专题04三角函数-解析版_2024-2025高三（6-6月题库）_2024年08月试卷_08202025版《真题题源解密-专题分类》数学

专题 04 三角函数
命题解读 考向 考查统计
(cid:14)(cid:15)(cid:18)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:15)(cid:19)(cid:17)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25) 2022·(cid:13)(cid:14)(cid:15)Ⅰ(cid:16)(cid:17)6
(cid:26)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:4)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:31)(cid:32) 2023·(cid:13)(cid:14)(cid:15)Ⅰ(cid:16)(cid:17)15
(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:33)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:24)(cid:3)(cid:4)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:34) 2024·(cid:13)(cid:14)(cid:15)Ⅰ(cid:16)(cid:17)7
(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:12)
(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:29)(cid:45)(cid:46)(cid:11)(cid:29)(cid:47)(cid:48)(cid:11)(cid:29)(cid:49) 2022·(cid:13)(cid:14)(cid:15)Ⅱ(cid:16)(cid:17)9
(cid:50)(cid:11)(cid:29)(cid:18)(cid:51)(cid:11)(cid:29)(cid:52)(cid:53)(cid:42)(cid:38)(cid:3)(cid:4)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44) 2023·(cid:13)(cid:14)(cid:15)Ⅱ(cid:16)(cid:17)16
(cid:54)(cid:55)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:10)(cid:6)(cid:56)(cid:43)(cid:44)(cid:7)(cid:57)(cid:58)(cid:40)(cid:59)(cid:17) 2024·(cid:13)(cid:14)(cid:15)Ⅱ(cid:16)(cid:17)9
(cid:14)(cid:15)(cid:60)(cid:61)(cid:39)(cid:62)(cid:58)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:34)(cid:67)(cid:68)(cid:65)(cid:66)
(cid:7)(cid:15)(cid:19)(cid:17)(cid:69)(cid:70)(cid:3)(cid:4)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:7)(cid:71)(cid:72)(cid:11)(cid:73)
2023·(cid:13)(cid:14)(cid:15)Ⅰ(cid:16)(cid:17)8
(cid:74)(cid:17)(cid:75)(cid:76)(cid:60)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:6)(cid:56)(cid:83)(cid:7)(cid:84)
2024·(cid:13)(cid:14)(cid:15)Ⅰ(cid:16)(cid:17)4
(cid:74)(cid:38)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:30)(cid:56)(cid:88)(cid:89)(cid:67)(cid:74)(cid:37)(cid:33)(cid:17)(cid:90)(cid:78)(cid:91)
(cid:3)(cid:4)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44) 2022·(cid:13)(cid:14)(cid:15)Ⅱ(cid:16)(cid:17)6
(cid:92)(cid:14)(cid:67)(cid:74)(cid:93)(cid:32)(cid:94)(cid:95)(cid:7)(cid:96)(cid:40)(cid:97)(cid:98)(cid:64)(cid:99)(cid:100)
2023·(cid:13)(cid:14)(cid:15)Ⅱ(cid:16)(cid:17)7
(cid:7)(cid:101)(cid:102)(cid:11)(cid:17)(cid:69)(cid:60)(cid:78)(cid:103)(cid:10)(cid:104)(cid:105)(cid:7)(cid:106)(cid:107)(cid:29)(cid:44)
2024·(cid:13)(cid:14)(cid:15)Ⅱ(cid:16)(cid:17)13
(cid:108)(cid:7)(cid:106)(cid:107)(cid:29)(cid:22)(cid:109)(cid:7)(cid:106)(cid:107)(cid:42)(cid:6)(cid:56)(cid:106)(cid:107)(cid:82)(cid:3)
(cid:4)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:83)(cid:7)(cid:73)(cid:74)(cid:38)
命题分析
2024年高考新高考Ⅰ卷、Ⅱ卷都考查到了三角函数的图像与性质及三角恒等变换。其中Ⅰ卷、Ⅱ卷的三角
恒等变换都结合了两角和差的公式，属于常规题型，难度一般。Ⅰ卷在考查三角函数的图像与性质时，结合
了具体函数图像的画法，Ⅱ卷则是考查了零点、对称性、最值、周期性等基本性质。三角函数的考查应关注：
同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角差角公式、三角函数的图象与性质、应用三角公式进行化简、
求值和恒等变形及恒等证明。预计2025年高考还是主要考查三角恒等变换中的倍角公式、和差公式、辅助
角公式及图像与性质中的对称性和零点问题。
试题精讲
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:20)(cid:21)
1(cid:25)(cid:26)2024(cid:27)(cid:28)(cid:29)Ⅰ(cid:30)·4(cid:31)(cid:32)(cid:33)cos(a+b)=m,tanatanb=2(cid:34)(cid:35)cos(a-b)=(cid:26) (cid:31)m m
A(cid:25)-3m B(cid:25)- C(cid:25) D(cid:25)3m
3 3
(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)A
(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:39)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)cosacosb,sinasinb(cid:47)(cid:3)(cid:52)(cid:34)(cid:53)(cid:54)tanatanb(cid:47)(cid:55)(cid:50)(cid:51)(cid:56)(cid:57)(cid:34)(cid:58)(cid:50)(cid:51)
cosa-b(cid:47)(cid:55).
(cid:36)(cid:59)(cid:60)(cid:39)(cid:61)(cid:62)cosa+b=m(cid:34)(cid:63)(cid:64)cosacosb-sinasinb=m(cid:34)
(cid:65)tanatanb=2(cid:34)(cid:63)(cid:64)sinasinb=2cosacosb(cid:34)
(cid:58)cosacosb-2cosacosb=m(cid:66)cosacosb=-m(cid:34)
(cid:67)(cid:65)sinasinb=-2m(cid:34)(cid:58)cosa-b=-3m(cid:34)
(cid:58)(cid:20)(cid:10)A.
æ pö
2(cid:25)(cid:26)2024(cid:27)(cid:28)(cid:29)Ⅰ(cid:30)·7(cid:31)(cid:68)xÎ[0,2p](cid:69)(cid:34)(cid:70)(cid:71)y =sinx(cid:72)y=2sinç3x- ÷(cid:47)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:13)(cid:62)(cid:26) (cid:31)
è 6ø
A(cid:25)3 B(cid:25)4 C(cid:25)6 D(cid:25)8
(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)C
(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:39)(cid:76)(cid:77)(cid:44)(cid:78)(cid:13)(cid:79)
0,2π
(cid:80)(cid:47)(cid:81)(cid:82)(cid:34)(cid:42)(cid:43)(cid:81)(cid:82)(cid:66)(cid:50)(cid:51)(cid:60)
(cid:36)(cid:59)(cid:60)(cid:39)(cid:61)(cid:62)(cid:78)(cid:13)y =sinx(cid:47)(cid:47)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:62)T =2π(cid:34)
æ πö 2π
(cid:78)(cid:13)y=2sinç3x- ÷(cid:47)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:62)T = (cid:34)
è 6ø 3
æ πö
(cid:63)(cid:64)(cid:79)xÎ 0,2π (cid:80)(cid:78)(cid:13)y=2sinç3x- ÷(cid:88)(cid:89)(cid:75)(cid:86)(cid:87)(cid:47)(cid:81)(cid:82)(cid:34)
è 6ø
(cid:79)(cid:90)(cid:91)(cid:52)(cid:92)(cid:53)(cid:54)(cid:93)(cid:74)(cid:94)(cid:76)(cid:77)(cid:44)(cid:78)(cid:13)(cid:81)(cid:82)(cid:34)(cid:95)(cid:81)(cid:63)(cid:96)(cid:10)
(cid:97)(cid:81)(cid:50)(cid:33)(cid:34)(cid:44)(cid:78)(cid:13)(cid:81)(cid:82)(cid:88)6(cid:75)(cid:73)(cid:74).
(cid:58)(cid:20)(cid:10)C
(cid:98)(cid:23)(cid:99)(cid:20)(cid:21)
π
3(cid:25)(cid:26)2024(cid:27)(cid:28)(cid:29)Ⅱ(cid:30)·9(cid:31)(cid:100)(cid:101)(cid:78)(cid:13) f(x)=sin2x(cid:46)g(x)=sin(2x- )(cid:34)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:94)(cid:85)(cid:105)(cid:47)(cid:88)(cid:26) (cid:31)
4
A(cid:25) f(x)(cid:72)g(x)(cid:88)(cid:106)(cid:107)(cid:47)(cid:108)(cid:74) B(cid:25) f(x)(cid:72)g(x)(cid:88)(cid:106)(cid:107)(cid:47)(cid:83)(cid:109)(cid:55)
C(cid:25) f(x)(cid:72)g(x)(cid:88)(cid:106)(cid:107)(cid:47)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:87) D(cid:25) f(x)(cid:72)g(x)(cid:47)(cid:81)(cid:110)(cid:88)(cid:106)(cid:107)(cid:47)(cid:100)(cid:111)(cid:112)
(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)BC(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:39)(cid:42)(cid:43)(cid:85)(cid:49)(cid:78)(cid:13)(cid:47)(cid:108)(cid:74)(cid:34)(cid:83)(cid:55)(cid:34)(cid:86)(cid:87)(cid:7)(cid:113)(cid:34)(cid:100)(cid:111)(cid:112)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:22)(cid:40)(cid:41)(cid:117)(cid:75)(cid:20)(cid:118)(cid:66)(cid:50).
kπ
(cid:36)(cid:59)(cid:60)(cid:39)A(cid:20)(cid:118)(cid:34)(cid:119) f(x)=sin2x=0(cid:34)(cid:60)(cid:120)x= ,kÎZ(cid:34)(cid:66)(cid:62) f(x)(cid:108)(cid:74)(cid:34)
2
π kπ π
(cid:119)g(x)=sin(2x- )=0(cid:34)(cid:60)(cid:120)x= + ,kÎZ(cid:34)(cid:66)(cid:62)g(x)(cid:108)(cid:74)(cid:34)
4 2 8
(cid:121)(cid:122) f(x),g(x)(cid:108)(cid:74)(cid:123)(cid:107)(cid:34)A(cid:20)(cid:118)(cid:124)(cid:125)(cid:126)
B(cid:20)(cid:118)(cid:34)(cid:121)(cid:122) f(x) =g(x) =1(cid:34)B(cid:20)(cid:118)(cid:85)(cid:105)(cid:126)
max max
2π
C(cid:20)(cid:118)(cid:34)(cid:42)(cid:43)(cid:86)(cid:87)(cid:7)(cid:113)(cid:34) f(x),g(x)(cid:47)(cid:86)(cid:87)(cid:127)(cid:62) =π(cid:34)C(cid:20)(cid:118)(cid:85)(cid:105)(cid:126)
2
π kπ π
D(cid:20)(cid:118)(cid:34)(cid:42)(cid:43)(cid:85)(cid:49)(cid:78)(cid:13)(cid:47)(cid:128)(cid:129) f(x)(cid:47)(cid:100)(cid:111)(cid:112)(cid:130)(cid:131)2x=kπ+ Û x= + ,kÎZ(cid:34)
2 2 4
π π kπ 3π
g(x)(cid:47)(cid:100)(cid:111)(cid:112)(cid:130)(cid:131)2x- =kπ+ Û x= + ,kÎZ(cid:34)
4 2 2 8
(cid:121)(cid:122) f(x),g(x)(cid:81)(cid:110)(cid:47)(cid:100)(cid:111)(cid:112)(cid:123)(cid:107)(cid:34)D(cid:20)(cid:118)(cid:124)(cid:125).
(cid:58)(cid:20)(cid:10)BC
(cid:89)(cid:23)(cid:132)(cid:133)(cid:21)
4(cid:25)(cid:26)2024(cid:27)(cid:28)(cid:29)Ⅱ(cid:30)·13(cid:31)(cid:32)(cid:33)a(cid:62)(cid:134)(cid:22)(cid:82)(cid:135)(cid:45)(cid:34)b(cid:62)(cid:134)(cid:89)(cid:82)(cid:135)(cid:45)(cid:34)tana+tanb=4(cid:34)tanatanb= 2+1(cid:34)
(cid:35)sin(a+b)= .
2 2
(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)-
3
(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:39)(cid:94)(cid:22)(cid:10)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:72)(cid:136)(cid:47)(cid:85)(cid:137)(cid:7)(cid:113)(cid:120)tana+b=-2 2(cid:34)(cid:138)(cid:139)(cid:84)a+b(cid:47)(cid:140)(cid:141)(cid:34)(cid:83)(cid:142)(cid:53)(cid:54)(cid:107)(cid:45)(cid:47)(cid:143)
(cid:114)(cid:46)(cid:3)(cid:52)(cid:66)(cid:50)(cid:120)(cid:144)(cid:37)(cid:38)(cid:126)(cid:94)(cid:98)(cid:10)(cid:145)(cid:146)(cid:49)(cid:16)(cid:137)(cid:47)(cid:114)(cid:94)(cid:66)(cid:50)(cid:120)(cid:144)(cid:37)(cid:38).
tana+tanb 4
(cid:36)(cid:59)(cid:60)(cid:39)(cid:94)(cid:22)(cid:10)(cid:97)(cid:21)(cid:147)(cid:120)tana+b=
1-tanatanb
=
1-  2+1 
=-2 2(cid:34)
æ πö æ 3πö
(cid:61)(cid:62)aÎç2kπ,2kπ+ ÷,bÎç2mπ+π,2mπ+ ÷(cid:34)k,mÎZ(cid:34)
è 2ø è 2 ø
(cid:35)a+bÎ2m+2kπ+π,2m+2kπ+2π  (cid:34)k,mÎZ(cid:34)
(cid:148)(cid:61)(cid:62)tana+b=-2 2 <0(cid:34)
æ 3π ö
(cid:35)a+bÎç 2m+2kπ+ ,2m+2kπ+2π÷(cid:34)k,mÎZ(cid:34)(cid:35)sina+b<0(cid:34)
è 2 ø
sina+b
(cid:35) =-2 2(cid:34)(cid:149)(cid:150) sin2a+b+cos2a+b=1(cid:34)(cid:60)(cid:120)sina+b=- 2 2 .
cosa+b
3
(cid:94)(cid:98)(cid:10) (cid:61)(cid:62)a(cid:62)(cid:134)(cid:22)(cid:82)(cid:135)(cid:45)(cid:34)b(cid:62)(cid:134)(cid:89)(cid:82)(cid:135)(cid:45)(cid:34)(cid:35)cosa>0,cosb<0,
cosa 1 cosb -1
cosa= = (cid:34)cosb= = (cid:34)
sin2a+cos2a 1+tan2a sin2b+cos2b 1+tan2b(cid:35)sin(a+b)=sinacosb+cosasinb=cosacosb(tana+tanb)
-4 -4 -4 2 2
=4cosacosb= = = =-
1+tan2a 1+tan2b (tana+tanb)2+(tanatanb-1)2 42+2 3
2 2
(cid:58)(cid:37)(cid:38)(cid:62)(cid:10)- .
3
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:20)(cid:21)
æ pö 2p
1(cid:25)(cid:26)2022(cid:27)(cid:28)(cid:29)Ⅰ(cid:30)·6(cid:31)(cid:151)(cid:78)(cid:13) f(x)=sinçwx+ ÷+b(w>0)(cid:47)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:62)T(cid:25)(cid:152) <T <p(cid:34)(cid:153)y= f(x)
è 4ø 3
æ3p ö æpö
(cid:47)(cid:81)(cid:82)(cid:3)(cid:101)(cid:74)ç ,2÷(cid:92)(cid:154)(cid:100)(cid:111)(cid:34)(cid:35) f ç ÷=(cid:26) (cid:31)
è 2 ø è 2ø
3 5
A(cid:25)1 B(cid:25) C(cid:25) D(cid:25)3
2 2
(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)A
(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:39)(cid:97)(cid:89)(cid:45)(cid:78)(cid:13)(cid:47)(cid:81)(cid:82)(cid:72)(cid:128)(cid:129)(cid:50)(cid:51)(cid:120)(cid:155)(cid:13)(cid:34)(cid:156)(cid:65)(cid:50)(cid:120)(cid:78)(cid:13)(cid:60)(cid:41)(cid:113)(cid:34)(cid:157)(cid:158)(cid:66)(cid:50)(cid:120)(cid:60).
2p 2p 2p
(cid:36)(cid:59)(cid:60)(cid:39)(cid:97)(cid:78)(cid:13)(cid:47)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:87)T(cid:130)(cid:131) <T <p(cid:34)(cid:120) < <p(cid:34)(cid:60)(cid:120)2<w<3(cid:34)
3 3 w
æ3p ö 3p p
(cid:148)(cid:61)(cid:62)(cid:78)(cid:13)(cid:81)(cid:82)(cid:3)(cid:101)(cid:74)ç ,2÷(cid:100)(cid:111)(cid:34)(cid:63)(cid:64) w+ =kp,kÎZ(cid:34)(cid:153)b=2(cid:34)
è 2 ø 2 4
1 2 5 æ5 pö
(cid:63)(cid:64)w=- + k,kÎZ (cid:34)(cid:63)(cid:64)w= (cid:34) f(x)=sinç x+ ÷+2(cid:34)
6 3 2 è2 4ø
æpö æ5 pö
(cid:63)(cid:64) f ç ÷=sinç p+ ÷+2=1.
è 2ø è4 4ø
(cid:58)(cid:20)(cid:10)A
1 1
2(cid:25)(cid:26)2023(cid:27)(cid:28)(cid:29)Ⅰ(cid:30)·8(cid:31)(cid:32)(cid:33)sina-b= ,cosasinb= (cid:34)(cid:35)cos2a+2b=(cid:26) (cid:31)(cid:25)
3 6
7 1 1 7
A(cid:25) B(cid:25) C(cid:25)- D(cid:25)-
9 9 9 9
(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)B
(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:39)(cid:42)(cid:43)(cid:159)(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:34)(cid:145)(cid:146)(cid:46)(cid:45)(cid:23)(cid:136)(cid:45)(cid:47)(cid:85)(cid:49)(cid:7)(cid:113)(cid:51)(cid:77)sin(a+b)(cid:34)(cid:138)(cid:145)(cid:146)(cid:98)(cid:163)(cid:45)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:113)(cid:164)(cid:165)(cid:166)(cid:37).
1 1 1
(cid:36)(cid:59)(cid:60)(cid:39)(cid:61)(cid:62)sin(a-b)=sinacosb-cosasinb= (cid:34)(cid:65)cosasinb= (cid:34)(cid:61)(cid:167)sinacosb= (cid:34)
3 6 2
2
(cid:35)sin(a+b)=sinacosb+cosasinb= (cid:34)
32 1
(cid:63)(cid:64)cos(2a+2b)=cos2(a+b)=1-2sin2(a+b)=1-2´( )2 = .
3 9
(cid:58)(cid:20)(cid:10)B
æ pö
3(cid:25)(cid:26)2022(cid:27)(cid:28)(cid:29)Ⅱ(cid:30)·6(cid:31)(cid:152)sin(a+b)+cos(a+b)=2 2cosça+ ÷sinb(cid:34)(cid:35)(cid:26) (cid:31)
è 4ø
A(cid:25)tana-b=1 B(cid:25)tana+b=1
C(cid:25)tana-b=-1 D(cid:25)tana+b=-1
(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)C
(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:39)(cid:97)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:136)(cid:47)(cid:85)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:113)(cid:16)(cid:168)(cid:34)(cid:53)(cid:54)(cid:107)(cid:45)(cid:89)(cid:45)(cid:78)(cid:13)(cid:47)(cid:169)(cid:13)(cid:3)(cid:52)(cid:66)(cid:50)(cid:120)(cid:60).
