专题06数列中的最值问题（解析版）(自动保存的)_2024-2025高三（6-6月题库）_2025年02月试卷_02272025年高考数学压轴大题必杀技系列·数列

专题 6 数列中的最值问题 新高考在试题形式、试卷结构、难度调控等方面深化改革,数列解答题的难度增加,作为压轴题出现 的概率变大,与数列有关的最值问题是数列中的经典问题,常与函数性质、不等式、新定义等知识交汇,是 新高考考查的热点,本专题总结数列中常见最值的类型及解法,供大家参考. （一）作差法判断数列单调性,求数列项的最值 若数列 满足 ,则 单调递增,若满足 ,则 单调递减,若 时 , 时 , 时 ,则 或 时 最大.若 时 , 时 ,则 时 最大. 【例1】（2023届吉林省长春吉大附中实验学校高三下学期第五次模拟）数列 , 满足 , , ． (1)求证： 是常数列； (2)设 , ,求 的最大项． 【解析】（1） , , , , 学科网（北京）股份有限公司, ,因此,数列 是常数列； （2）由（1） ,即 ,且 ,整理得 . , , , 当 时, , , , , , 数列 单调递减, 的最大项为 ． 【例2】已知数列 的前 项和 ,且 , . （1）求数列 的通项公式； （2）求数列 的最小项的值. 【解析】（1） , ,则 , 即 , 当 时, ； 当 时, ； 经检验 适合 , （2）由（1）知： , , 学科网（北京）股份有限公司, 当 时, , 当 时, ；当 时, ； 又 , , 当 时, 有最小值 . （二）作商法判断数列单调性,求数列项的最值 若 ,且 ,则数列 单调递增,若 ,且 ,则数列 单调递减. n23n 【例3】已知数列a n 的前n项和为S n  2 . a  (1)求数列 n 的通项公式；  9  n1 (2)令 b n  10   a n,试问：数列 b n  是否有最大项？若有,指出第几项最大；若没有,请说明理由. n2 3n (n1)2 3(n1) 【解析】（1）解： 当 时,a  S S   n1, n2 n n n1 2 2 a n1(n2) n 所以 , n1 a S 2 1 1 又当 时, 也满足上式, a n1  nN* 所以 n ；  9  n1 b   n1 （2）解：由（1）知 n 10 ,  9  n2 b 9(n1) b n  n  当n2时, n1 10 ,所以b 10n , n1 9(n1) 令 1,得 , 10n n9 学科网（北京）股份有限公司9(n1) 当 n9 时, 10n 1,即b b ； n n1 9(n1) 当 n9 时, 10n 1,即b b ； n n1 9(n1) 当 n9 时, 10n 1,即b b ； n n1 b  所以数列 n 先增后减,有最大项且最大项为第8,9项. （三）利用函数单调性求数列项的最值 此类问题通常是把数列的通项转化为关于n的函数,然后利用函数的单调性求最值. 【例4】已知数列 的前 项和为 ,且满足 , . (1)求 , , , ,并猜想 的表达式（不必写出证明过程）； (2)设 , ,求 的最大值. 【解析】（1）解： , 由 ,得 ,同理可得 , , 所以猜想 ； （2）解：由（1）知, 时, , 当 时, 满足上式, 所以 , 所以 , , 设 ,则有 在 上为减函数,在 上为增函数, 学科网（北京）股份有限公司因为 ,且 ,所以当 或 时, 有最大值 . 1 a 1 【例5】已知数列 a n  中, n a2n1 （nN,aR且a0）. a  （1）若 a7 ,求数列 n 中的最大项和最小项的值； nN a a a n 6 （2）若对任意的 ,都有 成立,求 的取值范围. 1 1 a 1 1 【解析】（1）当a7时, n 2n17 2n9. 由 的单调性可得当 n4 且 nN 时,数列a n 单调递减,且有 1a 1 a 2 a 3 a 4 ； 当 n5 且 nN 时,数列 a n  单调递减,此时 a n 1 ,且有 a 5 a 6   a n   . 1 1 综上,数列a n 中的最大项的值为a 5 1 259 2,最小项的值为a 4 1 249 0； 1 1 a 1 1 （2）  n a2n1 2na2,已知对任意的nN,都有a a 成立, n 6 2a 结合数列a 的单调性可得5 6,解得 . n 2 10a8 10,8 a 因此,实数 的取值范围是 . （四）求等差数列前n项和的最值 a  0 n  a  0,d  0,S  a  0 n a 0,d 0,S 在等差数列{a}中,若 1 n有最大值,可由不等式组 n1 来确定 ；⑵若 1 n n a  0 n  a  0  n n1 有最小值,可由不等式组 来确定 .求等差数列前n项和的最值也可以把前n项和化为关于n的二 次函数,通过配方求最值. 【例6】（2024届山东省春季高考二模）已知数列 ．求： 学科网（北京）股份有限公司(1)数列 的通项公式； (2)数列 的前 项和 的最大值． 【解析】（1）由 ,可知 , 所以数列 是以13为首项,以 为公差的等差数列, 所以 ； （2）由（1）可知 , 令 ,解得 , 令 ,解得 , 即数列从第5项开始小于0,所以数列 的前4项和最大, 最大值为 ． 【例7】已知数列 的前 项和为 , , ． (1)求数列 的通项公式； (2)求 的最大值并指明相应 的值． 【解析】（1）因为 ,即 , 即 ,即 , 所以数列 是公差为 的等差数列, 由 ,可得 ,解得 , 所以 ； 学科网（北京）股份有限公司（2）由（1）可得 , 当 或 时, 取得最大值 ． （五）求等比数列前n项乘积的最值 各项均为正数的等比数列 中,若 ,则当 时等比数列 的前 n 项积最大；若 ,则当 时等比数列 的前n项积最小. 8 a  【例8】已知等比数列{a n }的前n项积为T n ,若a 1 24, 4 9 ,求T n 取最大值时,n的值. 【解析】设等比数列{a n }的公比为q,则q3  a a 1 4 ( 8 9 )( 2 1 4 ) 2 1 7 ,解得q 1 3 ,所以a n (24)( 1 3 )n1, 所以T aa a (24)n( 1 )123(n1) (24)n( 1 ) 1 2 n(n1) ,所以当 取得最大值时,可得 为偶数, n 1 2 n 3 3 T n n 而 y( 1 )x 在 上单调递减,T (24)2( 1 )1192；T (24)4( 1 )6  84 ；T (24)6( 1 )15  86 ,则 ,且 3 R 2 3 4 3 9 6 3 39 T T T 2 4 6 T 1 6 , 1 1 2 n(n1) 1 1 2 n(n1) 1 1 2 (n27n) 当 n6 且 n 为偶数时, T n 24n 3   33n 3    3   , n27n0 T n 1 ,所以 T n T 6,所以 n4 时, T n取得最大值． （六）利用二次函数配方求最值 若要最值的式子可以转化为关于某一变量的二次函数,可以考虑利用二次函数配方求最值. a  n S 2S a 1 【例9】已知数列 n 的前 项和 n,且满足 n n . a  (1)求 n 的通项公式； a8 n (2)记数列 a  的前n项乘积为T ,求T 的最小值. n n n 2S a 1 n n 【解析】（1）因为 . 