2005年上海高考数学试卷（文）（自主命题）（解析卷）_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·word_上海

绝密★启用前 2005 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学试卷(文史类) （满分150分，考试时间120分钟） 考生注意 1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页. 2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答 题纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一 律不得分. 4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对 得4分，否则一律得零分. 1．函数 的反函数 =__________. f(x)  log (x1) f 1(x) 4 2．方程 的解是__________. 4x 2x 2 0 x y3 3．若x,y满足条件 ，则z 3x4y的最大值是__________.  y2x 4．直角坐标平面xoy中，若定点 A(1,2) 与动点 P(x,y) 满足 OPOA 4 ，则点P的轨迹 方程是__________. 5．函数 的最小正周期T=__________. y  cos2xsinxcosx 6．若 1 ，  ，则  =__________. cos 0,  cos  7  2  3 7．若椭圆长轴长与短轴长之比为 2，它的一个焦点是 ，则椭圆的标准方程是 2 15,0 __________. 8．某班有50名学生，其中15人选修A课程，另外35人选修B课程.从班级中任选两名学 生，他们是选修不同课程的学生的概率是__________.（结果用分数表示） 1 9．直线y  x关于直线x 1对称的直线方程是__________. 2 10．在ABC中，若A120，AB=5，BC=7，则AC=__________. 11．函数 f(x) sinx2|sinx|,x  0,2 的图象与直线 y  k 有且仅有两个不同的交点， 则k的取值范围是__________. 2 12．有两个相同的直三棱柱，高为 ，底面三角形 a 第1页 | 共10页的三边长分别为3a,4a,5a(a0).用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形 中，全面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是__________. 二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个 结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内， 选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一 律得零分. 1 13．若函数 f(x) ，则该函数在,上是 （ ） 2x 1 A．单调递减无最小值 B．单调递减有最小值 C．单调递增无最大值 D．单调递增有最大值  5  14．已知集合M x||x1|2,xR ，P x| 1,xZ，则M P等于（ ）  x1  A． x|0 x3,xZ B． x|0 x3,xZ C． x|1 x0,xZ D． x|1 x0,xZ 15．条件甲：“ ”是条件乙：“ ”的 （ ） a 1 a  a A．既不充分也不必要条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 16．用 个不同的实数 可得到 个不同的排列，每个排列为一行写成一个 n a ,a ,,a n! n! 1 2 n 行的数阵.对第 i 行 a ,a ,,a ，记 b  a 2a 3a (1)nna ， i1 i2 in i i1 i2 i3 in 1 2 3 .例如：用1，2，3可得数阵如图， i 1,2,3,,n! 1 3 2 由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以， 2 1 3 ， 2 3 1 b b b  12212312 24 1 2 6 3 1 2 3 2 1 那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中， 等于（ ） b b b 1 2 120 A．－3600 B．1800 C．—1080 D．—720 三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 17．（本题满分12分）已知长方体 中，M、N ABCD A BC D 1 1 1 1 分别是 和BC的中点，AB=4，AD=2， 与平面ABCD BB B D 1 1 所成角的大小为 ，求异面直线 与MN所成角的大小. 60 B D 1 第2页 | 共10页（结果用反三角函数值表示） 3i 18．（本题满分12分）在复数范围内解方程| z|2 (z z)i  （i为虚数单位）. 2i 第3页 | 共10页19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知函数 f(x)  kxb 的图象与x,y轴分别相交于点A、B， AB  2i2j （ i, j 分 别是与x,y轴正半轴同方向的单位向量），函数 g(x)  x2  x6 . （1）求 的值； k,b g(x)1 （2）当 满足 时，求函数 的最小值. x f(x)  g(x) f(x) 第4页 | 共10页20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 假设某市2004年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房.预计在 今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长 8%.另外，每年新建住房中， 中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么，到哪一年底， （1）该市历年所建中低价层的累计面积（以 2004年为累计的第一年）将首次不少于 4750万平方米？ （2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？ 第5页 | 共10页21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3 小题满分6分. 已知抛物线 的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4、且位于 轴上方 y2  2px(p  0) x 的点，A到抛物线准线的距离等于5.