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2025 届高三综合测试（一）数 学 参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
B A D D A A C C
9 10 11
ABC BCD BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 8． 13. 4051． 14. 10
f′(x)ex−exf(x) f(x)
8．【详解】因为 f′(x)=ex(2x−2)+ f(x)，所以 =2x−2=[ ]′，
e2x ex
f(x)
从而 =x2−2x+c，即 f(x)=ex(x2−2x+c)，其中c为常数，
ex
又 f(0)=1=c，故 f(x)=ex(x2−2x+1)，则 f′(x)=ex(x2−1)，当x∈(−∞,−1)时， f′(x)>0， f(x)为增函
数；当x∈(−1,1)时， f′(x)<0， f(x)为减函数；当x∈(1,+∞)时， f′(x)>0， f(x)为增函数，
4
所以当 f(1)e，当0a时g′(x)>0，当ee时g′(x)>0，当ae时，x =e0，
2 2 2 x 2 x
2 2
所以 f(x )>b，当0a，
2 2
g(x)在(0,a)和(e,+∞)上单调递增，在(a,e)上单调递减，示
意图如图．
显 然 x b，
e e e 2
综上，x b，故选项C和D正确．故选：BCD．
1 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．【解答】解：由a表示数学课，b表示语文课，c表示英语课，按上午的第 1、2、3、4、5 节课排列，
可得若A班排课为aabbc，则B班排课为bbcaa，
若A班排课为bbaac，则B班排课为aacbb，
若A班排课为aacbb，则B班排课为bbaac，或B班排课为cbbaa，
若A班排课为bbcaa，则B班排课为aabbc，或B班排课为caabb，
若A班排课为cbbaa，则B班排课为aacbb，
若A班排课为caabb，则B班排课为bbcaa，
则共有8种不同的排课方式．故答案为：8．
13．【解答】解：根据题意，因为函数y= f(x+2)−1 为定义在R上的奇函数，
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{#{QQABBYIAggAoAJJAABhCQwGYCkOQkAACCSgORBAAoAIBgBNABAA=}#}所以函数 f(x)的图象关于(2,1)中心对称，
则有 f(x)+ f(4−x)=2，且 f （2）=1，
故 f(i−2024)=[f(−2023)+ f(2027)]+[f(−2022)+ f(2026)]+…+[f （ 1 ） +f （ 3 ） ]+ f （ 2 ）
=2025×2+1=4051．故答案为：4051．
14．解：固定每个n∈{1,2,,100}，考察路灯L .
n
根据题意，L 被第k名行人改变开关状态，当且仅当k为n的正约数（注意n的正约数都不超过100，故
n
每个正约数均可对应到某一名行人）.所以L 最终为开，当且仅当n的正约数个数为奇数.以下证明这等价
n
n n
于n为平方数.事实上，n的每个正约数d 均可对应到正约数d′= ，其中，d 对应到自身当且仅当d = ，
d d
即d = n. 这意味着，n的正约数个数为奇数当且仅当 n 是n的正约数，即n为平方数.
因此，当所有行人都经过后，恰好那些下标为平方数1，4，9，，100的路灯是开着的，所以共有10个
路灯处于开着状态.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15． 【解答】解：（1）因为2csinB= 2b，
由正弦定理可得2sinCsinB= 2sinB， ··············· 1分
在∆ABC中，sinB>0， ··············· 2分
2
可得sinC = ，而C∈(0,π)， ··············· 3分
2
π 3π
可得C = 或C = ； ··············· 5分（少一个解扣一分）
4 4
（2）因为tanA=tanB+tanC，
由恒等式tanA+tanB+tanC =tanA⋅tanB⋅tanC，
得2tanA=tanAtanBtanC，得tanBtanC =2， ··············· 7分
所以只可能是tanC =1，tanB=2， ··············· 8分
此时tanA=3， ··············· 9分
3 10 2 5
所以sinA= ，sinB= ， ··············· 11分（每求对一个给1分）
10 5
2 5
×2
所以b= sinB⋅a = 5 = 4 5 × 10 = 4 2 ， ··············· 12分
sinA 3 10 5 3 10 3
10
1 1 4 2 2 4
所以S = absinC = ×2× ⋅ = ． ··············· 13分
∆ABC 2 2 3 2 3
（注：分类讨论代入C，然后消元求解，自行给评分标准即可）
