥塔的粗细忽略不计）
(1)求缆索 所在抛物线的函数表达式；
(2)点E在缆索 上， ，且 ， ，求 的长．
【答案】(1) ；
(2) 的长为 ．
【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，根据题意求得函数解析式是解题的
关键．
（1）根据题意设缆索 所在抛物线的函数表达式为 ，把 代入求解即可；
（2）根据轴对称的性质得到缆索 所在抛物线的函数表达式为 ，由 ，把
代入求得 ， ，据此求解即可．
【详解】（1）解：由题意得顶点P的坐标为 ，点A的坐标为 ，
设缆索 所在抛物线的函数表达式为 ，
把 代入得 ，
解得 ，
∴缆索 所在抛物线的函数表达式为 ；
（2）解：∵缆索 所在抛物线与缆索 所在抛物线关于y轴对称，
∴缆索 所在抛物线的函数表达式为 ，
∵ ，
∴把 代入得， ，解得 ， ，
∴ 或 ，
∵ ，
∴ 的长为 ．
44．（2024·山西·中考真题）大棚经济“金钥匙”，激活乡村产业振兴新引擎．刘叔叔计划在自家菜地修建一
个蔬菜大棚，图 是其横截面的示意图，其中 ， 为两段垂直于地面的墙体，两段墙体之间的水平距
离为 米，大棚的顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑．已知骨架的一端固定在离地面 米的墙体 处，另
一端固定在墙体 处，骨架最高点 到墙体 的水平距离为 米，且点 离地面的高度为 米．
数学建模
（1）在图 中，以 为原点，水平直线 为 轴， 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系．设大棚顶
部骨架上某处离地面的高度为 （米），该处离墙体 的水平距离为 （米），求 与 之间的函数关系
式；
问题解决
（2）为了大棚顶部更加稳固，刘叔叔计划在棚顶安装“丁”字形铝合金支架，如图2所示，支架可以看成是
由线段 ， 组成，其中点 ， 在顶棚抛物线形骨架上， 于点 ．为不影响耕作，将点E
到地面的距离定为 米．
点 的坐标为______， 的长为______；
请你计算做一个“丁”字形支架所需铝合金材料的最大长度．（结果精确到 米．参考数据：
）
【答案】（ ） ；（ ） ， ； 米．
【分析】（ ）根据题意得，抛物线的顶点 的坐标为 ，设 与 之间的函数关系式为
，然后用待定系数法即可求解；
（ ） 当 时， ，解得： 即可求出 ，再用两点之间的距离公式
求出 ；②过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，交 于点 ，求出 所在直线的函数表达
式 ，设点 的横坐标为 ，则 ，当 时， 最大
，再根据 ，得出 ，最后根据线段和差即可求
解；
本题考查了二次函数的图象及性质，一次函数的图象及性质，解直角三角形，熟练掌握知识点的应用是解
题的关键．
【详解】解：（ ）根据题意得，抛物线的顶点 的坐标为 ，
设 与 之间的函数关系式为 ，
由题意得，点 的坐标为 ，
将 代入 ，
得 ，解，得 ，
，
即 与 之间的函数关系式为 ，
（ ） 由（ ）得 ，
当 时， ，解得： 或 （舍去），
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ， ；
②过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，交 于点 ，
设 所在直线的函数表达式为 ，
将 分别代入 ，得 解，得 ，
∴ 所在直线的函数表达式为 ，
设点 的横坐标为 ，
点 在拋物线 的图象上，
， ，
，
，且 ，
有最大值，当 时， 最大 ，
轴，
，
又 ， ， ，
，
，
当 时， 有最大值 ，
当 时， 有最大值 ，
此时， 米．
∴需要铝合金材料的最大长度约为 米．
45．（2024·江西·中考真题）如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数
刻画，斜坡可以用一次函数 刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高
度y（米）的变化规律如下表：
x 0 1 2 m 4 5 6 7 …
y 0 6 8 n …(1)① ______， ______；
②小球的落点是A，求点A的坐标．
(2)小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系 ．
①小球飞行的最大高度为______米；
②求v的值．
