专题06数列中的最值问题（原卷版）(自动保存的)_2024-2025高三（6-6月题库）_2025年02月试卷_02272025年高考数学压轴大题必杀技系列·数列

专题 6 数列中的最值问题 新高考在试题形式、试卷结构、难度调控等方面深化改革,数列解答题的难度增加,作为压轴题出现 的概率变大,与数列有关的最值问题是数列中的经典问题,常与函数性质、不等式、新定义等知识交汇,是 新高考考查的热点,本专题总结数列中常见最值的类型及解法,供大家参考. （一）作差法判断数列单调性,求数列项的最值 若数列 满足 ,则 单调递增,若满足 ,则 单调递减,若 时 , 时 , 时 ,则 或 时 最大.若 时 , 时 ,则 时 最大. 【例1】（2023届吉林省长春吉大附中实验学校高三下学期第五次模拟）数列 , 满足 , , ． (1)求证： 是常数列； (2)设 , ,求 的最大项． 【解析】（1） , , , , 学科网（北京）股份有限公司, ,因此,数列 是常数列； （2）由（1） ,即 ,且 ,整理得 . , , , 当 时, , , , , , 数列 单调递减, 的最大项为 ． 【例2】已知数列 的前 项和 ,且 , . （1）求数列 的通项公式； （2）求数列 的最小项的值. 【解析】（1） , ,则 , 即 , 当 时, ； 当 时, ； 经检验 适合 , （2）由（1）知： , , 学科网（北京）股份有限公司, 当 时, , 当 时, ；当 时, ； 又 , , 当 时, 有最小值 . （二）作商法判断数列单调性,求数列项的最值 若 ,且 ,则数列 单调递增,若 ,且 ,则数列 单调递减. n23n 【例3】已知数列a n 的前n项和为S n  2 . a  (1)求数列 n 的通项公式；  9  n1 (2)令 b n  10   a n,试问：数列 b n  是否有最大项？若有,指出第几项最大；若没有,请说明理由. n2 3n (n1)2 3(n1) 【解析】（1）解： 当 时,a  S S   n1, n2 n n n1 2 2 a n1(n2) n 所以 , n1 a S 2 1 1 又当 时, 也满足上式, a n1  nN* 所以 n ；  9  n1 b   n1 （2）解：由（1）知 n 10 ,  9  n2 b 9(n1) b n  n  当n2时, n1 10 ,所以b 10n , n1 9(n1) 令 1,得 , 10n n9 学科网（北京）股份有限公司9(n1) 当 n9 时, 10n 1,即b b ； n n1 9(n1) 当 n9 时, 10n 1,即b b ； n n1 9(n1) 当 n9 时, 10n 1,即b b ； n n1 b  所以数列 n 先增后减,有最大项且最大项为第8,9项. （三）利用函数单调性求数列项的最值 此类问题通常是把数列的通项转化为关于n的函数,然后利用函数的单调性求最值. 【例4】已知数列 的前 项和为 ,且满足 , . (1)求 , , , ,并猜想 的表达式（不必写出证明过程）； (2)设 , ,求 的最大值. 【解析】（1）解： , 由 ,得 ,同理可得 , , 所以猜想 ； （2）解：由（1）知, 时, , 当 时, 满足上式, 所以 , 所以 , , 设 ,则有 在 上为减函数,在 上为增函数, 学科网（北京）股份有限公司因为 ,且 ,所以当 或 时, 有最大值 . 1 a 1 【例5】已知数列 a n  中, n a2n1 （nN,aR且a0）. a  （1）若 a7 ,求数列 n 中的最大项和最小项的值； nN a a a n 6 （2）若对任意的 ,都有 成立,求 的取值范围. 1 1 a 1 1 【解析】（1）当a7时, n 2n17 2n9. 由 的单调性可得当 n4 且 nN 时,数列a n 单调递减,且有 1a 1 a 2 a 3 a 4 ； 当 n5 且 nN 时,数列 a n  单调递减,此时 a n 1 ,且有 a 5 a 6   a n   . 1 1 综上,数列a n 中的最大项的值为a 5 1 259 2,最小项的值为a 4 1 249 0； 1 1 a 1 1 （2）  n a2n1 2na2,已知对任意的nN,都有a a 成立, n 6 2a 结合数列a 的单调性可得5 6,解得 . n 2 10a8 10,8 a 因此,实数 的取值范围是 . （四）求等差数列前n项和的最值 a  0 n  a  0,d  0,S  a  0 n a 0,d 0,S 在等差数列{a}中,若 1 n有最大值,可由不等式组 n1 来确定 ；⑵若 1 n n a  0 n  a  0  n n1 有最小值,可由不等式组 来确定 .