2024-2025 学年四川省自贡市蜀光中学高二下学期 3 月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如果函数 在 处的导数为 ，那么 ( )
+2 − 2
= =2 1 l im→0 =
A. B. C. D.
1 1 1
2.在1等比数列 中， ， 2 是方程 3 的两个根，则4 的值为( )
2
A. 1 B. 99 −10 C+.16=0 D. 50
3.函10数 的图像如图所示，16下列数值排序正确的±是4 ( ) 4
A. ′ ′ ′ B. ′ ′ ′
C. 1′> 2′> 3′>0 D. ′1 < ′2 < 3′<0
4.我0<国古 代1数学<名 著《2算<法 统宗3》中有如下问题： “诸1葛>亮 领八2员>将0，>每 将又3分八个营，每营里面排八阵，
每阵先锋有八人，每人旗头俱八个，每个旗头八队成，每队更该八个甲，每个甲头八个兵”则该问题中将
官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有 .
A. 人 B. 人
1 7 1 9
7 8 −8 7 8 −8
C. 人 D. 人
1 7 1 9 4
5.函8+数7 8 −8 的单调递增区间是( ) 8+7 8 −8
A. 和= −2ln B. C. D.
6.函−数∞,0 0,2 的2,图+象∞大致为( ) −∞,2 0,2
= −3 −1
A. B. C. D.
7.已知等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，且 成等比数列令 ，则数列 的前
1
项和 ( ) 2 1, 2, 4 . = +1 50
50 =
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1 7A. B. C. D.
50 49 100 50
51 50 101 101
8.设 ，则( )
0.1 1
A.
=0.1 , =9, =
B
−
.
ln0.9
C. D.
二、 多<选 <题 ：本题共3小题， <共 18<分 。在每小题 给<出 的<选 项中，有多 项<符 合<题 目要求。
9.下列求导运算正确的是( )
A. ′ B. ′
1
tan2 =2tan2 2 = ln2
C. ′ D. ′
2 2
10.设5 =是5等 差 数 5 列， 是其前 项的和且 ，cos =2 co，s 则−下 面si结n 论正确的是( )
A. . 5 B<. 6 6 = 7 > 8
C. ≤与0 均为 的最大值 D. 满7足=0 的 的最小值为
6 7 <0 14
11.已知函数 有两个极值点 ，则( )
1 2
= −2 ∈ 1, 2 1 < 2
A. B. C. D.
1 1 1
三、 0 填 < 空 < 题 ：本题共3小题， 每 1 小 > 题25分，共15 分 。 2 <2 1+ 2 >2
12.已知函数 的图象在 处的切线与直线 垂直，则实数 的值为 ．
13.数列 满 足= ln − ，+1 =1 ，则 +2． −1=0
1
1 =−1 +1 =1− ( ∈ +) 100 =
14.已知 若函数 有两个零点，则 的取值范围为 ．
3 2
+3 −2, ≤0,
= ln = −
四、解答题：本题 共 , 5 > 小 0 题 , ，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. 本小题 分
等差(数列 13满足) ， ，前 项和为 ．
求数列 的通 项4 =公1式1； 7 =2
(1)求 的最 大值．
(126). 本 小 题 分
已知(函数 15 ) ，曲线 在点 处的切线方程为 ．
2
求实数 (， )=的 值ln； + −3 = ( ) (1, (1)) 2 + −4=0
(1)若曲线 ，求曲线 过点 的切线方程．
3
(
1
2
7
)
. 本小题
: =
分
−12 −4 (2,4)
( 15 )
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2 7已知等比数列 的公比 ， ， 是 ， 的等差中项等差数列 满足 ，
． { } >1 1+ 2+ 3 =14 2+1 1 3 . { } 2 1 = 2
4 =求 数3列 ， 的通项公式；
(1) { } { ，} 求数列 的前 项和．
∗
( 1 2 8 ) . 本 = 小 题 ∈ 分 { }
( 17 )
已知函数 ．
2
1 3
讨论函 数 = 的ln单 调+性4 ；+ ≠ 0
(1)
设 ，当 时，对任意的 ，总存在 ，使 ，
2
2 1
(求2)实数 的=取2值 范−围 ． +12+4 =−6 1 ∈ 1,4 2 ∈ 1, 1 ≤ 2
19. 本小 题 分
已知(函数 17 ) ．
2
当 时，=−求 +的6 单调−递 增−区2间；
(1)若 =4有两个极 值 点 ．
((ⅰ2)求) 的 取值范围； 1, 2
(ⅱ)证明： ．
22
1 + 2 + 1+ 2 < 3
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3 7参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10 .
11.
12.
13.3
−1
14.