(cid:36)(cid:59)(cid:60)(cid:39)[(cid:114)(cid:94)(cid:22)](cid:10)(cid:170)(cid:171)(cid:94)
(cid:97)(cid:32)(cid:33)(cid:120)(cid:10)sinacosb+cosasinb+cosacosb-sinasinb=2cosa-sinasinb,
(cid:66)(cid:10)sinacosb-cosasinb+cosacosb+sinasinb=0(cid:34)
(cid:66)(cid:10)sina-b+cosa-b=0
(cid:63)(cid:64)tana-b=-1
(cid:58)(cid:20)(cid:10)C
[(cid:114)(cid:94)(cid:98)](cid:10)(cid:172)(cid:173)(cid:55)(cid:174)(cid:175)(cid:94)
p
(cid:60)(cid:94)(cid:22):(cid:176)β=0(cid:35)sinα +cosα =0(cid:34)(cid:177)a=- (cid:34)(cid:174)(cid:175)A, B(cid:126)
4
p
(cid:138)(cid:177)α=0(cid:35)sinβ +cosβ= 2sinβ(cid:34)(cid:177)β= (cid:34)(cid:174)(cid:175)D(cid:126)(cid:20)C.
4
[(cid:114)(cid:94)(cid:89)](cid:10)(cid:89)(cid:45)(cid:178)(cid:179)(cid:180)(cid:181)
p p
sin(a+b)+cos(a+b)= 2sin(cid:26)a+b+ (cid:31)= 2sin(cid:26)[ a+ (cid:31)+b]
4 4
p p p
= 2sin(cid:26)a+ (cid:31)cosb+ 2co(cid:26)s a+ (cid:31)sinb=2 2co(cid:26)s a+ (cid:31)sinb
4 4 4
p p
(cid:63)(cid:64) 2sin(cid:26)a+ (cid:31)cosb= 2co(cid:26)s a+ (cid:31)sinb
4 4
p p p
sin(cid:26)a+ (cid:31)cosb-co(cid:26)s a+ (cid:31)sinb=0(cid:66)sin(cid:26)a+ -b(cid:31)=0
4 4 4
p p p 2 2
\sin(cid:26)a-b+ (cid:31)=sin(cid:26)a-b(cid:31)cos +co(cid:26)s a-b(cid:31)sin = sin(cid:26)a-b(cid:31)+ co(cid:26)s a-b(cid:31)=0
4 4 4 2 2
\sin(cid:26)a-b(cid:31)=-co(cid:26)s a-b(cid:31)(cid:66)tan(a-b(cid:31)=-1,
(cid:58)(cid:20)(cid:10)C.
1+ 5 a
4(cid:25)(cid:26)2023(cid:27)(cid:28)(cid:29)Ⅱ(cid:30)·7(cid:31)(cid:32)(cid:33)a(cid:62)(cid:182)(cid:45)(cid:34)cosa= (cid:34)(cid:35)sin =(cid:26) (cid:31)(cid:25)
4 2
3- 5 -1+ 5 3- 5 -1+ 5
A(cid:25) B(cid:25) C(cid:25) D(cid:25)
8 8 4 4(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)D
(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:39)(cid:42)(cid:43)(cid:98)(cid:163)(cid:45)(cid:7)(cid:113)(cid:26)(cid:183)(cid:57)(cid:184)(cid:45)(cid:7)(cid:113)(cid:31)(cid:66)(cid:50)(cid:51)(cid:77)(cid:25)
a 1+ 5
(cid:36)(cid:59)(cid:60)(cid:39)(cid:61)(cid:62)cosa=1-2sin2 = (cid:34)(cid:65)a(cid:62)(cid:182)(cid:45)(cid:34)
2 4
(cid:60)(cid:120)(cid:10)sin
a
= 3- 5
 5-1 2
5-1(cid:25)
= =
2
8 16 4
(cid:58)(cid:20)(cid:10)D(cid:25)
(cid:98)(cid:23)(cid:99)(cid:20)(cid:21)
æ2π ö
5(cid:25)(cid:26)2022(cid:27)(cid:28)(cid:29)Ⅱ(cid:30)·9(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:78)(cid:13) f(x)=sin(2x+j)(0<j<π)(cid:47)(cid:81)(cid:110)(cid:3)(cid:101)(cid:74)ç ,0÷(cid:92)(cid:154)(cid:100)(cid:111)(cid:34)(cid:35)(cid:26) (cid:31)
è 3 ø
æ 5πö
A(cid:25) f(x)(cid:79)(cid:185)(cid:186)ç0, ÷(cid:24)(cid:187)(cid:188)(cid:189)
è 12ø
æ π 11πö
B(cid:25) f(x)(cid:79)(cid:185)(cid:186)ç- , ÷(cid:88)(cid:44)(cid:75)(cid:190)(cid:55)(cid:74)
è 12 12 ø
7π
C(cid:25)(cid:170)(cid:71)x= (cid:191)(cid:70)(cid:71)y= f(x)(cid:47)(cid:100)(cid:111)(cid:112)
6
3
D(cid:25)(cid:170)(cid:71)y= -x(cid:191)(cid:70)(cid:71)y= f(x)(cid:47)(cid:137)(cid:71)
2
(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)AD
(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:39)(cid:42)(cid:43)(cid:89)(cid:45)(cid:78)(cid:13)(cid:47)(cid:128)(cid:129)(cid:116)(cid:75)(cid:192)(cid:193)(cid:194)(cid:20)(cid:118)(cid:34)(cid:66)(cid:50)(cid:60)(cid:77)(cid:25)
æ2πö æ4π ö 4π
(cid:36)(cid:59)(cid:60)(cid:39)(cid:97)(cid:21)(cid:147)(cid:120)(cid:10) f ç ÷=sinç +j÷=0(cid:34)(cid:63)(cid:64) +j=kπ(cid:34)kÎZ(cid:34)
è 3 ø è 3 ø 3
4π
(cid:66)j=- +kπ,kÎZ(cid:34)
3
2π æ 2πö
(cid:148)0<j<π(cid:34)(cid:63)(cid:64)k =2(cid:69)(cid:34)j= (cid:34)(cid:58) f(x)=sinç2x+ ÷(cid:25)
3 è 3 ø
æ 5πö 2π æ2π 3πö æ 5πö
(cid:100)A(cid:34)(cid:68)xÎç0, ÷(cid:69)(cid:34)2x+ Îç , ÷(cid:34)(cid:97)(cid:85)(cid:49)(cid:78)(cid:13)y=sinu(cid:81)(cid:82)(cid:33)y= f(x)(cid:79)ç0, ÷(cid:80)(cid:191)(cid:24)(cid:187)(cid:188)(cid:189)(cid:126)
è 12ø 3 è 3 2 ø è 12ø
æ π 11πö 2π æπ 5πö
(cid:100)B(cid:34)(cid:68)xÎç- , ÷(cid:69)(cid:34)2x+ Îç , ÷(cid:34)(cid:97)(cid:85)(cid:49)(cid:78)(cid:13)y=sinu(cid:81)(cid:82)(cid:33)y= f(x)(cid:195)(cid:88)1(cid:75)(cid:190)(cid:55)(cid:74)(cid:34)(cid:97)
è 12 12 ø 3 è2 2 ø
2π 3π 5π 5π
2x+ = (cid:34)(cid:60)(cid:120)x= (cid:34)(cid:66)x= (cid:62)(cid:78)(cid:13)(cid:47)(cid:196)(cid:22)(cid:190)(cid:55)(cid:74)(cid:126)
3 2 12 12
7π 2π 7π 7π
(cid:100)C(cid:34)(cid:68)x= (cid:69)(cid:34)2x+ =3π(cid:34) f( )=0(cid:34)(cid:170)(cid:71)x= (cid:123)(cid:191)(cid:100)(cid:111)(cid:112)(cid:126)
6 3 6 6
æ 2πö æ 2πö 1
(cid:100)D(cid:34)(cid:97)y¢=2cosç2x+ ÷=-1(cid:120)(cid:10)cosç2x+ ÷=- (cid:34)
è 3 ø è 3 ø 22π 2π 2π 4π
(cid:60)(cid:120)2x+ = +2kπ(cid:183)2x+ = +2kπ,kÎZ,
3 3 3 3
π
(cid:67)(cid:65)(cid:120)(cid:10)x=kπ(cid:183)x= +kπ,kÎZ,
3
æ 3ö 2π
(cid:63)(cid:64)(cid:78)(cid:13)y= f(x)(cid:79)(cid:74)ç0, ÷(cid:197)(cid:47)(cid:137)(cid:71)(cid:198)(cid:199)(cid:62)k = y¢ =2cos =-1(cid:34)
ç è 2 ÷ ø x=0 3
3 3
(cid:137)(cid:71)(cid:114)(cid:115)(cid:62)(cid:10)y- =-(x-0)(cid:66)y= -x(cid:25)
2 2
(cid:58)(cid:20)(cid:10)AD(cid:25)
(cid:89)(cid:23)(cid:132)(cid:133)(cid:21)
6(cid:25)(cid:26)2023(cid:27)(cid:28)(cid:29)Ⅰ(cid:30)·15(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:78)(cid:13) f x=coswx-1(w>0)(cid:79)(cid:185)(cid:186) 0,2π (cid:88)(cid:153)(cid:200)(cid:88)3(cid:75)(cid:108)(cid:74)(cid:34)(cid:35)w(cid:47)(cid:177)(cid:55)(cid:140)
(cid:141)(cid:191) (cid:25)
(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)[2,3)
(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:39)(cid:119) f(x)=0(cid:34)(cid:120)coswx=1(cid:88)3(cid:75)(cid:42)(cid:34)(cid:67)(cid:65)(cid:53)(cid:54)(cid:48)(cid:49)(cid:78)(cid:13)(cid:47)(cid:81)(cid:110)(cid:128)(cid:129)(cid:66)(cid:50)(cid:120)(cid:60).
(cid:36)(cid:59)(cid:60)(cid:39)(cid:61)(cid:62)0≤x≤2π(cid:34)(cid:63)(cid:64)0≤wx≤2wπ(cid:34)
(cid:119) f(x)=coswx-1=0(cid:34)(cid:35)coswx=1(cid:88)3(cid:75)(cid:42)(cid:34)
(cid:119)t =wx(cid:34)(cid:35)cost =1(cid:88)3(cid:75)(cid:42)(cid:34)(cid:201)(cid:92)tÎ[0,2wπ](cid:34)
(cid:53)(cid:54)(cid:48)(cid:49)(cid:78)(cid:13)y=cost(cid:47)(cid:81)(cid:110)(cid:128)(cid:129)(cid:50)(cid:120)4π£2wπ<6π(cid:34)(cid:58)2£w<3(cid:34)
(cid:58)(cid:37)(cid:38)(cid:62)(cid:10)[2,3).
1
7(cid:25)(cid:26)2023(cid:27)(cid:28)(cid:29)Ⅱ(cid:30)·16(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:78)(cid:13) f x=sinwx+j(cid:34)(cid:95)(cid:81)A(cid:34)B(cid:191)(cid:170)(cid:71)y= (cid:72)(cid:70)(cid:71)y= f x(cid:47)(cid:44)(cid:75)(cid:73)
2
π
(cid:74)(cid:34)(cid:152) AB = (cid:34)(cid:35) f π= (cid:25)
6
3
(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)-
2
æ 1ö æ 1ö π 1 2π
(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:39)(cid:176)Açx, ÷,Bçx , ÷(cid:34)(cid:202)(cid:21)(cid:50)(cid:120)(cid:34)x -x = (cid:34)(cid:53)(cid:54)sinx= (cid:47)(cid:60)(cid:50)(cid:120)(cid:34)wx -x = (cid:34)(cid:67)(cid:65)(cid:120)
è 1 2ø è 2 2ø 2 1 6 2 2 1 3æ2 ö æ 2 ö
(cid:144)w(cid:47)(cid:55)(cid:34)(cid:138)(cid:42)(cid:43) f ç π÷=0(cid:64)(cid:203) f 0<0(cid:34)(cid:66)(cid:50)(cid:120) f(x)=sinç4x- π÷(cid:34)(cid:156)(cid:65)(cid:51)(cid:120) f π(cid:25)
è3 ø è 3 ø
æ 1ö æ 1ö π π
(cid:36)(cid:59)(cid:60)(cid:39)(cid:176)Açx, ÷,Bçx , ÷(cid:34)(cid:97) AB = (cid:50)(cid:120)x -x = (cid:34)
è 1 2ø è 2 2ø 6 2 1 6
1 π 5π
(cid:97)sinx= (cid:50)(cid:33)(cid:34)x= +2kπ(cid:183)x= +2kπ(cid:34)kÎZ(cid:34)(cid:97)(cid:81)(cid:50)(cid:33)(cid:34)
2 6 6
5 π 2π 2π
wx +j-wx +j= π- = (cid:34)(cid:66)wx -x = (cid:34)\w=4(cid:25)
2 1 6 6 3 2 1 3
æ2 ö æ8π ö 8π 8
(cid:61)(cid:62) f ç π÷=sinç +j÷=0(cid:34)(cid:63)(cid:64) +j=kπ(cid:34)(cid:66)j=- π+kπ(cid:34)kÎZ(cid:25)
è3 ø è 3 ø 3 3
æ 8 ö æ 2 ö
(cid:63)(cid:64) f(x)=sinç4x- π+kπ÷=sinç4x- π+kπ÷(cid:34)
è 3 ø è 3 ø
æ 2 ö æ 2 ö
(cid:63)(cid:64) f x=sinç4x- π÷(cid:183) f x=-sinç4x- π÷(cid:34)
è 3 ø è 3 ø
(cid:148)(cid:61)(cid:62) f 0<0(cid:34)(cid:63)(cid:64) f(x)=sin æ ç4x- 2 π ö ÷(cid:34)\f π=sin æ ç4π- 2 π ö ÷=- 3 (cid:25)
è 3 ø è 3 ø 2
3
(cid:58)(cid:37)(cid:38)(cid:62)(cid:10)- (cid:25)
2
(cid:36)(cid:74)(cid:204)(cid:39)(cid:205)(cid:21)(cid:206)(cid:207)(cid:29)(cid:208)(cid:42)(cid:43)(cid:81)(cid:82)(cid:51)(cid:77)w(cid:64)(cid:203)(cid:78)(cid:13) f x(cid:47)(cid:209)(cid:210)(cid:113)(cid:34)(cid:67)(cid:65)(cid:60)(cid:77)(cid:34)(cid:211)(cid:212)(cid:213)(cid:214)(cid:89)(cid:45)(cid:78)(cid:13)(cid:47)(cid:88)(cid:3)(cid:128)(cid:129)(cid:34)
(cid:64)(cid:203)(cid:172)(cid:173)(cid:45)(cid:47)(cid:89)(cid:45)(cid:78)(cid:13)(cid:55)(cid:191)(cid:60)(cid:21)(cid:3)(cid:215)(cid:25)
(cid:22)(cid:23)(cid:89)(cid:45)(cid:78)(cid:13)(cid:216)(cid:205)(cid:217)(cid:218)
1(cid:23)(cid:219)(cid:220)(cid:221)
(cid:26)1(cid:31)(cid:160)(cid:222)(cid:10)(cid:223)(cid:224)(cid:220)(cid:179)(cid:101)(cid:184)(cid:225)(cid:224)(cid:47)(cid:219)(cid:63)(cid:100)(cid:47)(cid:226)(cid:154)(cid:45)(cid:227)(cid:228)1(cid:219)(cid:220)(cid:47)(cid:45)(cid:34)(cid:146)(cid:229)(cid:9)rad(cid:209)(cid:96)(cid:34)(cid:230)(cid:166)(cid:219)(cid:220)(cid:25)(cid:85)(cid:45)(cid:47)(cid:219)
(cid:220)(cid:13)(cid:191)(cid:22)(cid:75)(cid:85)(cid:13)(cid:34)(cid:231)(cid:45)(cid:47)(cid:219)(cid:220)(cid:13)(cid:191)(cid:22)(cid:75)(cid:231)(cid:13)(cid:34)(cid:108)(cid:45)(cid:47)(cid:219)(cid:220)(cid:13)(cid:191)0(cid:25)
p 180
(cid:26)2(cid:31)(cid:45)(cid:220)(cid:221)(cid:46)(cid:219)(cid:220)(cid:221)(cid:47)(cid:232)(cid:16)(cid:10)180=prad(cid:34)1= rad(cid:34)1rad= (cid:25)
180 p
1 1
(cid:26)3(cid:31)(cid:233)(cid:234)(cid:47)(cid:219)(cid:224)(cid:7)(cid:113)(cid:10)l =ar(cid:34)(cid:233)(cid:234)(cid:47)(cid:235)(cid:236)(cid:7)(cid:113)(cid:10)S = lr = ar2(cid:25)
2 2
2(cid:23)(cid:237)(cid:147)(cid:45)(cid:47)(cid:89)(cid:45)(cid:78)(cid:13)
y
(cid:26)1(cid:31)(cid:160)(cid:222)(cid:10)(cid:237)(cid:147)(cid:45)α(cid:47)(cid:238)(cid:239)(cid:72)(cid:24)(cid:240)(cid:226)(cid:73)(cid:101)(cid:74)P(x(cid:34)y)(cid:69)(cid:34)(cid:35)sina= y(cid:34)cosa=x(cid:34)tana= (x0)(cid:25)
x
(cid:26)2(cid:31)(cid:241)(cid:242)(cid:10)(cid:89)(cid:45)(cid:78)(cid:13)(cid:90)(cid:91)(cid:94)(cid:160)(cid:222)(cid:92)(cid:34)(cid:152)(cid:177)(cid:74)PP(x(cid:34)y)(cid:191)(cid:45)α(cid:238)(cid:239)(cid:80)(cid:243)(cid:101)(cid:244)(cid:74)(cid:47)(cid:237)(cid:22)(cid:74)(cid:34)(cid:176)(cid:74)P(cid:144)(cid:245)(cid:74)O
y x y
(cid:47)(cid:246)(cid:247)(cid:62)r (cid:34)(cid:35)sina= (cid:34)cosa= (cid:34)tana= (x0)
r r x(cid:89)(cid:45)(cid:78)(cid:13)(cid:47)(cid:128)(cid:129)(cid:95)(cid:102)(cid:209)(cid:10)
(cid:134)(cid:22)(cid:82) (cid:134)(cid:98)(cid:82)(cid:135) (cid:134)(cid:89)(cid:82) (cid:134)(cid:249)(cid:82)
(cid:89)(cid:45)(cid:78)(cid:13) (cid:160)(cid:222)(cid:248)
(cid:135)(cid:229)(cid:9) (cid:229)(cid:9) (cid:135)(cid:229)(cid:9) (cid:135)(cid:229)(cid:9)
sina R (cid:250) (cid:250) (cid:251) (cid:251)
cosa R (cid:250) (cid:251) (cid:251) (cid:250)
p
tana {a|akp+ (cid:34)kÎZ} (cid:250) (cid:251) (cid:250) (cid:251)
2
(cid:151)(cid:252)(cid:253)(cid:254)(cid:10)(cid:89)(cid:45)(cid:78)(cid:13)(cid:55)(cid:79)(cid:194)(cid:82)(cid:135)(cid:47)(cid:229)(cid:9)(cid:255)(cid:256)(cid:10)(cid:22)(cid:257)(cid:85)(cid:23)(cid:98)(cid:85)(cid:49)(cid:23)(cid:89)(cid:85)(cid:137)(cid:23)(cid:249)(cid:48)(cid:49)(cid:25)
(cid:98)(cid:23)(cid:107)(cid:45)(cid:89)(cid:45)(cid:78)(cid:13)(cid:216)(cid:205)(cid:3)(cid:52)
1(cid:23)(cid:107)(cid:45)(cid:89)(cid:45)(cid:78)(cid:13)(cid:47)(cid:216)(cid:205)(cid:3)(cid:52)
(cid:26)1(cid:31)(cid:143)(cid:114)(cid:3)(cid:52)(cid:10)sin2a+cos2a=1(cid:25)
sina p
(cid:26)2(cid:31)(cid:169)(cid:13)(cid:3)(cid:52)(cid:10) =tana(a +kp)(cid:126)
cosa 2
(cid:89)(cid:23)(cid:89)(cid:45)(cid:78)(cid:13)(cid:258)(cid:259)(cid:7)(cid:113)
(cid:7)(cid:113) (cid:22) (cid:98) (cid:89) (cid:249) (cid:93) (cid:260)
p p
(cid:45) 2kp+a(kÎZ) p+a -a p-a -a +a
2 2
(cid:85)(cid:49) sina -sina -sina sina cosa cosa
(cid:48)(cid:49) cosa -cosa cosa -cosa sina -sina
(cid:85)(cid:137) tana tana -tana -tana
(cid:253)(cid:254) (cid:78)(cid:13)(cid:261)(cid:123)(cid:180)(cid:34)(cid:229)(cid:9)(cid:262)(cid:82)(cid:135) (cid:78)(cid:13)(cid:261)(cid:263)(cid:180)(cid:34)(cid:229)(cid:9)(cid:262)(cid:82)(cid:135)
p
(cid:36)(cid:151)(cid:252)(cid:253)(cid:254)(cid:39)(cid:264)(cid:180)(cid:265)(cid:123)(cid:180)(cid:34)(cid:229)(cid:9)(cid:262)(cid:82)(cid:135)(cid:34)(cid:104)(cid:266)(cid:10)(cid:26)1(cid:31)(cid:267)(cid:268)(cid:258)(cid:259)(cid:89)(cid:45)(cid:78)(cid:13)(cid:113)(cid:92)(cid:47)(cid:45)(cid:269)(cid:22)(cid:270)(cid:166)n ±a(cid:126)(cid:26)2(cid:31)
2
p
(cid:271)(cid:272)(cid:88)(cid:99)(cid:109)(cid:34)(cid:22)(cid:256)(cid:273)(cid:62)(cid:182)(cid:45)(cid:34)(cid:192)(cid:193)n ±a(cid:63)(cid:197)(cid:47)(cid:82)(cid:135)(cid:34)(cid:274)(cid:192)(cid:193)(cid:21)(cid:176)(cid:89)(cid:45)(cid:78)(cid:13)(cid:79)(cid:275)(cid:82)(cid:135)(cid:47)(cid:85)(cid:231)(cid:126)(cid:26)3(cid:31)(cid:68)n
2
(cid:62)(cid:264)(cid:13)(cid:191)(cid:34)“(cid:264)(cid:180)”(cid:34)(cid:85)(cid:180)(cid:48)(cid:34)(cid:48)(cid:180)(cid:85)(cid:126)(cid:68)n(cid:62)(cid:265)(cid:13)(cid:69)(cid:34)“(cid:265)(cid:123)(cid:180)”(cid:78)(cid:13)(cid:261)(cid:276)(cid:277)(cid:123)(cid:180)(cid:66)(cid:50)(cid:25)
(cid:249)(cid:23)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:72)(cid:136)(cid:47)(cid:85)(cid:48)(cid:49)(cid:72)(cid:85)(cid:137)
sin(a±b)=sinacosb±cosasinb(cid:126)
①cos(a±b)=cosacosbsinasinb(cid:126)
② tana±tanb
tan(a±b)= (cid:126)
1tanatanb
③
(cid:93)(cid:23)(cid:98)(cid:163)(cid:45)(cid:7)(cid:113)
sin2a=2sinacosa(cid:126)
①cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a(cid:126)
②2tana
tan2a= (cid:126)
1-tan2a
③
(cid:260)(cid:23)(cid:278)(cid:279)(cid:26)(cid:280)(cid:31)(cid:7)(cid:113)
1 1-cos2a 1+cos2a
sinacosa= sin2a;sin2a= ;cos2a= ;
2 2 2
(cid:33)(cid:281)(cid:74)(cid:249)(cid:10)(cid:184)(cid:45)(cid:7)(cid:113)
a 1-cosa a 1+cosa
sin =± ;cos =± ;
2 2 2 2
a sina 1-cosa
tan = = .
