2005年北京高考文科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_北京

2005 年北京高考文科数学真题及答案 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷 1至2页，第II卷3 至9页，共150分。考试时间120分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题共40分） 注意事项： 1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。 一、本大题共8小题．每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项. （1）设集合M={x| x>1，P={x| x2>1}，则下列关系中正确的是 （A）M＝P （B）PÜM （C）MÜP （ D）M P R  （2）为了得到函数y 2x3 1的图象，只需把函数y 2x上所有点 （A）向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 （B）向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 （C）向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 （D）向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 1 （3）“m= ”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m－2)x+(m+2)y－3=0相互垂直”的 2 （A）充分必要条件 （B）充分而不必要条件 （C）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件          （4）若|a|1,|b|2,cab，且ca，则向量a与b的夹角为 （A）30° （B）60° （C）120° （D）150° （5）从原点向圆 x2＋y2－12y＋27=0作两条切线，则这两条切线的夹角的大小为    2 （A） （B） （C） （D） 6 3 2 3 （6）对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是 （A）sin(α+β)>sinα+sinβ （B）sin(α+β)>cosα+cosβ （C）cos(α+β)0；④ 1 2 1 2 1 2 1 2 x x 1 2 x x f(x ) f(x ) f( 1 2) 1 2 . 2 2 当f(x)=lgx时，上述结论中正确结论的序号是 . （14）已知n次多项式P (x)a xn a xn1 a xa , n 0 1  n1 n 如果在一种算法中，计算x k（k＝2，3，4，…，n）的值需要k－1次乘法，计算P(x ) 0 3 0 的值共需要 9 次运算（6 次乘法，3 次加法），那么计算 P (x )的值共需要 10 0 次运算． 下面给出一种减少运算次数的算法：P(x)a ,P (x) xP (x)a （k＝0， 1， 0 0 k1 k k1 2，…，n－1）．利用该算法，计算P(x )的值共需要6次运算，计算P (x )的值共需要 3 0 10 0 次运算． 三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 第2页 | 共7页（15）（本小题共12分）  已知tan =2，求 2  6sincos （I）tan( )的值； （II） 的值． 4 3sin2cos （16）（本小题共14分） 如图, 在直三棱柱ABC－ABC 中，AC＝3，BC＝4，AA 1 1 1 1 ＝4，点D是AB的中点， （I）求证：AC⊥BC； 1 （II）求证：AC //平面CDB； 1 1 （III）求异面直线 AC 与 BC所成角的余弦值． 1 1 1 （17）数列{a}的前n项和为S，且a=1，a  S ，n=1，2，3，……，求 n n 1 n1 3 n （I）a，a，a 的值及数列{a}的通项公式； 2 3 4 n （II）a a a  a 的值. 2 4 6  2n （18）（本小题共13分） 1 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为 ，乙每次击中目标的概率 2 2 ， 3 （I）甲恰好击中目标的2次的概率； （II）乙至少击中目标2次的概率； （III）求乙恰好比甲多击中目标2次的概率． （19）（本小题共14分） 已知函数f(x)=－x3＋3x2＋9x＋a, （I）求f(x)的单调递减区间； （II）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． （20）（本小题共14分） 如图，直线 l：y＝kx（k>0）与直线l：y＝－kx之间的阴 1 2 第3页 | 共7页影区域（不含边界）记为W，其左半部分记为W，右半部分记为W． 1 2 （I）分别用不等式组表示W 和W； 1 2 （II）若区域W中的动点P(x，y)到l，l 的距离之积等于d2，求点P的轨迹C的方程； 1 2 （III）设不过原点O的直线l与（II）中的曲线C相交于M，M 两点，且与l，l 分别 1 2 1 2 交于M，M 两点．求证△OMM 的重心与△OMM 的重心重合． 3 4 1 2 3 4 参考答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） （1） C （2）A （3）B （4）C （5）B （6）D （7）C （8）B 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） （9）x=－1；(1, 0) （10）－20 （11）[－1, 2)∪(2, +∞) （12） 2 （13）②③ （14）65；20 三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共12分）  2tan  22 4 2 解：（I）∵ tan =2, ∴ tan   ; 2  14 3 1tan2 2  tantan  tan1 4 所以tan( )  4  1tan 1tantan 4 4  1 3 1 =  ； 4 7 1 3 4 6( )1 4 6sincos 6tan1 3 7 （II）由(I), tanα=－ , 所以 = =  . 