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长春外国语学校2023-2024学年第一学期期中考试高三年级 长轴长等于圆 ，即 的半径，a=2，则b=1，
数学试卷参考答案
所求椭圆方程为： .
1．B
故选B.
【分析】化简集合 ，根据交集的定义求得 ，进而可求解.
5．C
【详解】因为 ，所以 ，
【分析】利用函数导数与函数单调性的关系将问题转化为 恒成立问题，构造
则 中元素的个数为4个.
故选：B.
函数 ，利用导数求得 的最大值，从而得解.
2．D
【分析】根据复数除法的运算法则进行求解即可. 【详解】因为 ，则 ，
【详解】由 ， 由题意知 在区间 上恒成立，即 在区间 上恒成立.
故选：D
令 ， ，所以 ，
3．C
【分析】将 平方，再结合模长运算即可求解. 因为 ，
【详解】因为 ，所以 ， 所以当 时， ，当 时， ，
所以 ，又 ，所以 ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 . 又 ， ，
故选：C.
所以 ，则 ，即 的取值范围是 .
4．B
故选：C.
【详解】椭圆 的一个焦点与抛物线 的焦点重合,可得 6．A
【分析】根据点到直线距离公式和垂径定理得到方程，求出 ，从而得到答案.
，
【详解】圆心 到直线 的距离为 ，
数学试题 第15页 （共106页） 数学试题 第16页 （共106页）
学科网（北京）股份有限公司当 时，由垂径定理得 ， ∴ ，
即 ，解得 ， 当且仅当 即 时等号成立，
故选：C.
故“ ”是“ ”的充分而不必要条件.
9．ACD
故选：A
【分析】由百分位数的定义，即可判断A，由回归方程的性质即可判断B，由方差的性
7．B
质即可判断CD.
【分析】利用二倍角公式以及辅助角公式可推出 ，结合角的范围求得 ，
【详解】因为 ，所以这组数据的第75百分位数是第8个数，即为16，
即可求得答案.
A正确；
【详解】由题意 ，
由回归方程可知，当解释变量 每增加1个单位时，相应变量 减少 个单位，B错误；
则 ，即 ，
选项C，由 ，可得 ，C正确；
故 ，即 ，
由 ，得 ，所以这组样本数据的总和等于 ，故D正确；
由于 ，所以 ，
故选：ACD
则 ，即 ， 10．CD
【分析】根据降幂公式、二倍角正弦公式，结合正弦型函数的最值、对称性、单调性、
故 ，
图象变换性质逐一判断即可.
故选：B
【详解】 .
8．C
【分析】化简已知条件，利用基本不等式即可得出结论.
【详解】由题意， A：函数 的最大值为 ，因此本选项不正确；
， ， ，
B：因为 ，所以图象C不关于 中心对称，因此本
∴ ，
数学试题 第25页 （共106页） 数学试题 第26页 （共106页）
学科网（北京）股份有限公司选项不正确；
C：当 时， ，所以函数 在区间 内是增函数，
因此本选项正确；
D：函数 图象上，横坐标伸长到原来的2倍，得到 ，再向左平
当 时，则 ，点 在 上运动，则 ，
移 可得到 ，所以本选项正确， 由于点 到平面 的距离为定值 ，点 到线段 的距离恒为 ，
故选：CD
11．ABD 则 ，则 ，故选项B正确；
【分析】对于A，B选项，直接利用几何法判断即可，对于C选项，利用线面垂直证明
线线垂直，对于D选项，利用坐标法可证.
【详解】当 时， ，则点 在 上运动，
则当点 与 重合时，则此时面积取得最大值， ,
由于直三棱柱 ，则 ， 为等腰直角三角形，则 ，
当 时， ，
又 ， ， 面 ，则 面 ，
设 的中点为 ， 的中点为 ，则点 在 上运动，
当点 与点 重合时， ， ，
因为 面 ，所以 ，
又 ， ， 平面 ，则 面 ，
则 ，故选项A正确；
又因为 面 ，则 ，
当点 与点 重合时， 面 ，即 面 ，则 ，故选项C
错误；
数学试题 第35页 （共106页） 数学试题 第36页 （共106页）
学科网（北京）股份有限公司【分析】根据赋值法，可判断 或 ，进而判断A，根据赋值法结合奇偶
性的定义可判断C，根据偶函数即可判断对称性，根据对称性以及奇偶性可得函数的周
期性，进而可判断CD.