求等差数列前n项和的最值也可以把前n项和化为关于n的二 次函数,通过配方求最值. 【例6】（2024届山东省春季高考二模）已知数列 ．求： 学科网（北京）股份有限公司(1)数列 的通项公式； (2)数列 的前 项和 的最大值． 【解析】（1）由 ,可知 , 所以数列 是以13为首项,以 为公差的等差数列, 所以 ； （2）由（1）可知 , 令 ,解得 , 令 ,解得 , 即数列从第5项开始小于0,所以数列 的前4项和最大, 最大值为 ． 【例7】已知数列 的前 项和为 , , ． (1)求数列 的通项公式； (2)求 的最大值并指明相应 的值． 【解析】（1）因为 ,即 , 即 ,即 , 所以数列 是公差为 的等差数列, 由 ,可得 ,解得 , 所以 ； 学科网（北京）股份有限公司（2）由（1）可得 , 当 或 时, 取得最大值 ． （五）求等比数列前n项乘积的最值 各项均为正数的等比数列 中,若 ,则当 时等比数列 的前 n 项积最大；若 ,则当 时等比数列 的前n项积最小. 8 a  【例8】已知等比数列{a n }的前n项积为T n ,若a 1 24, 4 9 ,求T n 取最大值时,n的值. 【解析】设等比数列{a n }的公比为q,则q3  a a 1 4 ( 8 9 )( 2 1 4 ) 2 1 7 ,解得q 1 3 ,所以a n (24)( 1 3 )n1, 所以T aa a (24)n( 1 )123(n1) (24)n( 1 ) 1 2 n(n1) ,所以当 取得最大值时,可得 为偶数, n 1 2 n 3 3 T n n 而 y( 1 )x 在 上单调递减,T (24)2( 1 )1192；T (24)4( 1 )6  84 ；T (24)6( 1 )15  86 ,则 ,且 3 R 2 3 4 3 9 6 3 39 T T T 2 4 6 T 1 6 , 1 1 2 n(n1) 1 1 2 n(n1) 1 1 2 (n27n) 当 n6 且 n 为偶数时, T n 24n 3   33n 3    3   , n27n0 T n 1 ,所以 T n T 6,所以 n4 时, T n取得最大值． （六）利用二次函数配方求最值 若要最值的式子可以转化为关于某一变量的二次函数,可以考虑利用二次函数配方求最值. a  n S 2S a 1 【例9】已知数列 n 的前 项和 n,且满足 n n . a  (1)求 n 的通项公式； a8 n (2)记数列 a  的前n项乘积为T ,求T 的最小值. n n n 2S a 1 n n 【解析】（1）因为 . 1 所以当 时,2S a 1,2a a 1,a  , n1 1 1 1 1 1 3 学科网（北京）股份有限公司n2 2S a 1,2S a 1 n n n1 n1 当 时, , a 1 两式相减得2S n 2S n1 a n a n1 0,3a n a n1 0,  a n 0, a n  3 , n1 1 1 所以数列a 是首项为 ,公比为q 的等比数列, n 3 3 1 1 1 则数列通项公式为a aqn1 ( )n1( )n, n 1 3 3 3 a  n T （2）记数列 n 的前 项乘积为 n, 1 a ( )n. 所以T n a 1 a 2 a 3 a n ,由（1）可知 n 3 1 1 1 1 1 1 n(n1) T n a 1 a 2 a 3 a n ( 3 )1( 3 )2( 3 )3  ( 3 )n ( 3 )123n ( 3 ) 2 1 a8 ( 3 )8n 1 8n n(n1) 1 16nn2n 1 15nn2 15nn2 n  ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 3 2 则T 1 n(n1) 3 3 3 n ( ) 2 3 15 令y 15nn2 n2 15n,开口向上且对称轴为 n ,nN* ,   2 2 2 2 所以n7或8时, y 取最小值且最小值为28. a8 1 n ( )28 328 所以T 的最小值为 3 . n （七）新概念数列中的前n项和最值 求新概念数列中的前n项和的最值,关键是理解新概念的涵义,求解此类问题大多要利用新概念中的条件进行 推理. 