2 1+cosa sina
(cid:282)(cid:23)(cid:283)(cid:284)(cid:45)(cid:7)(cid:113)
b a b
asina+bcosa= a2 +b2 sin(a+j)(cid:26)(cid:201)(cid:92)sinj= (cid:34)cosj= (cid:34)tanj= (cid:31)(cid:25)
a2 +b2 a2 +b2 a
(cid:285)(cid:23)(cid:85)(cid:49)(cid:23)(cid:48)(cid:49)(cid:23)(cid:85)(cid:137)(cid:78)(cid:13)(cid:47)(cid:81)(cid:82)(cid:72)(cid:128)(cid:129)(cid:26)(cid:102)(cid:209)(cid:92) kÎZ (cid:31)
(cid:78)(cid:13) y=sinx y=cosx y=tanx
(cid:81)(cid:82)
p
(cid:160)(cid:222)(cid:248) R R {x|xÎR(cid:34)xkp+ }
2
(cid:55)(cid:248) [-1(cid:34)1] [-1(cid:34)1] R
(cid:86)(cid:87)(cid:128) 2p 2p p
(cid:264)(cid:265)(cid:128) (cid:264)(cid:78)(cid:13) (cid:265)(cid:78)(cid:13) (cid:264)(cid:78)(cid:13)
p p p p
(cid:188)(cid:288)(cid:185)(cid:186) [2kp- (cid:34)2kp+ ] [-p+2kp(cid:34)2kp] (kp- (cid:34)kp+ )
2 2 2 2
p 3p
(cid:188)(cid:189)(cid:185)(cid:186) [2kp+ (cid:34)2kp+ ] [2kp(cid:34)p+2kp] (cid:271)
2 2
p kp
(cid:100)(cid:111)(cid:92)(cid:154) (kp(cid:34)0) (kp+ (cid:34)0) ( (cid:34)0)
2 2
p
(cid:100)(cid:111)(cid:112)(cid:114)(cid:115) x=kp+ x=kp (cid:271)
2
T T
(cid:4)(cid:10)(cid:85)(cid:26)(cid:48)(cid:31)(cid:49)(cid:70)(cid:71)(cid:106)(cid:286)(cid:44)(cid:161)(cid:100)(cid:111)(cid:112)(cid:287)(cid:186)(cid:47)(cid:246)(cid:247)(cid:191) (cid:126)(cid:85)(cid:26)(cid:48)(cid:31)(cid:49)(cid:70)(cid:71)(cid:106)(cid:286)(cid:44)(cid:75)(cid:100)(cid:111)(cid:92)(cid:154)(cid:47)(cid:246)(cid:247)(cid:191) (cid:126)
2 2
T
(cid:85)(cid:26)(cid:48)(cid:31)(cid:49)(cid:70)(cid:71)(cid:106)(cid:286)(cid:44)(cid:161)(cid:100)(cid:111)(cid:112)(cid:72)(cid:100)(cid:111)(cid:92)(cid:154)(cid:246)(cid:247) (cid:126)
4(cid:289)(cid:23) y= Asin(wx+f) (cid:72) y= Acos(wx+f)(A>0,w>0) (cid:47)(cid:81)(cid:110)(cid:72)(cid:128)(cid:129)
2p
(cid:26)1(cid:31)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:10)T = (cid:25)
w
(cid:26)2(cid:31)(cid:160)(cid:222)(cid:248)(cid:72)(cid:55)(cid:248)(cid:10)y= Asin(wx+f)(cid:34)y= Acos(wx+f(cid:31)(cid:47)(cid:160)(cid:222)(cid:248)(cid:62)R(cid:34)(cid:55)(cid:248)(cid:62)[-A(cid:34)A](cid:25)
(cid:26)3(cid:31)(cid:83)(cid:55)
(cid:290)(cid:176)A>0(cid:34)w>0(cid:25)
(cid:100)(cid:101)y= Asin(wx+f)(cid:34)
①ì p
(cid:68)wx+f= +2kp(kÎZ)(cid:69)(cid:34)(cid:78)(cid:13)(cid:177)(cid:120)(cid:83)(cid:109)(cid:55)A;
ï
ï 2
í
p
ï(cid:68)wx+f=- +2kp(kÎZ)(cid:69)(cid:34)(cid:78)(cid:13)(cid:177)(cid:120)(cid:83)(cid:84)(cid:55)-A;
ïî 2
(cid:100)(cid:101)y= Acos(wx+f(cid:31)(cid:34)
②ì (cid:68)wx+f=2kp(kÎZ)(cid:69)(cid:34)(cid:78)(cid:13)(cid:177)(cid:120)(cid:83)(cid:109)(cid:55)A;
í
î
(cid:68)wx+f=2kp+p(kÎZ)(cid:69)(cid:34)(cid:78)(cid:13)(cid:177)(cid:120)(cid:83)(cid:84)(cid:55)-A;
(cid:26)4(cid:31)(cid:100)(cid:111)(cid:112)(cid:72)(cid:100)(cid:111)(cid:92)(cid:154)(cid:25)
(cid:290)(cid:176)A>0(cid:34)w>0(cid:25)
(cid:100)(cid:101)y= Asin(wx+f)(cid:34)
①ì p
(cid:68)wx +f=kp+ (kÎZ)(cid:34)(cid:66)sin(wx +f)
ï 0 2 0
ï
ï
í
=±1(cid:69)(cid:34)y=sin(wx+f)(cid:47)(cid:100)(cid:111)(cid:112)(cid:62)x=x
0
ï(cid:68)wx +f=kp(kÎZ)(cid:34)(cid:66)sin(wx +f)=0
ï 0 0
ïî (cid:69)(cid:34)y=sin(wx+f)(cid:47)(cid:100)(cid:111)(cid:92)(cid:154)(cid:62)(x ,0).
0
(cid:100)(cid:101)y= Acos(wx+f(cid:31)(cid:34)
②ì(cid:68)wx +f=kp(kÎZ)(cid:34)(cid:66)cos(wx +f)=±1
0 0
ï
(cid:69)(cid:34)y=cos(wx+f)(cid:47)(cid:100)(cid:111)(cid:112)(cid:62)x=x
ï ï 0
í p
ï
(cid:68)wx +f=kp+ (kÎZ)(cid:34)(cid:66)cos(wx +f)
0 2 0
ï
ïî=0(cid:69)(cid:34)y=cos(wx+f)(cid:47)(cid:100)(cid:111)(cid:92)(cid:154)(cid:62)(x ,0).
0
(cid:85)(cid:23)(cid:48)(cid:49)(cid:70)(cid:71)(cid:47)(cid:100)(cid:111)(cid:112)(cid:191)(cid:106)(cid:291)(cid:78)(cid:13)(cid:177)(cid:83)(cid:109)(cid:26)(cid:84)(cid:31)(cid:55)(cid:47)(cid:240)(cid:292)(cid:25)(cid:85)(cid:23)(cid:48)(cid:49)(cid:47)(cid:100)(cid:111)(cid:92)(cid:154)(cid:191)(cid:106)(cid:291)(cid:78)(cid:13)(cid:72)x(cid:112)(cid:73)(cid:74)(cid:47)(cid:240)
(cid:292)(cid:25)
(cid:26)5(cid:31)(cid:24)(cid:187)(cid:128)(cid:25)
(cid:290)(cid:176)A>0(cid:34)w>0(cid:25)
(cid:100)(cid:101)y= Asin(wx+f)(cid:34)
①ì p p
wx+fÎ[- +2kp, +2kp](kÎZ)Þ(cid:288)(cid:185)(cid:186)(cid:126)
ï
ï 2 2
í
ï wx+fÎ[
p
+2kp,
3p
+2kp](kÎZ)Þ(cid:189)(cid:185)(cid:186).
ïî 2 2(cid:100)(cid:101)y= Acos(wx+f(cid:31)(cid:34)
②ìwx+fÎ[-p+2kp,2kp](kÎZ)Þ(cid:288)(cid:185)(cid:186)(cid:126)
í
î
wx+fÎ[2kp,2kp+p](kÎZ)Þ(cid:189)(cid:185)(cid:186).
(cid:26)6(cid:31)(cid:143)(cid:293)(cid:72)(cid:294)(cid:139)
p
(cid:97)(cid:78)(cid:13)y=sinx(cid:47)(cid:81)(cid:110)(cid:180)(cid:181)(cid:62)(cid:78)(cid:13)y=2sin(2x+ )+3(cid:47)(cid:81)(cid:110)(cid:47)(cid:295)(cid:296)(cid:126)
3
p p
(cid:114)(cid:94)(cid:22)(cid:10)(x®x+ ®2x+ )(cid:25)(cid:267)(cid:106)(cid:240)(cid:180)(cid:181)(cid:34)(cid:142)(cid:86)(cid:87)(cid:180)(cid:181)(cid:34)(cid:138)(cid:297)(cid:298)(cid:180)(cid:181)(cid:34)(cid:123)(cid:299)(cid:300)(cid:146)(cid:301)(cid:302)(cid:151)(cid:252)(cid:10)(cid:303)(cid:304)“(cid:305)(cid:306)(cid:231)”
2 3
(cid:26)(cid:106)(cid:22)(cid:87)(cid:22)(cid:298)(cid:31)(cid:89)(cid:45)(cid:78)(cid:13)(cid:81)(cid:110)(cid:34)(cid:307)(cid:287)(cid:180)(cid:234)(cid:25)
(cid:308)(cid:309)(cid:143)(cid:293) p (cid:75)(cid:24)(cid:240) p (cid:63)(cid:88)(cid:74)(cid:47)(cid:310)(cid:90)(cid:91)(cid:180)(cid:62)(cid:245)(cid:311)(cid:47)1
y=sinx(cid:47)(cid:81)(cid:110)¾¾¾¾3 ¾¾® y=sin(x+ )(cid:47)(cid:81)(cid:110) ¾¾¾¾¾¾¾¾2¾®
3 (cid:312)(cid:90)(cid:91)(cid:123)(cid:180)
p p
y=sin(2x+ )(cid:47)(cid:81)(cid:110) ¾(cid:63)¾(cid:88)¾(cid:74)(cid:47)¾(cid:312)(cid:90)¾(cid:91)(cid:180)¾(cid:62)(cid:245)¾(cid:311)¾(cid:47)2(cid:163)¾® y=2sin(2x+ )(cid:47)(cid:81)(cid:110)
3 (cid:310)(cid:90)(cid:91)(cid:123)(cid:180) 3
p
¾(cid:308)¾(cid:80)(cid:143)¾(cid:293)¾3(cid:75)(cid:24)¾(cid:240)¾® y=2sin(2x+ )+3
3
p p
(cid:114)(cid:94)(cid:98)(cid:10)(x®x+ ®2x+ )(cid:25)(cid:267)(cid:86)(cid:87)(cid:180)(cid:181)(cid:34)(cid:142)(cid:106)(cid:240)(cid:180)(cid:181)(cid:34)(cid:138)(cid:297)(cid:298)(cid:180)(cid:181)(cid:25)
2 3
(cid:63)(cid:88)(cid:74)(cid:47)(cid:310)(cid:90)(cid:91)(cid:180)(cid:62)(cid:245)(cid:311)(cid:47)1
(cid:308)(cid:309)(cid:143)(cid:293)
p
(cid:75)(cid:24)(cid:240)
y=sinx(cid:47)(cid:81)(cid:110) ¾¾¾¾¾¾¾¾2¾® y=sin2x(cid:47)(cid:81)(cid:110)¾¾¾¾6 ¾¾®
(cid:312)(cid:90)(cid:91)(cid:123)(cid:180)
p p
y=sin2(x+ )=sin(2x+ )(cid:47)(cid:81)(cid:110) ¾(cid:63)¾(cid:88)¾(cid:74)(cid:47)¾(cid:312)(cid:90)¾(cid:91)(cid:180)¾(cid:62)(cid:245)¾(cid:311)¾(cid:47)2(cid:163)¾®
6 2 (cid:310)(cid:90)(cid:91)(cid:123)(cid:180)
p p
y=2sin(2x+ )(cid:47)(cid:81)(cid:110)¾(cid:308)¾(cid:80)(cid:143)¾(cid:293)¾3(cid:194)(cid:24)¾(cid:240)¾® y=2sin(2x+ )+3
3 3
(cid:4)(cid:10)(cid:79)(cid:156)(cid:313)(cid:81)(cid:110)(cid:180)(cid:181)(cid:69)(cid:34)(cid:314)(cid:315)(cid:267)(cid:143)(cid:293)(cid:142)(cid:294)(cid:139)(cid:26)(cid:267)(cid:106)(cid:240)(cid:142)(cid:86)(cid:87)(cid:34)(cid:66)“(cid:305)(cid:306)(cid:231)”(cid:31)(cid:34)(cid:316)(cid:267)(cid:294)(cid:139)(cid:142)(cid:143)(cid:293)(cid:26)(cid:267)(cid:86)(cid:87)(cid:142)(cid:106)
(cid:240)(cid:31)(cid:79)(cid:21)(cid:317)(cid:92)(cid:318)(cid:319)(cid:320)(cid:77)(cid:321)(cid:34)(cid:63)(cid:64)(cid:322)(cid:323)(cid:211)(cid:212)(cid:213)(cid:214)(cid:34)(cid:271)(cid:272)(cid:324)(cid:325)(cid:180)(cid:16)(cid:34)(cid:137)(cid:151)(cid:117)(cid:22)(cid:75)(cid:180)(cid:181)(cid:326)(cid:191)(cid:100)(cid:180)(cid:327)x(cid:65)(cid:328)(cid:47)(cid:34)(cid:66)(cid:81)
(cid:110)(cid:180)(cid:181)(cid:207)(cid:262)“(cid:180)(cid:327)x”(cid:329)(cid:330)(cid:99)(cid:109)(cid:180)(cid:16)(cid:34)(cid:65)(cid:123)(cid:191)“(cid:45)wx+f”(cid:180)(cid:16)(cid:99)(cid:331)(cid:25)
(cid:36)(cid:89)(cid:45)(cid:78)(cid:13)(cid:320)(cid:146)(cid:53)(cid:272)(cid:39)
sina
1(cid:23)(cid:145)(cid:146)sin2a+cos2a=1(cid:50)(cid:64)(cid:332)(cid:321)(cid:45)a(cid:47)(cid:85)(cid:49)(cid:23)(cid:48)(cid:49)(cid:47)(cid:232)(cid:16)(cid:34)(cid:145)(cid:146) =tana(cid:50)(cid:64)(cid:332)(cid:321)(cid:45)a(cid:47)(cid:49)(cid:137)(cid:232)
cosa
(cid:16)(cid:25)
2(cid:23)“sina+cosa(cid:34)sinacosa(cid:34)sina-cosa”(cid:114)(cid:115)(cid:333)(cid:305)(cid:33)(cid:22)(cid:51)(cid:98)(cid:25)
(sina+cosa)2 =sin2a+cos2a+2sinacosa=1+sin2a
(sina-cosa)2 =sin2a+cos2a-2sinacosa=1-sin2a
(sina+cosa)2 +(sina-cosa)2 =2
3(cid:23)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:72)(cid:136)(cid:85)(cid:137)(cid:7)(cid:113)(cid:180)(cid:234)
tana±tanb=tan(a±b)(1tanatanb)(cid:126)tana+tanb tana-tanb
tanatanb=1- = -1(cid:25)
tan(a+b) tan(a-b)
4(cid:23)(cid:278)(cid:280)(cid:7)(cid:113)(cid:72)(cid:334)(cid:280)(cid:7)(cid:113)
1-cos2a 1+cos2a 1
sin2a= (cid:126)cos2a= (cid:126)sinacosa= sin2a(cid:126)
2 2 2
1+cos2a=2cos2a(cid:126)1-cos2a=2sin2a(cid:126)1+sin2a=(sina+cosa)2(cid:126)1-sin2a=(sina-cosa)2(cid:25)
5(cid:23)(cid:201)(cid:335)(cid:320)(cid:146)(cid:180)(cid:113)
2sinacosa 2tana cos2a-sin2a 1-tan2a a sina 1-cosa
sin2a= = (cid:126)cos2a= = (cid:126)tan = = (cid:25)
sin2a+cos2a 1+tan2a sin2a+cos2a 1+tan2a 2 1+cosa sina
a 1
6(cid:23)(cid:336)(cid:40)(cid:45)(cid:337)(cid:21)(cid:10) a=2 (cid:126)a=(a+b)-b(cid:126) a=b-(b-a)(cid:126) a= [(a+b)+(a-b)](cid:126)
2 2
① ② ③
1 p p p
b= [(a+b)-(a-b)](cid:126) +a= -( -a)(cid:25)
2 4 2 4
④ ⑤
p p
(cid:4)(cid:147)(cid:10)(cid:172)(cid:173)(cid:47)(cid:45)(cid:318)(cid:262)(cid:338)(cid:32)(cid:33)(cid:45)(cid:34)(cid:95)a= -( -a)(cid:25)
4 4
7(cid:23)(cid:3)(cid:101)(cid:89)(cid:45)(cid:78)(cid:13)(cid:100)(cid:111)(cid:47)(cid:339)(cid:75)(cid:340)(cid:207)(cid:53)(cid:272)
p
(cid:26)1(cid:31)(cid:78)(cid:13)y=sinx(cid:47)(cid:100)(cid:111)(cid:112)(cid:62)x=kp+ (kÎZ)(cid:34)(cid:100)(cid:111)(cid:92)(cid:154)(cid:62)(kp.0)(kÎZ)(cid:126)
2
p
(cid:26)2(cid:31)(cid:78)(cid:13)y=cosx(cid:47)(cid:100)(cid:111)(cid:112)(cid:62)x=kp(kÎZ)(cid:34)(cid:100)(cid:111)(cid:92)(cid:154)(cid:62)(kp+ ,0)(kÎZ)(cid:126)
2
kp
(cid:26)3(cid:31)(cid:78)(cid:13)y=tanx(cid:78)(cid:13)(cid:271)(cid:100)(cid:111)(cid:112)(cid:34)(cid:100)(cid:111)(cid:92)(cid:154)(cid:62)( ,0)(kÎZ)(cid:126)
2
p
(cid:26)4(cid:31)(cid:51)(cid:78)(cid:13)y= Asin(wx+f)+b(w0)(cid:47)(cid:100)(cid:111)(cid:112)(cid:47)(cid:114)(cid:94)(cid:126)(cid:119)wx+f= +kp(kÎZ)(cid:34)(cid:120)
2
p
+kp-f
x= 2 (kÎZ)(cid:126)(cid:100)(cid:111)(cid:92)(cid:154)(cid:47)(cid:51)(cid:177)(cid:114)(cid:94)(cid:126)(cid:119)wx+f=kp(kÎZ)(cid:34)(cid:120)x=
kp-f
(cid:34)(cid:66)(cid:100)(cid:111)(cid:92)(cid:154)(cid:62)(
kp-f
(cid:34)b)(cid:25)
w w w
p
+kp-f
(cid:26)5(cid:31)(cid:51)(cid:78)(cid:13)y= Acos(wx+f)+b(w0)(cid:47)(cid:100)(cid:111)(cid:112)(cid:47)(cid:114)(cid:94)(cid:126)(cid:119)wx+f=kp(kÎZ)(cid:120)x= 2 (cid:34)(cid:66)(cid:100)(cid:111)(cid:92)
w
p
+kp-f
(cid:154)(cid:62)( 2 ,b)(kÎZ)
w
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:20)(cid:21)
æπ ö æ πö
1(cid:25)(cid:26)2024·(cid:341)(cid:342)(cid:343)(cid:344)·(cid:89)(cid:345)(cid:31)(cid:32)(cid:33)cosç -q÷=3cosçq+ ÷(cid:34)(cid:35)sin2q=(cid:26) (cid:31)
è4 ø è 4ø3 4 3 4
A(cid:25) B(cid:25) C(cid:25)- D(cid:25)-
5 5 5 5
(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)B
(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:39)(cid:346)(cid:347)(cid:274)(cid:107)(cid:69)(cid:143)(cid:114)(cid:34)(cid:53)(cid:54)(cid:98)(cid:163)(cid:45)(cid:47)(cid:85)(cid:49)(cid:7)(cid:113)(cid:66)(cid:50)(cid:120)(cid:144)(cid:3)(cid:101)sin2q(cid:47)(cid:114)(cid:115)(cid:34)(cid:60)(cid:77)(cid:66)(cid:50).