【答案】(1) 3，6； ；
① ②
(2) 8，
【分析】本题主要考查二次函数的应用以及从图象和表格中获取数据，
① ②
（1）①由抛物线的顶点坐标为 可建立过于a，b的二元一次方程组，求出a，b的值即可；②联立两
函数解析式求解，可求出交点A的坐标；
（2）①根据第一问可知最大高度为8米；
②将小球飞行高度与飞行时间的函数关系式化简为顶点式即可求得v值．
【详解】（1）解：①根据小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律表可知：抛
物线顶点坐标为 ，
∴ ，
解得： ，
∴二次函数解析式为 ，
当 时， ，
解得： 或 （舍去），
∴ ，
当 时， ，故答案为：3，6．
②联立得： ，
解得： 或 ，
∴点A的坐标是 ，
（2）①由题干可知小球飞行最大高度为8米，
故答案为：8；
② ，
则 ，
解得 （负值舍去）．
一、单选题
1．（2024·上海·模拟预测）下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．任何函数都与x轴有交点 B．一次函数，二次函数都与y轴有交点
C．反比例函数与y轴的交点为（0，0） D．原点不在坐标轴上
【答案】B
【分析】本题考查了正比例函数与一次函数，二次函数，反比例函数的定义，正确把握它们的区别与联系
是解题的关键．
直接利用一次函数，二次函数，反比例函数的定义判断即可．
【详解】解：A、任何函数都不一定与x轴有交点，原说法不正确，故此选项不符合题意．
B、一次函数，二次函数都与y轴有交点，原说法正确，故此选项符合题意．
C、反比例函数与y轴不会有交点，原说法不正确，故此选项不符合题意．
D、原点是坐标轴上的点，原说法不正确，故此选项不符合题意．
故选：B．
2．（2024·广东·模拟预测）关于二次函数 ，以下说法错误的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴为直线C．有最小值 D．与y轴交点为
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质逐一进行判断即可．
【详解】解： ，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线 ，当 时，函数值最小为 ，当 时， ，
∴抛物线与y轴交点为 ；
故只有选项B错误；
故选B．
3．（2024·河南·三模）如图所示，在边长为1的正方形 中，点P是 边上不与端点重合的一动点，
连接 、过点P作 交正方形外角的平分线 于点Q，则有关 面积的说法正确的为
（ ）．
A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最大值为 D．有最小值为
【答案】C
【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、二次函数的应用等知识点，求出
面积的解析式成为解题的关键．
如图：连接 ，过P作 交 于G，过Q作 于K，先证明 可得 ，
再证 ，进而得到 ，设 ，则 ，进
而得到 ，最后根据二次函数的性质求最值即可解答．
【详解】解：如图：连接 ，过P作 交 于G，过Q作 于K，
∵四边形 为正方形；
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵正方形外角的平分线 ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴当 时，即 时， 面积有最大值 ．
故选C．
4．（2024·上海·模拟预测）新定义： 与 被称为“同族二次函数”，
若 和 是同族二次函数，则二次函数 的开口方向和最值为（ ）
A．开口向上，最小值为2018 B．开口向下，最大值为2018
C．开口向上，最小值为2019 D．开口向下，最大值为2019
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的性质．根据“同族二次函数”的定义可求出a，b的值，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ 和 是同族二次函数，
∴ ，
解得： ，
∴二次函数 ，
∴二次函数 的开口方向向上，有最小值2019．
故选：C
5．（2024·湖北·模拟预测）如图，已知开口向下的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点 ，对称轴为直
