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湖南省高三年级入学考试
数学参考答案
!!#!!解析"本题考查复数相等与复数的模#考查数学运算的核心素养!
由"$%&’#$!("&!""#"!#"得"’#$!且%’(""解得"’(%"#’()"
则#"%$#&#’#*()&#’槡!+$,’-!
%!.!!解析"本题考查三角函数的周期#考查逻辑推理的核心素养!
%! %
因为!$/"所以$’ %)!"解得/&!’ !
! )
)!0!!解析"本题考查集合的交集#考查数学运算的核心素养!
因为%’$###’!"$!#%(!%’&(!"$1#"&’$"#(-&"&%%"所以%(&’&(!"%#!
*!#!!解析"本题考查双曲线的离心率与平面向量#考查直观想象的核心素养!
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依题意可得 ( ’ % "所以 # ** %) ! ) % # ’ ’(( ’ ) ((( ’-!因为) ! %与%) % 同向"所以) ! %’-%) % !
%
-!2!!解析"本题考查等比数列#考查逻辑推理与数学运算的核心素养!
因为两个等比数列$(%"$+%的公比相等"且($+’!"($+’(%!($+#"所以数列$(
* * ! ! ) ) % % *
!(!(%#3
$+%是首项为!"公比为(%的等比数列"所以数列$($+%的前3项和为 ’*)!
* * * !(!(%#
+!.!!解析"本题考查正态分布#考查应用意识以及逻辑推理的核心素养!
依题可知""+’)!%",%’!!**"所以-".!)!%"!!%%#"
故/!-$%#’/!-$)!%(!!%#’/!-&)!%$!!%#,/!"*!)!
因为0".!%!""!!%%#"所以/!0&*#’/!0&%!"$!!%#,/!"*!)"
所以/!0&*#’/!-$%#"/!0&*#$/!-$%#,!!+"%+$!!+"!
3!0!!解析"本题考查两角和与差的正切公式#考查数学运算的核心素养!
因为456!"$# #456!"(# #’3456!"(# #’
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45
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所以456!"(# #’)"故456%"’456&!"$# #$!"(# #(’ ’( !
!(37) %
"!.!!解析"本题考查直线与半椭圆的位置关系#考查直观想象与数学运算的核
心素养!
槡) ) #% "%
由"’ 槡*(#%"得"%’ !*(#%#!"%/#"即 $ ’!!"%/#"所以1为椭
% * * )
#% "%
圆 $ ’!的右半部分!当2’/时"直线3)"’/与1有两个公共点*当2-/
* )
! ! #% "%
时"直线3)#’ "$)"令 ’4"将#’4"$)代入 $ ’!"得!)4%$*#"%$!"4"$!-’/"
2 2 * )
!高三数学"参考答案!第!!!!!页#共"页$% !!"’()"
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{#{QQABTQaEggggApAAABgCEwEYCEIQkBECAYgGxAAAoAAAgBFABAA=}#}
书书书- ) ! ! 槡!-
则$’!!"4#%(+/!)4%$*#$/"得4%$ "则2%& !由图可知 &/"所以2" ( "
) - 2 -
# ! 槡!- (
/ !综上"2的取值范围是 ( "/ !
-
,!0#.!!解析"本题考查统计#考查数据处理能力!
该部门一年中请假天数为/的人数为)/(+()(*(*()’!/"0正确!该部门一年中请假
天数大于-的人数为*$*$)’!!"2错误!因为)/7*/8’!%"且请假天数为/的人数为
!/"请假天数为*的人数为+"所以这)/名员工一年中请假天数的第*/百分位数为*"#正
! %)
确!这)/名员工一年中请假天数的平均数为 7!*7+$-7)$+7*$37*$"7)#’ &
)/ +
*".正确!
!/!02.!!解析"本题考查函数的性质$导数的几何意义$直线的斜率#考查数学运算与逻辑推
理的核心素养!
!
因为5!"#的定义域为!(1"(!#.!!"$1#"且5!("#’("$ ’(5!"#"所以5!"#为
"
奇函数"0正确!5!"#在!(1"(!#和!!"$1#上均为增函数"当""!(1"(!#时"5!"#
&/"当""!!"$1#时"5!"#$/"所以5!"#在其定义域内为增函数"2正确!当""!(1"
!
(!#.!!"$1#时"56!"#’!$ &%"则曲线#’5!"#的切线的斜率小于%"#错误!设曲
"%
! "%(!
线#’5!"#上任意一点为/!""##"则#’"( ’ """!(1"(!#.!!"$1#"则
" "
# # #!"$!$"(!# %# %#
4 $4 ’ $ ’ ’ ’ ’%".正确!
/% /& "$! "(! "%(! "%(! #
"
!!!2#!!解析"本题考查空间几何体的新概念$体积$线面角以及外接球的表面积#考查空间想
象能力与直观想象$数学运算的核心素养!
因为圆锥/7的底面直径与线长度分别为%"*"所以圆锥/7的 $ #
-
母线长为*"高为槡*%(!%’槡!-"则圆锥/7的体积为 ! !7!% ! "
)
$
#
.