【例10】（2024届徽省鼎尖名校联盟高三下学期5月第三次联考）已知数列 的前n项和为 ,若数列 满足： ①数列 为有穷数列； ②数列 为递增数列； 学科网（北京）股份有限公司③ , , ,使得 ； 则称数列 具有“和性质”. (1)已知 ,求数列 的通项公式,并判断数列 是否具有“和性质”；（判断是否 具有“和性质”时不必说明理由,直接给出结论） (2)若首项为1的数列 具有“和性质”. （ⅰ）比较 与 的大小关系,并说明理由； （ⅱ）若数列 的末项为36,求 的最小值. 【解析】（1）因为 , 所以当 时, ； 当 时, , 而当 时,满足 , 因此数列 的通项公式为 该数列具有“和性质”. （2）（ⅰ）因为首项为1的数列 具有“和性质”, 所以 , , , 使得 ,且 , , 因此 , , 所以 ； 学科网（北京）股份有限公司因此 , 所以将上述不等式相加得： , 即 . 因为 ,所以 , 因此 . （ⅱ）因为数列 具有“和性质”, 所以由③得： ,因此数列 中的项均为整数. 构造数列 ：1,2,3,6,9,18,36或数列 ：1,2,4,5,9,18,36, 因此这两个数列具有“和性质”,此时 . 下面证明 的最小值为75, 即证明不可能存在比75更小的 . 假设 （存在性显然,因为满足 的数列 只有有限个）. 第一步：首先说明有穷数列 中至少有7个元素. 设有穷数列 中元素组合的集合为A, 由（ⅰ）知： ,而 , 因此 , , , , ,所以 . 第二步：证明 , . 若 ,设 . 学科网（北京）股份有限公司因为 ,所以为了使得 最小, 则在数列 中一定不含有 ,使得 , 因此 .假设 ,根据“和性质”, 对 ,有 , ,使得 . 显然 ,因此 , 所以由有穷数列 中至少有7个元素得： 集合A中至少还有4个不同于 , , 的元素, 因此 ,与 矛盾, 所以 ,且 .同理可证： . 根据“和性质”得：存在 、 ,使得 . 我们需要考虑如下几种情形： ①当 , 时,至少还需要一个大于等于4的 ,才能得到8,因此 ； ②当 , 时,至少还需要一个大于4的 ,才能得到7,则 ； ③当 , 时,此时 为：1,2,3,6,9,18,36,因此 ； ④当 , 时,此时 为：1,2,4,5,9,18,36,因此 ； 综上所述, 的最小值为75. （九）求数列中项数的最值 求数列中项数的最值通常把问题转化为关于n的不等式,通过解不等式或利用函数单调性求n的最值. 【例11】（2024届江苏省连云港市厉庄高级中学高三考前模拟）已知数列 的前n项和为 ,且 学科网（北京）股份有限公司． (1)证明：数列 是等差数列； (2)数列 的每一项均为正数, ,数列 的前n项和为 ,当 时,求n的最小值． 【解析】（1）当 时, , 当 时, , 所以 ,所以 （常数）, 故数列 是以 为首项,2为公差的等差数列． （2）由（1）知, ,得 所以 , 当 时,即 ,所以n的最小值为2024． 【例12】从 中选取 个不同的数,按照任意顺序排列,组成数列 ,称数列 为 的子数列,当 时,把 的所有不同值按照从小到大顺序排成一列构成数列 ,称数列 为 的子二代数列． 学科网（北京）股份有限公司(1)若 的子数列 是首项为2,公比为2的等比数列,求 的子二代数列 的前8项和； (2)若 的子数列 是递增数列,且子二代数列 共有 项,求证： 是等差数列； (3)若 ,求 的子二代数列 的项数的最大值． 【解析】（1）由题意,得 , 所以数列 的前8项依次为：2,4,6,8,12,14,16,24, 因为 , 所以数列 的前8项和为86． （2）因为 是递增数列,且 共有 项, 所以 , 所以 , , ,…, 这 个数互不相等,且都是 中的项, 同理, , 所以 , , ,…, , 这 个数互不相等, 且都是 中的项, 又 中共有 项,所以 , ,…, , 所以 , 所以 是等差数列． （3）因为 ,当 时, 的结果共有 个, 设 ,则 , 学科网（北京）股份有限公司若存在 , , , 使得 ,则 , 所以 , 若 ,设 ,则 , 是偶数, 是奇数,矛盾, 所以 , , 所以 的4950个结果可以互不相等, 所以 的项数的最大值为4950． a  a a 1 b  mmR b a a 【例1】已知数列 n 满足 1 2 ,数列 n 为公差为 的等差数列,且满足 n n1 n.