线x=2．则下列结论正确的有（ ）
① ；② ；③方程 的两个根为 ；④抛物线上有两点P(x ,y )
1 1
和Q(x ,y )，若 且 ，则
2 2
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】D
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与 轴交点位置判断①；由抛物线的对称性可判断②；
由二次函数与方程的关系，以及根与系数的关系可判断③；由二次函数的性质可判断④．本题考查二次函
数图象与系数的关系，二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
【详解】解： 抛物线开口向下，
，抛物线交 轴于正半轴，
，
，
，
，故①正确；
抛物线对称轴为直线 ， 时， ，
时， ，
，故②正确；
由 可得方程的解 ， ，
抛物线 与 轴交于点 ，对称轴为直线 ，
抛物线与 轴另一个交点为 ，
方程 的两个根为 ，6，
， ，
，
而若方程 的两个根为 ， ，
则 ， ，故③错误；
抛物线开口向下，对称轴为直线 ，
若 且 ，
则点 到对称轴的距离小于 到直线的距离，
，故④错误．
故选：D．
6．（2024·湖北·模拟预测）已知关于 的二次函数 ，当 时， 随 的增大而减小．
且当 时， 有最大值2．则 的值为（ ）
A． B．1 C．−1 D．
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先求出对称轴，根据增减性确定 的符号，再根据最值求出
的值即可．
【详解】解：∵ ，∴对称轴为直线 ，
∵当 时， 随 的增大而减小，
∴抛物线的开口向上，
∴ ，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵ ， ，
∴当 时， 有最大值为 ，
解得： 或 （舍去）；
故选B．
7．（2024·浙江·模拟预测）如图是抛物线 的部分图象，其顶点为M，与y轴交于点(0,3)，
与x轴的一个交点为A，连接 ， ．以下结论：①抛物线经过点(−2,3)；② ；③ ；④
当 时， ．其中正确的是（ ）（填序号）
A．①④ B．①③④ C．①②④ D．①②③
【答案】A
【分析】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质，根据题目找出抛物线的解析式是解题的关键，再利
用其性质求解．
根据抛物线 与y轴交于点 ，可以求得m的值，从而可以判断②是否正确；然后将
代入求得的函数解析式，即可判断①是否正确；然后令 ，求出x的值，即可得到点A的坐标，
再根据抛物线解析式可以得到点M的坐标，从而可以求得 的面积，从而可以判断③是否正确；再根
据二次函数的性质，即可判断④是否正确．
【详解】解：∵抛物线 与y轴交于点 ，
∴ ，得 ，故②错误；
∴抛物线 ，
当 时， ，即抛物线过点 ，故①正确；
当 时， ，
解得， ，
∴点A的坐标为 ，
∴ ，
∵抛物线 ，顶点为M，
∴点M的坐标为 ，
∴ ，故③错误；
∵抛物线 与x轴的交点为 ，
∴当 时， ，
∴当 时， ，故④正确；
综上：正确的有①④，
故选：A．
8．（2024·天津·模拟预测）利用长为 的墙和 长的篱笆来围成一个矩形苗圃园，若平行于墙的一边
长不小于 ，有下列结论：
（1）垂直于墙的一边长可以为15；
（2）矩形苗圃园的最小面积是 ，最大面积是 ；
（3）垂直于墙的一边长有两个不同的值满足矩形苗圃园面积为 ．
其中正确的个数有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，建立二次函数模型，并熟练掌握二次函
数的性质．
设垂直于墙一边的长度为 ，则平行于墙的一边长度为 ，根据平行于墙的一边长不小于 ，
得出x的取值范围为 ，从而判断（1）正确；令苗圃的面积为y，根据矩形的面积 长乘以宽列
出函数解析式，由函数的性质求出最值可以判断（2）；令 ，解方程求出x，再根据x的取值范围可
以判断（3）．
【详解】解：设垂直于墙一边的长度为 ，则平行于墙的一边长度为 ，
由题意知 ，
解得 ，
∴垂直于墙的一边长可以为15，故（1）正确，符合题意；令苗圃的面积为y，
则 ，
∵ ，
∴当 时，y随x的增大而减小，
当 时，y取得最大值，最大值为 ，
当 时，y取得最小值，最小值为 ，故（2）错误，不符合题意；
当苗圃的面积为128时， ，
解得 ，
∵ ，
∴ ，
∴垂直于墙的一边长为 时，满足矩形苗圃园面积为 ，故（3）错误，不符合题意；
