文档内容
数与形（一）
1.探究发现图形中隐藏着的数的规律，并尝试用数或算式表达规律，使学生掌
握求1+3+5+7这样的连续奇数数列之和的方法，体会数与形的密切联系，并
会应用发现的规律解决数学问题。
教学目标
2.经历自主观察、探究、小组合作交流的过程，体会数形结合、归纳推理等基
本的数学思想，培养学生数学应用意识。
3.使学生获得美好体验，提升数学学习兴趣。
重点：运用数形结合的方法探索规律，解决实际问题。
教学重难点
难点：积累数形结合数学活动经验，体验数学思想方法的价值。
教学准备 课件、学习单
二次
目标落实 教师活动 学生活动
备课
一、情境导入 一、发现问题
课件出示图片： 活动：
在数和 预设1：半圆
形之间 1
同学们，看图，你想到了什么？ 预设2：分数
初步建 2
从图形中，能够看到数，这是一种智慧。
立联 预设3：四边形
出示数字：4
系，激
预设4：正方形，有4条边。
那么，由数你能想到形吗？
发学生
小结：从“形”中我们能看到“数”，由
学习兴
“数”我们能想到“形”，说明“数”与
趣。
“形”有关系，今天我们就一起来研究数与
形。
二、引导合作 二、探究问题
学生通 1.发现规律 1.活动一：发现规律
过自主 课件出示图片：
观察， 学生独立观察，用数或者算
思考， 式表示自己的发现。
初步由 预设1：1，4，9，16
观察这组图形，你发现规律了吗？能不能用数
图形中 预设2：1×1 2×2
或者算式表示出你的发现？
发现规
3×3 4×4
根据学生回答课件出示：
预设3：1 1+3
律，用 11×11 42×21+3 93×31+3+5 164×41+3+5+7
1+3+5 1+3+5+7
数或算 2.读懂规律
式进行 同学们，你能读懂这些规律吗？这些数或者算
2.活动二：读懂规律
表达。 式在表达什么意思？请小组内说一说。
小组内交流，说出每种表示
哪个小组愿意分享你们的思考成果？
方法的意思。
根据学生回答出示图片：
预设1：1、4、9、16表示了
通过讨 每组正方形的个数。
论、交 预设2：乘法算式表示了正方
流，运 同学们，你们真善于观察！能够从不同的角度 形一行有几个，有几行，算
用数形 进行思考，用不同的方式表示每幅图有几个正 出的是正方形的个数。
1方形，发现了“形”里面藏着“数”。既然这 预设3：加法算式表示了由第
些数或者算式都是在表示每幅图有几个正方 1幅图依次增加3个、5个、7
结合的
形，我们是不是可以这样写： 个得到后面的图形，也在计
方式，
算每幅图正方形的总个数。
进一步
理解用 增加的正方形是一个“ ”
数表示
形图形。
图形中
3.总结规律
的规
按照这样的规律，你能想象出第 5 幅图和第 3.活动三：总结规律
律，感
100幅图的样子吗？能用算式表达吗？请在学 预设：学生能画出第 5 幅
受数与
习单上画一画或者写一写。 图，无法画出第 100 幅图。
形的密 学习单 写出算式：1+3+5+7+9=52=25
切联 请根据前面发现的规律，画出第5幅图和 1+3+5+7+9+… +199=1002=10000
系。 第100幅图的样子或者写一写算式。 交流。
小组合
作，总
结规
展示学生学习单。展示学生画的第 5幅图。这 预设1：画图太麻烦了，第5
律，深
个小组画了第5幅图就没有再继续往下画，能 幅图还能画出来，第 100 幅
入理解
给大家说说你们的感受吗？ 图需要画 100 行，每行 100
数与形
其他小组是因为这个原因，才选择的写算式 个，根本就画不出来。
的关
吗？ 预设2：我们从前面的图和算
系，感
小结：图形直观，让我们很快就发现了规律， 式中可以发现，第几幅图结
受图形
可是画图很麻烦，算式能够更加简洁地表示规 果就是几的平方，所以第100
的局限
律和结果。可是，没有图形，你们怎么知道最 幅图就是100的平方。
性和数
后是100的平方？ 预设3：我们组发现，算式从
的简洁
小结：这是一组从1开始的连续奇数相加的算 1开始，有几个奇数相加，它
