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大庆实验中学 2023——2024 学年度第一学期高三期中考试
数学试题
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只
有一个符合题目要求.
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知平面向量 ， 满足 ，且 ， ，则 （ ）
A. B. C. D. 1
3. 南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列 本身不是等差数列
但从 数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列 （则称数列 为一阶等差数
列），或者 仍旧不是等差数列，但从 数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列
（则称数列 为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，
我们亦可定义高阶等比数列，设数列 是一阶等比数列，则该数列的第 项是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
5. 已知函数 若方程 有4个不同的零点 ，且，则 （ ）
A. 10 B. 8 C. 6 D. 4
6. 设 ，则（ ）
A. B..
C D.
的
7. 如图，在等腰直角三角形 中，斜边 ， 为线段 上 动点（包含端点）， 为 的
中点．将线段 绕着点 旋转得到线段 ，则 的最小值为（ ）
A. B.
.
C D.
8. 已知函数 的定义域为R，且 ， 为奇函数， ，则
（ ）
A. B. C. 0 D.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，至
少有一个符合题目要求，每道题全对得5分，部分选对得2分.
9. 已知复数 ，则（ ）
A. 是纯虚数 B. 对应的点位于第二象限
C. D.
10. 已知等差数列 的公差为 ，前 项和为 ， ， ， ，则（ ）A. ， B.
C. ， 的最大值为14 D. 当 时， 有最大值
11. 已知函数 ， ， ，( )
A. 若 在区间 上单调递减，则B. 将函数 的图像向左平移 个单位得到曲线 ，若曲线 对应的函数为偶函数，则 的最小
值为
C. 若方程 在区间 上恰有三个解，则
D. 关于 的方程 在 上有两个不同的解，则
12. 已知函数 ，则下列说法正确的是( )
A. 在 上是增函数
B. 若不等式 恒成立，则正数m的取值范围是
C. 若 有两个根 ，则
D. 若 ，且 ，则 的最大值为
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
三、填空题：本题共4小题，每空5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.
13. 已知球 的表面积为 ，平面 截球 所得的截面面积为 ，则以 为顶点，截面为底面的圆锥
的体积为__________．
14. 已知 ， ，且 ，则 的最小值是______．
15. 已知数列 和 ，其中 是 的小数点后的第 位数字，(例如
)，若 ，且对任意的 ，均有 ，则满足 的所有 的值为
_______．16. 在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知角A为最小角且 均为整
数，则 ___________，设 ， 的中点为D，则 ___________.
四、解答题：本大题共6小题，其中17题满分10分，其余各题满分12分，共70分.把答案
填在答题卡的相应位置.
17. 已知函数 ， .（1）当 时，求曲线 在点 处 的切线方程；
（2）试讨论函数 的单调性.
18. 已知等差数列 满足 ，且 ， ， 成等比数列.
（1）求 的通项公式；
（2）设 ， 的前n项和分别为 ， .若 的公差为整数，且 ，求 .
的
19. 在 中， ， 面积为 ， 为 的中点， 于点
于点 .
（1）求 的面积；
（2）若 ，求 的值.
20. 已知数列 的前n项和为 ，且 .
（1）证明： 是等差数列；
（2）对任意正整数n，都有 ，且存在常数m，使得
为定值t，求 的值.
21. 如图，某城市有一条从正西方 通过市中心 后转向东偏北 方向 的公路，为了缓解城
市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路 ，并在 上分别设置两个出口 在 的东偏北的方向（ 两点之间的高速公路可近似看成直线段），由于 之间相距较远，计划在 之间设
置一个服务区 ．（1）若 在 的正北方向且 ，求 到市中心 的距离和最小时 的值；
（2）若 在市中心 的距离为 ，此时 在 的平分线与 的交点位置，且满足
，求 到市中心 的最大距离．
22. 已知函数
（1）若 ，证明： 在 上恒成立；
（2）若方程 有两个实数根 且 ，证明：