故选：B．
9．（2024·山西·模拟预测）已知 ，若关于 的方程 的解为 ，关于 的
方程 的解为 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了抛物线与一元二次方程的关系，把 ， 看做是直线 与抛物线 交点的
横坐标，把 ， 看做是直线 与抛物线 交点的横坐标，画出对应的函数图象即可得到答
案，正确把一元二次方程的解转换成直线与抛物线交点的横坐标是解题的关键．
【详解】解：如图所示，设直线 与抛物线 交于 两点，直线 与抛物线交于
两点，
∵ ，若关于 的方程 的解为 ，关于 的方程 的解为
，
∴ ， ， ， 分别是 的横坐标，∴根据图象可知： ，
故选： ．
10．（2024·辽宁·模拟预测）如图，根据坐标系中所绘制的图象及相关数据可知该抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，交点式： 是常数， ，
解题的关键是数形结合．
求出 ，设其解析式为交点式得到 ，代入 求解即可判断．
【详解】解：由图象可知抛物线开口向上，且与 轴的交点为 ，
根据图象夹角为 ，
∴ ，
∵对称轴为 ，
∴ ，
∴设抛物线的解析式为 ，
将 代入可得 ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ，
故选：C．二、填空题
11．（2024·上海·模拟预测）请写出一个二次函数，符合顶点在第二象限，对称轴左侧上升，交y轴于正半
轴
【答案】 （答案不唯一）
【分析】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是会利用函数的性质确定解析式的各项系数．
【详解】解：二次函数为 ，
故答案为： ．
12．（2024·山西·模拟预测）实验中学某物理兴趣小组的同学们设计了一个饮水机模型，其电路连接示意
图如图甲所示，经过对工作电路进行研究：将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，保持固定电阻 不变，
绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象（如图乙）．该图象是经过原点的一条抛物线的
一部分，则变阻器R消耗的电功率P最大为 W．
【答案】220
【分析】本题考查二次函数的实际应用，待定系数法求出函数解析式，进而利用二次函数的的性质求出最
大值即可．
【详解】解：∵该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，过 和 点
∴抛物线的对称轴为 ，
设抛物线的解析式为 ，
∴
解得
∴
∵ ，
∴抛物线有最大值为220，
即变阻器R消耗的电功率P最大为 ，
故答案为：220
13．（2024·广东·模拟预测）已知二次函数 的图象如图所示．有下列结论．①；② ；③ ；④ ；⑤ ．其中，正确结论的是
．
【答案】①②③④
【分析】本题考查二次函数图象和性质．熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键．
抛物线有两个交点， ，①正确；抛物线开口、对称轴和y轴的交点可以判断出 ， ，
，②正确；③利用对称轴 ，即 ，替换掉 ，把 代入函数，可得 ；
③正确；④把 代入后得到，其对应的 值小于0，故④正确；把 代入后相乘可得到
，所以⑤错误．
【详解】解：抛物线与x轴有两个不同的交点，因此 ，故①正确；
抛物线开口向上，因此 ，
对称轴为 ，a、b异号，因此 ，
抛物线与y轴交在负半轴，因此 ，所以 ，故②正确；
由图象可知，当 时， ，又对称轴 ，即： ，所以 ，故③
正确；
当 时， ，因此④正确；
当 时， ，当 时， ，
所以 ，即 ，也就是 ，故⑤错误，
综上所述，正确结论有：①②③④．
故答案为：①②③④．
14．（2024·广东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交 轴于点 ，
，交 轴于点 ，作平行四边形 ，边 交抛物线于点 ，连接 ，若 的面积是 ，则
的值为 ．【答案】
【分析】本题考查二次函数图像上点的坐标特征，平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是
解题的关键；
根据题意求得对称轴为 的直线，令 ，则 ，求得 点的坐标，进而求解 点的坐标，证明
，求得点 的坐标，代入二次函数解析式即可求解；