性，培
式，第几个加数就表示最外层增加的小正方形 们的和就是几的平方。
养学生
的个数。有几个这样的加数，它们的和就是几
推理意
的平方。有几个这样的加数，拼成的正方形就
识。
有几行几列，总数就是每行小正方形的个数的
平方。
三、辅导练习 三、解决问题
应 用 规 1.基础练习 1.基础练习
律 ， 解 请大家运用发现的规律填空。 预设 1：第 2、3 小题找不到
决 问 （1）1+3+5+7+9=（ ）2 与例题的练习，不会做。
题 ， 获 1+3+5+7+9+11+13+15=（ ）2
得 美 好 （2）1+3+5+7+9+11+9+7+5+3+1=（ ）
体 验 ， （3）11+13+15+17+19+21+23+25=（ ）
渗 透 应
用 意
识。
通过解决 根据学生回答，课件出示： 预设2：直接套用规律，只
问题，进 （2） 1+3+5+7+9+11 + 9+7+5+3+1 =（61） 关注奇数的个数，第 2 小题
62 52
一步体会
有11个数，112=121。
2（3）1+3+5+7+9+11+13+15+17+ 预设3：观察数的特点，能够
19+21+23+25 - （1+3+5+7+9） =（144） 把第（2）小题分成2组，保
132 52
证每一组都是从1开始连续的
132-52=144
奇数相加，再运用规律填空。
小结：大家在运用规律解决问题时，首先要认
预设 4：第（3）小题，这组
真审题，观察题目中的算式是否符合“从 1开
数不是从 1 开始的连续奇
始的连续奇数相加”这一特点，如果不符合，
数，所以先补全，再去掉。
可能要进行适当的变形。
预设5：（1）5 8
（2）61 （3）144
2.变式练习 2.变式练习
你能自己读图，发现规律吗？试一试，有困难
预设1：第1小题会写，第2
数形结合 的可以小组内互相说一说。 小题总结规律无从下手或者
的数学思 如图，一张桌子可以坐4人，两张桌子拼起来 出错。
想，感受 可以坐6人，三张桌子拼起来可以坐8人。 预设2：第2小题算式不是最
简形式，n张桌子，一共可以
图的直观
坐4+2（n-1）人。
优势，数
（1）照这样接着摆下去，第 5 个图形有（
预设3：
的简洁
）张桌子，可以坐（ ）人。第12个图形有
（1）5 12 12 26
性。
（ ）张桌子，可以坐（ ）人。
（2）2 2n+2
（2）我发现：一张桌子可以坐4人，再增加1
预设4：每张桌子对应了上下
张桌子，就增加（ ）人。如果有 n 张桌
2 人，所以 n 张桌子就是 2n
子，那么一共可以坐（ ）人。
人，最后再加上左右两边的2
谁能结合图来说一说，为什么 n张桌子可以坐
人，正好是（2n+2）人。
2n+2人？
小结：结合图，可以帮助大家更加直观地发现
规律，数可以更加简洁地表示规律，数和形各
有优点，互相补充！大家可以根据需要，选择
合适的方法进行研究。
3.提升练习 3.提升练习
运用图
预设1：
形，理
解等差
数列求 请你根据上面图形与规律接着画一画，填一
3填。
第10个数是1+2+3+…+9+10。
和公
1+2+…+10=？怎么计算简便？ 预设2：1+4表示了每行有几
式，体
请结合图对1+2+3+4进行思考。 个，乘4表示有4行，除以2
会数与
出示下图： 是一个三角形中圆形的个
形的密
数。
切联
预 设 3 ： 所 以 1+2+… +10=
系。
（1+10）×10÷2=55。
你们非常善于思考，又一次从图形中发现数的
规律，还借助图发现了简算方法。其实，我们
刚才发现的这一组数：1、3、6、10、15……也
被叫作三角形数。
四、引导反思 四、提升问题
回顾反
同学们，通过今天的数学学习，你对数和形有 预设1：我发现数和形联系非
思，总
哪些新的认识？ 常密切。
结数与
同学们，数学知识不是孤立存在的，知识之间 预设2：我发现形比较直观，
形的关
都存在着密切联系。数与形的研究、学习还会 更容易发现规律；数比较简