1 所以当 时,2S a 1,2a a 1,a  , n1 1 1 1 1 1 3 学科网（北京）股份有限公司n2 2S a 1,2S a 1 n n n1 n1 当 时, , a 1 两式相减得2S n 2S n1 a n a n1 0,3a n a n1 0,  a n 0, a n  3 , n1 1 1 所以数列a 是首项为 ,公比为q 的等比数列, n 3 3 1 1 1 则数列通项公式为a aqn1 ( )n1( )n, n 1 3 3 3 a  n T （2）记数列 n 的前 项乘积为 n, 1 a ( )n. 所以T n a 1 a 2 a 3 a n ,由（1）可知 n 3 1 1 1 1 1 1 n(n1) T n a 1 a 2 a 3 a n ( 3 )1( 3 )2( 3 )3  ( 3 )n ( 3 )123n ( 3 ) 2 1 a8 ( 3 )8n 1 8n n(n1) 1 16nn2n 1 15nn2 15nn2 n  ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 3 2 则T 1 n(n1) 3 3 3 n ( ) 2 3 15 令y 15nn2 n2 15n,开口向上且对称轴为 n ,nN* ,   2 2 2 2 所以n7或8时, y 取最小值且最小值为28. a8 1 n ( )28 328 所以T 的最小值为 3 . n （七）新概念数列中的前n项和最值 求新概念数列中的前n项和的最值,关键是理解新概念的涵义,求解此类问题大多要利用新概念中的条件进行 推理. 【例10】（2024届徽省鼎尖名校联盟高三下学期5月第三次联考）已知数列 的前n项和为 ,若数列 满足： ①数列 为有穷数列； ②数列 为递增数列； 学科网（北京）股份有限公司③ , , ,使得 ； 则称数列 具有“和性质”. (1)已知 ,求数列 的通项公式,并判断数列 是否具有“和性质”；（判断是否 具有“和性质”时不必说明理由,直接给出结论） (2)若首项为1的数列 具有“和性质”. （ⅰ）比较 与 的大小关系,并说明理由； （ⅱ）若数列 的末项为36,求 的最小值. 【解析】（1）因为 , 所以当 时, ； 当 时, , 而当 时,满足 , 因此数列 的通项公式为 该数列具有“和性质”. （2）（ⅰ）因为首项为1的数列 具有“和性质”, 所以 , , , 使得 ,且 , , 因此 , , 所以 ； 学科网（北京）股份有限公司因此 , 所以将上述不等式相加得： , 即 . 因为 ,所以 , 因此 . （ⅱ）因为数列 具有“和性质”, 所以由③得： ,因此数列 中的项均为整数. 构造数列 ：1,2,3,6,9,18,36或数列 ：1,2,4,5,9,18,36, 因此这两个数列具有“和性质”,此时 . 下面证明 的最小值为75, 即证明不可能存在比75更小的 . 假设 （存在性显然,因为满足 的数列 只有有限个）. 第一步：首先说明有穷数列 中至少有7个元素. 设有穷数列 中元素组合的集合为A, 由（ⅰ）知： ,而 , 因此 , , , , ,所以 . 第二步：证明 , . 若 ,设 . 学科网（北京）股份有限公司因为 ,所以为了使得 最小, 则在数列 中一定不含有 ,使得 , 因此 .假设 ,根据“和性质”, 对 ,有 , ,使得 . 显然 ,因此 , 所以由有穷数列 中至少有7个元素得： 集合A中至少还有4个不同于 , , 的元素, 因此 ,与 矛盾, 所以 ,且 .同理可证： . 根据“和性质”得：存在 、 ,使得 . 我们需要考虑如下几种情形： ①当 , 时,至少还需要一个大于等于4的 ,才能得到8,因此 ； ②当 , 时,至少还需要一个大于4的 ,才能得到7,则 ； ③当 , 时,此时 为：1,2,3,6,9,18,36,因此 ； ④当 , 时,此时 为：1,2,4,5,9,18,36,因此 ； 综上所述, 的最小值为75. （九）求数列中项数的最值 求数列中项数的最值通常把问题转化为关于n的不等式,通过解不等式或利用函数单调性求n的最值. 【例11】（2024届江苏省连云港市厉庄高级中学高三考前模拟）已知数列 的前n项和为 ,且 学科网（北京）股份有限公司． (1)证明：数列 是等差数列； (2)数列 的每一项均为正数, ,数列 的前n项和为 ,当 时,求n的最小值． 【解析】（1）当 时, , 当 时, , 所以 ,所以 （常数）, 故数列 是以 为首项,2为公差的等差数列． （2）由（1）知, ,得 所以 , 当 时,即 ,所以n的最小值为2024． 【例12】从 中选取 个不同的数,按照任意顺序排列,组成数列 ,称数列 为 的子数列,当 时,把 的所有不同值按照从小到大顺序排成一列构成数列 ,称数列 为 的子二代数列． 学科网（北京）股份有限公司(1)若 的子数列 是首项为2,公比为2的等比数列,求 的子二代数列 的前8项和； (2)若 的子数列 是递增数列,且子二代数列 共有 项,求证： 是等差数列； (3)若 ,求 的子二代数列 的项数的最大值． 【解析】（1）由题意,得 , 所以数列 的前8项依次为：2,4,6,8,12,14,16,24, 因为 , 所以数列 的前8项和为86． （2）因为 是递增数列,且 共有 项, 所以 , 所以 , , ,…, 这 个数互不相等,且都是 中的项, 同理, , 所以 , , ,…, , 这 个数互不相等, 且都是 中的项, 又 中共有 项,所以 , ,…, , 所以 , 所以 是等差数列． （3）因为 ,当 时, 的结果共有 个, 设 ,则 , 学科网（北京）股份有限公司若存在 , , , 使得 ,则 , 所以 , 若 ,设 ,则 , 是偶数, 是奇数,矛盾, 所以 , , 所以 的4950个结果可以互不相等, 所以 的项数的最大值为4950． a  a a 1 b  mmR b a a 【例1】已知数列 n 满足 1 2 ,数列 n 为公差为 的等差数列,且满足 n n1 n.记 f m,nama m2a mn f m,n a  1 2 n ,称 为由数列 n 生成的“ m 函数”. f 2,4 (1)求 的值； f 1,n8 (2)若“1-函数” ,求n的最小值； Sxx2x2nxn Sx m (3)记函数 ,其导函数为 ,证明：“ 函数” m2 3m n f m,n Sm Smm1mi 2 2 . i1 n nn12n1 i2  附： 6 i1 f 2,42a 22a 23a 24a b a a 110 b 2n1 【解析】（1） 1 2 3 4, 1 2 1 ,公差为2,所以 n , 学科网（北京）股份有限公司a a b 123,a a b 347 3 2 2 4 3 3 , f 2,4212212332472424112142 所以 ； （2） f 1,na 1 a 2   a n, b 1 a 2 a 1 110 ,公差为1, b n1a a n n1 n 所以 , n1n2 n2 3n a 1 ,当 n2,nN* 时,a n a n a n1   a 2 a 1 a 1 n2  01 2 1 2  2 2, 1 1 3 而a   21, 1 2 2 n2 3n 所以a   2  nN* , n 2 2 nn12n1 3 nn1 n33n28n f 1,na 1 a 2   a n  12  2  2 2n 6  nN* , x33x28x 1 4 1 5 设gx ,x1,则gx x2x  x12  0, 6 2 3 2 6 gx x 所以 关于 单调递增, n33n28n 所以 f 1,n  nN* 关于 单调递增, 6 n 81216 272724 644832 注意到 f 1,11, f 1,2 