文档内容
重庆市乌江新高考协作体 2025 届高考质量调研（一）
数学试题
（分数：150分，时间：120分钟）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．已知复数z满足 ，则 （ ）
A． B．1 C．2 D．4
2．下列命题中的真命题是（ ）
A．互余的两个角不相等 B．相等的两个角是同位角
C．若 ，则 D．三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角
3．若向量 ，且 ，则 （ ）
A． B．2 C． D．1
4．以下关于统计分析的描述，哪一个是正确的？（ ）
A．样本均值越接近总体均值，样本的代表性越好．
B．样本标准差越大，数据的离散程度越小．
C．相关系数的绝对值越接近1，表示两个变量的线性关系越弱．
D．决定系数R²越接近1，模型的解释能力越强．
5．已知双曲线 的左右焦点分别为 ，过点 且与渐近线垂直的直线与双曲
线 左右两支分别交于 两点，若 ，则双曲线的离心率为（ ）
数学试卷 第 1 页 共 12 页
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
6．已知函数 图象的对称轴方程为 ， ．则
（ ）
A． B． C． D．
7．三棱锥 的侧棱 是它的外接球的直径，且 ，则三棱锥
的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知在函数 的图象上存在四个点 构成一个以原点为对称中心的平行四
边形，则一定有：（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分。
9．设 ，曲线 在点 处切线的斜率为 ，与x轴的交点为 ，与y轴的交点为 ，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
数学试卷 第 2 页 共 12 页
学科网（北京）股份有限公司10．在平面直角坐标系 中，已知圆 的动弦 ，圆 ，则下
列选项正确的是（ ）
A．当圆 和圆 存在公共点时，则实数 的取值范围为
B． 的面积最大值为1
C．若原点 始终在动弦 上，则 不是定值
D．若动点 满足四边形 为矩形，则点 的轨迹长度为
11．已知函数 和 ，则下列说法正确的有（ ）
A．若 有两个相同的实数根，则函数 经过一二四象限
B． 的图象和一个以 为圆心，1为半径的圆没有交点
C． 可以在 时取到最小值
D．若 有两个不同零点，设这两个零点分别为 、 （ 在 的左边）在 时，若 的最
小值等于 ，则 是不可能成立的
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．设 是各项均为正数的等比数列 的前n项和，若 ，则 ．
13．若 ， ，且 ，则 的最小值为
.
14．对于两个事件M，N，若 ， ，称 为事
件M，N的相关系数.近日重庆酷暑难耐，小张、小李、小王、小刘四人计划周末去避暑，现有四个可出游
数学试卷 第 3 页 共 12 页
学科网（北京）股份有限公司的景点：南天湖、金佛山、仙女山和黑山谷，若事件M：金佛山景点至少有一人：事件N：仙女山和黑山
谷两个景点恰有一个景点无人，则事件M，N的相关系数为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15． 的内角 的对边分别为 ，已知 .
(1)求角A；
(2)若 ， ，求 的面积.
16．设数列{a }的前 项和为 ，且满足 .
n
(1)求{a }的通项公式；
n
(2)设 ，数列{b }的前 项和为 ，若对任意的 恒成立，求 的取值范围.
n
17．已知函数 ，且 恒成立．
(1)求实数 的取值集合；
(2)证明： ．
18．近年来，社交推理游戏越来越受到大众的喜爱，它们不仅提供了娱乐和休闲的功能，还可以锻炼玩家
的逻辑推理、沟通技巧和团队合作精神，增强社交能力和人际交往能力.某校“社交推理游戏社团”在一
次活动中组织了“搜索魔法师”游戏，由1名“侦探”、6名“麻瓜”、4名“魔法师”参与游戏.游戏开
始前，“侦探”是公认的，每个“麻瓜”和“魔法师”均清楚自己的角色且不知道其他人的身份.游戏过
程中，由“侦探”对“麻瓜”和“魔法师”逐个当众询问并正确应答，直至找出所有的“魔法师”为止.
(1)若恰在第5次搜索才测试到第1个“魔法师”，第10次才找到最后一个“魔法师”，则这样的不同搜
索方法数是多少？
(2)若恰在第5次搜索后就找出了所有“魔法师”，则这样的不同搜索方法数是多少？
数学试卷 第 4 页 共 12 页
学科网（北京）股份有限公司(3)游戏开始，有甲、乙、丙三位同学都想争取“侦探”的角色，主持人决定采用“击鼓传花”的方式来
最终确认人员.三人围成一圈，第1次由甲将花传出，每次传花时，传花者都等可能地将花传给另外两个
人中任何一人.试问，5次传花后花在甲手上的可能线路有多少种？
19．已知 是棱长为 的正四面体 ，设 的四个顶点到平面 的距离所构成的集合为 ，若
中元素的个数为 ，则称 为 的 阶等距平面， 为 的 阶等距集.
(1)若 为 的1阶等距平面且1阶等距集为 ，求 的所有可能值以及相应的 的个数；
(2)已知 为 的4阶等距平面，且点 与点 分别位于 的两侧.若 的4阶等距集为 ，
其中点 到 的距离为 ，求平面 与 夹角的余弦值.
