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2024—2025 学年度上学期 2022 级
12 月月考数学试卷
命题人：郭松 审题人：冷劲松
考试时间：2024年12月26日
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
1．已知复数 （其中 为虚数单位），则 （ ）
A． B． C． D．
2．用最小二乘法得到一组数据 的线性回归方程为 ，若
，则 （ ）
A．11 B．13 C．63 D．78
3．已知等差数列 和 的前 项和分别为 、 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．设 为单位向量， 在 方向上的投影向量为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．已知函数 的图象向左平移 后所得的函数为奇函数，则 的最小
值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
6．记抛物线 的焦点为 为抛物线上一点， ，直线 与抛物线另
一交点为 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．3
试卷第1页，共3页
学科网（北京）股份有限公司7．直三棱柱 中， ，P为BC中点，
，Q为 上一点， ，则经过A，P，Q三点的
平面截此三棱柱所成截面的面积是（ ）
A． B．4 C． D．5
8．若函数 定义域为 ，且 为偶函数， 关于点 成中心对称，则
的值是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A．已知点 是直线l上三个不同的点，O为直线l外一点，且 ，则
B．已知向量 ，且 与 的夹角为锐角，则 的取值范围是
C．已知点G为 三条边的中线的交点，则
D．已知 ，则 在 上的投影的坐标为
10．如图所示，若长方体AC的底面是边长为2的正方形，高为4．E是
的中点，则（ ）
A．
B．三棱锥 的体积为
C．
D．三棱锥 的外接球的表面积为24π
11．已知双曲线 的左､右焦点分别为
，过点 的直线与 的左支相交于 两点，若 ，
且 ，则（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B．
C．双曲线 的渐近线方程为
D．直线 的斜率为4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 的展开式中， 的系数为15，则a=________.（用数字填写答案）
13．已知正实数 满足 ，则 ______.
14．在四面体 中， 是边长为 的等边三角形， ， ，
，点 在棱 上，且 ，过点 作四面体 的外接球 的截面，则所得截面圆
的面积最小值与球 的表面积之比为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15． ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
△
（1）求B；
（2）若 ，求b的取值范围．
16．已知函数 .函数 在 处取得极值.
（1）求实数a；
（2）对于任意 ， ，当 时，不等式 恒成立，求实
数m的取值范围.
试卷第3页，共3页
学科网（北京）股份有限公司17．如图，在棱长为2的正方体 中， 、 、 分别为棱 、 、
的中点.（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦.
18．已知椭圆C的两个焦点 ， ，过 点且与坐标轴不平行的直线l与椭圆C相
交于M，N两点， 的周长等于16.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若过点 的直线与椭圆C交于两点A，B，设直线 ， 的斜率分别为 ，
.
（i）求证： 为定值；
（ii）求 面积的最大值.
19．给定正整数 ，设数列 是 的一个排列，对 表示以
为首项的递增子列的最大长度（数列中项的个数叫做数列的长度）， 表示以 为首项
的递减子列的最大长度.我们规定：当 后面的项没有比 大时， ，当 后面的项没
有比 小时， .例如数列： ，则. ，
.
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学科网（北京）股份有限公司（1）若 ，求 和 ；
（2）求证： ；
（3）求 的最值.
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