2, f 1,3 4, f 1,4 8 , 6 6 6 n4,nN* f 1,n8 所以当 时,均满足 , 所以满足题意的n的最小值为4； f(m,n)ama m2 a mn （3）由题意得 1 2  n  (i1)(i2)   (n1)(n2)  mm2  1 m mi  1 m mn        2   2  i23i  n2 3n  mm2   m(m1)mi    m(m1)mn  2   2  m n 3m n n  i2mi  imi(m1)mi 2 2 i1 i1 i1 学科网（北京）股份有限公司S(x)x2x2 nxn S(x)14x n2xn1   由 ,得 , n n n xS(x)x4x2 n2xn i2xi i2mi mS(m),imi S(m)  所以 ,所以 , i1 i1 i1 m2 3m n f(m,n) S(m) S(m)(m1)mi 所以 2 2 . i1 x2 y2 【例2】设Px,y ,P x ,y ,,···, P x ,y  n3,nN*都在椭圆C：  1上,且 1 1 1 2 2 2 n n n 100 25 a 1  OP 1 |2,a 2 OP 2 |2,  ,a n |OP n |2 构成一个公差为 dd 0 的等差数列（其中O是坐标原点）,记 S a a  a P10,0. n 1 2  n及 1 S 255 P (1)若 3 ,求点 3的坐标（写出一个即可）： S 100 (2)当公差d变化时,求 的最小值. 3 S  (a a )3a 255 【解析】（1）由 3 2 1 3 2 ,解得：a 85, 2 P10,0, a  OP 2 100 a  dd 0 因为 1 所以 1 1 ,因为 n 为公差为 的等差数列, d a a 15 a S a a 2551008570 2 1 3 3 1 2 所以 ,所以 , a |OP |270 可得 3 3 ,  x2 y2  3  3 1 100 25 x2 60 由 x 3 2y 3 2 70 ,可得 y 3 3 2 10 ,故点 P 3 的坐标可以为 2 15, 10 . x2 y2 （2）原点 到二次曲线  1(ab0)上各点的最小距离为 ,最大距离为 ； O C: a2 b2 b a a  OP 2 a2 a  OP 2 a2n1d b2 因为 1 1 ,故 d 0 ,且 n n , 学科网（北京）股份有限公司b2a2 d 0 n3, nn1 0 S na2 nn1 d   b2a2 ,0  故 n1 ,因为 2 ,故 n 2 在 n1 上递增, nn1 b2a2 n  a2b2 na2   故S 的最小值为 2 n1 2 . n x2 y2 当椭圆C：  1,则 , 100 25 a2 100,b2 25 10010025 所以 的最小值为 6250. S 2 100 【例3】（2023届湖北省荆门市龙泉中学高三5月模拟）已知数列 的前n项和 ． (1)求数列 的通项公式； (2)议 ,当 取得最小值时,求n的取值． 【解析】（1）因为 , 当 时, , 所以 , 又 时, 不满足上式, 故数列 的通项公式为 . （2）当n为奇数时, , 当 , 时, 因为 单调递增,∴ , 学科网（北京）股份有限公司综上,当n为奇数时, ； 当n为偶数时, , 因为 单调递增,∴ ． 综上所述,当 取得最小值时,n的取值为1,2,3． 【例4】（2024届山东省菏泽第一中学高三下学期5月月考）已知数列 的前 项和为 ,且满足 , ． (1)求数列 的通项公式； (2)若不等式 对任意的正整数 恒成立,求整数 的最大值． 【解析】（1）因为 , 所以 , 当 时, , 两式相减得： , 即, , 所以 , 所以, , 所以, 是以 为首项,以 为公差得等差数列, 故 ． （2）因为 , 学科网（北京）股份有限公司所以 , 依题意,不等式为 , 即 , 由 得 对任意的正整数恒成立, 又 , 所以 对任意的正整数恒成立． 设 , 则 , 所以 , 所以当 时, 最大,最大值为 , 所以 , 解得 , 则整数 的最大值为 ． 【例5】（2024届北京市中国人民大学附中高三下学期5月三模）给定正整数 ,设数列 是 的一个排列,对 , 表示以 为首项的递增子列的最大长度, 表示以 为首项的递减子 列的最大长度. (1)若 , , , , ,求 和 ； (2)求证： , ； 学科网（北京）股份有限公司(3)求 的最小值. 【解析】（1）以 为首项的最长递增子列是 ,以 为首项的最长递减子列是 和 . 所以 , . （2）对 ,由于 是 的一个排列,故 . 若 ,则每个以 为首项的递增子列都可以在前面加一个 , 得到一个以 为首项的更长的递增子列,所以 ； 而每个以 为首项的递减子列都不包含 ,且 , 故可将 替换为 ,得到一个长度相同的递减子列,所以 . 这意味着 ； 若 ,同理有 , ,故 . 总之有 ,从而 和 不能同时为零, 故 . （3）根据小问2的证明过程知 和 不能同时为零,故 . 情况一：当 为偶数时,设 ,则一方面有 ； 另一方面,考虑这样一个数列 ： , . 则对 ,有 , . 学科网（北京）股份有限公司故此时 . 结合以上两方面,知 的最小值是 . 情况二：当 为奇数时,设 ,则一方面有 ； 另一方面,考虑这样一个数列 ： , . 则对 ,有 , . 故此时 . 结合以上两方面,知 的最小值是 . 综上,当 为偶数时, 的最小值是 ；当 为奇数时, 的最小值是 . 【例6】（2024届江西省九江市高三第三次高考模拟）已知数列 共有 项,且 ,若满足 ,则称 为“约束数列”.记“约束数列” 的所有项的和为 . (1)当 时,写出所有满足 的“约束数列”； (2)当 时,设 “约束数列” 为等差数列.请判断 是 的什么条件,并说 明理由； 学科网（北京）股份有限公司(3)当 时,求 的最大值. 【解析】（1）当 时,所有满足 的“约束数列”有： ① ；② ；③ （2） 是 的充分不必要条件.理由： ①当 时, . 则 , 当且仅当 时, 成立, “约束数列” 是公差为1的等差数列 ②当“约束数列” 是等差数列时,由 , 得 ,或 ,或 , 若 ,则 的公差为 ； 若 ,则 的公差为 ； 若 ,则 的公差为 , 即当“约束数列” 是等差数列时, 或 或2024. 由①②,得 是 的充分不必要条件. （3） 要使得 取最大值,则 , 当且仅当同时满足以下三个条件时, 取最大值. ①当 时, ；②当 时, ； 学科网（北京）股份有限公司③当 时, . . S a  n 1．（2024届重庆市九龙坡区高三下学期第三次学业质量抽测）已知 n是等差数列 n 的前 项和, S a 20 b  b2 b b b 12 5 11 ,数列 n 是公比大于1的等比数列,且 3 6, 4 2 . a  b  (1)求数列 n 和 n 的通项公式； S c  n (2)设 n b ,求使c 取得最大值时n的值. n n a  【解析】（1）设等差数列 n 的公差为d,  54 S 5a  d 20  5 1 2 则 a a 10d 20 ,解得 a 0,d 2 , 11 1 1 a 2n2 n 所以 , b  qq1 设等比数列 n 的公比为 , 则     b 1 q22 b 1 q5 ,解得   b 1 2 , b 1 q3b 1 q12 q2 b 2n 所以 n ； 2n2n （2）由（1）得S  nn1, n 2 学科网（北京）股份有限公司S nn1 c  n  则 n b 2n , n nn1 nn1 3nn2 c c    , n1 n 2n1 2n 2n1 n1,2 c c 0,c c c n1 n 1 2 3 当 时, , n3 c c 0,c c n1 n 3 4 当 时, , c c 0,c c  c 当 n4 时, n1 n 4 5  n, n3 4 c 所以当 或 时, n取得最大值. 