记 f m,nama m2a mn f m,n a  1 2 n ,称 为由数列 n 生成的“ m 函数”. f 2,4 (1)求 的值； f 1,n8 (2)若“1-函数” ,求n的最小值； Sxx2x2nxn Sx m (3)记函数 ,其导函数为 ,证明：“ 函数” m2 3m n f m,n Sm Smm1mi 2 2 . i1 n nn12n1 i2  附： 6 i1 f 2,42a 22a 23a 24a b a a 110 b 2n1 【解析】（1） 1 2 3 4, 1 2 1 ,公差为2,所以 n , 学科网（北京）股份有限公司a a b 123,a a b 347 3 2 2 4 3 3 , f 2,4212212332472424112142 所以 ； （2） f 1,na 1 a 2   a n, b 1 a 2 a 1 110 ,公差为1, b n1a a n n1 n 所以 , n1n2 n2 3n a 1 ,当 n2,nN* 时,a n a n a n1   a 2 a 1 a 1 n2  01 2 1 2  2 2, 1 1 3 而a   21, 1 2 2 n2 3n 所以a   2  nN* , n 2 2 nn12n1 3 nn1 n33n28n f 1,na 1 a 2   a n  12  2  2 2n 6  nN* , x33x28x 1 4 1 5 设gx ,x1,则gx x2x  x12  0, 6 2 3 2 6 gx x 所以 关于 单调递增, n33n28n 所以 f 1,n  nN* 关于 单调递增, 6 n 81216 272724 644832 注意到 f 1,11, f 1,2 2, f 1,3 4, f 1,4 8 , 6 6 6 n4,nN* f 1,n8 所以当 时,均满足 , 所以满足题意的n的最小值为4； f(m,n)ama m2 a mn （3）由题意得 1 2  n  (i1)(i2)   (n1)(n2)  mm2  1 m mi  1 m mn        2   2  i23i  n2 3n  mm2   m(m1)mi    m(m1)mn  2   2  m n 3m n n  i2mi  imi(m1)mi 2 2 i1 i1 i1 学科网（北京）股份有限公司S(x)x2x2 nxn S(x)14x n2xn1   由 ,得 , n n n xS(x)x4x2 n2xn i2xi i2mi mS(m),imi S(m)  所以 ,所以 , i1 i1 i1 m2 3m n f(m,n) S(m) S(m)(m1)mi 所以 2 2 . i1 x2 y2 【例2】设Px,y ,P x ,y ,,···, P x ,y  n3,nN*都在椭圆C：  1上,且 1 1 1 2 2 2 n n n 100 25 a 1  OP 1 |2,a 2 OP 2 |2,  ,a n |OP n |2 构成一个公差为 dd 0 的等差数列（其中O是坐标原点）,记 S a a  a P10,0. n 1 2  n及 1 S 255 P (1)若 3 ,求点 3的坐标（写出一个即可）： S 100 (2)当公差d变化时,求 的最小值. 3 S  (a a )3a 255 【解析】（1）由 3 2 1 3 2 ,解得：a 85, 2 P10,0, a  OP 2 100 a  dd 0 因为 1 所以 1 1 ,因为 n 为公差为 的等差数列, d a a 15 a S a a 2551008570 2 1 3 3 1 2 所以 ,所以 , a |OP |270 可得 3 3 ,  x2 y2  3  3 1 100 25 x2 60 由 x 3 2y 3 2 70 ,可得 y 3 3 2 10 ,故点 P 3 的坐标可以为 2 15, 10 . x2 y2 （2）原点 到二次曲线  1(ab0)上各点的最小距离为 ,最大距离为 ； O C: a2 b2 b a a  OP 2 a2 a  OP 2 a2n1d b2 因为 1 1 ,故 d 0 ,且 n n , 学科网（北京）股份有限公司b2a2 d 0 n3, nn1 0 S na2 nn1 d   b2a2 ,0  故 n1 ,因为 2 ,故 n 2 在 n1 上递增, nn1 b2a2 n  a2b2 na2   故S 的最小值为 2 n1 2 . n x2 y2 当椭圆C：  1,则 , 100 25 a2 100,b2 25 10010025 所以 的最小值为 6250. S 2 100 【例3】（2023届湖北省荆门市龙泉中学高三5月模拟）已知数列 的前n项和 ． (1)求数列 的通项公式； (2)议 ,当 取得最小值时,求n的取值． 