【详解】解：根据题意可知对称轴为： ；
令 ，则 ，
故 ，
将 代入 中，
，
解得： 或 ，
故 ，
，
，
，
，
将 代入 ，
，
解得： ；
故答案为：
15．（2024·广东·模拟预测）已知二次函数 （ ）的图象过 ，
四个点， 则 大小关系为 ．
【答案】
【分析】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．先求函数 对称轴 ，则 、 、 、的横坐标离对称轴越近，则纵坐标越小，由此判断 的大小．
【详解】解∵二次函数 ，
∴二次函数开口向上，对称轴为直线 ，
∴各个点到对称轴的距离越近越小，
∵ ， 且 ，
∴ ，
故答案为： ．
16．（2024·湖北·模拟预测）抛物线 ，对称轴为 ．下列说法：①一元二次方程
有两个不相等的实数根；②对任意的实数m，不等式 恒成立；③抛物
线 经过点 ；④若 ，且 ，则 ．正确的有
（填序号）．
【答案】①③④
【分析】本题考查二次函数的图像和性质，二次函数图象与x轴的交点等问题，掌握相关知识是解题的关
键．
①根据二次函数对称轴是直线 得出 并结合条件得出 ，然后通过判断一元二次方程
的符号解答即可；②通过分解因式 得出 ，利用 解答；
③把 代入 解答即可；④通过对 分解因式得出
结合条件判断即可．
【详解】∵ 中，对称轴为 ，
，
，
，
，
一元二次方程 中， ，
，
，
∴一元二次方程 有两个不相等的实数根，故①正确；，
，
，故②错误；
，
，
把 代入 得 ，
∴抛物线 经过点 ，故③正确；
，
，
，
，
，
，故④正确；
∴正确的有①③④，
故答案为：①③④．
17．（2024·上海·模拟预测）若 是关于 的方程 的两实数根，A(a,0)，
则 之间距离的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，两点间距离公式，根的判别式，完全平方公式，二次
函数的性质，利用根和系数的关系可得 ， ，进而得到
，再利用根的判别式可得，得到 ，最后利用二次函数的性质即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关
系及根的判别式是解题的关键．
【详解】解：∵ 是关于 的方程 的两实数根，
∴ ， ，
∴
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， 取最小值，最小值为 ，
∴ 的最小值为 ，即 之间距离的最小值为 ，
故答案为： ．
18．（2024·辽宁·模拟预测）如图， ， ， 绕点B顺时针旋转 得到 ． ，
垂足为E，点M在线段 上， 垂足为N，O为 中点，当 取得最大值时， 面积的最
大值为 ．
【答案】
【分析】由 ，可知 在以 为圆心， 为直径的圆上运动，如图，作 于 ，证明
，则 ，可知当 取得最大值时， 最大，此时 重合， ，
，设 ，则 ， ，
，由 ，可知当 时， 最大，计算求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ 在以 为圆心， 为直径的圆上运动，如图，作 于 ，由旋转的性质可知， ， ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴当 取得最大值时， 最大，此时 重合， ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， 最大为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了 的圆周角所对的弦为直径，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正切，二次
函数的应用，二次函数的最值等知识．熟练掌握 的圆周角所对的弦为直径，旋转的性质，全等三角形
的判定与性质，正切，二次函数的应用，二次函数的最值是解题的关键．
三、解答题
19．（2024·北京·模拟预测）已知 均为正整数， 交 轴于 ， 两点，其中
至原点的距离均小于1．
(1)比较： 0； 0
(2)求 的最小值，并给出一组符合要求的
【答案】(1) ，
(2) 最小，分别取 、 、 的值为5、5、1．
【分析】本题考查了二次函数的性质，与坐标轴的交点问题，解题的关键是利用二次函数的对称轴及与坐
标轴的交点的特点进行求解；
（1）根据条件判断出对称轴在 轴的左边，再根据与 轴的交点在非负半轴即可判断；
（2）设 ， ．利用根与系数的关系、根的判别式得到 且 ①，则
②，且 ．可得 ③，由③得 ，故 ，又因为 ，