【详解】令 ，则 或 ，故A错误，
如图建立空间直角坐标系，设 的中点为 ， 的中点为 ，
若 时，令 ，则 ，此时 是
当 时， ，则点 在线段 上运动， 偶函数
若 时，令 ，则 ，此时 既是偶
则 ， ， ， ， ，
函数又是奇函数；因此B正确，
故 ， ， 令 ，则 ，所以
设平面 的法向量为 ，则 ，
关于 中心对称，故C正确，
令 ，得 ，
由 关于 中心对称可得 ，结合 是偶函数，所以
当 时，则 与 平行，则存在点 ，使得 平面 ，故选项D正确；
，所以 的周期为2，
令 ，则 ，故 ，
进而 ，故D正确，
故选：BCD
故选：ABD. 13．
12．BCD
数学试题 第45页 （共106页） 数学试题 第46页 （共106页）
学科网（北京）股份有限公司【分析】在二项展开式的通项公式中，令 的幂指数等于 ，求出 的值，即可求得展
所以 ，
开式中含 项的系数．
当 时，
【详解】 的展开式中，通项公式为
所以 ，
故答案为：
，
15．
令 ，求得 ，可得展开式中含 项的系数 .
【分析】由题意知四边形 为菱形，再结合图形得出 ，最后
故答案为： ．
根据定义即可得出离心率.
14．
【详解】设双曲线 焦距为 ，不妨设点 在第一象限，
【分析】根据题中 ，利用 和 的关系式 来求解，注意
由题意知 ，由 且 与 垂直可知，四边形 为菱形，且
时要检验是否符合 时的表达式.
边长为 ，而 为直角三角形， ，
【详解】当 时， ；
当 时，因为 ，
所以
所以 ；
故 ，则 ，
所以 ；
则 ，
所以当 时， 是以2为公比的等比数列；
故 ，
数学试题 第55页 （共106页） 数学试题 第56页 （共106页）
学科网（北京）股份有限公司17．(1) ；
即离心率 .
(2) .
故答案为: .
【分析】（1）根据 ，并结合等比数列的定义即可求得答案；
16．
（2）结合（1），并通过错位相减法即可求得答案.
【分析】根据条件确定点 的轨迹为圆，再根据勾股定理判断出 为直角三角形，
【详解】（1）当 时， ，当 时，
其外心为 与 的交点 ，进而计算出 ，确定 为四面体
， 是以2为首项，2为公比的等比数
的外接球的球心，求出半径进行计算即可.
【详解】因为 是上底面的一个动点，且 ，
列， .
所以点 的轨迹是上底面上以 为圆心， 为半径的圆，
（2） ， …①
在 中， ， ， ，
…②
∴ ，
∴ 为直角三角形，其外心为 与 的交点 ， ①-②得
且 ， ，而 ，
， .
所以 ，
18.（Ⅰ） ；（Ⅱ） .
所以 为四面体 的外接球的球心，球半径为 ，
【详解】试题分析： 利用正弦定理及余弦定理整理求出 ，即可求得角 的大小；
所以球的体积
利用余弦定理及常用不等式求解即可
故答案为：
数学试题 第65页 （共106页） 数学试题 第66页 （共106页）
学科网（北京）股份有限公司解析：（Ⅰ） 因为 是 的中点，可得 ，
则 ，即四边形 为平行四边形，
根据正弦定理得
可得 ，所以 ，
又因为四边形 是边长为2的菱形，且 ，
又
则 是边长为2的等边三角形，可得 ，
（Ⅱ）在 中，根据余弦定理得
即 则 ，可得 ，
因为 平面 平面 ，
所以 平面 ，
又 且 平面 ，所以平面 平面 .