【解析】（1）因为 , 当 时, , 所以 , 又 时, 不满足上式, 故数列 的通项公式为 . （2）当n为奇数时, , 当 , 时, 因为 单调递增,∴ , 学科网（北京）股份有限公司综上,当n为奇数时, ； 当n为偶数时, , 因为 单调递增,∴ ． 综上所述,当 取得最小值时,n的取值为1,2,3． 【例4】（2024届山东省菏泽第一中学高三下学期5月月考）已知数列 的前 项和为 ,且满足 , ． (1)求数列 的通项公式； (2)若不等式 对任意的正整数 恒成立,求整数 的最大值． 【解析】（1）因为 , 所以 , 当 时, , 两式相减得： , 即, , 所以 , 所以, , 所以, 是以 为首项,以 为公差得等差数列, 故 ． （2）因为 , 学科网（北京）股份有限公司所以 , 依题意,不等式为 , 即 , 由 得 对任意的正整数恒成立, 又 , 所以 对任意的正整数恒成立． 设 , 则 , 所以 , 所以当 时, 最大,最大值为 , 所以 , 解得 , 则整数 的最大值为 ． 【例5】（2024届北京市中国人民大学附中高三下学期5月三模）给定正整数 ,设数列 是 的一个排列,对 , 表示以 为首项的递增子列的最大长度, 表示以 为首项的递减子 列的最大长度. (1)若 , , , , ,求 和 ； (2)求证： , ； 学科网（北京）股份有限公司(3)求 的最小值. 【解析】（1）以 为首项的最长递增子列是 ,以 为首项的最长递减子列是 和 . 所以 , . （2）对 ,由于 是 的一个排列,故 . 若 ,则每个以 为首项的递增子列都可以在前面加一个 , 得到一个以 为首项的更长的递增子列,所以 ； 而每个以 为首项的递减子列都不包含 ,且 , 故可将 替换为 ,得到一个长度相同的递减子列,所以 . 这意味着 ； 若 ,同理有 , ,故 . 总之有 ,从而 和 不能同时为零, 故 . （3）根据小问2的证明过程知 和 不能同时为零,故 . 情况一：当 为偶数时,设 ,则一方面有 ； 另一方面,考虑这样一个数列 ： , . 则对 ,有 , . 学科网（北京）股份有限公司故此时 . 结合以上两方面,知 的最小值是 . 情况二：当 为奇数时,设 ,则一方面有 ； 另一方面,考虑这样一个数列 ： , . 则对 ,有 , . 故此时 . 结合以上两方面,知 的最小值是 . 综上,当 为偶数时, 的最小值是 ；当 为奇数时, 的最小值是 . 【例6】（2024届江西省九江市高三第三次高考模拟）已知数列 共有 项,且 ,若满足 ,则称 为“约束数列”.记“约束数列” 的所有项的和为 . (1)当 时,写出所有满足 的“约束数列”； (2)当 时,设 “约束数列” 为等差数列.请判断 是 的什么条件,并说 明理由； 学科网（北京）股份有限公司(3)当 时,求 的最大值. 【解析】（1）当 时,所有满足 的“约束数列”有： ① ；② ；③ （2） 是 的充分不必要条件.理由： ①当 时, . 则 , 当且仅当 时, 成立, “约束数列” 是公差为1的等差数列 ②当“约束数列” 是等差数列时,由 , 得 ,或 ,或 , 若 ,则 的公差为 ； 若 ,则 的公差为 ； 若 ,则 的公差为 , 即当“约束数列” 是等差数列时, 或 或2024. 由①②,得 是 的充分不必要条件. （3） 要使得 取最大值,则 , 当且仅当同时满足以下三个条件时, 取最大值. ①当 时, ；②当 时, ； 学科网（北京）股份有限公司③当 时, . . S a  n 1．（2024届重庆市九龙坡区高三下学期第三次学业质量抽测）已知 n是等差数列 n 的前 项和, S a 20 b  b2 b b b 12 5 11 ,数列 n 是公比大于1的等比数列,且 3 6, 4 2 . a  b  (1)求数列 n 和 n 的通项公式； S c  n (2)设 n b ,求使c 取得最大值时n的值. n n 2．数列 a n  的前n项和记为 S n,已知 2S n 2na n nn1 , nN ． a  (1)求证： n 是等差数列； a 3 a 3 a 3 S 3 6 8 n (2)若 , , 成等比数列,求 的最大值． a  S a 2a 1 S 4S 3．