文档内容
2024 届高三第一次联考
理科数学
考试时间120分钟，满分150分
注意事项：
1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号和考籍号用0.5毫米的黑色签字笔填写清
楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”。
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再
填涂其它答案；非选择题用 0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域
答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.已知幂函数 的图象过点 ，则 （ ）
A. B.1 C.2 D.3
3.已知 为虚数单位， ，则 的模为（ ）
A.1 B. C.2 D.4
4.已知 ，若 ，则 （ ）
A. B. C.-7 D.7
5.在 中，“ ”是“ 为锐角三角形”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.在等比数列 中， ， 是方程 两根，若 ，则 的值为（ ）
A.3 B.-3 C.9 D.-97.已知 ， ， ， ，若存在非零实数 使得 ，则 的最小值为（
）
A.8 B.9 C.10 D.12
8.已知函数 ，则函数 的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
9.已知平行四边形 ，若点 是边 的三等分点（靠近点 处），点 是边 的中点，直线
与 相交于点 ，则 （ ）
A. B. C. D.
10.已知函数 ，若 时， 恒成立，则实数 的取值范围为（
）
A. B. C. D.
11.若 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）A. B. C. D.
12.已知函数 若 有3个实数解，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数 则 ____________.
14.已知数列 的前 项和为 ，且 ，则 ____________.
15.设 是定义在 上的偶函数，且当 时， ，则不等式 的解集为
_____________.
16.已知函数 ，当 时， 恒成立，则实数 的取值范围为__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17.（12分）
某地区运动会上，有甲、乙、丙三位田径运动员进入了男子100m决赛，某同学决定运用高中所学的知识对
该次决赛的情况进行预测，为此，他收集了这三位运动员近几年的大赛100m成绩（单位：秒），若比赛成
绩小于10秒则称为“破十”.
甲：10.54，10.49，10.31，10.37，9.97，10.25，10.11，10.04，9.97，10.03；
乙：10.59，10.32，10.06，9.99，9.83，9.91；
丙：10.03，9.98，10.10，10.01.
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙三位运动员的比赛成绩相互独立.
（1）分别估计甲、乙、丙三位运动员“破十”的概率；
（2）设这三位运动员在这次决赛上“破十”的人数为X，估计X的数学期望 .
18.（12分）
已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 .
（1）求角B；
（2）若 ， ， ，求 的长.19.（12分）
如图，在直三棱柱 中，底面 是以 为底边的等腰直角三角形， ， .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）设点 为 上一点，且满足 ，求二面角 的平面角大小.
20.（12分）
已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，短半轴 长为1，点 在椭圆E上运动，
且 的面积最大值为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）当点 为椭圆 的上顶点时，过点 分别作直线 ， 交椭圆E于M，N两点，设两直线 ，
的斜率分别为 ， ，且 ，求证：直线 过定点.
21.（12分）
已知函数 ， .
（1）当 时，求 在 处的切线方程；
（2）设函数 ，若 恒成立，求 的最小值.
（二）选考题：共10分。请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题
计分。
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，直线 的参数方程为 （ 为参数），曲线 的参数方程为 （为参数）.
（1）求直线 和曲线 的直角坐标方程；
（2）若直线 与曲线 相交弦的中点坐标为 ，求直线 的极坐标方程.
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知定义域为 的函数 .
（1）若 ，求函数 的最小值；
（2）若 ，不等式 恒成立，求实数 的最小值.