2．数列 a n  的前n项和记为 S n,已知 2S n 2na n nn1 , nN ． a  (1)求证： n 是等差数列； a 3 a 3 a 3 S 3 6 8 n (2)若 , , 成等比数列,求 的最大值． 2S 2na +nn1 【解析】（1） n n ①, 2S 2(n1)a +(n1)n2 当 n2 时, n1 n1 ②, ①② 2a 2na 2(n1)a 2(n1) n n n1 得： , 2(n1)a 2(n1)a 2(n1) a a 1 n2 nN 即 n n1 ,即 n n1 , 且 . a  n 是公差为 1 的等差数列. a  （2）由（1）知 n 是公差为1的等差数列, a a 2,a a 5,a a 7 3 1 6 1 8 1 , a 3 a 3 a 3  3 6 8 又 , , 成等比数列, a 32 a 3a 3 6 3 8 , 学科网（北京）股份有限公司a 532 a 23a 73 a 82 a 5a 10 1 1 1 ,即 1 1 1 , a216a 64a215a 50 a 14 故 1 1 1 1 ,解得 1 . a 14(n1)(1)15n n , n(1415n) n(29n) n229n S    , n 2 2 2 29  14.5 二次函数 的对称轴为 , yx229x 2(1)  nN  n14 15 S n S 14 S 15 105 , 当 或 时 取到最大值为 . S n 105 故 的最大值为 . a  S a 2a 1 S 4S 3．已知等差数列 n 的前n项和为 n,且 2n n , 5 2. a  (1)求数列 n 的通项公式； b  T b 2 a b a b T (2)设数列 n 的前n项和为 n,且 1 ,令 n n n2 n1,求 n的最小值． a  a 【解析】（1）设等差数列 n 的首项为 1,公差为d． 5a 10d 8a 4d 1 1  由S 5 4S 2 ,a 2n 2a n 1,得  a 1 2n1d 2a 1 2n1d1, a 2,d 1 a 2n1n1  nN 解得： 1 ,所以 n ． a n1  nN （2）方法一：由（1）得 n , b a n1 n1 n1  n    nN 由题意 b a n3 n3 , n n2 b b b n n1 n2 4 3 2 b  n  n1   2b        2 n b b  b 1 n2 n1 n  6 5 4 n1 n2 1  12 12   1  1    n2,nN n1n2 n1 n2 , 学科网（北京）股份有限公司b 12   1  1 2 b 12   1  1    nN 而 1 2 3 ,从而 n n1 n2 , 1 1 1 1 1 1  1 1  T n 12 2  3  3  4    n1  n2   12 2  n2   , 1 1 而 关于 单调递减,从而 关于 单调递增, n2 n n2 n 1 1  所以T n 12 2  n2   关于 n 也是单调递增, 1 1  所以当 n1 时, T 的最小值为T 1 12 2  12   2； n a n1  nN 方法二：由（1）得 n , b a n1 n1 n1  n    nN 由题意 b a n3 n3 , n n2 b b b n n1 n2 4 3 2 b  n  n1   2b        2 n b b  b 1 n2 n1 n  6 5 4 n1 n2 1  12 12   1  1    n2,nN n1n2 n1 n2 , b 12   1  1 2 b 12   1  1  0  nN 而 1 2 3 ,从而 n n1 n2 , T T b 0 T 又 n1 n n1 ,所以 n单调递增, T T b 2 所以 n的最小值为 1 1 . a  a 1,a 3a 2n1 4．已知数列 n 满足 1 n1 n ． a ,a a  (1)计算 2 3,猜想 n 的通项公式并加以证明； a3 (2)设b n  3a n n ,求使数列b n 取得最大值时n的值． a 312112 a 322213 a n 2 3 n 【解析】（1）由题意得 , ,猜想 , 学科网（北京）股份有限公司a 3a 2n1 a (n1)3(a n) n1 n n1 n 式子 可化为 , a 10 a n0 因为 1 ,所以 n , {a } a n n n 因此数列 的通项公式为 ,得证． （2）由b  a n 3 得b  n3 ,b  (n1)3 ,所以 b n1  1 (1 1 )3 , n 3an n 3n n1 3n1 b n 3 n 1 1 1 若 (1 )3 1,当且仅当 n (2,3) 成立,则, 3 n 331 1≤n≤2 b b n1 n 当 时, , n3 b b n1 n 当 时, , n3 b b 1 n 3 故 时, 取最大值 . nn2 A :x,x ,x , ,x 5．（2025届湖南省名校联考联合体高三上学期入学考试）给定整数 ,数列 2n1 1 2 3  2n1, 且 x k (k 1,2,3,  , 2n1) 为整数.在 A 2n1中去掉一项 x k k 1,2,3,  ,2n1 ,并将剩下的数分成项数相同的两 组,其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为 m k k 1,2,  ,2n1 .将 m 1 ,m 2 ,  ,m 2n1中的最小值称 A 2n1 为数列 的特征值. A :1,2,3,3,3 m,m ,m A (1)已知数列 5 ,写出 1 2 3的值及 5的特征值； (2)若 x 1 x 2   x 2n1,当   in1    jn1  0 ,其中 i, j1,2,  ,2n1 ,且 i j 时,证明： m m  x x i j i j ； ij2n1  x x (3)已知数列A 2n1 的特征值为n1,求 ji1 i j 的最小值. m 33231,m 33312,m 3 【解析】（1）由题知： 1 2 3 , 学科网（北京）股份有限公司A 5 的特征值为1. in1jn10    （2）由于 , i, j1,2, ,n1 m x x  x x x  x x  ①当  时,根据定义可知 i 2n1 2n  n2 n1 n  1 i x x  x x x  x x 2n1 2n  n2 n1 n  1 i, m x x  x x x  x x 同理可得： j 2n1 2n  n2 n1 n  1 j. m m x x m m  x x 所以 i j i j,所以 i j i j ； i, jn1,n2, ,2n1  ②当 时,同理可得： m x x  x x x x  x  i 2n1 2n  n1 i n n1  1 x x  x x x  x x 2n1 2n  n1 n n1  1 i, m x x  x x x  x x j 2n1 2n  n1 n n1  1 j, m m x x m m  x x 所以 i j j i,所以 i j i j . m m  x x 综上有： i j i