2 2
(cid:36)(cid:59)(cid:60)(cid:39)(cid:346)(cid:347)(cid:120) (cosq+sinq)=3 (cosq-sinq)(cid:34)
2 2
1 9
(cid:44)(cid:239)(cid:107)(cid:69)(cid:143)(cid:114)(cid:88) (cosq+sinq)2 = (cosq-sinq)2(cid:34)
2 2
1 9 4
(cid:66) (1+sin2q)= (1-sin2q)(cid:34)(cid:60)(cid:120)sin2q= (cid:34)
2 2 5
(cid:58)(cid:20)(cid:10)B.
2(cid:25)(cid:26)2024·(cid:348)(cid:349)(cid:350)(cid:343)·(cid:89)(cid:345)(cid:31)(cid:152)sina-cosa= 2(cid:34)(cid:35)tana=(cid:26) (cid:31)
A(cid:25)1 B(cid:25)-1 C(cid:25)2 D(cid:25)-2
(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)B
(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:39)(cid:97)(cid:107)(cid:45)(cid:47)(cid:89)(cid:45)(cid:78)(cid:13)(cid:46)(cid:98)(cid:163)(cid:45)(cid:7)(cid:113)(cid:53)(cid:54)(cid:172)(cid:173)(cid:45)(cid:47)(cid:89)(cid:45)(cid:78)(cid:13)(cid:164)(cid:165)(cid:50)(cid:120).
(cid:36)(cid:59)(cid:60)(cid:39)(cid:61)(cid:62)sina-cosa= 2(cid:34)
(cid:63)(cid:64)sina-cosa2 =sin2a+cos2a-2sinacosa=1-sin2a=2(cid:34)
3 3
(cid:63)(cid:64)sin2a=-1Þ2a=2kπ+ π,kÎZÞa=kπ+ π,kÎZ(cid:34)
2 4
(cid:63)(cid:64)tana=-1(cid:34)
(cid:58)(cid:20)(cid:10)B
æ πö
3(cid:25)(cid:26)2024·(cid:340)(cid:351)·(cid:89)(cid:345)(cid:31)(cid:32)(cid:33)aÎç0, ÷(cid:34)(cid:153)2sin2a=4cosa-3cos3a(cid:34)(cid:35)cos2a=(cid:26) (cid:31)
è 3ø
2 1 7 2 2
A(cid:25) B(cid:25) C(cid:25) D(cid:25)
9 3 9 3
(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)C
1
(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:39)(cid:42)(cid:43)(cid:98)(cid:163)(cid:45)(cid:7)(cid:113)(cid:16)(cid:168)(cid:46)(cid:107)(cid:45)(cid:89)(cid:45)(cid:78)(cid:13)(cid:3)(cid:52)(cid:51)(cid:77)sina= (cid:34)(cid:145)(cid:146)(cid:48)(cid:49)(cid:98)(cid:163)(cid:45)(cid:7)(cid:113)(cid:51)(cid:77)(cid:37)(cid:38).
3
æ πö 3
(cid:36)(cid:59)(cid:60)(cid:39)(cid:61)(cid:62)aÎç0, ÷(cid:34)(cid:63)(cid:64)cosa0(cid:34)0<sina< (cid:34)
è 3ø 2
(cid:61)(cid:62)2sin2a=4cosa-3cos3a(cid:34)
(cid:63)(cid:64)4sinacosa=4cosa-3cos3a(cid:34)
(cid:63)(cid:64)4sina=4-3cos2a=4-3  1-sin2a  (cid:34)
1
(cid:60)(cid:120)sina= (cid:183)sina=1((cid:352))(cid:34)
3
1 7
(cid:35)cos2a=1-2sin2a=1-2´ = .
9 9(cid:58)(cid:20)(cid:10)C
æ πö
4(cid:25)(cid:26)2024·(cid:353)(cid:341)·(cid:89)(cid:345)(cid:31)(cid:152)sina-b+cosa-b=2 2sinça- ÷sinb(cid:34)(cid:35)(cid:26) (cid:31)
è 4ø
A(cid:25)tana-b=-1 B(cid:25)tana-b=1
C(cid:25)tana+b=-1 D(cid:25)tana+b=1
(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)C
(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:39)(cid:145)(cid:146)(cid:46)(cid:136)(cid:45)(cid:7)(cid:113)(cid:346)(cid:347)(cid:34)(cid:66)(cid:50)(cid:120)(cid:144)sinacosb+cosacosb=sinasinb-cosasinb(cid:34)(cid:138)(cid:44)(cid:239)(cid:107)(cid:175)
cosacosb(cid:34)(cid:83)(cid:142)(cid:53)(cid:54)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:85)(cid:137)(cid:7)(cid:113)(cid:164)(cid:165)(cid:50)(cid:120).
æ πö
(cid:36)(cid:59)(cid:60)(cid:39)(cid:61)(cid:62)sina-b+cosa-b=2 2sinça- ÷sinb(cid:34)
è 4ø
æ π πö
(cid:63)(cid:64)sinacosb-cosasinb+cosacosb+sinasinb=2 2çsinacos -cosasin ÷sinb(cid:34)
è 4 4ø
(cid:66)sinacosb-cosasinb+cosacosb+sinasinb=2sinasinb-2cosasinb(cid:34)
(cid:66)sinacosb+cosacosb=sinasinb-cosasinb(cid:34)
(cid:44)(cid:239)(cid:107)(cid:175)cosacosb(cid:50)(cid:120)tana+1=tanatanb-tanb(cid:34)
tana+tanb
(cid:63)(cid:64)tana+b= =-1.
1-tanatanb
(cid:58)(cid:20)(cid:10)C
3cosa
5(cid:25)(cid:26)2024·(cid:354)(cid:355)(cid:276)(cid:160)·(cid:98)(cid:345)(cid:31)(cid:32)(cid:33)tana= (cid:34)(cid:35)cos2a=(cid:26) (cid:31)
sina+11
7 7 7 7
A(cid:25)- B(cid:25) C(cid:25) D(cid:25)-
8 8 9 9
(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)B
(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:39)(cid:145)(cid:146)(cid:137)(cid:16)(cid:49)(cid:46)(cid:107)(cid:45)(cid:89)(cid:45)(cid:78)(cid:13)(cid:47)(cid:3)(cid:52)(cid:34)(cid:60)(cid:77)sina(cid:34)(cid:138)(cid:53)(cid:54)(cid:98)(cid:163)(cid:45)(cid:7)(cid:113)(cid:66)(cid:50)(cid:51)(cid:60).
sina 3cosa
(cid:36)(cid:59)(cid:60)(cid:39)(cid:61)(cid:62) = (cid:34)
cosa sina+11
(cid:63)(cid:64)4sin2a+11sina-3=0(cid:34)
1
(cid:60)(cid:120)sina= (cid:183)sina=-3(cid:26)(cid:352)(cid:356)(cid:31)(cid:34)
4
7
(cid:63)(cid:64)cos2a=1-2sin2a= (cid:25)
8
(cid:58)(cid:20)(cid:10)B.
7
6(cid:25)(cid:26)2024·(cid:357)(cid:355)(cid:358)(cid:359)·(cid:89)(cid:345)(cid:31)(cid:32)(cid:33)sinq+cosq= (cid:34)(cid:35)sinq-cosq(cid:47)(cid:55)(cid:62)(cid:26) (cid:31)
13
17 7 17 7
A(cid:25) B(cid:25) C(cid:25)± D(cid:25)±
13 13 13 13
(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)C(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:39)(cid:42)(cid:43)(cid:21)(cid:147)(cid:34)(cid:53)(cid:54)(cid:89)(cid:45)(cid:78)(cid:13)(cid:47)(cid:216)(cid:205)(cid:3)(cid:52)(cid:113)(cid:34)(cid:66)(cid:50)(cid:51)(cid:60).
7 49
(cid:36)(cid:59)(cid:60)(cid:39)(cid:97)sinq+cosq= (cid:34)(cid:50)(cid:120)sinq+cosq2 =1+2sinqcosq= (cid:34)
13 169
120
(cid:50)(cid:120)2sinqcosq=-
169
120 289
(cid:35)sinq-cosq2 =sin2q+cos2q-2sinqcosq=1+ = (cid:34)
169 169
120
(cid:61)(cid:62)2sinqcosq=- <0(cid:34)(cid:63)(cid:64)sinq(cid:72)cosq(cid:243)(cid:9)(cid:34)(cid:50)(cid:120)q(cid:62)(cid:134)(cid:98)(cid:183)(cid:134)(cid:249)(cid:82)(cid:135)(cid:34)
169
17
(cid:68)q(cid:62)(cid:134)(cid:98)(cid:82)(cid:135)(cid:45)(cid:69)(cid:34)(cid:50)(cid:120)sinq-cosq= (cid:126)
13
17
(cid:68)q(cid:62)(cid:134)(cid:249)(cid:82)(cid:135)(cid:45)(cid:69)(cid:34)(cid:50)(cid:120)sinq-cosq=- .
13
(cid:58)(cid:20)(cid:10)C.
7(cid:25)(cid:26)2024·(cid:348)(cid:349)(cid:360)(cid:361)·(cid:89)(cid:345)(cid:31)(cid:62)(cid:362)(cid:120)(cid:144) y=sin2x+cos2x(cid:47)(cid:81)(cid:82)(cid:34)(cid:195)(cid:207)(cid:223) y= 2cos2x(cid:47)(cid:81)(cid:82)(cid:80)(cid:63)(cid:88)(cid:47)(cid:74)
(cid:26) (cid:31)
π π
A(cid:25)(cid:308)(cid:363)(cid:143)(cid:313)(cid:293)(cid:364) (cid:75)(cid:24)(cid:240)(cid:224)(cid:220) B(cid:25)(cid:308)(cid:309)(cid:143)(cid:313)(cid:293)(cid:364) (cid:75)(cid:24)(cid:240)(cid:224)(cid:220)
8 8
π π
C(cid:25)(cid:308)(cid:363)(cid:143)(cid:313)(cid:293)(cid:364) (cid:75)(cid:24)(cid:240)(cid:224)(cid:220) D(cid:25)(cid:308)(cid:309)(cid:143)(cid:313)(cid:293)(cid:364) (cid:75)(cid:24)(cid:240)(cid:224)(cid:220)
4 4
(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)A
(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:39)(cid:145)(cid:146)(cid:258)(cid:259)(cid:7)(cid:113)(cid:269)(cid:22)(cid:78)(cid:13)(cid:261)(cid:34)(cid:138)(cid:42)(cid:43)(cid:78)(cid:13)y= Asinwx+j(cid:47)(cid:81)(cid:82)(cid:180)(cid:181)(cid:255)(cid:256)(cid:34)(cid:120)(cid:77)(cid:53)(cid:272)(cid:25)
æ πö
(cid:36)(cid:59)(cid:60)(cid:39)y=sin2x+cos2x= 2sinç2x+ ÷(cid:34)
è 4ø
æ πö é æ πöù
(cid:97)(cid:258)(cid:259)(cid:7)(cid:113)(cid:50)(cid:33)(cid:10)y= 2cos2x= 2sinç2x+ ÷= 2sinê2çx+ ÷ú
è 2ø ë è 4øû
æ πö é æ πöù
(cid:148)y= 2sinç2x+ ÷= 2sinê2çx+ ÷ú
è 4ø ë è 8øû
π π π π
(cid:35) - = (cid:34)(cid:66)(cid:195)(cid:365)(cid:223)(cid:81)(cid:82)(cid:308)(cid:363)(cid:143)(cid:293) (cid:75)(cid:24)(cid:240).
4 8 8 8
(cid:58)(cid:20)(cid:10)A
æ πö
8(cid:25)(cid:26)2024·(cid:366)(cid:367)(cid:368)(cid:369)(cid:27)·(cid:89)(cid:345)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:78)(cid:13) f x=sinç2x- ÷(cid:34)(cid:3)(cid:101)(cid:275)(cid:78)(cid:13)(cid:88)(cid:102)(cid:103)(cid:249)(cid:75)(cid:104)(cid:94)(cid:10)
è 6ø
æ5π ö
(cid:26)1(cid:31)(cid:78)(cid:13) f x(cid:47)(cid:81)(cid:82)(cid:3)(cid:101)(cid:74)ç ,0÷(cid:92)(cid:154)(cid:100)(cid:111)
è12 ø
π
(cid:26)2(cid:31)(cid:78)(cid:13) f x(cid:47)(cid:81)(cid:82)(cid:3)(cid:101)(cid:170)(cid:71)x=- (cid:100)(cid:111)
8
(cid:26)3(cid:31)(cid:78)(cid:13) f x(cid:79)(cid:185)(cid:186)-π,π(cid:370)(cid:88)4(cid:75)(cid:108)(cid:74)é π ù
(cid:26)4(cid:31)(cid:78)(cid:13) f x(cid:79)(cid:185)(cid:186) - ,0 (cid:80)(cid:24)(cid:187)(cid:188)(cid:288)
ê ú
ë 2 û
(cid:64)(cid:80)(cid:249)(cid:75)(cid:104)(cid:94)(cid:92)(cid:34)(cid:85)(cid:105)(cid:47)(cid:75)(cid:13)(cid:62)(cid:26) (cid:31)
A(cid:25)1 B(cid:25)2 C(cid:25)3 D(cid:25)4
(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)A
(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:39)(cid:42)(cid:43)(cid:21)(cid:147)(cid:34)(cid:145)(cid:146)(cid:89)(cid:45)(cid:78)(cid:13)(cid:47)(cid:81)(cid:82)(cid:72)(cid:128)(cid:129)(cid:34)(cid:116)(cid:118)(cid:192)(cid:160)(cid:34)(cid:66)(cid:50)(cid:51)(cid:60).
5π 5π π 2π 3
(cid:36)(cid:59)(cid:60)(cid:39)(cid:100)(cid:101)(cid:26)1(cid:31)(cid:34)(cid:97) f( )=sin(2´ - )=sin = 0(cid:34)
12 12 6 3 2
æ5π ö
(cid:63)(cid:64)ç ,0÷(cid:123)(cid:191)(cid:78)(cid:13) f x(cid:47)(cid:81)(cid:82)(cid:47)(cid:100)(cid:111)(cid:92)(cid:154)(cid:34)(cid:63)(cid:64)(cid:26)1(cid:31)(cid:124)(cid:125)(cid:126)
è12 ø
π π π 5π
(cid:100)(cid:101)(cid:26)2(cid:31)(cid:92)(cid:34)(cid:97) f(- )=sin(-2´ - )=sin(- )±1(cid:34)
8 8 6 12
π
(cid:63)(cid:64)x=- (cid:123)(cid:191)(cid:78)(cid:13) f x(cid:47)(cid:81)(cid:82)(cid:47)(cid:100)(cid:111)(cid:112)(cid:34)(cid:63)(cid:64)(cid:26)2(cid:31)(cid:124)(cid:125)(cid:126)
8
π π kπ
(cid:100)(cid:101)(cid:26)3(cid:31)(cid:92)(cid:34)(cid:119)2x- =kπ,kÎZ(cid:34)(cid:50)(cid:120)x= + ,kÎZ(cid:34)
6 12 2
π 7π 5π
(cid:68)k =0(cid:69)(cid:34)(cid:50)(cid:120)x= (cid:126)(cid:68)k=1(cid:69)(cid:34)(cid:50)(cid:120)x= (cid:126)(cid:68)k =-1(cid:69)(cid:34)(cid:50)(cid:120)x=- (cid:126)
12 12 12
11π
(cid:68)k =-2(cid:69)(cid:34)(cid:50)(cid:120)x=- (cid:34)(cid:63)(cid:64)(cid:79)-π,π(cid:370)(cid:34)(cid:78)(cid:13) f x(cid:88)4(cid:75)(cid:108)(cid:74)(cid:34)(cid:63)(cid:64)(cid:26)3(cid:31)(cid:85)(cid:105)(cid:126)
12
é π ù π é 7π πù
(cid:100)(cid:101)(cid:26)4(cid:31)(cid:92)(cid:34)(cid:97)xÎ - ,0 (cid:34)(cid:50)(cid:120)2x- Î - ,- (cid:34)(cid:167)(cid:69)(cid:78)(cid:13) f x(cid:123)(cid:191)(cid:24)(cid:187)(cid:78)(cid:13)(cid:34)(cid:63)(cid:64)(cid:26)4(cid:31)(cid:124)(cid:125).