分别取 、 、 的最小整数5、5、1．【详解】（1）解： 的对称轴 ， ，
，
，
，
故答案为： ， ；
（2）解：设 ， ．．
据题意得，方程 有两个相异根，都在 中，
故当 时， ，则 ，一元二次方程 的两根 且 ①，
可见 ②，且 ．
所以 ，可得 ，③
由③得 ，故 ，
又因为 ，分别取 、 、 的最小整数5、5、1．
经检验，符合题意，
所以 最小．
20．（2024·河北·模拟预测）如图，二次函数 的图象与 轴交于A，B两点（点A
在点B左侧），与 轴交于点C，且 ．
(1)求二次函数的解析式．
(2)平移该二次函数的图象，使平移后的二次函数图象的顶点坐标为 ，若当 时函
数的最大值为7，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解 当 时，
即 ，∶解得 ， ，
点A的坐标为 ，点B的坐标为 ．
∴当 时， ．，
∵ ，解得 ，
∴二次函数的解析式为 ．
∴（2）由题意可知， ，
将函数图象平移后，顶点坐标为 ，
∵
平移后的函数解析式为 ，
∴平移后的函数的对称轴为直线 ．
当 ， 时函数取得最大值，
∴
即 ，解得 或 ，均不符合题意，舍去；
当 ， 时函数取得最大值，
即 ，解得 ，符合题意．
综上所述， 的值为 ．
21．（2024·广东·模拟预测）科学研究表明：一般情况下，在一节 的课堂中，学生的注意力随教师讲
课的时间变化而变化．经过实验分析，在 时，学生的注意力呈直线上升，学生的注意力指数y与
时间 满足关系 ； 以后，学生的注意力指数y与时间 的图象呈抛物线形，到
第 时学生的注意力指数y达到最大值92，而后学生的注意力开始分散，直至下课结束．
(1)当 时，注意力指数y为 ，8min以后，学生的注意力指数y与时间x(min)的函数关系式是 ；
(2)若学生的注意力指数不低于80，称为“理想听课状态”，则在一节 的课中学生处于“理想听课状态”所
持续的时间有多长（精确到 ）？
(3)现有一道数学压轴题，教师必须持续讲解 ，为了使效果更好，要求学生的注意力指数在这
内的最低值达到最大，则该教师上课后从第几分钟开始讲解这道题(精确到 ；参考数据 )？
【答案】(1) ，
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意把 代入 ，得到 ，即可解答．根据顶点式写出抛物线表达式，
将 ， 代入即可得到解析式；
（2）根据 对两个函数列出不等式，求解即可；
（3）设出未知数，根据条件列出方程 ，解方程即可．
本题考查是二次函数的应用，解题关键是利用顶点式求出解析式，利用条件列出不等式，求出根据 和当 时对应的函数值相同求出t的值．
【详解】（1）解：根据题意，把 代入 可得： ，
∵ 以后，学生的注意力指数y与时间 的图象呈抛物线形，第 时学生的注意力指数y达
到最大值92，
∴可设抛物线的解析式为： ，
把 代入可得： ，
解得： ，
∴ ，
故答案为：84， ；
（2）解：由学生的注意力指数不低于80，即 ，
当 时，由 可得： ；
当 时，则 ，即 ，
整理得： ，解得： ，
∴ （分钟），
答：在一节45分钟的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间约有20分钟；
（3）解：设教师上课后从第t分钟开始讲解这道题，
由于 ，
要使学生的注意力指数在这24分钟内的最低值达到最大，
则当 和当 时对应的函数值相同，
即 ，
整理得：
解得： （不合题意，舍去）
∴
答：教师上课后从第4分钟开始讲解这道题，能使学生的注意力指数在这24分钟内的最低值达到最大．
22．（2024·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，设二次函数 ．
(1)若a为整数，二次函数图象过点 （其中n是正整数），求抛物线的对称轴．
(2)若 ， 为抛物线上两个不同的点．①当 时， ，求a的值．
②若对于 ，都有 ，求a的取值范围．
【答案】(1)对称轴为直线
(2)① ；②
【分析】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程、二次函数的对称轴公式，
（1）把代入 ，求得 ， ，从而可得 ，再代入对称轴公式求解即可；
（2）①根据对称轴为直线 ，进行求解即可；
②根据二次函数的图象与性质可得 ，即可求解．
【详解】（1）解：把代入 ，得 ，
解得， ， ．
∵n是正整数，a为整数，
（舍去）， ．则 ，
∴对称轴为直线 ．
（2）解：① 时， ，