j . x x  x （3）不妨设 1 2  2n1, ij2n1  x x 2nx (2n2)x  2x 0x 2x  2nx i j 2n1 2n  n2 n1 n  1 ji1 2nx x 2n2x x  2x x  2n1 1 2n 2  n2 n x x x x  x x 显然, 2n1 1 2n 2  n2 n, x x  x x x  x x  x x x  x m 2n1 2n  n2 n n1  1 n1  2n 1 2  n 2n1, x x 当且仅当 n1 2n1时取等号； 学科网（北京）股份有限公司x x  x x x  x x  x x x  x m 2n1 2n  n2 n n1  1 n2  2n1 2 3  n1 1, x x 当且仅当 1 n1时取等号； m,m n1 由（2）可知 1 2n1的较小值为 , x x  x x x  x n1 所以 2n1 2n  n2 n n1  1 , x x x 当且仅当 1 n1 2n1时取等号, A 2n1 此时数列 为常数列,其特征值为0,不符合题意, x x  x x x  x n 则必有 2n1 2n  n2 n n1  1 . pq0,2k n 当 时, 2n2kpkqn1pqn1kpn1kqn1kpq0 因为 . 2n2kpkqn1pq 所以 . ij2n1  x x 2nx x (2n2)x x  2x x  i j 2n1 1 2n 2  n2 n 因此 ji1 n1x x  x x x  x nn1 2n1 2n  n2 n n1  1 . 0,1k n, ij2n1 x   x x 当 k 1,n1k 2n1时, ji1 i j 可取到最小值nn1 ,符合题意. ij2n1  x x 所以 i j .最小值为nn1 . ji1 2a 6．已知数列 a n  满足 a 1  2 3,且 a n1  a n  n 1  nN* .  1   1 (1)求证：数列a n 是等比数列,并求出a n 的通项公式； 学科网（北京）股份有限公司1 1 1    2025 (2)若  ,求满足条件的最大整数 . a a a n 1 2 n 2a 1 a 1 1 1 a  n  n   【解析】（1）因为 n1 a 1,所以a 2a 2 2a , n n1 n n 1 1 a 1 n1  可得 1 1 1 ,即 1 2 , 1  1 1 a 2a  a n1 n n 1 3 1 1 1 a 2 2, 1  1   1 1 1 所以数列a 是以 为首项 为公比的等比数列, n 2 2 1 2n a   1 1 1 n1 n 1 n 2n1 所以 1   ,   1 ； a 2 2 2 n 1 1 n   1 （2）由（1）得a 2 , n 1 1  1  1 1 1 1 1 1 2 2n     n    n 所以   a a a 2 22 2n 1 1 2 n 1 2 1 n1 , 2n 1 显然n1 是单调递增数列, 2n 1 当 时,20241 2025, n2024 22024 1 当 时,20251 2026, n2025 22025 所以满足条件的最大整数n为2024. 7．设数列 a n  的前n项和为 S n, a 1 1 ,且对于任意 nN* 都有 S n a n1 1 成立． 学科网（北京）股份有限公司a a a  (1)写出 2, 3的值,并求数列 n 的通项公式； a d  2 (2)若等差数列b 的首项 b S ,公差 a ,求数列b 的前n项和 T 的最小值． n 1 4 1 n n n1 S a 1a 2 1 2 2 【解析】（1）当 时, , n2 a S S a a n n n1 n1 n 当 时, , a a a 2a  n1 2n2 2 2 所以 n1 n a ,又a , n 1 a n1 2 所以 a ,所以a a 2n12n1 . n n 1 a d  2 2 （2）因为b S a 124115, a , 1 4 5 1 b b n1d 2n17 所以 n 1 , n8,b 0,n9,b 0 n n 因为 , 8151 所以 的最小值为T  64. T 8 2 n 5 3a 4 8．数列 a n  的首项 a 1  2, a n1  a n n 1 .  1    (1)证明a n 2是等差数列,并求a n 的通项公式； 9n b  (2)设 n a 210n , n b  n ①当数列 n 的项取得最大值时,求 的值； b  n S ②求数列 n 的前 项和 n. 学科网（北京）股份有限公司3a 4 3a 4 a 2 a  n a 2 n 2 n 【解析】（1）解：由 n1 a 1 ,可得 n1 a 1 a 1, n n n 1 1 1 1  1  1 所以a 2 a 2 ,即a 2 a 2 n1 n n1 n 1 1  2 又由a  5 ,可得a 1 2 5 2 , 1 2 2  1  1   2n11n1 所以a 2是以2为首项,1为公差的等差数列,所以a 2 n n 1 2n3 2n3 则a n  n1 2 n1 ,即数列a n 的通项公式为 a n  n1 . （2）解：①由（1）知 a n  2 n n   1 3 ,可得 b n  a n  9 2 n 10n  a n 1 2    1 9 0    n n1   1 9 0    n , 9 243 b  b  当 n1 时 1 5 2 100 ,所以b 不是最大项, 1   9  n  9  n1  n1  n   10 10  设第 项（ ）最大,则   9  n  9  n1,  n1  n2  n n2  10 10 n1 10    n 9 可得 ,解得 ,所以数列 第 项和第 项取得最大, 10 n2    9 n1 8n9 b n  8 9 9  9  2  9  n ②由 S n 2 10 3 10     n1 10   , ① 9  9  2  9  3  9  n1 可得10 S n 2 10   3 10     n1 10   , ② 1 9  9  2  9  3  9  n  9  n1 由①-②得10 S n 2 10  10    10      10   n1 10   , 学科网（北京）股份有限公司1 9  9  9  2  9  3  9  n  9  n1 10 S n  10   10  10    10      10     n1 10   , 9   9  n 1   可得1 1 0 S n  1 9 0  10  9 10  n1   1 9 0    n1 , 1 10 1 9   9  n  9  n1 S  91  n1  即10 n 10  10  10 ,   9  n  9  n1 9n1 9n1 S 9901  10n1  99 n1 所以 n  10  10 10n1 10n 9n1 99(n11) . 10n 9．设数列 a n  的前 n 项和是 S n,且满足 S n Aa 1 Aa n1,其中A为实数, a 1 AA10 . a  (1)求证： n 是等比数列. k (2)当 A10 ,a 1 1时,另一数列b n 的通项公式是 b n  3n4 （其中常数 k 是整数）,对于任意 nN , n1 都 b a k n n 有 成立,求整数 的最小值.     (3)当A1, a 1 2 时,记集合 X  x xa n ,nN* , Y  x x2n1,nN* ,将X  Y 中所有元素按从小到大 n c 1000 的顺序排列为一个新数列 c n  ,求使 i1 i 成立的最小的n的值. S  Aa Aa n 1 n1  【解析】（1）证： n2 时,S n1  Aa 1 Aa n ,作差得a n  Aa n a n1   1 即 Aa n1 A1a n,由题,A0,故 a n1   1 A   a n （n2,且 1 A 1 0 ） 学科网（北京）股份有限公司 1 a 1 a 而n1时,S a  Aa Aa ,即 2  A 1 也成立 1 1 1 2 a 1 n1 1  nN* 1 由 a 1 0 易得a n 0,故 a n A ,即 a n  是以 1 A为公比的等比数列. 1 9  9  n1 （2）由（1）, a n  是以1为首项, 1 10  10为公比的等比数列,所以 a n  10   0 , b n1 a b a 103n4 30n40 n1  n1 n   由题意 ,b k 10 n1,则 b a b 93n7 27n63 , n    n n1 n b 0,k 0 a 3n4  9  a n n n b  b  30n40 1  n 30n40 1  n 所以n8时, 27n63 ,a n 单调递增； n7 时, 27n63 ,a n 单调递减, b k 10 7 b k 10 6 b k 10 7 8     7    8    1 又a 28  9  a 25  9  ,只需a 28  9  , 8 7 8  9  7 k 28  13.39 即 10 ,所以整数k的最小值为14. 1 q1 2 （3）由（1）,a 1 2, A ,故a n 2n. 对于数列 c n  的项 2n ,其前面的项1,3,5,…, 2n1Y ,共有 2n1 项, 2,22,23,,2nX ,共有 n 项, 所以 2n 为数列 c n  的 2n1n 项, S 211221  22n11   222 2n 4n12n12 且 2n1n    . 261638 c 64 S 1150 38 38 由 （项）, , , c 63 c 61 S 1086 S 1023 S 962 因为 37 , 36 ,所以 37 , 36 , 35 . , 因此所求n的最小值为36. 1 10．（2024届四川省自贡市普高高三第三次诊断）已知数列a n 的前项和为S n ,且S n na n  2 n(n1)． 学科网（北京）股份有限公司a  (1)证明：数列 n 为等差数列； a a a S (2)若 5, 9, 11成等比数列,求 n的最大值． 1 【解析】（1）数列a n 满足S n na n  2 n(n1)①, 1 S (n1)a  (n1)(n2) 当n2时,有 n1 n1 2 ②, 1 1 S S na (n1)a  n(n1) (n1)(n2) ①②可得： n n1 n n1 2 2 , 1 (1n)a (n1)a  (n1)n(n2) 即 n n1 2 , a a 1 n2 变形可得 n n1 , a  故数列 n 是以1为等差的等差数列； a  （2）由（1）可知数列 n 是以1为等差的等差数列, a a a a2 a a 若 5, 9, 11成等比数列,则有 9 5 11, (a 8)2 (a 4)(a 10) a 12 即 1 1 1 ,解得 1 , a a (n1)d 13n n 1 所以 , 所以 a n  单调递减,又当 1n13 时, a n 0 ,当 n13 时, a n 0 ,当 n13 时, a n 0 , n12 13 S n 故当 或 时, 取得最大值, 1211 S  S S 1212 178 且 n max 12 13 2 ． a  n  nN* a a a  11．对于数列 n ,如果存在正整数T,使得对任意 ,都有 nT n,那么数列 n 就叫做周期数列,T 叫做这个数列的周期.若周期数列 b n  , c n  满足：存在正整数k,对每一个 i  ik,iN* ,都有 b i c i,我们称 学科网（北京）股份有限公司b  c  数列 n 和 n 为“同根数列”. (1)判断下列数列是否为周期数列.如果是,写出该数列的周期,如果不是,说明理由； 1,n1,  b 3,n2, ① ；② n  a sinnπ b b ,n3. n n1 n2 a  b  (2)若 n 和 n 是“同根数列”,且周期的最小值分别是 3 和 5 ,求证： k 6 ； a  b  m4  mN* (3)若 n 和 n 是“同根数列”,且周期的最小值分别是 m2 和 ,求 k 的最大值. {a },{b } n n 【解析】（1） 均是周期数列,理由如下： a sin(n1)π=0=sinnπ=a n1 n 因为 , {a } n 1 所以数列 是周期数列,其周期为 （或任意正整数）. b b b b b b b n3 n2 n1 n1 n n1 n 因为 , b b b n6 n3 n 所以 . {b } 6 6 所以数列 n 是周期数列,其周期为 （或 的正整数倍）. k 6 k 7 1i7 a b i i （2）假设 不成立,则有 ,即对于 ,都有 . a a,b b a a a 7 1 7 2 2 1 2 因为 ,所以 . a a ,b b a a a 又因为 6 3 6 1 1,所以 1 3. a a a 1 2 3 所以 , 所以 a n1 a n,即 T 1 ,与 {a n } 周期的最小值是 3 矛盾. 所以k 6. （3）当m是奇数时,首先证明k≥2m5不存在数列满足条件. 学科网（北京）股份有限公司k≥2m5 1≤i≤2m5 a b i i 假设 ,即对于 ,都有 . a b (5tm4) mt mt 因为 , a b a (5tm4) t2 t4 t4 所以 , a a a  a a a a  a 1 3 5  m2 2 4 6  m1 即 ,及 . a a b b a tm5 1 2(m2)1 2m5 m1 m1 又 时, , 所以 a n1 a n,即 T 1 ,与 {a n } 的周期最小值是 m2 矛盾. 其次证明k2m4存在数列满足条件.  m3 1,i2k1(1k  )   2 取 a (m2)li  m1 (lN) 2,i2k(1k  )  2  m3 1,i2k1(1k  )  2   m1 及 b (m4)li 2,i2k(1k  2 ) (lN) ,  1,im3  2,im4 1≤i≤2m4 a b i i 对于 ,都有 . 当m是偶数时,首先证明k≥2m4时不存在数列满足条件. k≥2m4 1≤i≤2m4 a b i i 假设 ,即对于 ,都有 . a b (5tm3) mt mt 因为 , a b a (5tm3) t2 t4 t4 所以 , a a a  a a a a  a 1 3 5  m1 2 4 6  m 即 ,及 . tm4 a b a m2 m m 又 时, , 学科网（北京）股份有限公司a n2 a n T 2 {a n } m2 所以 ,即 ,与 的周期最小值 是矛盾. 其次证明k 2m3时存在数列满足条件.  m2 1,i2k1(1k  )  2   m a 2,i2k(1k  ) (lN) 取 (m2)li 2  3,im2    m2 1,i2k1(1k  )  2   m 2,i2k(1k  ) 及 b (m4)li  2 (lN) , 3,im2  1,im3   2,im4 1≤i≤2m3 a b i i 对于 ,都有 . 