ê ú ê ú
ë 2 û 6 ë 6 6û
(cid:58)(cid:20)(cid:10)A.
1
9(cid:25)(cid:26)2024·(cid:354)(cid:355)(cid:371)(cid:372)(cid:373)·(cid:89)(cid:345)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:45)a,b(cid:130)(cid:131)tana= ,2sinb=cosa+bsina(cid:34)(cid:35)tanb=(cid:26) (cid:31)
3
1 1 1
A(cid:25) B(cid:25) C(cid:25) D(cid:25)2
3 6 7
(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)C
(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:39)(cid:374)(cid:284)b=a+b-a(cid:100)(cid:32)(cid:33)(cid:16)(cid:168)(cid:34)(cid:50)(cid:51)(cid:77)tana+b(cid:47)(cid:55)(cid:34)(cid:138)(cid:97)tanb=tan a+b-a (cid:50)(cid:60).
(cid:36)(cid:59)(cid:60)(cid:39)(cid:61)(cid:62)2sinb=cosa+bsina(cid:34)(cid:66)2siné
ë
a+b-aù
û
=cosa+bsina(cid:34)
(cid:63)(cid:64)2sina+bcosa-2cosa+bsina=cosa+bsina(cid:34)
3 1
(cid:375)(cid:15)(cid:120)2sina+bcosa=3cosa+bsina(cid:34)(cid:180)(cid:234)(cid:120)tana+b= tana= (cid:34)
2 2
tana+b-tana
1
(cid:63)(cid:64)tanb=tané ë a+b-aù û = 1+tana+btana = 7 .
(cid:58)(cid:20)(cid:10)Cæ p pö
10(cid:25)(cid:26)2024·(cid:340)(cid:351)·(cid:89)(cid:345)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:78)(cid:13) f(x)= Asin(wx+j)çA>0,w>0,- <j< ÷(cid:47)(cid:376)(cid:40)(cid:81)(cid:110)(cid:95)(cid:81)(cid:63)(cid:96)(cid:34)(cid:152)
è 2 2ø
1 æ 5pö
f(q)= (cid:34)(cid:35) f ç2q+ ÷=(cid:26) (cid:31)
3 è 3 ø
2 2 7 7
A(cid:25)- B(cid:25) C(cid:25)- D(cid:25)
9 9 9 9
(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)D
æ1 πö
(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:39)(cid:267)(cid:97)(cid:81)(cid:110)(cid:64)(cid:203)(cid:21)(cid:147)(cid:51)(cid:77) f(x)(cid:47)(cid:60)(cid:41)(cid:113)(cid:34)(cid:67)(cid:65)(cid:120) f q=sinç q+ ÷(cid:34)
è2 3ø
æ 5πö é æ1 πö πù
f ç2q+ ÷=sinê2ç q+ ÷+ ú(cid:34)(cid:156)(cid:65)(cid:202)(cid:43)(cid:377)(cid:304)(cid:47)(cid:45)(cid:47)(cid:3)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:89)(cid:45)(cid:178)(cid:179)(cid:180)(cid:181)(cid:7)(cid:113)(cid:66)(cid:50)(cid:51)(cid:60).
è 3 ø ë è2 3ø 2û
3 π π π
(cid:36)(cid:59)(cid:60)(cid:39)(cid:97)(cid:81)(cid:50)(cid:33)A=1, f 0=sinj= (cid:34)(cid:97)- <j< (cid:50)(cid:33)j= (cid:34)
2 2 2 3
p 4p p
(cid:58) f(x)=sin(wx+ )(cid:34)(cid:148)(cid:97)(cid:81)sin( w+ )=0(cid:34)
3 3 3
4p p 3 1
(cid:58)(cid:97)(cid:81) w+ =2kp+p,kÎZ(cid:34)Þw= k+ ,kÎZ (cid:34)
3 3 2 2
①
4π T 2π 8π 3
(cid:97)(cid:81) -0< (cid:34)ÞT = > Þw< (cid:34)
3 2 w 3 4
1 ② 1 p
(cid:148)w>0(cid:34)(cid:53)(cid:54) (cid:50)(cid:120)w= (cid:34)(cid:58) f(x)=sin( x+ )(cid:34)
2 2 3
①②
æ1 πö 1
(cid:63)(cid:64) f q=sinç q+ ÷= .
è2 3ø 3
æ 5πö é æ1 πö πù é æ1 πöù æ1 πö 2 7
(cid:58) f ç2q+ ÷=sinê2ç q+ ÷+ ú =cosê2ç q+ ÷ú =1-2sin2 ç q+ ÷=1- = .
è 3 ø ë è2 3ø 2û ë è2 3øû è2 3ø 9 9
(cid:58)(cid:20)(cid:10)D.
æ πö
11(cid:25)(cid:26)2024·(cid:378)(cid:379)(cid:54)(cid:380)·(cid:89)(cid:345)(cid:31)(cid:32)(cid:33)2sina=1+2 3cosa(cid:34)(cid:35)sinç2a- ÷=(cid:26) (cid:31)
è 6ø
1 7 3 7
A(cid:25)- B(cid:25)- C(cid:25) D(cid:25)
8 8 4 8
(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)Dæ πö 1
(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:39)(cid:267)(cid:97)(cid:283)(cid:284)(cid:45)(cid:7)(cid:113)(cid:120)sinça- ÷= (cid:34)(cid:138)(cid:145)(cid:146)(cid:258)(cid:259)(cid:7)(cid:113)(cid:46)(cid:48)(cid:49)(cid:98)(cid:163)(cid:45)(cid:7)(cid:113)(cid:66)(cid:50)(cid:51)(cid:60).
è 3ø 4
æ1 3 ö æ πö 1
(cid:36)(cid:59)(cid:60)(cid:39)(cid:97)2sina=1+2 3cosa(cid:120)4ç
ç
sina- cosa÷
÷
=1(cid:34)(cid:66)sinça- ÷= (cid:34)
è 2 2 ø è 3ø 4
æ πö éπ æ πöù æ πö æ πö 7
(cid:63)(cid:64)sinç2a- ÷=sinê +2ça- ÷ú =cos2ça- ÷=1-2sin2 ça- ÷= (cid:34)
è 6ø ë2 è 3øû è 2ø è 3ø 8
(cid:58)(cid:20)(cid:10)D
æ πö æ πö æ πö
12(cid:25)(cid:26)2024·(cid:341)(cid:381)(cid:289)(cid:341)·(cid:89)(cid:345)(cid:31)(cid:152)2sinça+ ÷=cosça- ÷(cid:34)(cid:35)tança- ÷=(cid:26) (cid:31)
è 3ø è 3ø è 6ø
A(cid:25)-4- 3 B(cid:25)-4+ 3 C(cid:25)4- 3 D(cid:25)4+ 3
(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)C
π æ πö æ πö
(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:39)(cid:176)b=a- (cid:34)(cid:35)(cid:245)(cid:179)(cid:113)(cid:50)(cid:16)(cid:62)2sinçb+ ÷=cosçb- ÷(cid:34)(cid:16)(cid:168)(cid:142)(cid:51)(cid:77)tanb(cid:66)(cid:50).
6 è 2ø è 6ø
π π
(cid:36)(cid:59)(cid:60)(cid:39)(cid:119)b=a- (cid:34)(cid:35)a=b+ (cid:34)
6 6
æ πö æ πö
(cid:63)(cid:64)(cid:97)2sinça+ ÷=cosça- ÷(cid:34)
è 3ø è 3ø
æ πö æ πö
(cid:120)2sinçb+ ÷=cosçb- ÷(cid:34)
è 2ø è 6ø
3 1
(cid:66)2cosb= cosb+ sinb(cid:34)
2 2
 
(cid:66)sinb= 4- 3 cosb(cid:34)(cid:120)tanb=4- 3(cid:34)
æ πö
(cid:63)(cid:64)tança- ÷=tanb=4- 3(cid:34)
è 6ø
(cid:58)(cid:20)(cid:10)C.
π
13(cid:25)(cid:26)2024·(cid:341)(cid:342)(cid:382)(cid:383)·(cid:89)(cid:345)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:78)(cid:13) f(x)=cosx+cos(x- )+1(cid:34)(cid:35)(cid:102)(cid:103)(cid:53)(cid:272)(cid:85)(cid:105)(cid:47)(cid:191)(cid:26) (cid:31)
3
π π
A(cid:25)[- , ](cid:191) f x(cid:47)(cid:22)(cid:75)(cid:24)(cid:187)(cid:288)(cid:185)(cid:186)
2 4
æ π ö
B(cid:25)ç- ,0÷(cid:191) f x(cid:47)(cid:22)(cid:75)(cid:100)(cid:111)(cid:92)(cid:154)
è 3 ø
C(cid:25) f x(cid:79)[- 2π ,0](cid:80)(cid:55)(cid:248)(cid:62)[- 1 , 5 ]
3 2 2
5π
D(cid:25)(cid:268) f x(cid:47)(cid:81)(cid:82)(cid:308)(cid:363)(cid:143)(cid:293) (cid:75)(cid:24)(cid:240)(cid:34)(cid:138)(cid:308)(cid:102)(cid:143)(cid:293)(cid:22)(cid:75)(cid:24)(cid:240)(cid:142)(cid:63)(cid:120)(cid:81)(cid:82)(cid:47)(cid:78)(cid:13)(cid:60)(cid:41)(cid:113)(cid:62)y= 3cosx
6
(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)Cπ
(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:39)(cid:16)(cid:168)(cid:78)(cid:13)(cid:97)(cid:78)(cid:13) f x= 3sin(x+ )+1(cid:34)(cid:53)(cid:54)(cid:89)(cid:45)(cid:78)(cid:13)(cid:47)(cid:81)(cid:82)(cid:72)(cid:128)(cid:129)(cid:34)(cid:64)(cid:203)(cid:89)(cid:45)(cid:78)(cid:13)(cid:47)(cid:81)(cid:82)(cid:180)(cid:181)(cid:34)
3
(cid:66)(cid:50)(cid:51)(cid:60).
π 1 3
(cid:36)(cid:59)(cid:60)(cid:39)(cid:97)(cid:78)(cid:13) f(x)=cosx+cos(x- )+1=cosx+ cosx+ sinx+1
3 2 2
3 3 π
= cosx+ sinx+1= 3sin(x+ )+1(cid:34)
2 2 3
(cid:100)(cid:101)A(cid:92)(cid:34)(cid:68)xÎ[- π , π ](cid:34)(cid:50)(cid:120)x+ π Î[- π , 7π ](cid:34)(cid:167)(cid:69)(cid:78)(cid:13) f x(cid:123)(cid:191)(cid:24)(cid:187)(cid:78)(cid:13)(cid:34)(cid:63)(cid:64)A(cid:124)(cid:125)(cid:126)
2 4 3 6 12
π π π π
(cid:100)(cid:101)B(cid:92)(cid:34)(cid:97) f(- )= 3sin(- + )+1=1(cid:34)(cid:63)(cid:64)(cid:78)(cid:13) f x(cid:47)(cid:22)(cid:75)(cid:100)(cid:111)(cid:92)(cid:154)(cid:62)(- ,1)(cid:34)(cid:63)(cid:64)B(cid:123)(cid:85)(cid:105)(cid:126)
3 3 3 3
2π π π π 3 π 3
(cid:100)(cid:101)C(cid:92)(cid:34)(cid:97)xÎ[- ,0](cid:34)(cid:50)(cid:120)x+ Î[- , ](cid:34)(cid:63)(cid:64)- £sin(x+ )£ (cid:34)
3 3 3 3 2 3 2
1 π 5 1 5
(cid:63)(cid:64)- £ 3sin(x+ )+1£ (cid:34)(cid:66)- £ f x£ (cid:34)(cid:63)(cid:64)C(cid:85)(cid:105)(cid:126)
2 3 2 2 2
5π 5π π
(cid:100)(cid:101)D(cid:92)(cid:34)(cid:268) f x(cid:47)(cid:81)(cid:82)(cid:308)(cid:363)(cid:143)(cid:293) (cid:75)(cid:24)(cid:240)(cid:34)(cid:120)(cid:144)y= 3sin(x- + )+1=- 3cosx+1(cid:34)
6 6 3
(cid:138)(cid:308)(cid:102)(cid:143)(cid:293)(cid:22)(cid:75)(cid:24)(cid:240)(cid:142)(cid:63)(cid:120)(cid:81)(cid:82)(cid:47)(cid:78)(cid:13)(cid:60)(cid:41)(cid:113)(cid:62)y=- 3cosx(cid:34)(cid:63)(cid:64)D(cid:124)(cid:125).
(cid:58)(cid:20)(cid:10)C.
æ πö
14(cid:25)(cid:26)2024·(cid:384)(cid:385)(cid:341)·(cid:89)(cid:345)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:78)(cid:13) f x=cosçwx- ÷(w>0)(cid:79)(cid:185)(cid:186) 0,2π (cid:370)(cid:386)(cid:88)3(cid:161)(cid:100)(cid:111)(cid:112)(cid:34)(cid:35)w(cid:47)(cid:177)
è 4ø
(cid:55)(cid:140)(cid:141)(cid:191)(cid:26) (cid:31)
é7 15ù é5 9ö æ5 13ù é9 13ö
A(cid:25) ê , ú B(cid:25) ê , ÷ C(cid:25)ç , ú D(cid:25) ê , ÷
ë8 8 û ë8 8ø è8 8 û ë8 8 ø
(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)D
π π π
(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:39)(cid:42)(cid:43)(cid:161)(cid:162)(cid:120)(cid:144)- £wx- £2wπ- (cid:34)(cid:145)(cid:146)y=cosx(cid:47)(cid:81)(cid:82)(cid:72)(cid:128)(cid:129)(cid:34)(cid:138)(cid:53)(cid:54)(cid:161)(cid:162)(cid:34)(cid:66)(cid:50)(cid:51)(cid:77)(cid:53)(cid:387).
4 4 4
π π π
(cid:36)(cid:59)(cid:60)(cid:39)(cid:61)(cid:62)0≤x≤2π(cid:34)(cid:63)(cid:64)- £wx- £2wπ- (cid:34)
4 4 4
æ πö
(cid:148)(cid:78)(cid:13) f x=cosçwx- ÷(w>0)(cid:79)(cid:185)(cid:186) 0,2π (cid:386)(cid:88)3(cid:161)(cid:100)(cid:111)(cid:112)(cid:34)
è 4ø
π 9 13
(cid:63)(cid:64)2π£2wπ- <3π(cid:34)(cid:60)(cid:120) £w< (cid:34)
4 8 8
(cid:58)(cid:20)(cid:10)D.
æπ 3πö
15(cid:25)(cid:26)2024·(cid:354)(cid:355)·(cid:89)(cid:345)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:78)(cid:13) f x=sinwx-coswxw>0,xÎR(cid:79)(cid:185)(cid:186)ç , ÷(cid:370)(cid:388)(cid:88)(cid:108)(cid:74)(cid:34)(cid:35) f x(cid:86)
è2 2 ø
(cid:87)(cid:47)(cid:83)(cid:84)(cid:55)(cid:191)(cid:26) (cid:31)12π
A(cid:25)12π B(cid:25)2π C(cid:25) D(cid:25)4π
5
(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)C
(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:39)(cid:267)(cid:145)(cid:146)(cid:283)(cid:284)(cid:45)(cid:7)(cid:113)(cid:156)(cid:313)(cid:16)(cid:168)(cid:34)(cid:122)(cid:142)(cid:53)(cid:54)(cid:85)(cid:49)(cid:78)(cid:13)(cid:47)(cid:108)(cid:74)(cid:51)(cid:77)(cid:108)(cid:74)(cid:47)(cid:209)(cid:210)(cid:113)(cid:34)(cid:53)(cid:54)(cid:32)(cid:33)(cid:161)(cid:162)(cid:34)(cid:51)(cid:77)w
(cid:47)(cid:83)(cid:109)(cid:55)(cid:34)(cid:67)(cid:65)(cid:50)(cid:51)(cid:86)(cid:87)(cid:47)(cid:83)(cid:84)(cid:55)(cid:25)
æ πö
(cid:36)(cid:59)(cid:60)(cid:39) f x=sinwx-coswx= 2sinçwx- ÷(cid:34)
è 4ø
π
π kπ+
(cid:119) f(x)=0(cid:120)wx- =kπ(cid:34)(cid:63)(cid:64)
4
(cid:34)kÎZ(cid:34)
4 x=
w
π 3π
(cid:61)(cid:62) f(x)(cid:79)(cid:185)(cid:186)( , )(cid:370)(cid:388)(cid:88)(cid:108)(cid:74)(cid:34)
2 2
π 5π
kπ+ kπ+ 1 2 5
(cid:63)(cid:64)(cid:34)(cid:195)(cid:365)
4
π(cid:153)
4
3π(cid:34)(cid:60)(cid:120)2k+ £w£ k+ (cid:34)
£ ³ 2 3 6
w 2 w 2
1 5 3 1
(cid:119)k =0(cid:120) £w£ (cid:34)k =-1(cid:120)- £w£ (cid:34)
2 6 2 6
æ 1ù é1 5ù
(cid:61)(cid:62)w>0(cid:34)(cid:63)(cid:64)w(cid:47)(cid:177)(cid:55)(cid:140)(cid:141)ç0,
ú
È
ê
,
ú
(cid:34)
è 6û ë2 6û
2π 12π
(cid:63)(cid:64) f x(cid:86)(cid:87)(cid:47)(cid:83)(cid:84)(cid:55)(cid:191) 5 = 5 (cid:34)
6
(cid:58)(cid:20)(cid:10)C(cid:25)
(cid:98)(cid:23)(cid:99)(cid:20)(cid:21)
æπ πö
16(cid:25)(cid:26)2024·(cid:348)(cid:349)(cid:389)(cid:369)·(cid:98)(cid:345)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:78)(cid:13) fx=sinç x+ ÷(cid:34)(cid:35)(cid:26) (cid:31)
è2 6ø
A(cid:25) f x(cid:79)0,1(cid:80)(cid:24)(cid:187)(cid:188)(cid:189)
B(cid:25)(cid:268)y= f x(cid:81)(cid:82)(cid:80)(cid:47)(cid:63)(cid:88)(cid:74)(cid:308)(cid:309)(cid:143)(cid:293) 2 (cid:75)(cid:24)(cid:240)(cid:224)(cid:220)(cid:142)(cid:120)(cid:144)(cid:47)(cid:70)(cid:71)(cid:3)(cid:101)y(cid:112)(cid:100)(cid:111)
3
C(cid:25) f x(cid:79)-1,2(cid:80)(cid:88)(cid:44)(cid:75)(cid:108)(cid:74)
2024 1
D(cid:25) f i=
2
i=0
(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)BCD
æ2ö 2
(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:39)(cid:97) f ç ÷=1(cid:50)(cid:33) f x(cid:47)(cid:81)(cid:82)(cid:3)(cid:101)x= (cid:100)(cid:111)(cid:34)(cid:50)(cid:192)(cid:193)AB(cid:126)(cid:375)(cid:390)(cid:157)(cid:158)(cid:94)(cid:51)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:108)(cid:74)(cid:66)(cid:50)(cid:192)(cid:193)C(cid:126)
è3ø 3
(cid:51)(cid:77) f 0, f 1, f 2, f 3(cid:34)(cid:53)(cid:54)(cid:86)(cid:87)(cid:50)(cid:192)(cid:193)D.