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{#{QQABBYIAggAoAJJAABhCQwGYCkOQkAACCSgORBAAoAIBgBNABAA=}#}1
16．【解答】（1）证明：连接EC交BD于N，由E是AD的中点可得DE= BC =1，
2
1
则∆DEN与∆BCN 相似，所以EN = NC ， ··············· 1分
2
1
又PM = MC， ··············· 2分
2
PM EN
∴ = ··············· 3分
MC NC
∴MN //PE， ··············· 4分
又MN ⊂平面BDM ，PE⊂/ 平面BDM ··············· 5分
∴PE//平面BDM ； ··············· 6分
（2）解：如图，建立空间直角坐标系，E(0，0，0)，A(1，0，0)，
D(−1，0，0)，B(1，2，0)，C(−1，2，0)，P(0，0，2)， ··············· 7分
1 1 2 2
PC =(−1,2,−2),PM = PC =(− , ,− )，
3 3 3 3
1 2 4
则M(− , , )， ··············· 8分
3 3 3
设平面AMB的法向量为n =(x,y ,z )，
1 1 1 1
4 2 4
由AB=(0,2,0),AM =(− , , )，
3 3 3
2y =0
AB⋅n =0 1
则
1
，即
4 2 4
， ··············· 9分
AM ⋅n
1
=0
−
3
x
1
+
3
y
1
+
3
z
1
=0
取x =1，可得n =(1,0,1)， ··············· 10分
1 1
由（1）可取平面BDM 的法向量为n =(1,−1,0)， ··············· 12分
2
|n ⋅n | 1
所以|cos|= 1 2 = ， ··············· 14 分（公式给 1 分，
1 2 |n ||n | 2
1 2
代入求解给1分）
1
即平面AMB与平面BDM 的夹角余弦值为 ，
2
π
所以平面AMB与平面BDM 的夹角为 ． ··············· 15分
3
17． 【解答】解：（1）补全列联表如下：
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{#{QQABBYIAggAoAJJAABhCQwGYCkOQkAACCSgORBAAoAIBgBNABAA=}#}性别 速度 合计
快 慢
男生 65 35 100
女生 45 55 100
合计 110 90 200
200(65×55−35×45)2 800
则K2 = = ≈8.08>6.635， ··············· 4分
100×100×110×90 99
（第一个等号2分，第二个等号1分，判断大于1分）
所以有99%的把握，认为学生性别与绳子打结速度快慢有关； ··············· 5分
（2）(i)易知X 的所有可能取值为1，2，3，
C1C1 8
此时P(X =1)= 4 2 = ， ··············· 6分
C2C2C2 15
6 4 2
A3
3
2C1 2
P(X =2)= 3 = ， ··············· 7分
C2C2C2 5
6 4 2
A3
3
1 1
P(X =3)= = ， ··············· 8分
C2C2C2 15
6 4 2
A3
3
则X 的分布列为：
X 1 2 3
8 6 1
P
15 15 15
··············· 9分
8 6 1 23
所以E(X)=1× +2× +3× = ； ··············· 10分
15 15 15 15
(ii) 证明：不妨令绳头编号为1，2，3，4，…，2n，
可以与绳头1打结形成一个圆的绳头除了1，2外还有2n−2种可能，
假设绳头1与绳头3打结，
那么相当于对剩下n−1根绳子进行打结，
不妨设n(n∈N*)根绳子打结后可成圆的种数为a ，
n
那么经过一次打结后，剩下n−1根绳子打结后可成圆的种数为a ， ··············· 11分
n−1
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{#{QQABBYIAggAoAJJAABhCQwGYCkOQkAACCSgORBAAoAIBgBNABAA=}#}所以a =(2n−2)a ，n≥2， ··············· 12分
n n−1
a
即 n =2n−2，
a
n−1
a
n−1 =2n−4，
a
n−2
，…，
a
2 =2，
a
1
a
以上各式累乘得 n =(2n−2)(2n−4)…2=2n−1(n−1)!，
a
1
易知a =1，
1
所以a =2n−1⋅(n−1)!， ··············· 13分
n
另一方面，对2n个绳头进行任意2个绳头打结，
C2C2 …C2 2n(2n−1)(2n−2)…2×1 (2n)!
总共有N = 2n 2n−2 2 = = ， ··············· 14分
n! 2nn! 2nn!
a 2n−1⋅(n−1)! 22n−1⋅n!(n−1)!
则P= n = = ． ··············· 15分
N (2n)! (2n)!
2n⋅n!