已知等差数列 n 的前n项和为 n,且 2n n , 5 2. a  (1)求数列 n 的通项公式； b  T b 2 a b a b T (2)设数列 n 的前n项和为 n,且 1 ,令 n n n2 n1,求 n的最小值． a  a 1,a 3a 2n1 4．已知数列 n 满足 1 n1 n ． a ,a a  (1)计算 2 3,猜想 n 的通项公式并加以证明； 学科网（北京）股份有限公司a3 (2)设b n  3a n n ,求使数列b n 取得最大值时n的值． nn2 A :x,x ,x , ,x 5．（2025届湖南省名校联考联合体高三上学期入学考试）给定整数 ,数列 2n1 1 2 3  2n1, 且 x k (k 1,2,3,  , 2n1) 为整数.在 A 2n1中去掉一项 x k k 1,2,3,  ,2n1 ,并将剩下的数分成项数相同的两 组,其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为 m k k 1,2,  ,2n1 .将 m 1 ,m 2 ,  ,m 2n1中的最小值称 A 2n1 为数列 的特征值. A :1,2,3,3,3 m,m ,m A (1)已知数列 5 ,写出 1 2 3的值及 5的特征值； (2)若 x 1 x 2   x 2n1,当   in1    jn1  0 ,其中 i, j1,2,  ,2n1 ,且 i j 时,证明： m m  x x i j i j ； ij2n1  x x (3)已知数列A 2n1 的特征值为n1,求 ji1 i j 的最小值. 2a 6．已知数列 a n  满足 a 1  2 3,且 a n1  a n  n 1  nN* .  1   1 (1)求证：数列a n 是等比数列,并求出a n 的通项公式； 1 1 1    2025 (2)若  ,求满足条件的最大整数 . a a a n 1 2 n 7．设数列 a n  的前n项和为 S n, a 1 1 ,且对于任意 nN* 都有 S n a n1 1 成立． a a a  (1)写出 2, 3的值,并求数列 n 的通项公式； a d  2 (2)若等差数列b 的首项 b S ,公差 a ,求数列b 的前n项和 T 的最小值． n 1 4 1 n n 学科网（北京）股份有限公司5 3a 4 8．数列 a n  的首项 a 1  2, a n1  a n n 1 .  1    (1)证明a n 2是等差数列,并求a n 的通项公式； 9n b  (2)设 n a 210n , n b  n ①当数列 n 的项取得最大值时,求 的值； b  n S ②求数列 n 的前 项和 n. 9．设数列 a n  的前 n 项和是 S n,且满足 S n Aa 1 Aa n1,其中A为实数, a 1 AA10 . a  (1)求证： n 是等比数列. k (2)当 A10 ,a 1 1时,另一数列b n 的通项公式是 b n  3n4 （其中常数 k 是整数）,对于任意 nN , n1 都 b a k n n 有 成立,求整数 的最小值.     (3)当A1, a 1 2 时,记集合 X  x xa n ,nN* , Y  x x2n1,nN* ,将X  Y 中所有元素按从小到大 n c 1000 的顺序排列为一个新数列 c n  ,求使 i1 i 成立的最小的n的值. 1 10．（2024届四川省自贡市普高高三第三次诊断）已知数列a n 的前项和为S n ,且S n na n  2 n(n1)． a  (1)证明：数列 n 为等差数列； a a a S (2)若 5, 9, 11成等比数列,求 n的最大值． a  n  nN* a a a  11．对于数列 n ,如果存在正整数T,使得对任意 ,都有 nT n,那么数列 n 就叫做周期数列,T 学科网（北京）股份有限公司叫做这个数列的周期.若周期数列 b n  , c n  满足：存在正整数k,对每一个 i  ik,iN* ,都有 b i c i,我们称 b  c  数列 n 和 n 为“同根数列”. (1)判断下列数列是否为周期数列.