æ2ö æπ 2 πö π
(cid:36)(cid:59)(cid:60)(cid:39)(cid:100)(cid:101)A(cid:34)(cid:61)(cid:62) f ç ÷=sinç ´ + ÷=sin =1(cid:34)
è3ø è2 3 6ø 22
(cid:63)(cid:64) f x(cid:47)(cid:81)(cid:82)(cid:3)(cid:101)x= (cid:100)(cid:111)(cid:34)(cid:63)(cid:64) f x(cid:79)0,1(cid:80)(cid:123)(cid:24)(cid:187)(cid:34)A(cid:124)(cid:125)(cid:126)
3
2
(cid:100)(cid:101)B(cid:34)(cid:97)(cid:80)(cid:33)(cid:34) f x(cid:47)(cid:81)(cid:82)(cid:3)(cid:101)x= (cid:100)(cid:111)(cid:34)
3
(cid:63)(cid:64) f x(cid:47)(cid:81)(cid:82)(cid:308)(cid:309)(cid:143)(cid:293) 2 (cid:75)(cid:24)(cid:240)(cid:224)(cid:220)(cid:142)(cid:120)(cid:144)(cid:47)(cid:70)(cid:71)(cid:3)(cid:101)y(cid:112)(cid:100)(cid:111)(cid:34)B(cid:85)(cid:105)(cid:126)
3
π π 1
(cid:100)(cid:101)C(cid:34)(cid:97) x+ =kπ(cid:120)(cid:78)(cid:13) f x(cid:47)(cid:108)(cid:74)(cid:62)x=2k- ,kÎZ(cid:34)
2 6 3
1 1 7
(cid:119)-1<2k- <2(cid:34)(cid:60)(cid:120)- <k < (cid:34)
3 3 6
(cid:63)(cid:64)k =0,1(cid:34)(cid:66) f x(cid:79)-1,2(cid:80)(cid:88)(cid:44)(cid:75)(cid:108)(cid:74)(cid:34)C(cid:85)(cid:105)(cid:126)
π 1 æπ πö π 3
(cid:100)(cid:101)D(cid:34)(cid:61)(cid:62) f 0=sin = , f 1=sinç + ÷=cos = (cid:34)
6 2 è2 6ø 6 2
æ πö π 1 æ3π πö π 3
f 2=sinçπ+ ÷=-sin =- (cid:34) f 3=sinç + ÷=-cos =- (cid:34)
è 6ø 6 2 è 2 6ø 6 2
(cid:63)(cid:64) f 0+ f 1+ f 2+ f 3=0
2π
(cid:61)(cid:62) f x(cid:47)(cid:83)(cid:84)(cid:55)(cid:86)(cid:87) T = π =4 (cid:34)
2
2024 1
(cid:63)(cid:64)f i=506é ëf 0+ f 1+ f 2+ f 3ù û + f 2024= f 0= (cid:34)D(cid:85)(cid:105).
2
i=0
(cid:58)(cid:20)(cid:10)BCD
17(cid:25)(cid:26)2024·(cid:391)(cid:343)(cid:392)(cid:266)·(cid:89)(cid:345)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:78)(cid:13) fx=sin æ çwx+ πö ÷ w>0(cid:47)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:109)(cid:101) π (cid:34)(cid:152)(cid:70)(cid:71)y= f x(cid:3)(cid:101)(cid:74)
è 3ø 2
æπ ö
ç ,0÷(cid:92)(cid:154)(cid:100)(cid:111)(cid:34)(cid:35)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:94)(cid:85)(cid:105)(cid:47)(cid:191)(cid:26) (cid:31)
è3 ø
æπö 3 æ π ö
A(cid:25) f ç ÷=- B(cid:25)y= f çx+ ÷(cid:191)(cid:265)(cid:78)(cid:13)
è2ø 2 è 12ø
C(cid:25)x= π (cid:191)(cid:78)(cid:13) f x(cid:47)(cid:22)(cid:75)(cid:190)(cid:55)(cid:74) D(cid:25) f x(cid:79) æ ç0, πö ÷(cid:24)(cid:187)(cid:188)(cid:288)
12 è 3ø
(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)ABC
π æπ ö æ πö
(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:39)(cid:97)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:109)(cid:101) (cid:34)(cid:3)(cid:101)(cid:74)ç ,0÷(cid:92)(cid:154)(cid:100)(cid:111)(cid:34)(cid:50)(cid:33) f x=sinç2x+ ÷(cid:34)(cid:100)(cid:101)A(cid:34)(cid:170)(cid:171)(cid:157)(cid:158)(cid:78)(cid:13)
2 è3 ø è 3ø
(cid:60)(cid:41)(cid:113)(cid:51)(cid:60)(cid:66)(cid:50)(cid:126)(cid:100)(cid:101)B(cid:34)(cid:145)(cid:146)(cid:78)(cid:13)(cid:264)(cid:265)(cid:128)(cid:47)(cid:160)(cid:222)(cid:192)(cid:193)(cid:66)(cid:50)(cid:126)(cid:100)(cid:101)C(cid:34)(cid:344)(cid:393)(cid:51)(cid:259)(cid:34)(cid:119)(cid:259)(cid:78)(cid:13)(cid:62)0(cid:34)(cid:51)(cid:120)x(cid:47)
π
(cid:55)(cid:34)(cid:274)(cid:192)(cid:193)x= (cid:309)(cid:363)(cid:44)(cid:394)(cid:78)(cid:13)(cid:47)(cid:24)(cid:187)(cid:128)(cid:66)(cid:50)(cid:192)(cid:193)(cid:126)(cid:100)(cid:101)D(cid:34)(cid:344)(cid:393)(cid:51)(cid:78)(cid:13)(cid:47)(cid:24)(cid:187)(cid:188)(cid:288)(cid:185)(cid:186)(cid:66)(cid:50)(cid:51)(cid:60).
12
æ πö π
(cid:36)(cid:59)(cid:60)(cid:39)(cid:61)(cid:62) f x=sinçwx+ ÷ w>0(cid:47)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:109)(cid:101) (cid:34)
è 3ø 22π π
(cid:63)(cid:64) > (cid:34)(cid:66)0<w<4(cid:34)
w 2
æπ ö
(cid:148)y= f x(cid:3)(cid:101)(cid:74)ç ,0÷(cid:92)(cid:154)(cid:100)(cid:111)(cid:34)
è3 ø
π π
(cid:63)(cid:64) w+ =kπkÎZ(cid:34)
3 3
(cid:63)(cid:64)w=-1+3k(cid:34)(cid:61)(cid:62)0<w<4(cid:34)(cid:63)(cid:64)(cid:68)k=1(cid:69)(cid:34)w=2(cid:34)
æ πö
(cid:63)(cid:64) f x=sinç2x+ ÷(cid:34)
è 3ø
æπö æ π πö π 3
(cid:100)(cid:101)A(cid:34) f ç ÷=sinç2´ + ÷=-sin =- (cid:34)(cid:58)A(cid:85)(cid:105)(cid:126)
è2ø è 2 3ø 3 2
æ π ö é æ π ö πù æ πö
(cid:100)(cid:101)B(cid:34) f çx+ ÷=sinê2çx+ ÷+ ú =sinç2x+ ÷=cos2x(cid:34)
è 12ø ë è 12ø 3û è 2ø
æ π ö
(cid:97)cos-2x=cos2x(cid:153)x(cid:191)(cid:257)(cid:390)(cid:332)(cid:13)(cid:34)(cid:63)(cid:64)y= f çx+ ÷(cid:191)(cid:265)(cid:78)(cid:13)(cid:34)(cid:58)B(cid:85)(cid:105)(cid:126)
è 12ø
æ πö π
(cid:100)(cid:101)C(cid:34) f¢x=2cosç2x+ ÷(cid:34)(cid:119) f¢x=0(cid:120)x= +kπ(cid:34)kÎZ(cid:34)
è 3ø 12
æ 5π π ö
(cid:68)xÎç- , ÷(cid:69)(cid:34) f¢x>0(cid:34) f x(cid:24)(cid:187)(cid:188)(cid:288)(cid:34)
è 12 12ø
æ π 7πö
(cid:68)xÎç , ÷(cid:69)(cid:34) f¢x<0(cid:34) f x(cid:24)(cid:187)(cid:188)(cid:189)(cid:34)
è12 12ø
π
(cid:63)(cid:64)x= (cid:191)(cid:78)(cid:13) f x(cid:47)(cid:190)(cid:109)(cid:55)(cid:74)(cid:34)(cid:58)C(cid:85)(cid:105)(cid:126)
12
π π π
(cid:100)(cid:101)D(cid:34) (cid:97)- +2kπ£2x+ £ +2kπ(cid:34)kÎZ(cid:34)
2 3 2
5π π
(cid:120)- +kπ£x£ +kπ(cid:34)
12 12
é 5π π ù
(cid:78)(cid:13)(cid:47)(cid:24)(cid:187)(cid:188)(cid:288)(cid:185)(cid:186)(cid:62)
ê
- +kπ, +kπ
ú
(cid:34)kÎZ(cid:34)
ë 12 12 û
é 5π π ù
(cid:68)k =0(cid:69)(cid:34)xÎ
ê
- ,
ú
(cid:34)
ë 12 12û
é7π 13πù
(cid:68)k=1(cid:69)(cid:34)xÎ
ê
,
ú
(cid:34)
ë12 12 û
æ πö
(cid:121)(cid:122)(cid:78)(cid:13)(cid:79)ç0, ÷(cid:80)(cid:123)(cid:24)(cid:187)(cid:34)(cid:58)D(cid:123)(cid:85)(cid:105).
è 3ø
(cid:58)(cid:20)(cid:10)ABC.
æ πö
18(cid:25)(cid:26)2024·(cid:357)(cid:343)(cid:224)(cid:395)·(cid:89)(cid:345)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:78)(cid:13) f x= 3sinçwx+ ÷,w>0(cid:34)(cid:35)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:94)(cid:85)(cid:105)(cid:47)(cid:191)(cid:26) (cid:31)
è 3øA(cid:25) f x(cid:47)(cid:83)(cid:109)(cid:55)(cid:62)2
1 æ πö
B(cid:25)(cid:78)(cid:13) f x(cid:47)(cid:81)(cid:82)(cid:3)(cid:101)(cid:170)(cid:71)x= çkπ+ ÷ kÎZ(cid:100)(cid:111)
wè 6ø
3 æ2kπ 6k+1πö
C(cid:25)(cid:123)(cid:179)(cid:113) f x> (cid:47)(cid:60)(cid:396)(cid:62)ç , ÷ kÎZ 
2 è w 3w ø
é π πù æ 1ù
D(cid:25)(cid:152) f x(cid:79)(cid:185)(cid:186)
ê
- ,
ú
(cid:80)(cid:24)(cid:187)(cid:188)(cid:288)(cid:34)(cid:35)w(cid:47)(cid:177)(cid:55)(cid:140)(cid:141)(cid:191)ç0,
ú
ë 2 2û è 3û
(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)BCD
π π
(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:39)(cid:100)(cid:101)A(cid:34)(cid:97)(cid:85)(cid:49)(cid:78)(cid:13)(cid:47)(cid:128)(cid:129)(cid:170)(cid:171)(cid:51)(cid:60)(cid:34)(cid:100)(cid:101)B(cid:34)(cid:97)wx+ =kπ+ ,kÎZ(cid:34)(cid:50)(cid:51)(cid:77)(cid:100)(cid:111)(cid:112)(cid:114)(cid:115)(cid:192)(cid:193)(cid:34)
3 2
(cid:100)(cid:101)C(cid:34)(cid:97)sin æ çwx+ πö ÷> 3 (cid:51)(cid:60)(cid:66)(cid:50)(cid:34)(cid:100)(cid:101)D(cid:34)(cid:267)(cid:97)2kπ- π £wx+ π £2kπ+ π (cid:51)(cid:77) f x(cid:47)(cid:188)(cid:288)(cid:185)(cid:186)(cid:34)(cid:138)
è 3ø 2 2 3 2
é π πù
(cid:97) - , (cid:62)(cid:78)(cid:13)(cid:288)(cid:185)(cid:186)(cid:47)(cid:397)(cid:396)(cid:50)(cid:51)(cid:77)w(cid:47)(cid:177)(cid:55)(cid:140)(cid:141).
ê ú
ë 2 2û
(cid:36)(cid:59)(cid:60)(cid:39)(cid:100)(cid:101)A(cid:34) f x(cid:47)(cid:83)(cid:109)(cid:55)(cid:62) 3 (cid:34)(cid:58)A(cid:124)(cid:125)(cid:126)
π π 1 æ πö
(cid:100)(cid:101)B(cid:34)(cid:119)wx+ =kπ+ ,kÎZ(cid:34)(cid:120)x= çkπ+ ÷,kÎZ(cid:34)
3 2 w è 6ø
1 æ πö
(cid:63)(cid:64)(cid:78)(cid:13) f x(cid:47)(cid:81)(cid:82)(cid:3)(cid:101)(cid:170)(cid:71)x= çkπ+ ÷ kÎZ(cid:100)(cid:111)(cid:34)(cid:58)B(cid:85)(cid:105)(cid:126)
wè 6ø
3 æ πö 3 π π 2π
(cid:100)(cid:101)C(cid:34)(cid:123)(cid:179)(cid:113) f x> (cid:50)(cid:16)(cid:62)sinçwx+ ÷> (cid:34)(cid:35)2kπ+ <wx+ <2kπ+ ,kÎZ(cid:34)(cid:60)(cid:120)
2 è 3ø 2 3 3 3
2kπ
6k+1π
<x< ,kÎZ(cid:34)
w 3w
æ2kπ 6k+1πö
(cid:61)(cid:167)(cid:245)(cid:123)(cid:179)(cid:113)(cid:47)(cid:60)(cid:396)(cid:62)ç , ÷ kÎZ (cid:34)(cid:58)C(cid:85)(cid:105)(cid:126)
è
w 3w
ø
5π π
π π π 2kπ- 2kπ+
(cid:100)(cid:101)D(cid:34)(cid:97)2kπ- £wx+ £2kπ+ (cid:34)kÎZ(cid:34)(cid:60)(cid:120) 6 6 .
2 3 2
£x£ ,kÎZ
w w
é π πù é π πù é 5π π ù
(cid:61)(cid:62) f x(cid:79)(cid:185)(cid:186) - , (cid:80)(cid:24)(cid:187)(cid:188)(cid:288)(cid:34)(cid:63)(cid:64) - , Í - , (cid:34)
ê ú ê ú ê ú
ë 2 2û ë 2 2û ë 6w 6wû
ì 5π π
- £-
ï
6w 2
ï
ï π π 1
(cid:63)(cid:64)í ³ (cid:34)(cid:60)(cid:120)0<w£ (cid:34)(cid:58)D(cid:85)(cid:105).
ï6w 2 3
ïw>0
ï
î
(cid:58)(cid:20)(cid:10)BCDæ πö
19(cid:25)(cid:26)2024·(cid:357)(cid:343)(cid:398)(cid:399)·(cid:89)(cid:345)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:78)(cid:13) f(x)= Atan(wx+j)çw>0,j< ÷(cid:47)(cid:376)(cid:40)(cid:81)(cid:82)(cid:95)(cid:81)(cid:63)(cid:96)(cid:34)(cid:35)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:94)
è 2ø
(cid:85)(cid:105)(cid:47)(cid:191)(cid:26) (cid:31)
π
A(cid:25)(cid:78)(cid:13) f(x)(cid:47)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:62)
2
2
B(cid:25)sinj=
2
æπ ö
C(cid:25)(cid:78)(cid:13) f(x)(cid:79)ç ,π÷(cid:80)(cid:24)(cid:187)(cid:188)(cid:288)
è2 ø
æ πö 3π 7π
D(cid:25)(cid:114)(cid:115) f(x)=sinç2x+ ÷(0£x£π)(cid:47)(cid:60)(cid:62) (cid:34)
è 4ø 8 8
(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)ABD
(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:39)(cid:42)(cid:43)(cid:159)(cid:160)(cid:47)(cid:78)(cid:13)(cid:81)(cid:82)(cid:34)(cid:51)(cid:77)(cid:86)(cid:87)(cid:203)w(cid:23)j(cid:23)A(cid:34)(cid:156)(cid:65)(cid:51)(cid:77)(cid:60)(cid:41)(cid:113)(cid:34)(cid:138)(cid:42)(cid:43)(cid:85)(cid:137)(cid:78)(cid:13)(cid:47)(cid:128)(cid:129)(cid:116)(cid:118)(cid:192)
(cid:193)(cid:66)(cid:50).
æ7π 5πö π
(cid:36)(cid:59)(cid:60)(cid:39)(cid:100)(cid:101)A(cid:34)(cid:97)(cid:81)(cid:50)(cid:33)(cid:34)(cid:78)(cid:13) f(x)(cid:47)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:62)T =2´ç - ÷= (cid:34)(cid:58)A(cid:85)(cid:105)(cid:126)
è 8 8 ø 2
π π
w= = =2
(cid:100)(cid:101)B(cid:34)(cid:97) T π (cid:34)(cid:63)(cid:64) f(x)= Atan(2x+j)(cid:34)
2
æ7πö æ7π ö 7π 7π
(cid:61)(cid:62) f ç ÷= Atanç +j÷=0(cid:34)(cid:35) +j=kπkÎZ(cid:34)(cid:35)j=kπ- kÎZ(cid:34)
è 8 ø è 4 ø 4 4
π π 2
(cid:61)(cid:62)|j|< (cid:34)(cid:35)j= (cid:34)(cid:63)(cid:64)sinj= (cid:34)(cid:58)B(cid:85)(cid:105)(cid:126)
2 4 2
æ πö π 5π π 9π
(cid:100)(cid:101)C(cid:34) f(x)= Atanç2x+ ÷(cid:34)(cid:97) <x<π(cid:34)(cid:120) <2x+ < (cid:34)
è 4ø 2 4 4 4
π 3π 5π æ5πö æ3πö
(cid:65)2x+ = (cid:34)(cid:66)x= (cid:69)(cid:34) f ç ÷= Atanç ÷(cid:388)(cid:88)(cid:147)(cid:222)(cid:34)(cid:58)C(cid:124)(cid:125)(cid:126)
4 2 8 è 8 ø è 2 ø
π æ πö
(cid:100)(cid:101)D(cid:34) f(0)= Atan = A=1(cid:34)(cid:35) f(x)=tanç2x+ ÷(cid:34)
4 è 4ø
æ πö æ πö æ πö
(cid:114)(cid:115) f(x)=sinç2x+ ÷(cid:34)(cid:120)tanç2x+ ÷=sinç2x+ ÷(cid:34)
è 4ø è 4ø è 4øæ πö
sinç2x+ ÷
è 4ø æ πö æ πöé æ πöù
(cid:66) -sinç2x+ ÷=0(cid:34)(cid:66)sinç2x+ ÷ê1-cosç2x+ ÷ú =0(cid:34)
æ πö è 4ø è 4øë è 4øû
cosç2x+ ÷
è 4ø
æ πö æ πö π π 9π
(cid:63)(cid:64)sinç2x+ ÷=0(cid:183)cosç2x+ ÷=1(cid:34)(cid:61)(cid:62)0£x£π(cid:34) £2x+ £ (cid:34)
è 4ø è 4ø 4 4 4
π π 3π 7π
(cid:63)(cid:64)2x+ =π(cid:183)2x+ =2π(cid:34)(cid:60)(cid:120)x= (cid:183) (cid:34)(cid:58)D(cid:85)(cid:105).
4 4 8 8
(cid:58)(cid:20)(cid:10)ABD.