综上,当m是奇数时,k的最大值为2m4； 当m是偶数时,k的最大值为2m3. a 11 a 12  a 1n    a a a A  21 22  2n 12．（2024届黑龙江省百师联盟高三冲刺卷）已知n行n列 的数表  中,满足：       n2 a n1 a n2  a nn  n n a a n a ij 0,1 ,i, j1,2,,n.若数表A满足当a st 0时,总有 i1 it j1 sj ,则称此数表A为典型数表,此时记 n n S a n ij . i1 j1 0 0 1 1   1 0 1 0 0 1 1   N   (1)若数表M   0 0 1 , 1 1 0 0,请直接写出M,N是否是典型数表；     0 1 1 1 1 0 0 学科网（北京）股份有限公司S 31 (2)当 n8 时,是否存在典型数表A使得 8 ,若存在,请写出一个数表A；若不存在,请说明理由； S n (3)若数表A为典型数表,求 的最小值（直接写出结果,不需要证明）. 【解析】（1）M不是典型数表,N是典型数表. 1 0 1   M  0 0 1   因为数表 ,所以 ,   0 1 1 a 0 21 3 a a a a 1001 此时 i1 11 21 31 , i1 3 a a a a 0011 2j 21 22 23 , j1 3 3 a a 1123 i1 2j 所以 , i1 j1 n n a a n 不满足当a 0时,总有 it sj , st i1 j1 故数表M 不是典型数表； 0 0 1 1   0 0 1 1 N    因为数表 1 1 0 0,所以当 时, 4 ,   a a a a a 2 1 1 0 0 a 0 i2 12 23 32 42 12 i1 4 a a a a a 2 1j 11 12 13 14 , j1 4 4 a a 4 i2 1j 所以 , i1 j1 n n a a n 由于数表N的数据具有对称性,所以当a 0时,总有 it sj , st i1 j1 故数表N是典型数表. 学科网（北京）股份有限公司S 31 （2）假设当 n8 时,存在典型数表A使得 8 , S 8 则需满足 取得最小,即典型数表A中的“1”需要最少, n n a a n 由典型数表的定义可知：当a 0时,总有 it sj , st i1 j1 8 8 a a 8 it sj 所以需要使得尽量多的横列和 , i1 j1 所以将表分成4个4×4数表,对角的两个数表数值相同, S 8 但上下左右对称的数表数值不同,此时可保证 取得最小, 1 1 1 1 0 0 0 0   1 1 1 1 0 0 0 0   1 1 1 1 0 0 0 0   1 1 1 1 0 0 0 0   而满足上述条件的典型数表A如 0 0 0 0 1 1 1 1 ,   0 0 0 0 1 1 1 1   0 0 0 0 1 1 1 1     0 0 0 0 1 1 1 1 S S 8 8 此时满足 取得最小,但是 的最小值为32, S 31 故不存在典型数表 A ,使得 8 . S n （3）由（2）可知,要使 取得最小, n n a a n it sj 需要尽量多的横列和 或典型数表中“1”尽量少, i1 j1 n 2 n2 2   当n为偶数时,结合（2）分析可得：S 的最小值为 2 2 ； n 当n为奇数时,在偶数n1的数表中间加上一行和一列,且在新增行列中添加n个“1”, n1 2 n21 2  n 即可满足典型数列,此时S 的最小值为  2  2 . n 学科网（北京）股份有限公司a  a a a a a a 13．（2024届黑龙江省部分学校高三第三次模拟）如果n项有穷数列 n 满足 1 n, 2 n1,…, n 1, a a i1,2, ,n a  即 i ni1  ,则称有穷数列 n 为“对称数列”. b  b,b ,b ,b b 3,b 5 b  (1)设数列 n 是项数为7的“对称数列”,其中 1 2 3 4成等差数列,且 2 5 ,依次写出数列 n 的每 一项； (2)设数列 c n  是项数为 2k1 ( kN 且 k 2 )的“对称数列”,且满足 c n1 c n 2 ,记 S n为数列 c n  的前 n 项 和. c c c c 2023 k S ①若 1, 2,…, k构成单调递增数列,且 k .当 为何值时, 2k1取得最大值? c 2024 S 2024 k 1 2k1 ②若 ,且 ,求 的最小值. b  b b 5 【解析】（1）因为数列 n 是项数为7的“对称数列”,所以 5 3 , b,b ,b ,b d b b 2 又因为 1 2 3 4成等差数列,其公差 3 2 ,… b  所以数列 n 的7项依次为1,3,5,7,5,3,1； （2）①由 c 1, c 2,…, c k是单调递增数列,数列 c n  是项数为 2k1 的“对称数列”且满足 c n1 c n 2 , c c c c c c 可知 1, 2,…, k构成公差为2的等差数列, k, k1,…, 2k1构成公差为 2 的等差数列, S c c ...c 2c c ...c c 故 2k1 1 2 2k1 k k1 2k1 k  k(k1)  2 2023k (2) 20232k24048k2023    2  , 4048 所以当k  1012时,S 取得最大值； 4 2k1 c c 2 c c 2 ②因为 n1 n 即 n1 n , c c 2 c c 2 n1 n n1 n 所以 即 , 学科网（北京）股份有限公司c c 2c 4… c 2(k1) 于是 k k1 k2 1 , {c } n 因为数列 是“对称数列”, S c c ...c 2c c ...c c 所以 2k1 1 2 2k1 1 2 k1 k (2k1)c 2(k2)(k1)2(k1)2k24052k2026 1 , S 2024 2k24052k20262024 2k1 因为 ,故 , 解得k 1或k 2025,所以k 2025, c c c c 2024 1 2 k 2 1 当 , ,…, 构成公差为 的等差数列时,满足 , S 2024 k 2025 k 2k1 且 ,此时 ,所以 的最小值为2025. 14．（2024届湖南省邵阳市高三第三次联考）已知数列 a n  , b n  ,函数 f xax2bxcsinx ,其中 nN* , a，b，c均为实数．  a  b ln n  (1)若 ab1 ,c=0, f a n a n a n1  fa n ,b 1 2, n a n 1, b  （ⅰ）求数列 n 的通项公式；  b  （ⅱ）设数列   b n 1 n b n1 1   的前 n 项和为 T n ,求证： T n n2n 2 3 ．  π  π f  a  ，a a (2)若 f x 为奇函数, f    π 2     π 2 1, b，cQ , a n2    f   a 2 n1 ， n1 a  n1  2 a n n1 n 且 a 2 6a 1 6 ,问：当 n2 时, m ma m sin60.28 是否存在整数 ,使得 n成立．若存在,求出 的最大值；若不存在,请说明理由．