系，体
继续，希望大家有更多的发现！ 洁，更容易记录。
会数形
预设3：当图形数量太多不好
结合的
画的时候，可以借助于数继
必要
续研究。
性。
数与形（一）
板书设计
直观简洁
从1开始的连续奇数的和等于奇数个数的平方
4数与形（二）
1 1 1
1.在解决 + + + …=1的问题情境中，借助图形支撑，直观感受数与形
2 4 8
之间的关系，并解决数的问题，感受极限思想。
教学目标
2.引导学生经历观察、探究、推理、归纳的过程，体会数形结合、归纳推理、
极限等基本数学思想。
3.在解决实际问题的过程中，感受数学知识的奥妙，激发学习数学的兴趣。
重点：经历观察、探究、推理、归纳等活动，在数与形之间建立联系，增强以
教学重难点 形助数的意识。
难点：体会极限思想，感悟数形结合的价值。
教学准备 课件、合作单
目标落实 教师活动 学生活动 二次备课
一、情境导入 一、发现问题
同学们，在上一节课的学习中，我们在 活动：
图形中发现规律，并用数来表示规律， 预设1：这个算式的分子都
感受到了数与形之间的关系。数和形之 是1，分母越来越大，分数
观察算
间还会有怎样的关系？我们今天来继续 就会越来越小。
式，提出
进行探究。 预设2：每个分数都是前一
问题，激
出示例2： 1
发学习数 个分数的 。
1 1 1 1 1 1 2
学的兴 + + + + + + …
2 4 8 16 32 64 预设3：这个算式最后是省
趣。
观察这个算式，它有什么特点？ 略号，说明后面还有很多
个分数一直加下去。这个
算式都写不完，结果怎么
计算？
二、引导合作 二、探究问题
1.自主探究 1.活动一：自主探究
这个算式可以按照大家发现的规律一直
加下去，那么结果会是多少呢？我们请
初步尝 图形来帮忙找一找感觉吧。
试、探 出示学习单： 预设：学生可能因为分的
究，借助 学习单 份数比较多，表示有困
请从下面3个图形中任选一个，然后找
图形支 难，没有找到结果。
1 1
撑，直观 到它的 涂色，在 的基础上再找到它 也可能感觉结果会越来越
2 2
感受数与 接近1，约等于1。
1 1
形之间的 的 涂色，再找到它的 涂色，按要求 还会感觉结果会等于1。
4 8
关系。
一直找下图涂色，看看能不能有所发现。
5讨论交流， 2.小组汇报 2.活动二：
进一步理解 哪个小组愿意分享你们的研究结果？ 预设 1：我把这个圆看作
借助图形支 其他同学对他的想法有什么疑问吗？你 1
1，平均分成 2 份，取出
2
撑，直观感 们也是这样研究、表示的吗？
，涂色，再把空白部分平
受数与形的 展示其他不同图形的研究结果，贴到黑
均分成2份，其中1份就是
关系，体会 板上。
1
数形结合思
整个圆的 ，再把空白的平
4
想。
均分成2份，其中1份就是
1
整个圆的 ，这样一直取下
8
借 助 直 观
去，越来越接近1，最后就
图 ， 初 步
等于1了。
感 受 极 限
思想。
引导学生思考，如果继续往下加，应该
加在图中的哪一部分？
根据学生回答板书：
经 历 推 理 预设2：如果继续加，会在
=1？
的 过 程 ， 1
≈1？ 空白部分继续每次取 。
1 2
解 决 +
2 预设3：我认为每次都取空
1 1 1
+ +… =1
白部分的 ，说明每次都会
4 8 3.集体推理 2
的 问 题 ， 1
同学们，大家虽然意见不一致，但是从
剩下空白部分的 ，说明结
感 受 极 限 2
图中都能看出来结果和 1有关系，这就
思 想 ， 感 果是接近1，但还不是1。
是图的优势，很直观。到底是等于 1，
受 数 学 知 3.活动三：集体推理
还是约等于1，图能解决这个问题吗？
识 的 奥
这就是图的局限性，很多时候图不能精
根据教师的讲解，和课件
秘 ， 激 发
确地表示结果，当图解决不了的时候，
的演示，理解把 1 逐次分
学 习 兴
我们可以借助数进行推理。既然和 1有
解，每次都把最后一个分
趣。
关，我们就从1开始想。
数平均分为2份相加。