重庆乌江新高考协作体 2025 届高考质量调研（一）
数学答案
（分数：150分，时间：120分钟）
1-4．CCCD 5-8．ACBC
数学试卷 第 5 页 共 12 页
学科网（北京）股份有限公司6．由函数的对称轴可得 即可求得 ，利用函数的对称性可得 ，则
，即可求得 的值，得到函数解析式，代入即可求解．
7．根据 是三棱锥 外接球的直径，先找到垂直条件，求出 ， ，再作出三棱锥 的
高 ，在 中，用余弦定理求得 ，再结合垂直关系求得 ，设 ，表示出 ，
在 中，用余弦定理列等式求得 ，再套入三棱锥体积公式求解即可.
8．通过对称性将问题转化为函数零点的问题即可．
9．BC 10．ABD 11．BC
12．13 13．
14． /
14. 先求事件 ， ， 的概率，再按定义求事件 ， 的的相关系数.
15．（1） ，由正弦定理得 ，
即 ，
， ，
， ，
， ．
（2） ，
， ， ， ，
由 ，得 ，
，
数学试卷 第 6 页 共 12 页
学科网（北京）股份有限公司.
16．（1）因为 ，
当 时，由 ，解得 ；当 时，则 ，
两方程相减得 ，即 ；可知数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 .
（2）由（1）可知： ，则 ，
，
两式相减得 ，
可得 ，即 .
因为 ，
可知 是单调递增数列，且 ，可得 ，
因为对任意的 恒成立，可得 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .
17．（1） ．
①当 时， 在(0,+∞)上单调递减，
数学试卷 第 7 页 共 12 页
学科网（北京）股份有限公司当 时， ，这与 矛盾，不合题意.
②当 时，
由f'(x)<0得 ；由f'(x)>0得 ，
则f (x)在 上单调递减，在 上单调递增，
时，函数 取得唯一极小值即最小值．又 且f (1)=0
，解得 ，故实数 的取值集合是 ．
（2）由（1）可知： 时， ，即 对任意 恒成立．
要证明： ，则只需要证明 ，
即 ．
令 , ，
令 ，令 ，解得 ．
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增．
即函数 在 内单调递减，在 上单调递增．
而
所以存在 ，使得 ，
当x∈(0,x )时， 单调递增；
0
当 时， 单调递减．
数学试卷 第 8 页 共 12 页
学科网（北京）股份有限公司当x∈(1,+∞)时， 单调递增．
又 ，
对 恒成立，即 ．
综上可得
18．（1）先排前4次搜索，只能取“麻瓜”，有 种不同的搜索方法，
再从4个“魔法师”中选2个排在第5次和第10次的位置上搜索，有 种搜索方法，
再排余下4个的搜索位置，有 种搜索方法.
所以共有 种不同的搜索方法.
（2）第5次搜索恰为最后一个“魔法师”，
则另3个在前4次搜索中出现，从而前4次有一个“麻瓜”出现，
所以共有 种不同的搜索方法.
（3）由于甲是第1次传花的人，因此第2次传花时，甲不能再次拿到花.
这意味着在第2次传花时，花必须传给乙或丙.
同样，第3次传花时，花不能回到前一次传花的人手中.
因此，传花的路线不能有连续两次传给同一个人的情况.
设 为经过 次传花后花在甲手上的线路数，其中 .
则 为经过 次传花后花在甲手上的线路数，即经过 次传花后花不在甲手上的线路数，
所以 为经过 次传花的总线路，每一次传花均有两种方向（顺时针或逆时针），
则 ， .
所以 ， ， ， ，
综上，5次传花后花在甲手上的可能线路有10种.
数学试卷 第 9 页 共 12 页
学科网（北京）股份有限公司19．（1）①情形一：分别取 的中点 ，
由中位线性质可知 ，
此时平面 为 的一个1阶等距平面，
为正四面体高的一半，等于 .
由于正四面体有4个面，这样的1阶等距平面 平行于其中一个面，有4种情况；
②情形二：分别取 的中点
将此正四面体放置到棱长为1的正方体中，
则 为正方体棱长的一半，等于 .
由于正四面体的六条棱中有3组对棱互为异面直线，
这样的1阶等距平面 平行于其中一组异面直线，有3种情况.
综上，当 的值为 时， 有4个；当 的值为 时， 有3个.
（2）在线段 上分别取一点 ，
数学试卷 第 10 页 共 12 页
学科网（北京）股份有限公司使得 ，则平面 即为平面 .
如图，取 中点 ，连接 ，以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，过点 且与平面
垂直的直线为 轴建立空间直角坐标系，
，设
，
，
设平面 法向量为⃗m=(x,y,z)
所以 ，即 ，
所以 ，
又平面 的法向量为 ，
设平面 与 夹角为
所以 ，
所以平面 与 夹角余弦值为 .
数学试卷 第 11 页 共 12 页
学科网（北京）股份有限公司数学试卷 第 12 页 共 12 页
学科网（北京）股份有限公司