3 3sin2cos 3tan2 4 6 3( )2 3 （16）（共14分） （I）直三棱柱ABC－ABC，底面三边长AC=3，BC=4AB=5， 1 1 1 ∴ AC⊥BC，且BC 在平面ABC内的射影为BC，∴ AC⊥BC； 1 1 （II）设 CB 与 CB 的交点为 E，连结 DE，∵ D 是 AB 的中点，E 是 BC 的中点，∴ 1 1 1 第4页 | 共7页DE//AC， 1 ∵ DE平面CDB，AC 平面CDB，∴ AC//平面CDB； 1 1 1 1 1 （III）∵ DE//AC，∴ ∠CED为AC 与BC所成的角， 1 1 1 1 5 1 5 在△CED中，ED= AC = ，CD= AB= ，CE= 1 2 2 2 2 1 CB=2 2 ， 1 2 8 2 2 ∴ cosCED  ， 5 5 22 2 2 2 2 ∴ 异面直线 AC 与 BC所成角的余弦值 . 1 1 5 （17）（共13分） 1 解：（I）由a=1，a  S ，n=1，2，3，……，得 1 n1 3 n 1 1 1 1 1 4 a  S  a  ， a  S  (a a ) ， 2 3 1 3 1 3 3 3 2 3 1 2 9 1 1 16 a  S  (a a a ) ， 4 3 3 3 1 2 3 27 1 1 4 由a a  (S S ) a （n≥2），得a  a （n≥2）， n1 n 3 n n1 3 n n1 3 n 第5页 | 共7页1 1 4 又a= ，所以a= ( )n2(n≥2), 2 n 3 3 3  1 n1  ∴ 数列{a}的通项公式为a 1 4 ； n n ( )n2 n≥2  3 3 1 4 （II）由（I）可知a ,a , ,a 是首项为 ，公比为( )2项数为n的等比数列，∴ 2 4  2n 3 3 4 1( )2n 1 3 3 4 a a a  a =   [( )2n 1]. 2 4 6  2n 3 4 7 3 1( )2 3 （18）（共13分） 1 3 解：（I）甲恰好击中目标的2次的概率为C2( )3  3 2 8 2 1 2 20 （II）乙至少击中目标2次的概率为C2( )2( )C3( )3  ； 3 3 3 3 3 27 （III）设乙恰好比甲多击中目标2次为事件A，乙恰击中目标2次且甲恰击中目标0次 为事件B，乙恰击中目标3次且甲恰击中目标1次为事件B，则A＝B＋B，B，B 为互斥事 1 2 1 2 1 2 件． 2 1 1 2 1 1 1 1 P(A) P(B )P(B )C2( )2 C0( )3C3( )3C1( )3=   . 1 2 3 3 3 3 2 3 3 3 2 18 9 6 1 所以，乙恰好比甲多击中目标2次的概率为 . 6 （19）（共14分） 解：（I） f ’(x)＝－3x2＋6x＋9．令f ‘(x)<0，解得x<－1或x>3， 所以函数f(x)的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）． （II）因为f(－2)＝8＋12－18＋a=2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a， 所以f(2)>f(－2)．因为在（－1，3）上f ‘(x)>0，所以f(x)在[－1, 2]上单调递增， 又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2，2]上的 最大值和最小值，于是有 22＋a＝20，解得 a＝－2． 故f(x)=－x3＋3x2＋9x－2，因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7， 即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7． （20）（共14分） 解：（I）W={(x, y)| kx0}， 1 2 第6页 | 共7页（II）直线l：kx－y＝0，直线l：kx＋y＝0，由题意得 1 2 |kx y| |kx y| |k2x2  y2 |  d2, 即 d2， k2 1 k2 1 k2 1 由P(x, y)∈W，知k2x2－y2>0， k2x2  y2 所以 d2，即k2x2  y2 (k2 1)d2 0, k2 1 所以动点P的轨迹C的方程为k2x2  y2 (k2 1)d2 0； （III）当直线l与x轴垂直时，可设直线l的方程为x＝a（a≠0）．由于直线l，曲线C 关于 x 轴对称，且 l 与 l 关于 x 轴对称，于是 MM ，MM 的中点坐标都为（a，0），所以 1 2 1 2 3 4 2 △OMM，△OMM 的重心坐标都为（ a，0），即它们的重心重合， 1 2 3 4 3 当直线l 与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=mx+n（n≠0）． 1 k2x2  y2 (k2 1)d2 0 由 ，得(k2 m2)x2 2mnxn2 k2d2 d2 0  y mxn 由直线l与曲线C有两个不同交点，可知k2－m2≠0且 △=(2mn)2 4(k2 m2)(n2 k2d2 d2)>0 设M，M 的坐标分别为(x, y)，(x, y)， 1 2 1 1 2 2 2mn 则x x  , y  y m(x x )2n, 1 2 k2 m2 1 2 1 2 设M，M 的坐标分别为(x, y)，(x, y)， 3 4 3 3 4 4  y kx  y kx n n 由 ¼° 得x  ,x   y mxn y mxn 3 km 4 km 2mn 从而x x   x x ， 3 4 k2 m2 1 2 所以y+y=m(x+x)+2n＝m(x+x)+2n＝y+y, 3 4 3 4 1 2 1 2 于是△OMM 的重心与△OMM 的重心也重合． 1 2 3 4 第7页 | 共7页