课件依次出示下列算式。
预设1：按照规律继续往下
分，可以分无数次。
预设 2：1 可以一直分下
去，分无数次，反过来，
把分的无数次的结果合起
来，就是1。
按照这个规律一直往下分会怎么样
6呢？我们是不是可以用省略号表示？
1 1 1 1 1 1
1= + + + + + +…
2 4 8 16 32 64
小结：可能有些同学对能够一直分下去
的这个算式结果等于 1，感到不容易接
受，这个问题太难理解了。没关系，我
们在初中的学习中还会进行研究。
4.回顾总结
通 过 归 纳 4.活动四：回顾总结
今天我们进行研究的目的，是在追寻答
总 结 ， 感 预设1：我们用图形发现了
案的过程中，体会数与形的关系。回顾
受 数 与 形 结果和1有关，又用算式确
整个过程，你有什么感觉？
的 关 系 ， 定答案就是1。
以 及 数 与 预设2：我发现图形对研究
形 各 自 的 数有帮助，数可以让图更
特点。 加精确。
三、辅导练习 三、解决问题
联 系 旧
1.基础练习 1.基础练习
知 ， 进 一
数与形联系密切，其实在我们以前的学 学生回忆所学知识，举例
步 体 会 数
习中，有很多地方都体现了这一点。因 数与形的联系。
与 形 密 不
为有了图，数的表达更直观、清晰；因 预设1：应用题中经常画线
可 分 ， 贯
为有了数，图的大小更精确。 段图分析数量关系。
穿 整 个 学
课件出示下图。 预设2：有的角需要测量才
习过程。
能判断是锐角还是直角或
者钝角。
想一想，你还能举出类似的例子吗？
2.变式练习
掌 握 利 用 2.变式练习
预设1：连线考虑不全，小
图 形 解 决
兵的多连了一条。
问 题 的 方
法 ， 体 会
小林、小强、小丽、小兵和小刚 5人进
其 广 泛 的
行象棋比赛，每2人之间都要下一盘。
应 用 价
小林已经下了4盘，小强下了3盘，小
值。
丽下了2盘，小兵下了1盘，小刚一共
下了几盘？分别和谁下的？
预设2：先连小林，和每个
人都下了1盘棋，这样小兵
7读题后感觉信息很多，却无从下手。不 正好下了1盘棋，就不能再
妨用连线的方法试一试。 和其他人连线了。小强下
投影展示，学生边画图，边讲解。 了3盘棋，除了小兵，其他
人都要连线，这样小丽已
经有2条连线，符合下了 2
小结：画图时结合题目中的数据进行推 盘，不能再连线。所以从
理，才能更快捷、准确地解决问题。 图上知道，小刚下了2盘，
利 用 面 积
分别是和小林、小强下的。
模 型 帮 助
3.综合练习 3.综合练习
理 解 完 全
预设1：无法结合算式的意
平 方 公
义进行理解。
式 ， 激 发
预设2：根据图中每一部分
学 习 兴
的数据进行面积计算，理
你 能 利 用 右 面 的 图 发 现 （ a+b ）
趣。
2=a2+2ab+b2这一公式吗？利用你所学的 解公式。
大正方形的面积：（a+b）
面积计算的知识，探索一下。
×（a+b）=（a+b）2。
小结：结合图可以看出来，等式左边是 两个小正方形的面积+两个
把图形看作一个整体计算，右边是把每 长 方 形 的 面 积 ：
一部分的面积加起来求和。左右两边都 a2+b2+ab+ab=a2+2ab+b2，
是计算了整个图形的面积，所以它们是 分析可得（a+b）2
相等的。图形中还藏着数学计算公式， =a2+2ab+b2。
真是奇妙！
四、引导反思 四、提升问题
归 纳 总
同学们，通过今天的学习，你对数与形 预设1：在解决问题时，可
结 ， 进 一
又有哪些新的认识？ 以画图辅助理解。
步 体 会 数
小结：我国著名数学家华罗庚先生有句 预设2：数与形密切相关，
与 形 的 关
话：数缺形时少直观，形少数时难入 我们在解决问题时，既要
系。
微。数形结合百般好，隔离分家万事 由图想数，又要由数画
休。希望大家在今后的学习中，学会数 图。
形结合！
数与形（二）
板书设计 1 1 1 1 1 1
+ + + + + +…=1
2 4 8 16 32 64
89