20(cid:25)(cid:26)2024·(cid:354)(cid:343)·(cid:89)(cid:345)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:78)(cid:13) f x=cos2wx- 3sin2wx+1(w>0)(cid:47)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:62)π(cid:34)(cid:35)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:94)(cid:85)(cid:105)
(cid:47)(cid:88)(cid:26) (cid:31)
A(cid:25) f x(cid:47)(cid:81)(cid:82)(cid:50)(cid:97)y=2cos4x(cid:47)(cid:81)(cid:82)(cid:143)(cid:293)(cid:120)(cid:144)
é π πù
B(cid:25) f x(cid:79) - ,- (cid:80)(cid:24)(cid:187)(cid:188)(cid:288)
ê ú
ë 3 6û
æ π ö
C(cid:25) f x(cid:81)(cid:82)(cid:47)(cid:22)(cid:75)(cid:100)(cid:111)(cid:92)(cid:154)(cid:62)ç ,0÷
è12 ø
D(cid:25) f x(cid:81)(cid:82)(cid:47)(cid:22)(cid:161)(cid:100)(cid:111)(cid:112)(cid:62)(cid:170)(cid:71)x= π
3
(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)BD
æ πö
(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:39)(cid:267)(cid:97)(cid:283)(cid:284)(cid:45)(cid:7)(cid:113)(cid:46)(cid:86)(cid:87)(cid:7)(cid:113)(cid:164)(cid:165)(cid:120)(cid:144) f x=2cosç2x+ ÷+1(cid:34)(cid:97)(cid:81)(cid:82)(cid:143)(cid:293)(cid:47)(cid:128)(cid:129)(cid:50)(cid:120)A(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:97)
è 3ø
æ π ö
(cid:375)(cid:390)(cid:157)(cid:158)(cid:53)(cid:54)(cid:48)(cid:49)(cid:78)(cid:13)(cid:47)(cid:24)(cid:187)(cid:128)(cid:50)(cid:120)B(cid:85)(cid:105)(cid:126)(cid:157)(cid:158) f ç ÷(cid:50)(cid:120)C(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:375)(cid:390)(cid:157)(cid:158)(cid:53)(cid:54)(cid:48)(cid:49)(cid:78)(cid:13)(cid:100)(cid:111)(cid:112)(cid:47)(cid:128)
è12ø
(cid:129)(cid:50)(cid:120)D(cid:85)(cid:105)(cid:126)
æ πö
(cid:36)(cid:59)(cid:60)(cid:39) f x=cos2wx- 3sin2wx+1=2cosç2wx+ ÷+1(cid:34)
è 3ø
2π
(cid:61)(cid:62)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:62)π(cid:34)(cid:63)(cid:64) =πÞw=1(cid:34)
2w
æ πö
(cid:63)(cid:64) f x=2cosç2x+ ÷+1(cid:34)
è 3ø
A(cid:10)(cid:97)(cid:64)(cid:80)(cid:60)(cid:41)(cid:113)(cid:50)(cid:120) f x(cid:47)(cid:81)(cid:82)(cid:123)(cid:50)(cid:97)y=2cos4x(cid:47)(cid:81)(cid:82)(cid:143)(cid:293)(cid:120)(cid:144)(cid:34)(cid:58)A(cid:124)(cid:125)(cid:126)
é π πù π é π ù
B(cid:10)(cid:68)xÎ - ,- (cid:69)(cid:34)2x+ Î - ,0 (cid:34)
ê ú ê ú
ë 3 6û 3 ë 3 û
é π πù
(cid:97)(cid:48)(cid:49)(cid:78)(cid:13)(cid:47)(cid:24)(cid:187)(cid:128)(cid:50)(cid:120) f x(cid:79) - ,- (cid:80)(cid:24)(cid:187)(cid:188)(cid:288)(cid:34)(cid:58)B(cid:85)(cid:105)(cid:126)
ê ú
ë 3 6û
æ π ö æ π πö
C(cid:10) f ç ÷=2cosç2´ + ÷+1=10(cid:34)(cid:58)C(cid:124)(cid:125)(cid:126)
è12ø è 12 3øD(cid:10)(cid:68)x= π (cid:69)(cid:34)2x+ π =π(cid:34)(cid:167)(cid:69) f x=-1(cid:62)(cid:83)(cid:84)(cid:55)(cid:34)
3 3
(cid:63)(cid:64) f x(cid:81)(cid:82)(cid:47)(cid:22)(cid:161)(cid:100)(cid:111)(cid:112)(cid:62)(cid:170)(cid:71)x= π (cid:34)(cid:58)D(cid:85)(cid:105)(cid:126)
3
(cid:58)(cid:20)(cid:10)BD.
21(cid:25)(cid:26)2024·(cid:242)(cid:381)(cid:400)(cid:359)·(cid:89)(cid:345)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:78)(cid:13) f x=sinx+1(cid:34)(cid:35)(cid:102)(cid:103)(cid:401)(cid:21)(cid:85)(cid:105)(cid:47)(cid:191)(cid:26) (cid:31)
A(cid:25) f x(cid:47)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:62)2π
B(cid:25) f x(cid:47)(cid:81)(cid:82)(cid:3)(cid:101)(cid:170)(cid:71)x=-1(cid:100)(cid:111)
C(cid:25)(cid:152) f x =1(cid:34)(cid:35) f 2x = 2
0 0
D(cid:25)(cid:268) f x(cid:47)(cid:81)(cid:82)(cid:402)(cid:363)(cid:143)(cid:293)1(cid:75)(cid:24)(cid:240)(cid:224)(cid:220)(cid:142)(cid:50)(cid:64)(cid:120)(cid:144)(cid:78)(cid:13)y=sinx(cid:47)(cid:81)(cid:82)
(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)AD
(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:39)(cid:100)(cid:101)A(cid:34)(cid:145)(cid:146)(cid:86)(cid:87)(cid:7)(cid:113)(cid:170)(cid:171)(cid:164)(cid:165)(cid:192)(cid:193)(cid:34)(cid:100)(cid:101)B(cid:34)(cid:268)x=-1(cid:157)(cid:158)(cid:78)(cid:13)(cid:403)(cid:404)(cid:34)(cid:100)(cid:101)C(cid:34)(cid:97) f x =1(cid:51)(cid:77)
0
x (cid:34)(cid:138)(cid:268)2x (cid:157)(cid:158)(cid:78)(cid:13)(cid:164)(cid:165)(cid:34)(cid:100)(cid:101)D(cid:34)(cid:42)(cid:43)(cid:89)(cid:45)(cid:78)(cid:13)(cid:81)(cid:82)(cid:180)(cid:181)(cid:255)(cid:256)(cid:40)(cid:41)(cid:192)(cid:193).
0 0
(cid:36)(cid:59)(cid:60)(cid:39)(cid:100)(cid:101)A(cid:34) f x(cid:47)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:62)2π,A(cid:85)(cid:105).
(cid:100)(cid:101)B(cid:34)(cid:61)(cid:62) f -1=0±1(cid:34)(cid:63)(cid:64) f x(cid:47)(cid:81)(cid:82)(cid:123)(cid:3)(cid:101)(cid:170)(cid:71)x=-1(cid:100)(cid:111)(cid:34)B(cid:124)(cid:125).
π
(cid:100)(cid:101)C(cid:34)(cid:97) f x =sinx +1=1(cid:34)(cid:120)x = -1+2kπ,kÎZ(cid:34)
0 0 0 2
(cid:63)(cid:64) f 2x =sin2x +1=sinπ-1+4kπ=sin1(cid:34)C(cid:124)(cid:125).
0 0
(cid:100)(cid:101)D(cid:34)(cid:268) f x(cid:47)(cid:81)(cid:82)(cid:402)(cid:363)(cid:143)(cid:293)1(cid:75)(cid:24)(cid:240)(cid:224)(cid:220)(cid:142)(cid:50)(cid:64)(cid:120)(cid:144)(cid:78)(cid:13)y=sinx(cid:47)(cid:81)(cid:82)(cid:34)D(cid:85)(cid:105).
(cid:58)(cid:20)(cid:10)AD
22(cid:25)(cid:26)2024·(cid:354)(cid:355)(cid:405)(cid:406)(cid:361)·(cid:89)(cid:345)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:78)(cid:13) f x=2sinxcosx(cid:34)(cid:35)(cid:26) (cid:31)
A(cid:25) f x(cid:191)(cid:265)(cid:78)(cid:13)(cid:126) B(cid:25) f x(cid:191)(cid:86)(cid:87)(cid:62)π(cid:47)(cid:86)(cid:87)(cid:78)(cid:13)(cid:126)
C(cid:25) f x(cid:79) é π, 5πù (cid:80)(cid:24)(cid:187)(cid:188)(cid:288)(cid:126) D(cid:25) f x(cid:47)(cid:83)(cid:84)(cid:55)(cid:62) 2 .
ê ú
ë 4 û 2
(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)AD
(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:39)(cid:145)(cid:146)(cid:265)(cid:78)(cid:13)(cid:47)(cid:160)(cid:222)(cid:50)(cid:192)(cid:160)A(cid:34)(cid:145)(cid:146)(cid:86)(cid:87)(cid:47)(cid:160)(cid:222)(cid:50)(cid:192)(cid:160)B(cid:34)(cid:145)(cid:146)(cid:407)(cid:54)(cid:78)(cid:13)(cid:47)(cid:24)(cid:187)(cid:128)(cid:50)(cid:192)(cid:160)C(cid:34)(cid:42)(cid:43)
(cid:86)(cid:87)(cid:128)(cid:203)(cid:24)(cid:187)(cid:128)(cid:50)(cid:192)(cid:160)D.
(cid:36)(cid:59)(cid:60)(cid:39)(cid:61)(cid:62) f -x=2sin-xcos-x =2sinxcosx = f x(cid:34)(cid:63)(cid:64) f x(cid:191)(cid:265)(cid:78)(cid:13)(cid:34)(cid:58)A(cid:85)(cid:105)(cid:126)
(cid:408)(cid:33) f x+π=2sinx+πcosx+π =2-sinxcosx  f x(cid:34)(cid:58)B(cid:124)(cid:125)(cid:126)
é 5πù 1
(cid:68)xÎ ê π, ú (cid:69)(cid:34) f x=2sinxcosx =2-sinxcosx =2 - 2 sin2x(cid:34)
ë 4 û
é 5πù 1 é 5πù
(cid:61)(cid:62)2xÎ
ê
2π,
ú
(cid:34)(cid:63)(cid:64)y=- sin2x(cid:79)
ê
π,
ú
(cid:80)(cid:24)(cid:187)(cid:188)(cid:189)(cid:34)
ë 2 û 2 ë 4 ûé 5πù
(cid:148)y=2x(cid:24)(cid:187)(cid:188)(cid:288)(cid:34)(cid:63)(cid:64) f x(cid:79)
ê
π,
ú
(cid:80)(cid:24)(cid:187)(cid:188)(cid:189)(cid:34)(cid:58)C(cid:124)(cid:125)(cid:126)
ë 4 û
(cid:408)(cid:33) f x+2π= f x(cid:34)(cid:63)(cid:64) f x(cid:191)(cid:86)(cid:87)(cid:62)2π(cid:47)(cid:86)(cid:87)(cid:78)(cid:13)(cid:34)
ì 1
ï22 sin2x ,xÎ 0,π 
(cid:68)xÎ 0,2π (cid:69)(cid:34) f x=2sinxcosx =í (cid:34)
1
ï î2 - 2 sin2x ,xÎπ,2π 
1 é 1 1ù 1 é 1 1ù
(cid:121)(cid:122)xÎ 0,π (cid:69) sin2xÎ - , (cid:34)xÎπ,2π (cid:69)- sin2xÎ - , (cid:34)
ê ú ê ú
2 ë 2 2û 2 ë 2 2û
(cid:35) f x(cid:47)(cid:83)(cid:84)(cid:55)(cid:62)2 - 1 2 = 2 (cid:34)(cid:58)D(cid:85)(cid:105).
2
(cid:58)(cid:20)(cid:10)AD
æ π ö æ π ö
23(cid:25)(cid:26)2024·(cid:378)(cid:379)(cid:409)(cid:357)·(cid:89)(cid:345)(cid:31)(cid:32)(cid:33)gx=2sinçwx+ ÷cosçwx+ ÷ w>0(cid:34)(cid:102)(cid:235)(cid:53)(cid:272)(cid:85)(cid:105)(cid:47)(cid:191)(cid:26) (cid:31)
è 12ø è 12ø
é π πù
A(cid:25)w=1(cid:69)(cid:34)gx(cid:79)
ê
- ,
ú
(cid:80)(cid:24)(cid:187)(cid:188)(cid:288)
ë 6 4û
B(cid:25)(cid:152)gx =1,gx =-1(cid:34)(cid:153) x -x (cid:47)(cid:83)(cid:84)(cid:55)(cid:62)π(cid:34)(cid:35)w=1
1 2 1 2
é41 47ö
C(cid:25)(cid:152)gx(cid:79)
0,2π
(cid:80)(cid:386)(cid:88)7(cid:75)(cid:108)(cid:74)(cid:34)(cid:35)w(cid:47)(cid:177)(cid:55)(cid:140)(cid:141)(cid:191)
ê , ÷
ë24 24ø
π
D(cid:25)(cid:410)(cid:79)wÎ1,3(cid:34)(cid:307)(cid:120)gx(cid:47)(cid:81)(cid:82)(cid:308)(cid:363)(cid:143)(cid:293) (cid:75)(cid:24)(cid:240)(cid:224)(cid:220)(cid:142)(cid:120)(cid:144)(cid:47)(cid:81)(cid:82)(cid:3)(cid:101)y(cid:112)(cid:100)(cid:111)
6
(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)CD
(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:39)(cid:145)(cid:146)(cid:223)(cid:106)(cid:240)(cid:262)(cid:338)(cid:22)(cid:75)(cid:375)(cid:390)(cid:34)(cid:344)(cid:393)(cid:85)(cid:49)(cid:78)(cid:13)(cid:47)(cid:128)(cid:129)(cid:34)(cid:50)(cid:64)(cid:228)(cid:77)(cid:194)(cid:20)(cid:118)(cid:47)(cid:192)(cid:193).
æ π ö æ π ö æ πö
(cid:36)(cid:59)(cid:60)(cid:39)(cid:100)(cid:101)A(cid:34)gx=2sinçx+ ÷cosçx+ ÷=sinç2x+ ÷(cid:34)
è 12ø è 12ø è 6ø
é π πù π é π 2πù
(cid:68)xÎ - , (cid:69)(cid:34)t =2x+ Î - , (cid:34)
ê ú ê ú
ë 6 4û 6 ë 6 3 û
é π 2πù
(cid:65)y=sint(cid:79)tÎ - , (cid:123)(cid:24)(cid:187)(cid:34)(cid:58)A(cid:191)(cid:124)(cid:125)(cid:47)(cid:126)
ê ú
ë 6 3 û
æ πö
(cid:100)(cid:101)B(cid:34)gx=sinç2wx+ ÷(cid:34)(cid:97) x -x (cid:47)(cid:83)(cid:84)(cid:55)(cid:62)π(cid:34)
è 6ø 1 2
2π 1
(cid:35)(cid:78)(cid:13)(cid:86)(cid:87)(cid:62)2π(cid:34)(cid:63)(cid:64) =2π(cid:34)w>0(cid:34)(cid:60)(cid:120)w= (cid:34)(cid:58)B(cid:191)(cid:124)(cid:125)(cid:47)(cid:126)
2w 2
æ πö
(cid:100)(cid:101)C(cid:34)gx=sinç2wx+ ÷(cid:79) 0,2π (cid:80)(cid:386)(cid:88)7(cid:75)(cid:108)(cid:74)(cid:34)(cid:53)(cid:54)(cid:85)(cid:49)(cid:70)(cid:71)(cid:50)(cid:33)(cid:34)
è 6ø
π é41 47ö
2w2π+ Î7π,8π(cid:34)(cid:60)(cid:120)(cid:10)wÎ
ê
, ÷(cid:34)(cid:58)C(cid:191)(cid:85)(cid:105)(cid:47)(cid:126)
6 ë24 24øæ πö π
(cid:100)(cid:101)D(cid:34)(cid:97)gx=sinç2wx+ ÷(cid:47)(cid:81)(cid:82)(cid:308)(cid:363)(cid:143)(cid:293) (cid:75)(cid:24)(cid:240)(cid:224)(cid:220)(cid:142)(cid:120)(cid:144)(cid:10)
è 6ø 6
æ wπ πö wπ π π
gx=sinç2wx- + ÷(cid:34)(cid:97)(cid:377)(cid:3)(cid:101)y(cid:112)(cid:100)(cid:111)(cid:34)(cid:50)(cid:33)(cid:10)- + = +kπ(cid:34)
è 3 6ø 3 6 2
(cid:60)(cid:120)(cid:10)w=-1-3k,kÎZ(cid:34)(cid:68)wÎ1,3(cid:69)(cid:34)w=2(cid:34)(cid:58)D(cid:191)(cid:85)(cid:105)(cid:47)(cid:126)
(cid:58)(cid:20)(cid:10)CD.
(cid:89)(cid:23)(cid:132)(cid:133)(cid:21)
6cosa
24(cid:25)(cid:26)2024·(cid:257)(cid:411)·(cid:98)(cid:345)(cid:31)(cid:32)(cid:33)tana= (cid:34)(cid:35)cos2a= .
7-sina
7
(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39) /0.28
25
(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:39)(cid:137)(cid:16)(cid:49)(cid:34)(cid:122)(cid:142)(cid:375)(cid:15)(cid:50)(cid:120)sina(cid:34)(cid:138)(cid:145)(cid:146)(cid:163)(cid:45)(cid:7)(cid:113)(cid:164)(cid:165)(cid:66)(cid:50).
6cosa sina
(cid:36)(cid:59)(cid:60)(cid:39) =tana= (cid:34)
7-sina cosa
(cid:120)7-sinasina=6cos2a=6  1-sin2a  (cid:34)
3
(cid:60)(cid:120)sina= (cid:183)sina=-2(cid:26)(cid:352)(cid:31)
5
2
æ3ö 7
(cid:63)(cid:64)cos2a=1-2sin2a=1-2´ç ÷ = .
è5ø 25
7
(cid:58)(cid:37)(cid:38)(cid:62)(cid:10) .
25
æ πö æ πö 2
25(cid:25)(cid:26)2024·(cid:378)(cid:379)(cid:54)(cid:380)·(cid:89)(cid:345)(cid:31)(cid:32)(cid:33)qÎç0, ÷,tançq+ ÷=- tanq(cid:34)(cid:35)tan2q= .
è 2ø è 4ø 3
3
(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)-
4
1
(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:39)(cid:145)(cid:146)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:136)(cid:47)(cid:85)(cid:137)(cid:7)(cid:113)(cid:164)(cid:165)tanq=- (cid:34)(cid:138)(cid:307)(cid:146)(cid:98)(cid:163)(cid:45)(cid:47)(cid:85)(cid:137)(cid:7)(cid:113)(cid:66)(cid:50).
2
æ πö 2
(cid:36)(cid:59)(cid:60)(cid:39)(cid:97)tançq+ ÷=- tanq(cid:34)
è 4ø 3
π
(cid:153)qÎ(0, )(cid:34)
2
tanq+1 2
(cid:120) =- tanq(cid:34)
1-tanq 3
(cid:375)(cid:15)(cid:120)2tan2q-5tanq-3=0(cid:34)
1
(cid:60)(cid:120)tanq=- (cid:26)(cid:352)(cid:31)(cid:183)tanq=3(cid:34)
2
2tanq 2´3 3
(cid:63)(cid:64)tan2q= = =- (cid:25)
1-tan2q 1-32 43
(cid:58)(cid:37)(cid:38)(cid:62)(cid:10)- .
4
æ πö 1 æπ ö
26(cid:25)(cid:26)2023·(cid:384)(cid:385)(cid:341)(cid:412)(cid:413)(cid:414)·(cid:89)(cid:345)(cid:31)(cid:32)(cid:33)sinçq+ ÷= (cid:34)qÎç ,π÷(cid:34)(cid:35)cosq= (cid:25)
è 4ø 4 è2 ø
2- 30
(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)
8
éæ πö πù
(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:39)(cid:42)(cid:43)cosq=cosêçq+ ÷-
ú
(cid:53)(cid:54)(cid:44)(cid:45)(cid:136)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:113)(cid:66)(cid:50)(cid:120)(cid:60).
ëè 4ø 4û
æπ ö π æ3π 5πö
(cid:36)(cid:59)(cid:60)(cid:39)(cid:61)(cid:62)qÎç ,π÷(cid:34)(cid:63)(cid:64)q+ Îç , ÷(cid:34)
è2 ø 4 è 4 4 ø
æ πö 1 æ πö 15
(cid:148)sinçq+ ÷= (cid:34)(cid:63)(cid:64)cosçq+ ÷=- (cid:34)
è 4ø 4 è 4ø 4
éæ πö πù 15 2 1 2 2- 30
(cid:63)(cid:64)cosq=cosêçq+ ÷- ú =- ´ + ´ = .
ëè 4ø 4û 4 2 4 2 8
2- 30
(cid:58)(cid:37)(cid:38)(cid:62)(cid:10) .