（附： , cos5.720.85） f xx2x fx2x1 【解析】（1）（ⅰ） , , 学科网（北京）股份有限公司f a a a  fa  由 n n n1 n , a2 a  n 得a2a a a 2a 1 ,解得 n1 2a 1, n n n n1 n n  a  b ln n  a 1 又b 2, n a 1 n 1 n  a2  n    a  2a 1  a2   a  b ln n1 ln n ln n 2ln n  n1 a 1  a2  a22a 1 a 1, n1 n 1 n n n    2a 1  n b  n1 2 b , b 是以2为公比,2为首项的等比数列． n n b 2n n ． b 2n 1 1 c  n c    （ⅱ）令 n b 1b 1,则 n  2n1  2n11  2n1 2n11, n n1 T c c c c n 1 2 3 n  1 1   1 1   1 1  1       1 ． 211 221 221 231 2n1 2n11 2n11 2 显然,当 时,T 是递增数列,gnn2n 在 时,单调递减, n1 n 3 n1 1 2 2 可得 T T 1  , gng1 ． n 1 221 3 3 2 T n2n ． n 3 f x  （2） 为奇函数, f xax2bxcsinxf xax2bxcsinx ． a0, π π π  f   bc 1 又 2 2 2 ,b,cQ, 学科网（北京）股份有限公司b1,c1． a cosa ,a a , a  n1 n1 n1 n f xxsinx, n2 a sina ,a a . n1 n1 n1 n a 6a 6 a a 1 2 1 2 1 由 得, ． a  f a 6sin65.72a 3 2 2, a a cosa 6sin6cos6sin65.720.856.57a 4 3 3 3, a  f a a sina a a  f a a sina 5 4 4 4 4, 6 5 5 5, f xxsinx 0,  在 上为增函数, 2πxxsinx f 3π3π  2πx3π sinx0 当 时, , ； a 6.572π,3π 4 , a  f a a sina 2π,3π 5 4 4 4 ． a 2π,3π 2πa  f a  f 3π3π 当 n 时, n n ． n4 a a a a 时, n n1,又 2 3, 当 n2 时, a n  min a 3, ma 3 6sin6 ． 又mZ,m的最大值为5． a  n S (0) 15．（2024届河南师范大学附中高三下学期最后一卷）已知数列 n 的前 项和为 n,若存在常数 , 使得 a n S n1对任意 nN* 都成立,则称数列 a n  具有性质 P() ． a  S 9,S 25 a  P(3) (1)若数列 n 为等差数列,且 3 5 ,求证：数列 n 具有性质 ； a  a  P() (2)设数列 n 的各项均为正数,且 n 具有性质 ． 学科网（北京）股份有限公司a  q q ①若数列 n 是公比为 的等比数列,且 4 ,求 的值； ②求的最小值． a  S 9,S 25 3a 3d 9,5a 10d 25 【解析】（1）设等差数列 n 的公差为d,由 3 5 ,得 1 1 , (12n1)n a 1(n1)(2)2n1,S  n2 解得a 1 1,d 2,则 n n 2 , 3a S 3(2n1)(n1)2 (n2)2 0 3a S 于是 n n1 ,即 n n1, a  P(3) 所以数列 n 具有性质 ． a  P(4) 4a S a  q （2）①由数列 n 具有性质 ,得 n n1,又等比数列 n 的公比为 , q1 4a (n1)a n3 n 若 ,则 1 1,解得 ,与 为任意正整数相矛盾； 1qn1 1qn1 4aqn1a  4qn1 当q1时, 1 1 1q ,而a 0,整理得 1q , n 1 1 qn1 n1log 若 ,则 ,解得 ,与 为任意正整数相矛盾； 0q1 (q2)2 q (q2)2 n q1 qn1(q2)2 1 q=2 qn1(q2)2 1 若 ,则 ,当 时, 恒成立,满足题意； 1 1 qn1 n1log 当 且 时, ,解得 ,与 为任意正整数相矛盾； q1 q� 2 (q2)2 q (q2)2 n q=2 所以 . a S a S S S S ②由 n n1,得 n1 n2,即 n1 n n2, S  S n2   n1 因此 S S S 2 S S ,即 S 4 S , n1 n n2 n n2 n1 n S  S  S  S n1   n ( )2 n1  ( )n1 2  则有 S 4 S 4 S 4 S , n n1 n2 1  S  S 1( )n1 2 ( )n1  1 由数列 a n  各项均为正数,得S n S n1 ,从而 4 S 1 ,即 4 S 2 , 学科网（北京）股份有限公司s n1log 1 若04,则 s ,与n为任意正整数相矛盾, 4 2  s ( )n11n1 1 因此当4时, 4 s 恒成立,符合题意, 2 所以的最小值为4． 16．从 N* 中选取 k(k≥3) 个不同的数,按照任意顺序排列,组成数列 a n  ,称数列 a n  为 N* 的子数列,当 1≤i≤j≤k 时,把 a j a i的所有不同值按照从小到大顺序排成一列构成数列 b n  ,称数列 b n  为 N* 的子二代数列． (1)若 N* 的子数列 a n (1nk,k 5) 是首项为2,公比为2的等比数列,求 N* 的子二代数列 b n  的前8项和； (2)若 N* 的子数列 a n  是递增数列,且子二代数列 b n  共有 k1 项,求证： a n  是等差数列； (3)若 k 100 ,求 N* 的子二代数列 b n  的项数的最大值． a 2n 【解析】（1）由题意,得 n , b  所以数列 n 的前8项依次为：2,4,6,8,12,14,16,24, 因为24681214162486, b  所以数列 n 的前8项和为86． （2）因为 a n  是递增数列,且 b n  共有 k1 项, a a a a a a a a 所以 2 1 3 1 4 1 k 1, a a a a a a a a k1 b  所以 2 1, 3 1, 4 1,…, k 1这 个数互不相等,且都是 n 中的项, a a a a a a a a a a 同理, 3 2 4 2 5 2 k 2 k 1, a a a a a a a a a a k1 所以 3 2, 4 2, 5 2,…, k 2, k 1这 个数互不相等, b  且都是 n 中的项, 学科网（北京）股份有限公司b  k1 a a a a a a a a a a a a 又 n 中共有 项,所以 3 2 2 1, 4 2 3 1,…, k 2 k1 1, a a a a a a 所以 2 1 3 2 k k1, a  所以 n 是等差数列． （3）因为 k 100 ,当 1i j100 时, a j a i 的结果共有 C 1 2 00 495 个, a 2n(1n100) a a 2j 2i 设 n ,则 j i , 若存在 i 1, i 2, j 1, j 2 j 1 i 1 , j 2 i 2  使得 a j 1 a i 1 a j 2 a i 2,则 2j 1 2i 1 2j 2 2i 2, 2i1  2j1i1 1  2i2  2j2i2 1  所以 , i i i i 2i1i2  2j1i1 1  2j2i2 1 若 1 2,设 1 2,则 , 2i1i2  2j1i1 1  是偶数,2j 2 i 2 1是奇数,矛盾, i i j  j 所以 1 2, 1 2, a a j i 所以 的4950个结果可以互不相等, b  所以 n 的项数的最大值为4950． 学科网（北京）股份有限公司