，N(x ,y )两点关于抛物线的对称轴对称，
2 2
则对称轴为直线 ，
．
②由题意可知，对于任意的 ，y随x的增大而增大，
可得 ，
解得 ．
23．（2024·河北·模拟预测）某同学将广场上不断变换的灯光秀抽象为线段 和抛物线
，并将其一部分描画在如图所示的平面直角坐标系中，已知点B的坐标为 ，抛物线经过点A ．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标，并判断点B是否在该抛物线上；
(2)若线段 以每秒2个单位长度的速度向下平移，设平移的时间为t秒．
当线段 平移到点B落在抛物线上时，求t的值；
若抛物线同时以每秒3个单位长度的速度向下平移，抛物线在y轴及其右侧的部分与 所在的直线总
有两个公共点，直接写出t的取值范围．
【答案】(1) ，顶点坐标 ，点B不在抛物线上
(2) ；
【分析】本题考查了二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数图象的性质与平移规律是解题的关键．
（1）将A 代入抛物线 ，求出k值，即可得到解析式及顶点坐标，再将点B的横
坐标代入解析式看结果与点B纵坐标是否相等，即可判断点B是否在抛物线上；
（2） 根据平移的性质得到平移后点B的坐标为 ，将其代入抛物线，解方程即可； 求出平移
后点C的坐标为 ，抛物线的顶点坐标为 ，直线 为 ，找到临界点，即直线
在抛物线顶点（不包含顶点）到过点C（包含点C）之间时，抛物线在y轴及其右侧的部分与 所在的直
线总有两个公共点，据此列方程求解即可．
【详解】（1）解：将点 代入 中，得 ，
解得 ，
，
，
∴顶点坐标为 ，
将 代入 ，得 ，
∴点B不在抛物线上；
（2）解：①平移后点B的坐标为 ，
当抛物线经过点B时，有 ，
解得 ；② 平移后点C的坐标为 ，抛物线的顶点坐标为 ，
直线 为 ，
当点C落在直线 上时， ，
解得： ，此时有2个公共点；
当顶点落在直线 上时， ，
解得： ，此时有1个公共点．
∴抛物线在y轴及其右侧的部分与 所在的直线总有两个公共点时，t的取值范围为 ．
24．（2024·山东·模拟预测）某服装店购进一批衬衣，成本价每件 元，若售价为 元，则每月能售出
件．经调查发现，售价每增长一元，则销量将减少 件．
(1)求出月销售利润 （元）与售价 （元/件）之间的函数关系式．
(2)试问：当每件衬衣售价为多少元时，服装店所获月利润最大，并求最大利润为多少？
【答案】(1)
(2)当价格为 元时，才服装店所获月利润最大，并求最大利润为 元
【分析】本题考查二次函数在实际生活中的应用，确定 与 之间的函数关系式是解题的关键．
（1）按照等量关系“每月获得的利润＝（销售价格﹣进价）×销售件数”列出二次函数；
（2）根据二次函数的性质求得最值
【详解】（1）解：根据题意得：
，
∴ 与 的函数关系式为： ；
（2）∵ ，
又∵ ，
∴当 时， 有最大值， 的最大值为 ，
答：当每件衬衣售价为 元时，服装店所获月利润最大，最大利润为 元．
25．（2024·山西·模拟预测）综合与探究
如图1，抛物线 的图象是一条抛物线，图象与x轴交于点A和点 ，与y轴交于
点C(0,−3)．(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，连接 ，点P为直线 下方抛物线上的点，过点P作 轴交 于点M，求 的最大
值及此时点P的坐标；
(3)如图3，将抛物线 先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛
物线 ，在 的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，
请直接写出所有满足条件的点E的坐标．
【答案】(1)
(2) ，
(3)存在点 或 或 或
【分析】（1）把 和C(0,−3)代入 求解即可．
（2）先解得直线 的解析式为 ，设 ， ，得到的 的值，当 时，
最大即可解答．
（3）分情况讨论，当 为矩形一边时，且点D在x轴的下方；当 为矩形一边时，且点D在x轴的上
方；当 为矩形对角线时，分别求解即可．
【详解】（1）解：把 和C(0,−3)代入 ，得：
，解得： ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）设直线 的解析式为 ，把B，C点的坐标代入得：
，解得： ，
∴直线 的解析式为点P为直线 下方抛物线上的点，
设 ，
，
，
当 时， ，
；
（3）由题意可得： ，
的对称轴为 .