如果是,写出该数列的周期,如果不是,说明理由； 1,n1,  b 3,n2, ① ；② n  a sinnπ b b ,n3. n n1 n2 a  b  (2)若 n 和 n 是“同根数列”,且周期的最小值分别是 3 和 5 ,求证： k 6 ； a  b  m4  mN* (3)若 n 和 n 是“同根数列”,且周期的最小值分别是 m2 和 ,求 k 的最大值. a 11 a 12  a 1n    a a a A  21 22  2n 12．（2024届黑龙江省百师联盟高三冲刺卷）已知n行n列 的数表  中,满足：       n2 a n1 a n2  a nn  n n a a n a ij 0,1 ,i, j1,2,,n.若数表A满足当a st 0时,总有 i1 it j1 sj ,则称此数表A为典型数表,此时记 n n S a n ij . i1 j1 0 0 1 1   1 0 1 0 0 1 1   N   (1)若数表M   0 0 1 , 1 1 0 0,请直接写出M,N是否是典型数表；     0 1 1 1 1 0 0 S 31 (2)当 n8 时,是否存在典型数表A使得 8 ,若存在,请写出一个数表A；若不存在,请说明理由； S n (3)若数表A为典型数表,求 的最小值（直接写出结果,不需要证明）. a  a a a a a a 13．（2024届黑龙江省部分学校高三第三次模拟）如果n项有穷数列 n 满足 1 n, 2 n1,…, n 1, 学科网（北京）股份有限公司a a i1,2, ,n a  即 i ni1  ,则称有穷数列 n 为“对称数列”. b  b,b ,b ,b b 3,b 5 b  (1)设数列 n 是项数为7的“对称数列”,其中 1 2 3 4成等差数列,且 2 5 ,依次写出数列 n 的每 一项； (2)设数列 c n  是项数为 2k1 ( kN 且 k 2 )的“对称数列”,且满足 c n1 c n 2 ,记 S n为数列 c n  的前 n 项 和. c c c c 2023 k S ①若 1, 2,…, k构成单调递增数列,且 k .当 为何值时, 2k1取得最大值? c 2024 S 2024 k 1 2k1 ②若 ,且 ,求 的最小值. 14．（2024届湖南省邵阳市高三第三次联考）已知数列 a n  , b n  ,函数 f xax2bxcsinx ,其中 nN* , a，b，c均为实数．  a  b ln n  (1)若 ab1 , c=0 , f a n a n a n1  fa n ,b 1 2, n a n 1, b  （ⅰ）求数列 n 的通项公式；  b  （ⅱ）设数列   b n 1 n b n1 1   的前 n 项和为 T n ,求证： T n n2n 2 3 ．  π  π f  a  ，a a (2)若 f x 为奇函数, f    π 2     π 2 1, b，cQ , a n2    f   a 2 n1 ， n1 a  n1  2 a n n1 n 且 a 2 6a 1 6 ,问：当 n2 时, m ma m sin60.28 是否存在整数 ,使得 n成立．若存在,求出 的最大值；若不存在,请说明理由．（附： , cos5.720.85） a  n S (0) 15．（2024届河南师范大学附中高三下学期最后一卷）已知数列 n 的前 项和为 n,若存在常数 , 使得 a n S n1对任意 nN* 都成立,则称数列 a n  具有性质 P() ． 学科网（北京）股份有限公司a  S 9,S 25 a  P(3) (1)若数列 n 为等差数列,且 3 5 ,求证：数列 n 具有性质 ； a  a  P() (2)设数列 n 的各项均为正数,且 n 具有性质 ． a  q q ①若数列 n 是公比为 的等比数列,且 4 ,求 的值； ②求的最小值． 16．从 N* 中选取 k(k≥3) 个不同的数,按照任意顺序排列,组成数列 a n  ,称数列 a n  为 N* 的子数列,当 1≤i≤j≤k 时,把 a j a i的所有不同值按照从小到大顺序排成一列构成数列 b n  ,称数列 b n  为 N* 的子二代数列． (1)若 N* 的子数列 a n (1nk,k 5) 是首项为2,公比为2的等比数列,求 N* 的子二代数列 b n  的前8项和； (2)若 N* 的子数列 a n  是递增数列,且子二代数列 b n  共有 k1 项,求证： a n  是等差数列； (3)若 k 100 ,求 N* 的子二代数列 b n  的项数的最大值． 学科网（北京）股份有限公司