文档内容
2005 年北京高考文科数学真题及答案
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷 1至2页，第II卷3至9
页，共150分。考试时间120分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题共40分）
注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。
一、本大题共8小题．每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项.
（1）设集合M={x| x>1，P={x| x2>1}，则下列关系中正确的是
（A）M＝P （B）P M （C）M P （ D）
（2）为了得到函数 的图象，只需把函数 上所有点
（A）向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
（B）向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
（C）向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
（D）向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
（3）“m= ”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m－2)x+(m+2)y－3=0相互垂直”的
（A）充分必要条件 （B）充分而不必要条件
（C）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
（4）若 ，且 ，则向量 与 的夹角为
（A）30° （B）60° （C）120° （D）150°
（5）从原点向圆 x2＋y2－12y＋27=0作两条切线，则这两条切线的夹角的大小为
（A） （B） （C） （D）
（6）对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是
（A）sin(α+β)>sinα+sinβ （B）sin(α+β)>cosα+cosβ
（C）cos(α+β)0；④
1 2 1 2 1 2 1 2
.
当f(x)=lgx时，上述结论中正确结论的序号是 .
（14）已知n次多项式 ,
如果在一种算法中，计算 （k＝2，3，4，…，n）的值需要k－1次乘法，计算
的值共需要 9 次运算（6 次乘法，3 次加法），那么计算 的值共需要
次运算．
下面给出一种减少运算次数的算法： （k＝0， 1，
2，…，n－1）．利用该算法，计算 的值共需要6次运算，计算 的值共需要
次运算．
第2页 | 共8页三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（15）（本小题共12分）
已知 =2，求
（I） 的值； （II） 的值．
（16）（本小题共14分）
如图, 在直三棱柱 ABC－ABC 中，AC＝3，BC＝
1 1 1
4，AA＝4，点D是AB的中点，
1
（I）求证：AC⊥BC；
1
（II）求证：AC //平面CDB；
1 1
（III）求异面直线 AC 与 BC所成角的余弦值．
1 1
（17）数列{a}的前n项和为S，且a=1， ，n=1，2，3，……，求
n n 1
（I）a，a，a 的值及数列{a}的通项公式；
2 3 4 n
（II） 的值.
（18）（本小题共13分）
甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为 ，乙每次击中目标的概率
，
（I）甲恰好击中目标的2次的概率；
（II）乙至少击中目标2次的概率；
（III）求乙恰好比甲多击中目标2次的概率．
（19）（本小题共14分）
已知函数f(x)=－x3＋3x2＋9x＋a,
（I）求f(x)的单调递减区间；
（II）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
第3页 | 共8页（20）（本小题共14分）
如图，直线 l ：y＝kx（k>0）与直线l ：y＝－kx之间的阴影区域（不含边界）记为
1 2
W，其左半部分记为W，右半部分记为W．
1 2
（I）分别用不等式组表示W 和W；
1 2
（II）若区域W中的动点P(x，y)到l，l 的距离之积等于d2，求点P的轨迹C的方程；
1 2
（III）设不过原点O的直线l与（II）中的曲线C相交于M ，M 两点，且与l ，l 分别
1 2 1 2
交于M，M 两点．求证△OMM 的重心与△OMM 的重心重合．
3 4 1 2 3 4
参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
（1） C （2）A （3）B （4）C （5）B （6）D （7）C （8）B
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
（9）x=－1；(1, 0) （10）－20 （11）[－1, 2)∪(2, +∞)
（12） （13）②③ （14）65；20
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
（15）（共12分）
解：（I）∵ tan =2, ∴ ;
所以
= ；
（II）由(I), tanα=－ , 所以 = = .
（16）（共14分）
（I）直三棱柱ABC－ABC，底面三边长AC=3，BC=4AB=5，
1 1 1
第4页 | 共8页∴ AC⊥BC，且BC 在平面ABC内的射影为BC，∴ AC⊥BC；
1 1
（II）设CB 与CB的交点为E，连结DE，∵ D是AB的中点，E是BC 的中点，∴
1 1 1
DE//AC，
1
∵ DE 平面CDB，AC 平面CDB，∴ AC//平面CDB；
1 1 1 1 1
（III）∵ DE//AC，∴ ∠CED为AC 与BC所成的角，
1 1 1
在△CED 中，ED= AC = ，CD= AB= ，CE=
1
CB=2 ，
1
∴ ，
∴ 异面直线 AC 与 BC所成角的余弦值 .
1 1
（17）（共13分）
解：（I）由a=1， ，n=1，2，3，……，得
1
， ，
第5页 | 共8页，
由 （n≥2），得 （n≥2），
又a= ，所以a= (n≥2),
2 n
∴ 数列{a}的通项公式为 ；
n
（II）由（I）可知 是首项为 ，公比为 项数为n的等比数列，∴
= .
（18）（共13分）
解：（I）甲恰好击中目标的2次的概率为
（II）乙至少击中目标2次的概率为 ；
（III）设乙恰好比甲多击中目标2次为事件A，乙恰击中目标2次且甲恰击中目标0次
为事件B ，乙恰击中目标3次且甲恰击中目标1次为事件B ，则A＝B ＋B ，B ，B 为互斥
1 2 1 2 1 2
事件．
= .
所以，乙恰好比甲多击中目标2次的概率为 .
（19）（共14分）
解：（I） f ’(x)＝－3x2＋6x＋9．令f ‘(x)<0，解得x<－1或x>3，
所以函数f(x)的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．
（II）因为f(－2)＝8＋12－18＋a=2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，
所以f(2)>f(－2)．因为在（－1，3）上f ‘(x)>0，所以f(x)在[－1, 2]上单调递
增，又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2，
第6页 | 共8页2]上的最大值和最小值，于是有 22＋a＝20，解得 a＝－2．
故f(x)=－x3＋3x2＋9x－2，因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，
即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7．
（20）（共14分）
解：（I）W={(x, y)| kx0}，
1 2
（II）直线l：kx－y＝0，直线l：kx＋y＝0，由题意得
1 2
, 即 ，
由P(x, y)∈W，知k2x2－y2>0，
所以 ，即 ,
所以动点P的轨迹C的方程为 ；
（III）当直线l与x轴垂直时，可设直线l的方程为x＝a（a≠0）．由于直线l，曲线
C关于x轴对称，且l 与l 关于x轴对称，于是MM ，MM 的中点坐标都为（a，0），所以
1 2 1 2 3 4
△OMM，△OMM 的重心坐标都为（ a，0），即它们的重心重合，
1 2 3 4
当直线l 与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=mx+n（n≠0）．
1
由 ，得
由直线l与曲线C有两个不同交点，可知k2－m2≠0且
△= >0
设M，M 的坐标分别为(x, y)，(x, y)，
1 2 1 1 2 2
则 , ,
设M，M 的坐标分别为(x, y)，(x, y)，
3 4 3 3 4 4
由 得
第7页 | 共8页从而 ，
所以y+y=m(x+x)+2n＝m(x+x)+2n＝y+y,
3 4 3 4 1 2 1 2
于是△OMM 的重心与△OMM 的重心也重合．
1 2 3 4
第8页 | 共8页
