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东莞市2024-2025学年第一学期七校联考试题
一、单项选择题
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知复数 满足 ，则 （ ）
A．0 B．1 C． D．2
3．已知 ， 满足 ， ， ，则 ， 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4．已知 ， ，则sin（α＋β）=（ ）
A． B． C． D．
5．已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆
锥和圆柱的侧面积之比为（ ）
A． B． C． D．
6．古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三
角形的数，如1，3，6，10，15，…，我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载
的“垛积术”，其中的“落一形”锥垛就是每层为“三角形数”的三角锥的锥垛（如图所示，
从上到下，顶上一层1个球，第二层3个球，第三层6个球…），若一“落一形”三角锥垛
有20层，则该锥垛第18层球的个数为（ ）
A．190 B．171 C．153 D．136
7．对任意两个实数 ， ，定义 ，若 ， ，则下列关于函
学科网（北京）股份有限公司数 的说法正确的是（ ）
A．函数 是奇函数 B．函数 在区间 上单调递增
C．函数 图象与 轴有三个交点 D．函数 最大值为2
8．定义在R上的函数 满足 ，若 且 ，则
（ ）
A． B． C． D． 与 的大小不确定
二、多项选择题
9．甲、乙两名高中学生某学科历次测试成绩(百分制)分别服从正态分布 ， ，
其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
附：若随机变量X服从正态分布 ，则 .
A．甲同学的平均成绩优于乙同学的平均成绩
B．乙同学的平均成绩优于甲同学的平均成绩
C．甲同学的成绩比乙同学成绩更集中于平均值附近
D．若 ，则甲同学成绩高于80分的概率约为0.1587
10．对于函数 ，给出下列结论，其中正确的有（ ）
A. 函数 在区间 上的值域为
B.函数 的图象关于点 对称
C. 将函数 的图象向左平移 个单位长度得到函数 的图象
学科网（北京）股份有限公司D. 曲线 在 处的切线的斜率为1
11．已知双曲线C： 的左右焦点分别为 ，且 ，A、P、B为双
曲线上不同的三点，且A、B两点关于原点对称，直线 与 斜率的乘积为1，则下列正确
的是（ ）
A．双曲线C的实轴长为
B．双曲线C的离心率为
C．若 ，则三角形 的周长为
D． 的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．写出过点 且与圆 相切的一条直线方程：_____________.
13．在 中，若 ，且AB边上的中线长为2，则 面积的
最大值为_______.
14．已知函数 为奇函数，则函数 在 上的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）某数学兴趣小组为研究本校学生数学成绩与语文成绩的关系，采取
有放回的简单随机抽样，从学校抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的
样本观测数据整理如下：
语文成绩
合计
优
不优秀
秀
优秀 50 30 80
数学
成绩
不优秀 40 80 120
合计 90 110 200
(1)根据小概率值 的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？
学科网（北京）股份有限公司(2)在人工智能中常用 表示在事件 发生的条件下事件 发生的优势，在统
计中称为似然比.现从该校学生中任选一人， 表示“选到的学生语文成绩不优秀”， 表示
“选到的学生数学成绩不优秀”.请利用样本数据，估计 的值.
附：
16．（本小题满分15分）如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， 平面
为 的中点．
(1)证明： 平面 ．
(2)若平面 与平面 的夹角为 ，求 的长．
17．（本小题满分15分）已知数列 的前 项和为 ， ，数列 是以1为公差的等
差数列．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若对于任意正整数 ，都有 ，求实数 的最小值.
18．（本小题满分17分）已知函数
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若函数 有两个不同的零点 ， .
①求实数a的取值范围；
②证明： .
学科网（北京）股份有限公司19．（本小题满分17分）通过研究，已知对任意平面向量 ，把 绕其起点A沿逆时
针方向旋转 角得到向量 ，叫做把点B绕点A逆时针方向旋转
角得到点P
(1)已知平面内点 ，点 ，把点B绕点A逆时针旋转 得到点P，求点P
的坐标：
(2)已知二次方程 的图象是由平面直角坐标系下某标准椭圆
绕原点O逆时针旋转 所得的斜椭圆C，
（i）求斜椭圆C的离心率；
（ⅱ）过点 作与两坐标轴都不平行的直线 交斜椭圆C于点M、N，过原点O作直
线 与直线 垂直，直线 交斜椭圆C于点G、H，判断 是否为定值，若是，请求
出定值，若不是，请说明理由.