过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M. （1）求抛物线方程； （2）过M作MN  FA ，垂足为N，求点N的坐标； （3）以M为圆心，MB为半径作圆M，当 是 轴上一动点时，讨论直线AK K(m,0) x 与圆M的位置关系. 第6页 | 共10页22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3 小题满分6分. 对定义域是 、 的函数 、 ，规定：函数 D D y  f(x) y  g(x) f g f(x)g(x), 当xD 且xD f g  h(x)   f(x), 当xD 且xD . f g  g(x), 当xD 且xD  f g （1）若函数 ， ，写出函数 的解析式； f(x)  2x3 g(x)  x2 h(x) （2）求问题（1）中函数 的最大值； h(x) （3）若 g(x)  f(x) ，其中  是常数，且   0, ，请设计一个定义域为R的 函数 ，及一个 的值，使得 ，并予以证明. y  f(x)  h(x) cos2x 第7页 | 共10页数学（文）参考答案 说明 1，本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同.可参照解答 中评分标准的精神进行评分. 2．评阅试卷，应坚持每题阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的 评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一 题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应 给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分. 一、（第1题至第12题） 1． 2．x=0 3．11 4．x+2y－4=0 5．π 6． 11 7． x2 y2 4x 1   1 14 80 20 8． 3 9．x+2y－2=0 10．3 11． 12． 15 1 k 3 0 a  7 3 二、（第13题至16题） 13.A 14.B 15.B 16.C 三、（第17题至第22题） 17．[解]联结B C，由M、N分别是BB 和BC的中点，得B C//MN 1 1 1 ∴∠DB C就是异面直线B D与MN所成的角. 1 1 联结BD，在Rt△ABD中，可得 ， BD  2 5 又BB ⊥平面ABCD. 1 ∠B DB是B D与平面ABCD的所成的角， 1 1 ∴∠B DB=60°. 1 在Rt△B BD中，BB =BDtan60°= ， 1 1 2 15 又DC⊥平面BB C C， ∴DC⊥B C， 1 1 1 DC DC 1 在Rt△CB C中，tanDBC    1 1 BC BC2 BB2 2 1 1 1 ∴∠DB C=arctan , 1 2 1 即异面直线B D与MN所成角的大小为arctan . 1 2 18．解：原方程化简为 | z|2 (z z)i 1i 设 代入上述方程得 z  x yi(x,yR), 第8页 | 共10页x2  y2 1 x2  y2 2xi 1i,  , 2x  1  1 x    解得   2 , ∴原方程的解是 z   1  3 i.  3 2 2 y     2 b b 19．解：（1）由已知得A( ,0),B(0,b),则AB { ,b} k k b   2 k 1 于是 k ,  .  b  2 b  2 （2）由 f(x)  g(x),得x2  x2  x6, 即 (x2)(x4) 0,得2 x  4, g(x)1 x2 x5 1   x2 5, f(x) x2 x2 g(x)1 由于 ，其中等号当且仅当x+2=1，即x=－1时成立， x20,则  3 f(x) g(x)1 ∴ 时的最小值是－3. f(x) 20．解：（1）设中低价房面积形成数列 ，由题意可知 是等差数列， a a n n n(n1) 其中a=250，d=50，则 S  250n 50  25n2 225n, 1 n 2 令 即 25n2 225n  4750, n2 9n190 0,而n是正整数,n 10. ∴到2013年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米. （2）设新建住房面积形成数列{b }，由题意可知{b }是等比数列， n n 其中b=400，q=1.08， 则b=400·(1.08)n－1 1 n 由题意可知 a  0.85b n n 有250+(n－1)50>400 · (1.08)n－1 · 0.85. 由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=6， ∴到2009年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%. p p 21．解：（1）抛物线y2  2px的准线为x   ,于是4 5,p  2. 2 2 ∴抛物线方程为y2= 4x. 第9页 | 共10页（2）∵点A的坐标是（4，4）， 由题意得B（0，4），M（0，2）， 4 3 又∵F（1，0）， ∴k  ;MN  FA,k   , FA 3 MN 4 4 3 则FA的方程为y= （x－1），MN的方程为y2  x. 3 4  4  8 y  (x1) x    解方程组   3 ,得   5 N( 8 , 4 ). 3 4 5 5   y2  x y     4  5 （3）由题意得，圆M的圆心是点（0，2），半径为2. 当m=4时，直线AK的方程为x=4，此时，直线AK与圆M相离， 4 当m≠4时，直线AK的方程为y  (xm), 即为4x(4m)y4m 0, 4m |2m8| 圆心M（0，2）到直线AK的距离d  ，令 d  2,解得m 1 16(m4)2 时，直线AK与圆M相离； 当m 1 当m=1时，直线AK与圆M相切； 当m1时，直线AK与圆M相交. (2x3)(x2) x[1,) 22．解（1）h(x)   x2 x(,1) 7 1 （2）当x 1时,h(x) (2x3)(x2)  2x2 7x6 2(x )2  . 4 8 1 7 1 h(x) ;当x 1时,h(x) 1,当x  时,h(x)取得最大值是 . 8 4 8  （3）[解法一]令 f(x) sinxcosx, , 2   则g(x)  f(x) sin(x )cos(x ) cosxsinx, 2 2 于是 h(x)  f(x) f(x) (cosxsinx)(cosxsinx) cos2x. [解法二]令 ， f(x) 1 2sinx, 则 g(x)  f(x) 1 2sin(x) 1 2sinx, 于是 h(x)  f(x) f(x)  (1 2sinx)(1 2sinx) 12sin2 x  cos2x. 第10页 | 共10页