8
1 1
27(cid:25)(cid:26)2024·(cid:384)(cid:385)(cid:341)·(cid:89)(cid:345)(cid:31)(cid:32)(cid:33)cosa-b= ,sinasinb= (cid:34)(cid:35)cos2a+2b= .
2 3
17 -17
(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)- /
18 18
1 1 1
(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:39)(cid:32)(cid:33)cosa-b= ,sinasinb= (cid:34)(cid:97)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:113)(cid:51)(cid:120)cosacosb= (cid:34)(cid:138)(cid:97)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:7)
2 3 6
(cid:113)(cid:51)cosa+b(cid:34)(cid:163)(cid:45)(cid:7)(cid:113)(cid:51)cos2a+2b
.
1 1 1
(cid:36)(cid:59)(cid:60)(cid:39)(cid:61)(cid:62)cosa-b=cosacosb+sinasinb= (cid:34)(cid:65)sinasinb= (cid:34)(cid:61)(cid:167)cosacosb= (cid:34)
2 3 6
1 1 1
(cid:35)cosa+b=cosacosb-sinasinb= - =- (cid:34)
6 3 6
1 17
(cid:63)(cid:64)cos2a+2b=2cos2a+b-1= -1=- .
18 18
17
(cid:58)(cid:37)(cid:38)(cid:62)(cid:10)- .
18
π π cos2θ
28(cid:25)(cid:26)2024·(cid:341)(cid:381)(cid:415)(cid:416)·(cid:89)(cid:345)(cid:31)(cid:32)(cid:33)0<θ< (cid:34)(cid:153)tan2θtan(θ+ )=4(cid:34)(cid:35) = (cid:25)
4 4 1-sin2θ
(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)3
(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:39)(cid:267)(cid:53)(cid:54)(cid:98)(cid:163)(cid:45)(cid:47)(cid:85)(cid:137)(cid:72)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:85)(cid:137)(cid:7)(cid:113)(cid:203)(cid:45)θ(cid:47)(cid:177)(cid:55)(cid:140)(cid:141)(cid:34)(cid:120)(cid:144)tanθ(cid:34)(cid:138)(cid:145)(cid:146)(cid:163)(cid:45)(cid:7)(cid:113)(cid:223)
cos2θ
(cid:417)(cid:16)(cid:62)(cid:418)(cid:279)(cid:113)(cid:51)(cid:60).
1-sin2θ
π 2tanθ tanθ+1
(cid:36)(cid:59)(cid:60)(cid:39)(cid:97)tan2θtan(θ+ )=4(cid:34)(cid:120)  =4(cid:34)
4 1-tan2θ 1-tanθπ 1
(cid:66)2tan2θ-5tanθ+2=0(cid:34)(cid:148)0<θ< (cid:34)(cid:63)(cid:64)tanθ= (cid:34)
4 2
1
1+
(cid:67)(cid:65) cos2θ = cos2θ-sin2θ = (cosθ+sinθ)(cosθ-sinθ) = cosθ+sinθ = 1+tanθ = 2 =3(cid:25)
1-sin2θ sin2θ+cos2θ-2sinθcosθ (cosθ-sinθ)2 cosθ-sinθ 1-tanθ
1-
1
2
(cid:58)(cid:37)(cid:38)(cid:62)(cid:10)3
29(cid:25)(cid:26)2024·(cid:355)(cid:419)·(cid:89)(cid:345)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:78)(cid:13) f(x)=sin(wπx+j)(w>0,0<j£π)(cid:34)(cid:152) f(x)(cid:191)(cid:265)(cid:78)(cid:13)(cid:34)(cid:35)j= (cid:126)
(cid:152)(cid:226)(cid:235)x2+y2 £2(cid:386)(cid:420)(cid:421)(cid:422) f(x)(cid:81)(cid:82)(cid:47)(cid:83)(cid:28)(cid:74)(cid:183)(cid:83)(cid:423)(cid:74)(cid:424)3(cid:75)(cid:34)(cid:35)w(cid:47)(cid:177)(cid:55)(cid:140)(cid:141)(cid:191) .
π
(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)  1,2
2
π
(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:39)(cid:42)(cid:43)(cid:265)(cid:78)(cid:13)(cid:47)(cid:100)(cid:111)(cid:128)(cid:40)(cid:41)(cid:50)(cid:33)j=kπ+ ,kÎZ(cid:34)(cid:66)(cid:50)(cid:120)(cid:53)(cid:387)(cid:126)(cid:53)(cid:54)(cid:100)(cid:111)(cid:128)(cid:50)(cid:33)(cid:226)(cid:235)(cid:79)y(cid:112)(cid:363)(cid:425)(cid:200)
2
(cid:421)(cid:422)1(cid:75) f(x)(cid:81)(cid:82)(cid:47)(cid:83)(cid:28)(cid:74)(cid:183)(cid:83)(cid:423)(cid:74)(cid:34)(cid:53)(cid:54)(cid:86)(cid:87)(cid:128)(cid:103)(cid:113)(cid:51)(cid:60).
π
(cid:36)(cid:59)(cid:60)(cid:39)(cid:61)(cid:62) f(x)(cid:191)(cid:265)(cid:78)(cid:13)(cid:34)(cid:35)j=kπ+ ,kÎZ(cid:34)
2
π
(cid:153)0<j£π(cid:34)(cid:63)(cid:64)k =0,j= (cid:126)
2
æ πö
(cid:50)(cid:120) f(x)=sinçwπx+ ÷=coswπx(cid:34)(cid:176) f(x)(cid:47)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:62)T(cid:34)
è 2ø
(cid:61)(cid:62) f(x)(cid:46)x2+y2 £2(cid:127)(cid:3)(cid:101)y(cid:112)(cid:100)(cid:111)(cid:34)
(cid:50)(cid:33)(cid:226)(cid:235)(cid:79)y(cid:112)(cid:363)(cid:425)(cid:200)(cid:421)(cid:422) f(x)(cid:81)(cid:82)(cid:47)1(cid:75)(cid:83)(cid:423)(cid:74)(cid:34)
(cid:100)(cid:101)x2+y2 =2(cid:34)(cid:119)y=±1(cid:34)(cid:60)(cid:120)x=1(cid:26)(cid:123)(cid:299)(cid:195)(cid:29)(cid:426)y(cid:112)(cid:363)(cid:425)(cid:34)(cid:352)(cid:231)(cid:31)(cid:126)
ìT
ï £1
(cid:50)(cid:120)í2 (cid:34)(cid:60)(cid:120)1<T £2(cid:34)
ï îT >1
2π
(cid:153)w>0(cid:34)(cid:35)1< £2(cid:34)(cid:60)(cid:120)1£w<2(cid:34)
wπ
(cid:63)(cid:64)w(cid:47)(cid:177)(cid:55)(cid:140)(cid:141)(cid:191) 1,2(cid:34)
π
(cid:58)(cid:37)(cid:38)(cid:62)(cid:10) (cid:126) 1,2 .
21 æ πö
30(cid:25)(cid:26)2024·(cid:354)(cid:355)(cid:398)(cid:427)·(cid:89)(cid:345)(cid:31)(cid:32)(cid:33)x= (cid:191)(cid:78)(cid:13) f(x)=sin(3πx+j)ç0<j< ÷(cid:47)(cid:22)(cid:161)(cid:100)(cid:111)(cid:112)(cid:34) f(x)(cid:79)(cid:185)(cid:186)
12 è 2ø
(-t,t)(t>0)(cid:370)(cid:386)(cid:420)(cid:410)(cid:79)3(cid:75)(cid:100)(cid:111)(cid:92)(cid:154)(cid:34)(cid:35)t(cid:47)(cid:177)(cid:55)(cid:140)(cid:141)(cid:62) (cid:25)
5 7
(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)( , ]
12 12
π
(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:39)(cid:42)(cid:43)(cid:78)(cid:13)(cid:47)(cid:100)(cid:111)(cid:112)(cid:51)(cid:77)j= (cid:34)(cid:51)(cid:77)(cid:78)(cid:13)(cid:79)(cid:245)(cid:74)(cid:428)(cid:429)(cid:47)(cid:100)(cid:111)(cid:92)(cid:154)(cid:34)(cid:97)(cid:21)(cid:147)(cid:103)(cid:123)(cid:179)(cid:113)(cid:34)(cid:66)(cid:50)(cid:51)(cid:120)(cid:37)(cid:38).
4
1 æ πö
(cid:36)(cid:59)(cid:60)(cid:39)(cid:97)(cid:21)(cid:147)(cid:33)x= (cid:191)(cid:78)(cid:13) f(x)=sin(3πx+j)ç0<j< ÷(cid:47)(cid:22)(cid:161)(cid:100)(cid:111)(cid:112)(cid:34)
12 è 2ø
3π π π π π
(cid:58) +j= +kπ(kÎZ)(cid:34)(cid:60)(cid:120)j= +kπ(cid:34)kÎZ(cid:34)(cid:61)(cid:62)0<j< (cid:34)(cid:58)j= (cid:34)
12 2 4 2 4
æ πö π 1 k
(cid:58) f(x)=sinç3πx+ ÷(cid:34)(cid:119)3πx+ =kπ(kÎZ)(cid:34)(cid:60)(cid:120)x=- + (cid:34)
è 4ø 4 12 3
æ 3 ö æ 5 ö æ 1 ö æ1 ö æ 7 ö æ11 ö
(cid:245)(cid:74)(cid:428)(cid:429)(cid:47)6(cid:75)(cid:100)(cid:111)(cid:92)(cid:154)(cid:40)(cid:430)(cid:62)ç- ,0÷,ç- ,0÷,ç- ,0÷,ç ,0÷,ç ,0÷,ç ,0÷(cid:34)
è 4 ø è 12 ø è 12 ø è4 ø è12 ø è12 ø
æ 1 ö æ1 ö æ 7 ö
(cid:152)3(cid:75)(cid:100)(cid:111)(cid:92)(cid:154)(cid:386)(cid:420)(cid:191)ç- ,0÷,ç ,0÷,ç ,0÷(cid:34)
è 12 ø è4 ø è12 ø
ì 5 1
- £-t<-
ï
ï 12 12
(cid:35)í (cid:34)(cid:35)t(cid:123)(cid:410)(cid:79)(cid:34)(cid:123)(cid:54)(cid:21)(cid:147)(cid:126)
ï 7 <t£ 11
ïî12 12
æ 5 ö æ 1 ö æ1 ö
(cid:152)3(cid:75)(cid:100)(cid:111)(cid:92)(cid:154)(cid:386)(cid:420)(cid:191)ç- ,0÷,ç- ,0÷,ç ,0÷(cid:34)
è 12 ø è 12 ø è4 ø
ì 3 5
- £-t<-
ï
ï 4 12 5 7
(cid:35)í (cid:34)(cid:35) <t£ (cid:126)
ï1
<t£
7 12 12
ïî4 12
5 7
(cid:58)(cid:68) <t£ (cid:69)(cid:34)(cid:229)(cid:54)(cid:21)(cid:147)(cid:25)
12 12
5 7
(cid:58)t(cid:47)(cid:177)(cid:55)(cid:140)(cid:141)(cid:62)( , ](cid:34)
12 12
5 7
(cid:58)(cid:37)(cid:38)(cid:62)(cid:10)( , ]
12 12
1
31(cid:25)(cid:26)2024·(cid:378)(cid:379)(cid:54)(cid:380)·(cid:89)(cid:345)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:78)(cid:13) f x= 3sinwxcoswx+cos2wx+ (w>0)(cid:79)(cid:185)(cid:186)0,π(cid:80)(cid:195)(cid:88)(cid:22)(cid:75)(cid:108)(cid:74)
2
(cid:46)(cid:44)(cid:75)(cid:83)(cid:109)(cid:55)(cid:74)(cid:34)(cid:35)w(cid:47)(cid:177)(cid:55)(cid:140)(cid:141)(cid:191) (cid:25)
æ7 5ù
(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)ç ,
ú
è6 3û
æ πö
(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:39)(cid:267)(cid:268) f x(cid:16)(cid:168)(cid:62)sinç2wx+ ÷+1(cid:34)(cid:138)(cid:42)(cid:43) f x(cid:79)(cid:185)(cid:186) 0,π(cid:80)(cid:195)(cid:88)(cid:22)(cid:75)(cid:108)(cid:74)(cid:46)(cid:44)(cid:75)(cid:83)(cid:109)(cid:55)(cid:74)(cid:34)(cid:53)
è 6ø(cid:54)(cid:85)(cid:49)(cid:431)(cid:89)(cid:45)(cid:78)(cid:13)(cid:47)(cid:197)(cid:15)(cid:432)(cid:94)(cid:51)(cid:77)w(cid:47)(cid:177)(cid:55)(cid:140)(cid:141).
1
(cid:36)(cid:59)(cid:60)(cid:39) f x= 3sinwxcoswx+cos2wx+
2
3 1 æ πö
= sin2wx+ cos2wx+1=sinç2wx+ ÷+1(cid:34)
2 2 è 6ø
π éπ πö
(cid:97)xÎ 0,π(cid:34)w>0(cid:34)(cid:120)2wx+ Î
ê
,2πw+ ÷(cid:34)
6 ë6 6ø
æ πö æ πö
f x=0(cid:69)(cid:34)sinç2wx+ ÷=-1(cid:34) f x(cid:83)(cid:109)(cid:69)(cid:34)sinç2wx+ ÷(cid:318)(cid:83)(cid:109)(cid:34)
è 6ø è 6ø
(cid:152) f x(cid:79)(cid:185)(cid:186) 0,π(cid:80)(cid:195)(cid:88)(cid:22)(cid:75)(cid:108)(cid:74)(cid:46)(cid:44)(cid:75)(cid:83)(cid:109)(cid:55)(cid:74)(cid:34)
5π π 7π 7 5
(cid:35)(cid:195)(cid:365) <2πw+ £ (cid:34)(cid:60)(cid:120) <w£ (cid:25)
2 6 2 6 3
æ7 5ù
(cid:58)(cid:37)(cid:38)(cid:62)(cid:10)ç ,
ú
.
è6 3û
æ πö
32(cid:25)(cid:26)2024·(cid:341)(cid:381)(cid:289)(cid:341)·(cid:89)(cid:345)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:78)(cid:13) f x=sinçwx- ÷(w>0)(cid:79)(cid:185)(cid:186)0,π(cid:80)(cid:88)(cid:153)(cid:200)(cid:88)(cid:89)(cid:75)(cid:108)(cid:74)(cid:34)(cid:35)w(cid:47)
è 4ø
(cid:177)(cid:55)(cid:140)(cid:141)(cid:191) .
æ9 13ù
(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)ç ,
ú
è4 4 û
π
(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:39)(cid:119)t =wx- (cid:34)(cid:122)(cid:142)(cid:97)x(cid:47)(cid:140)(cid:141)(cid:51)(cid:77)t(cid:47)(cid:140)(cid:141)(cid:34)(cid:138)(cid:53)(cid:54)(cid:85)(cid:49)(cid:78)(cid:13)y=sint(cid:47)(cid:128)(cid:129)(cid:50)(cid:51)(cid:77)w(cid:47)(cid:177)(cid:55)(cid:140)(cid:141)
4
π æ π πö
(cid:36)(cid:59)(cid:60)(cid:39)(cid:119)t =wx- (cid:34)QxÎ0,π(cid:34)\tÎç- ,wπ- ÷(cid:34)
4 è 4 4ø
æ π πö
(cid:337)(cid:21)(cid:417)(cid:16)(cid:62)(cid:78)(cid:13)y=sint(cid:79)(cid:185)(cid:186)ç- ,wπ- ÷(cid:80)(cid:88)(cid:153)(cid:200)(cid:88)(cid:89)(cid:75)(cid:108)(cid:74)(cid:34)
è 4 4ø
π 9 13
\2π<wπ- £3π(cid:34)(cid:60)(cid:120) <w£ .
4 4 4
æ9 13ù
(cid:58)(cid:37)(cid:38)(cid:62)(cid:10)ç ,
ú
è4 4 û
π 3
33(cid:25)(cid:26)2024·(cid:357)(cid:355)(cid:358)(cid:359)·(cid:89)(cid:345)(cid:31)(cid:176)0<a<b< (cid:34)tana=mtanb(cid:34)cosa-b= (cid:34)(cid:152)(cid:130)(cid:131)(cid:161)(cid:162)(cid:47)a(cid:72)b(cid:410)(cid:79)
2 5
(cid:153)(cid:196)(cid:22)(cid:34)(cid:35)m= (cid:34) tanatanb= .
1
(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39) 1
9
3 4
(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:39)(cid:97)tana=mtanb(cid:120)(cid:144)sinacosb=mcosasinb(cid:34)(cid:138)(cid:53)(cid:54)cosa-b= (cid:34)(cid:145)(cid:146)sina-b=- (cid:34)(cid:120)
5 5
4 4m -4m+1
(cid:144)cosasinb=- (cid:34)sinacosb=- (cid:34)(cid:67)(cid:65)sina+b= (cid:34)(cid:138)(cid:97)(cid:130)(cid:131)(cid:161)(cid:162)(cid:47)a(cid:72)b(cid:410)
5m-1 5m-1 5m-1-4m+1
(cid:79)(cid:153)(cid:196)(cid:22)(cid:34)(cid:120)(cid:144)a+b(cid:196)(cid:22)(cid:34)(cid:67)(cid:65)sina+b= =1(cid:34)(cid:51)(cid:120)m(cid:66)(cid:50).
5m-1
sina msinb
(cid:36)(cid:59)(cid:60)(cid:39)(cid:60)(cid:10)(cid:97)tana=mtanb(cid:34)(cid:120) = (cid:34)(cid:66)sinacosb=mcosasinb(cid:34)
cosa cosb
π π
(cid:61)(cid:62)0<a<b< (cid:34)tana=mtanb(cid:34)(cid:63)(cid:64)- <a-b<0(cid:34)0<m<1(cid:34)
2 2
3
(cid:148)cosa-b= (cid:34)(cid:63)(cid:64)sina-b<0(cid:34)
5
4
(cid:67)(cid:65)sina-b=sinacosb-cosasinb=m-1cosasinb=- (cid:34)
5
4
(cid:63)(cid:64)cosasinb=- (cid:34)
5m-1
4m
(cid:63)(cid:64)sinacosb=mcosasinb=- (cid:34)
5m-1
-4m+1
(cid:63)(cid:64)sina+b=sinacosb+cosasinb= (cid:34)
5m-1
æ πö
(cid:61)(cid:62)a,bÎç0, ÷(cid:34)(cid:63)(cid:64)a+bÎ0,π(cid:34)
è 2ø
(cid:61)(cid:62)(cid:130)(cid:131)(cid:161)(cid:162)(cid:47)a(cid:72)b(cid:410)(cid:79)(cid:153)(cid:196)(cid:22)(cid:34)(cid:63)(cid:64)a+b(cid:196)(cid:22)(cid:34)
(cid:63)(cid:64)sina+b=
-4m+1
=1(cid:34)(cid:63)(cid:64)m= 1 (cid:34)(cid:319)(cid:433)(cid:403)(cid:229)(cid:54)(cid:21)(cid:147)(cid:34)
5m-1
9
1
(cid:63)(cid:64)tana= tanb(cid:34)
9
4 tana-tanb tana-9tana
(cid:35)tana-b=- = = (cid:34)
3 1+tanatanb 1+9tan2a
1
(cid:60)(cid:120)tana= (cid:34)
3
(cid:63)(cid:64)tanatanb=9tan2a=1.
1
(cid:58)(cid:37)(cid:38)(cid:62)(cid:10) (cid:34)1
9
-4m+1
(cid:36)(cid:74)(cid:204)(cid:39)(cid:3)(cid:215)(cid:74)(cid:74)(cid:204)(cid:10)(cid:3)(cid:215)(cid:191)(cid:53)(cid:54)(cid:32)(cid:33)(cid:120)(cid:77)sina+b= =1(cid:34)(cid:51)(cid:77)m(cid:34)(cid:97)(cid:167)(cid:66)(cid:50)(cid:434)(cid:145)(cid:120)(cid:60).
5m-1