东莞市 2024-2025 学年第一学期七校联考高三数学参考答案
题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
号
答 D A B D C B C A BCD AD BCD
案
1．D 2．A
3．В 【详解】因为 ，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司则 ，由于 ，所以 ．故选：B
4 ． D 【 详 解 】 因 为 ， 所 以
， 所 以
，
两式相加可得： ，
所以 所以 ，解得 ，故选：D
5．C 【详解】设圆锥和圆柱的底面半径为 ，
因为圆锥的轴截面是等边三角形，所以圆锥的 母线长为 ，则圆锥和圆柱的高为
，
所以圆锥的侧面积为 ，圆柱的侧面积为 ，
所以圆锥和圆柱的侧面积之比为 ，故选：C．
6 ． B 【 详 解 】 由 于 “ 三 角 形 数 ” 可 以 写 为
， 故 第 层 “ 三 角 形 数 ” 为
，则第18层球的个数为171．
7．C 【详解】由题意可得： ，
令 ；解得 或 ；令 ；解得 ；
学科网（北京）股份有限公司所以 ，即 ，
作出函数 的图象如图：
对于选项A：由图像可知 为偶函数，故选项A错误．
对 于 选 项 B ： 由 图 像 可 知 在 区 间 上 单 调 递 增 ， 但
．
可得 在区间 上不单调递增，故选项B错误．
对于选项C：由图像可知：函数 图象与 轴有三个交点，故选项C正确．
对于选项D：由图像可知：当 时，函数 最大值为1，故选项D错误．
故选：C．
8．A 【详解】因为 ，所以函数 的图象关于直线 对称，
又因为 ，所以 在 上递增，在 上递减，
当 时， ，
当 时 ， 因 为 ， 所 以 ， 所 以 ， 所 以
，
综上： ．故选：A
学科网（北京）股份有限公司9．BCD【详解】解：由图象可知，甲的图象关于 对称，乙的图象关于 对称，
所以甲同学的平均成绩为75分，乙同学的平均成绩为85分，故选项B正确，A错误；
因为甲的图象比乙的图象更“高瘦”，所以甲的成绩比乙的成绩更集中于平均值左右，
则甲同学成绩的方差比乙同学成绩的方差小，故选项C正确；
若 ，则甲同学成绩高于80分的概率约为 ，故选项D正确．故选：ACD．
10．AD 【详解】由题意知 ，
对于A，因为 ，所以 ，则 ，A正确；
对于B， ，故函数 的图象不关于点 对称，B
错误；
对 于 C ， 将 函 数 的 图 象 向 左 平 移 个 单 位 长 度 得 到 函 数
的图象，C错误；
对于D， ，则 ，
故曲线 在 处的切线的斜率为1，D正确，故选：BD
11．【答案】BCD 【详解】根据题意可知 ，所以 ，设 ，则
， 将 分 别 代 入 到 双 曲 线 后 相 减 可 得
代入可求解出 ，
对A，根据 ，解之可得 ，所以双曲线 的实轴长为 ，故A错误；
学科网（北京）股份有限公司对B，根据离心率 ，将 代入可得 ，故B正确；
对 C，根据 ，可知 ，则 ，可求得
，
所以三角形 的周长为 ，故C正确；
对 D ， 设 与 双 曲 线 联 立 可 得 ， 若 有 解 ， 需 要
解之可求出 或 ，故D正确．故选：BCD
12． ，或 ．（写出其中一条即可）
【详解】（方法一）在直角坐标系中作图可快速得出 符合条件
（方法二） 点 在圆外，切线有两条．
当直线的斜率存在时，设过点 的切线方程为 ，即 ．
，得 ，
切线方程为 ．
当过点 的直线的斜率不存在时，方程为 ，圆心 到直线 的距离等于1，符合条件．
所求的切线方程是 ，或 ．
13．
学科网（北京）股份有限公司【详解】因 ，则 ．
所以 ，又 ，所以 ．设 边上的中线为 ，
则 ，则 ，
所 以 ， 当 且 仅 当 时 等 号 成 立 ， 所 以
14．
【详解】令 ，即 ，解得 ，
因为函数 为奇函数，则函数图象关于原点对称，又 ，
即 中必有一个为1，则另一个为0，
所以 ，则 ，符合题意；
则 ，
所以当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ，所以函数 在 上的最小值为 ．故答案为：
15．【详解】（1）零假设 ：数学成绩与语文成绩无关．
据表中数据计算得：
根据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，即认为数学成绩与语文成绩有关；
学科网（北京）股份有限公司（2）
即估计 的值为 ．
16．【详解】（1）连接 交 于点 ，连接 ，如图，
因为 为 的中点， 为 的中点，
所以 ．
又 平面 平面 ，
所以 平面 ．
（2）因为 平面 平面 ，
所以 ．又 ，所以 两两互相垂直，
故以 为原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立空间坐标系如图所示，
学科网（北京）股份有限公司设 ，则 ，
所以
显然 为平面 的一个法向量．
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即
令 ，得
由平面 与平面 的夹角为 得 ，
解得 或 （舍去），即 ．
17．【详解】（1） 数列 是以1为公差的等差数列，且 ，
，
，
当 时， ．
当 时，上式也成立．
学科网（北京）股份有限公司（2）由
则
而
所以 ，即 的最小值为
18．【详解】解：（1）当 时， ， ，
所以 ，
所以曲线 在点 处的切线方程是
（2）函数 有两个不同的零点 ，
等价于方程 有两个不同实根 ，
①令 ，则 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
由于 ，当 时， ；当 ，
的大致图象如图所示：（此处图象正确直接得2分）
所以，当 ，即 时，
函数 有两个不同的零点 ．
②证明：不妨设 ，
两式相加得 ，两式相减得 ，
所以 ．
要证 ，只需证 即证
设 ，令 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，且 ，
所以 ，即 ．
学科网（北京）股份有限公司19．【详解】（1）由已知可得 ，则 ，
设 ，则 ，
所以 ，即点P的坐标为 ；
（2）①由 与 交点为 和 ，则 ，
由 与 交点为 和 ，则 ，
所以 ；
②法一：设直线
与斜椭圆 联立： ，
有 ，
，
设直线 ，代入斜椭圆 ，
学科网（北京）股份有限公司有 ，
，
故 ．
法二：将粗圆顺时针旋转 ，由已知可得椭圆方程为 ，点Q旋转后的坐标为 ，
当直线 旋转后斜率不存在时， ，
当直线 旋转后斜率存在时，设直线 旋转后为 ，旋转后 ，
与椭圆方程 联立，即 ，可得 ，
，
设直线 旋转后为 ，代入粗圆方程 中，
有 ，
．
学科网（北京）股份有限公司综上所述， ．
学科网（北京）股份有限公司
