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2025 届高三综合测试（一）
数 学
满分：150分 时间：120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．半径为2的圆上长度为4的圆弧所对的圆心角是( )
A．1 B．2 C．4 D．8
2．直线l过抛物线C:x2 =−4y的焦点，且在x轴与y轴上的截距相同，则l的方程是( )
A．y=−x−1 B．y=−x+1 C．y=x−1 D．y=x+1
3．已知x>0，y>0，则( )
A．7lnx+lny =7lnx +7lny B．7ln(x+y) =7lnx⋅7lny
C．7lnx⋅lny =7lnx +7lny D．7ln(xy) =7lnx⋅7lny
1
4．函数 f(x)=aln|x|+ 的图象不可能是( )
x
A． B． C． D．
5．已知a，b，c满足2a =3，bln2=1，3c =2，则（ ）
A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．b>a>c
6．若正数x，y满足x2 −2xy+2=0，则x+ y的最小值是( )
6
A． 6 B． C．2 2 D．2
2
7．已知a>1，b>1．设甲：aeb =bea，乙：ab =ba，则( )
A．甲是乙的充要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充分条件但不是必要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
数学综合测试（一）试题 第 1 页（共 4 页）
{#{QQABBYIAggAoAJJAABhCQwGYCkOQkAACCSgORBAAoAIBgBNABAA=}#}8．已知正实数x ，x ，x 满足x2 +2x +1=x 2x1,x 2 +3x +1=x 3x2,x2 +4x +1=x 4x3，则x ，x ，x 的
1 2 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 2 3
大小关系是( )
A．x 0)恰能作两条C的切线，切
点分别为(x, f(x ))，(x , f(x ))，(x e B．2a=e(b+1) C．x b
1 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）某中学的A、B两个班级有相同的语文、数学、英语教师，现对此2个班级某天上午的5节课
进行排课，2节语文课，2节数学课，1节英语课，要求每个班级的2节语文课连在一起，2节数学课连在
一起，则共有 种不同的排课方式．（用数字作答）
4051
13．（5分）已知函数y= f(x+2)−1为定义在R上的奇函数，则∑ f(i−2024)= ．
i=1
14．一段路上有100个路灯L ，L ，，L ，一开始它们都是关着的，有100名行人先后经过这段路，
1 2 100
对每个k ∈{1,2,3,,100}，当第k名行人经过时，他将所有下标为k的倍数的路灯L ，L ，的开关
k 2k
状态改变.问当第100名行人经过后，有 个路灯处于开着的状态。
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）记∆ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2csinB= 2b．
（1）求C；
（2）若tanA=tanB+tanC，a=2，求∆ABC的面积．
数学综合测试（一）试题 第 2 页（共 4 页）
{#{QQABBYIAggAoAJJAABhCQwGYCkOQkAACCSgORBAAoAIBgBNABAA=}#}16．（15分）如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面PAD⊥平面ABCD，
PA=PD= 5，点E是线段AD的中点，CM =2MP．
（1）证明：PE//平面BDM ；
（2）求平面AMB与平面BDM 的夹角．
17．HSFZ 在运动会期间，随机抽取了 200 名学生参加绳子打结计时的趣味性比赛，并对学生性别与绳子
打结速度快慢的相关性进行分析，得到数据如下表：
性别 速度 合计
快 慢
男生 65
女生 55
合计 110 200
（1）根据以上数据，能否有99%的把握认为学生性别与绳子打结速度快慢有关？
（2）现有n(n∈N )根绳子，共有2n个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打
+
结完毕视为结束．
(i)
当n=3，记随机变量X 为绳子围成的圈的个数，求X 的分布列与数学期望；
(ii) 求证：这n根绳子恰好能围成一个圈的概率为
22n−1⋅n!(n−1)!
．
(2n)!
n(ad −bc)2
附：K2 = ，n=a+b+c+d ．
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(K2 k) 0.100 0.050 0.025 0.010
k 2.706 3.841 5.024 6.635
数学综合测试（一）试题 第 3 页（共 4 页）
{#{QQABBYIAggAoAJJAABhCQwGYCkOQkAACCSgORBAAoAIBgBNABAA=}#}18．（17 分）费马原理，也称为时间最短原理：光传播的路径是光程取极值的路径．在凸透镜成像中，根
据费马原理可以推出光线经凸透镜至像点的总光程为定值（光程为光在某介质中传播的路程与该介质折射
率的乘积）．一般而言，空气的折射率约为1．如图是折射率为2的某平凸透镜的纵截面图，其中平凸透镜
的平面圆直径MN 为6，且MN 与x轴交于点(−2,0)．平行于x轴的平行光束从左向右照向该平凸透镜，所
有光线经折射后全部汇聚在点(2,0)处并在此成像．（提示：光线从平凸透镜的平面进入时不发生折射）
（1）设该平凸透镜纵截面中的曲线为曲线C，试判断C属于哪一种圆锥曲线，并求出其相应的解析式．
（2）设曲线F 为解析式同C的完整圆锥曲线，直线l与F 交于A，B两点，交y轴于点H ，交x轴于点Q
8
（点Q不与F 的顶点重合）．若HQ=k QA=k QB，k +k =− ，试求出点Q所有可能的坐标．
1 2 1 2 3
ex ax
19．（17分）已知函数 f(x)= + ．
2 ex
1
（Ⅰ）当a= 时，记函数 f(x)的导数为 f′(x)，求 f′(0)的值．
2
3
（Ⅱ）当a=1，x1时，证明： f(x)> cosx．
2
（Ⅲ）当a2时，令g(x)=ex[a+1− f(x)]，g(x)的图象在x=m ，x=n(m