∵ ，C(0,−3)，
∴ ，
如图3.1：当 为矩形一边时，且点D在x轴的下方，过D作 轴于点F，
∵D在 的对称轴上，
，
∵ ， ，
∴ ，， ，即点 ，
∴点C向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点D，则点B向右平移2个单位、向下平移2个单位
可得到点 ；
如图3.2：当 为矩形一边时，且点D在x轴的上方， 的对称轴为 与x轴交于点F，
∵D在 的对称轴上，
∴ ，
，
，即 ，
，即点 ，
∴点B向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D，则点C向左平移1个单位、向上平移1个单位
可得到点 ；
如图3.3：当 为矩形对角线时，设 ， ， 的中点F的坐标为 ，
依意得： ，解得 ，
又 ，
，解得： ，
联立 ，
解得： ，
∴点E的坐标为 或 .
综上，存在点 或 或 或 ，
使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形．
【点睛】本题是二次函数的综合应用题，主要考查了待定系数法求函数解析式，矩形的性质，利用平移的
性质解决问题是解本题的关键．
26．（2024·山西·模拟预测）项目式学习
项目主题：合理设计 智慧泉源
项目背景：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，方便出行．
如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解洒水车要
如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带．围绕这个问题，该小组
开展了“合理设计 智慧泉源”为主题的项目式学习．
任务一 测量建模
建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷
水口H离地面竖直高度h为1.2米．上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.4米．
（1）求上边缘抛物线的函数解析式；
任务二 推理分析
小组成员通过进一步分析发现：当喷头竖直高度调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，即下边
缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，把绿化带横截面抽象为矩形 ，其水平宽度 米，
竖直高度 米，洒水车到绿化带的距离OD为d米．
（2）求下边缘抛物线与x轴交点B的坐标；
（3）若 米，则洒水车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带？请说明理由．【答案】（1） ；（2）(2,0)；（3）洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，理
由见解析
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，矩形的性质，求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，正
确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）结合 为上边缘抛物线的顶点，设 ，再把 代入计算，即可作答．
（2）结合二次函数的对称性得出点 的对称点为 ，把 代入 ，求出
，因为下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的，所以点B的坐标为(2,0)；
（3）因为二次函数的性质以及矩形的性质得点F的坐标为 ，代入 得
，即可作答．
【详解】解：（1）由题意得： 为上边缘抛物线的顶点，
设 ，
又∵抛物线过点 ，
，
解得： ，
∴上边缘抛物线的函数解析式为 ．
（2）∵对称轴为直线 ，
∴点 的对称点为 ，
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的，
当 时，
解得 ， （舍去），
∴
∴点B的坐标为(2,0)；
（3）∵矩形 ，其水平宽度 米，竖直高度 米，
∴ 米，
则 （米）
∴点F的坐标为 ，
当 时， ，
当 时，y随x的增大而减小，
∴洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带．