1
15. −∞ 设 , 首 − 项 2 为 ∪ ， ,2 公差为 ，
因为(1等)差数列 1满足 ， ，
4 =11 7 =2
所以 ，解得
1+3 =11 1 =20
,
所以 1+6 =2 =−3 ；
因 为 =当20−3时( ，−1)=23−3 ，当 时， ，
(所2)以 的最 大≤值7为 ， =23−3 >0 ≥ 8 =23−3 <0
因为 7 ，
7 =23−3×7=2
所以 ．
20+2
7 = 2 ×7=77
16.解： 的导数为 ′ ，
2
由曲线 (1) ( ) 在 = 点 ln + 处 − 的 3 切线方程为 ( )= +2 ，
可得 = ( )，即(1, (1)，) 2 + −4=0
+2=−2 =−4
又 ，解得 ，
1
(1)= 1−3 =2 =−3
即有 ， ；
1
=−4 =−3
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4 7曲线 ，即 ，
3 1 3 4
(
导
2)
数 ′
: =
，
−12 −4 =3 +3
2
设曲线 与=过 点 的切线相切于点 ，
1 3 4
则切线的斜率 (2,4)， ( 0,3 0+3)
2
= 0
所以切线方程为 ，
1 3 4 2
−(3 0+3)= 0( − 0)
即 ，
2 2 3 4
因为 =点 0⋅ −在3切 0 线+上3，
(2,4)
所以 ，
2 2 3 4
即 4=2 0−3 0 ，+3
3 2
即有 0−3 0+4=0 ，
3 2 2
所以 0+ 0−4 0+4=0，
2
解得( 0+1)(或 0−2) ，=0
故所求 0的=−切1线方 程0为=2 或 ．
4 − −4=0 − +2=0
17. 依题有
2
1+ 2+ 3 =14 1+ 1 + 1 =14
(1) ⇒ 2,
因为 ，解得2： 2+1 = ， 1+ ，3 2 1 + ． 1 = 1+ 1
>1 1 =2 =2 ∴ =2
数列 是等差数列，设其公差为 ，
2 1 =4
∵ ,
解得： ． 1+3 =8
1 =2
, ∴ =2
数列 的前 项和记为 ，则 ，
=2
(因2)为 ， = 1+ 2+⋯
= =2 −1
所以 ，
1 2
=2 0+2 1+⋯+2 −1
，
1 1 2
2两 式 =相2减 1+有2 2+⋯+2
1 1 1 1
=1+ 1+ 2+⋯+ −1−
2 2 2 2 2 ，
1 1 1 +2
=1+2 1+2 2+⋯+2 −1−2 =2− 2
所以 ．
+2
=4−2 −1
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5 718. 由题意得 ′ ．
2
1 3 +6 −2
当 (1) 时，由 ′ = ，+得4− 2 =， 4 2 >0
所以 >当0 时 ，=′0 =；2
当 0时<， <′2 ， <0
因此 >，2当 时， 函>数0 在 上单调递减，在 上单调递增．
当 时 ，>由0 ′ ， 得 0,2 ， 2 ,+∞
所以 <当0 时，=0′ =−；6
当 0<时 ，<−′6 ， <0
因此 >，−当6 时， 函数>0 在 上单调递减，在 上单调递增．
当 <时0，由 知 ， 函数 0,−在6 上单调递减，−6 ,+∞
(2) =−6 (1) 1,
所以当 时， ．
2
1
∈ 1, max = 1 =12+4
对任意的 ，总存在 ，使 等价于 ， 恒成立，
2
1
则 1 ∈，1,4 2 ∈恒1成, 立， 1 ≤ 2 ∀ 1 ∈ 1,4 1 ≤12+4
2 1
∀ 1 ∈ 1,4 2 1− ≤0
即 ， 恒成立．
2
2 1
∀ 1 ∈ 1,4 ≥ 1
令 ，
2
2
ℎ = 1≤ ≤4
则 ′ ．
2
4 −2 2 −2
令ℎ′ = ， 得 =− ，
所以ℎ 当 =0 时=，2′ ；
当 1≤ 时≤，2 ′ℎ ，≥0
即2≤在 ≤4 上单ℎ调递 增，≤在0 上单调递减，
ℎ 1,2 2,4
所以当 时， ，
8
∈ 1,4 ℎ max =ℎ 2 = 2
因此 ．
8
≥ 2
故实数 的取值范围是 ．
8
19. 当 时， ′ 2,+∞ ，
2
由 (′1) =4 =，−所2以 +6 −4=．−2 −1 −2
故 单 调>递0增⇒区1间<为 <2 ． 0< <ln2
0,ln2
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6 7ⅰ ′ ，令 ，即 ′
2 2
(令2)( ) ， =−2 ，则+6 是−方 程 = 的=−两2个 正+根6 ，−
1 2 2
1 = 2 = 1, 2 −2 +6 − =0
则 ，即 ，
9
=36−8 >0 <2
有 ， ，即 ．
9
1+ 2 =3 1 2 =2>0 0< <2
所以 的取值范围为： ．
9
ⅱ 0,2
( ) 1 + 2 + 1+ 2
2 1 1 2 2 2
=− +6 − 1−2+ − +6 − 2−2 + 1+ 2
2 2
=− 1+ 2 +6 1+ 2 + 1− ln 1+ln 2 −4
2
=− 1+ 2 −2 1 2 +6 1+ 2 + 1− ln 1 2 −4
2
=− 3 −2× +6×3+ 1− ln −4
2 2
= +5+ 1− ln
令 2
9
( )= +5+(1− )ln2 0< <2
则 ′ ．
1 1
=1−ln2+ 1− = −ln2
令 ，则 ′ ，
1 1 1
ℎ = −ln2 ℎ =− 2− <0
则 ′ 在 上单调递减，
9
0,2
又 ′ ′
1 1 3
2 =2>0, 3 =3−ln2<0
故存在 ，使 ′ ，即 ，
1 0
0 ∈ 2,3 =0 0 =ln 2
则当 时， ′ ，当 时， ′ ，
9
∈ 0, 0 >0 ∈ 0,2 <0
故 在 上单调递增， 在 上单调递减
9
0, 0 0,2
则 ，
0 1 1
≤ 0+5+ 1− 0 ln 2 = 0+5+ 1− 0 0 = 0+ 0+4
又 ，故
1 1 22
0 ∈ 2,3 0 = 0+ 0+4<3+3+4= 3
即 ．
22
1 + 2 + 1+ 2 < 3
第 页，共 页
7 7