18．【解答】解：（1）设C上任意一点T(x ，y )，x <0，光线从点N至点(2,0)的光程为δ，
0 0 0 1
光线穿过凸透镜后从T点折射到点(2,0)的光程为δ，
2
则δ =1× 32 +42 =5， ··············· 1分
1
δ =2×(x +2)+1× (x −2)2 + y2 ， ··············· 2分
2 0 0 0
由题意得δ =δ，则2(x +2)+ (x −2)2 + y2 =5， ··············· 3分
1 2 0 0 0
化简得1−2x = (x −2)2 + y2 ， ··············· 4分
0 0 0
所以1+4x2 −4x =x2 +4−4x + y2，
0 0 0 0 0
y2
所以x 2 − =1． ··············· 5分
0 3
令y =0，得x =−1，
0 0
y2
所以C为双曲线的一部分，解析式为x2 − =1(−2x −1)． ··············· 7分（缺少范围扣1分）
3
y2
（2）由题意知F:x2 − =1．
3
设H(0,n)，Q(m，0)(m≠±1)，A(x ，y )，B(x ，y )，
A A B B
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{#{QQABBYIAggAoAJJAABhCQwGYCkOQkAACCSgORBAAoAIBgBNABAA=}#}
则HQ=(m,−n)，QA=(x −m,y )，QB=(x −m,y )， ··············· 8分
A A B B
m=k (x −m) m=k (x −m)
因为HQ=k QA=k QB，所以 1 A ， 2 B ， ··············· 9分
1 2 −n=k y −n=k y
1 A 2 B
mk +m mk +m
x = 1 x = 2
A k B k
由题意知k ≠0，k ≠0，得 1 ， 2 ，
1 2 n n
y =− y =−
A k B k
1 2
mk +m n mk +m n
即A( 1 ,− )，B( 2 ,− )． ··············· 10分
k k k k
1 1 2 2
y2 m2k2 +2m2k +m2 n2
将点A的坐标代入x2 − =1，得 1 1 − =1， ··············· 11分
3 k2 3k2
1 1
n2
化简整理得(m2 −1)k2 +2m2k +(m2 − )=0． ··············· 12分
1 1 3
n2
同理可得(m2 −1)k2 +2m2k +(m2 − )=0， ··············· 13分
2 2 3
n2
所以k 与k 为方程(m2 −1)x2 +2m2x+(m2 − )=0的两个解， ··············· 14分
1 2 3
2m2
所以k +k =− ． ··············· 15分
1 2 m2 −1
8 2m2 8
由题知k +k =− ，所以− =− ，解得m=±2， ··············· 16分
1 2 3 m2 −1 3
所以点Q的坐标可能为(2,0)或(−2,0)． ··············· 17分
1 ex x
19．【解答】解：（Ⅰ）当a= 时， f(x)= + ， ··············· 1分
2 2 2ex
∴
(ex)2 +1−x
f′(x)= ， ·············· 2
2ex
分
∴f′(0)=1． ··············· 3分
ex x
（Ⅱ）证明：当a=1，x1时， f(x)= + ，
2 ex
(ex)2 +2−2x
∴ f′(x)= ， ··············· 4分
2ex
令g(x)=ex −x+1，g′(x)=ex −1，
当x>0时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
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{#{QQABBYIAggAoAJJAABhCQwGYCkOQkAACCSgORBAAoAIBgBNABAA=}#}当x<0时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
∴g(x)g(0)=0，∴ex x+1， ··············· 5分
∴(ex)2 x2 +2x+1，
∴f′(x)>0， ··············· 7分
∴f(x)在[1，+∞)上单调递增， ··············· 8分
e 1 3 3
∴ f(x)f(1)= + >
cosx，得证． ··············· 9分
2 e 2 2
e2x
（Ⅲ）当a2，g(x)=− +(a+1)ex −ax，
2
g′(x)=−(ex −a)(ex −1)， ··············· 10分
当x∈(0,lna)时，g′(x)>0，
∪
当x∈(−∞，0) (lna，+∞)时，g′(x)<0，
∴g(x)在(0,lna)上单调递增，在(−∞,0)，(lna,+∞)上单调递减， ··············· 11分
由题意，g′(m)=g′(n)得到em +en =a+1， ··············· 12分
1
g(m)+g(n)= (a+1)2 +em+n −a(m+n)， ··············· 13分
2
由em +en =a+1>2 emen
(a+1)2
得到00，
t 4
(a+1)2
∴F(t)在(0,a)上单调递减，在(a, )上单调递增．
4
(a+1)2
∴h(a)= +a−alna ··············· 16分
2
∴当a2时， h′(a)=a−lna+1>0，
∴h(a)为增函数，
13
∴h =h(2)= −2ln2． ··············· 17分
min 2
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{#{QQABBYIAggAoAJJAABhCQwGYCkOQkAACCSgORBAAoAIBgBNABAA=}#}