又 ,
19．(1)证明见解析
(2)
（2）以 为原点、 分别为 轴、 轴、 轴建立如图空间直角坐标系
【分析】（1）根据题意结合线面垂直的判定定理可证 平面 ，进而可得结果；
，
（2）以 为原点、 分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系 ，
则 ，
求出 和平面 的法向量，利用点到平面的距离公式的向量求法可得答案.
【详解】（1）设 是线段 的中点，连接 ，过 作 ，垂足为 ， 可得 ，
因为四边形 为等腰梯形， ， ，
所以 ， ， 设平面 的法向量为 ，则 ，
数学试题 第75页 （共106页） 数学试题 第76页 （共106页）
学科网（北京）股份有限公司取 ，则 ，可得 ，
则 ，
则点 到平面 的距离为 .
，
，
所以随机变量 的分布列为
3 4 5
所以 ．
20．（1） ；（2）分布列见解析，数学期望为 ．
【点睛】求随机变量 的期望与方差的方法及步骤：
【分析】（1）根据题意，结合五局三胜制规则，分别求得比赛三、四和五局且甲获胜
1、理解随机变量 的意义，写出 可能的全部值；
的概率进而求得甲获胜的概率；
2、求 取每个值对应的概率，写出随机变量的分布列；
（2）随机变量 的取值为3，4，5，求得相应的概率，得出分布列，利用公式求得期
望. 3、由期望和方差的计算公式，求得数学期望 ；
4、若随机变量 的分布列为特殊分布列（如：两点分布、二项分布、超几何分布），
【详解】（1）由题意知，比赛三局且甲获胜的概率 ，
可利用特殊分布列的期望和方差的公式求解.
21．(1) ；
比赛四局且甲获胜的概率为 ，
(2) ．
比赛五局且甲获胜的概率为 ，
【分析】（1）由椭圆的离心率为 ，且点 在椭圆 上，列出方程组求出 ，
所以甲获胜的概率为 ．
由此能求出椭圆 的方程；
（2）随机变量 的取值为3，4，5，
数学试题 第85页 （共106页） 数学试题 第86页 （共106页）
学科网（北京）股份有限公司（2）设 与 轴的交点为 ，直线 ，联立方程组，得 ∴ ，
，由此利用韦达定理、弦长公式、均值定理，结合已知条 令 ，
件能求出 面积的最大值.
设 ，则 ，当且仅当 ，
【详解】（1）解：因为椭圆 的离心率为 ，且点 在椭圆 上 即 ，等号成立，
∴ ，
∴ 面积的最大值为 .
所以， ，即 ， 解得 ， ,
22.(1)
(2)存在， ，证明见解析
所以，椭圆 的方程是 .
【分析】（1）求导，得到 ，由导函数的几何意义求出切线方程；
（2）解：设直线 与 轴的交点为 ，直线 ，与椭圆交点为 ，
（2）分 和 两种情况，分离参数，构造函数得到函数的最值，从而得到a的
值.
，
联立 ， ，得 ， 【详解】（1）当 时， ， ，
∴ ， ，
，又 ，
∴ ，即 ，
∴曲线 在点 处的切线方程为 ．
∵ ，∴ ，
（2）①当 时， ，则 ，故 ，
数学试题 第95页 （共106页） 数学试题 第96页 （共106页）
学科网（北京）股份有限公司令 ，则 ，
令 ，则 在 上恒成立，
∴ 在 上单调递减，
∴当 时， ，∴ ，
∴ 在 上单调递增， ，∴ ．
②当 时， ，则 ，故 ．
由①知当 时， ，
在 上单调递增，当 时， ，
∴ ，∴ 在 上单调递增，
∴ ，∴ ．
综合①②得： .
数学试题 第105页 （共106页） 数学试题 第106页 （共106页）
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