7槡!-’ 槡
)
!- !"0 错误!设圆锥/7内切球的半径为8"则
! % -
&
"
8 ! 槡!-
’ "解得8’ "所以圆锥/7内切球的线长度为%8
槡!-(8 * -
%槡!-
’ "#正确!因为%&’%"%&’*"所以%1’%槡%&%1’*槡%&+"所以%1’+!过
- ! ! ! ! !
*槡%(%槡%
%"1作%1 的垂线"垂足分别为9")"则9)’%1’%槡%"%9’)1’ ’槡%"所
! ! ! ! %
以91’)槡%"则%9’槡+%(!)槡%#%’)槡%!%% 与底面%&1: 所成的角为/%%9"
! ! ! ! ! ! !
%9
且456/%%9’ ’)"2正确!设正四棱台%&1:;%&1: 外接球的半径为<"球心
! %9 ! ! ! !
!
!高三数学"参考答案!第!!!!%页#共"页$% !!"’()"
!"#$%%$&
{#{QQABTQaEggggApAAABgCEwEYCEIQkBECAYgGxAAAoAAAgBFABAA=}#}为."设正四棱台%&1:;%&1: 上+下底面的中心分别为="= "则== ’%9’)槡%"
! ! ! ! ! !
且.在== 上!设.= ’>"由.%’.%"得>%$!%槡%#%’!)槡%(>#%$!槡%#%"解得>’
! ! !
槡%"则正四棱台%&1:;%&1: 外接球的表面积为*!7!>%$"#’*/!".错误!
! ! ! !
!%!!//!!解析"本题考查对数的运算#考查数学运算的核心素养!
因为9:#’!"所以#’!/"又9:"-’-9:"’#’!/"所以9:"’%"则"’!/%’!//!
!)!+槡%!!!解析"本题考查圆的方程#考查数学运算与逻辑推理的核心素养!
由!"%$#%(!#%("!"%$#%#$!-’/"得!"%$#%(!#%("!"%$#%(!#$3’/"即&!"%$#%
(!#(!(&!"%$#%(!#(3(’/"即"%$#%’%或"%$#%’""所以曲线1表示两个同心圆"
且这两个圆的半径分别为槡%"%槡%"所以曲线1的周长为%!7!槡%$%槡%#’+槡%!!
%
!*! !!解析"本题考查排列组合的实际应用#考查应用意识与分类讨论的数学思想!
3
甲+乙+丙)人的座位互不相邻的情况分为三种)第一种"这)人都在第二排"共有0)0-种
) -
不同的安排方法*第二种"这)人中!人在第一排"%人在第二排"共有#!0)0-’)0)0-种
) ) - ) -
不同的安排方法*第三种"这)人中%人在第一排"!人在第二排"若第二排的这!人安排在
中间的位置"则有#!#!0)0-’*0)0-种不同的安排方法"若第二排的这!人不安排在中间
% % ) - ) -
的位置"则有#!!#%(%#0)0-’"0)0-种不同的安排方法!故甲+乙+丙)人的座位互不相
% * ) - ) -
!$)$*$" !+7+ %
邻的概率为 0)0-’ ’ !
0" ) - "737+ 3
"
!-!!解析"本题考查直线与抛物线$基本不等式的综合#考查数学运算与数学抽象的核心素养!
解)!!#因为%!+"2$%#"&!%*"2$"#是抛物线1)#%’%?"!?$!#上的两点"
1!2$%#%’!%?"
所以0 ………………………………………………………………………!分
2!2$"#%’*"?"
!2$"#%
则 ’*"整理得2%’!+"解得2’;*!……………………………………………)分
!2$%#%
!
当2’(*时"!%?’!2$%#%’*"解得?’ &!"不合题意* …………………………*分
)
当2’*时"!%?’!2$%#%’)+"解得?’)$!!…………………………………………-分
)
故1的准线方程为"’( !………………………………………………………………+分
%
!) #
!%#由!!#知1的焦点为 "/ " …………………………………………………………3分
%
1#%’+""
,
联立0
! )#
得4%"%(!)4%$+#"$ 4%’/!……………………………………"分
#’4"( " *
2 %
)4%$+
设/!""##"@!""##"则"$"’ "……………………………………………,分
! ! % % ! % 4%
)4%$+ +
所以#/@#’"$"$?’ $)’+$ " …………………………………………!!分
! % 4% 4%
!高三数学"参考答案!第!!!!)页#共"页$% !!"’()"
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{#{QQABTQaEggggApAAABgCEwEYCEIQkBECAYgGxAAAoAAAgBFABAA=}#}+
所以#/@#$4%’+$ $4%%+$%槡+" …………………………………………………!%分
4%
+
当且仅当 ’4%"即4%’槡+时"等号成立"
4%
所以#/@#$4%的最小值为+$%槡+!……………………………………………………!)分
评分细则)
,!-第!!#问中"1的准线方程还可以写为%"$)’/"第!%#问中"未写取等条件扣!分!
+
,%-第!%#问中"也可以用弦长公式#/@#’槡!$4%槡!"$"#%(*"" 求得#/@#’+$ "
! % ! % 4%
不扣分!
!+!!解析"本题考查立体几何与空间向量的综合#考查空间想象能力与数学运算$直观想象的核
心素养!
!!#证明)连接%1交%1 于点9" ………………………………………………………!分
! !
则9为%1的中点! ………………………………………………………………………%分
!
连接:9!因为:为%& 的中点"所以:93&1"………………………………………)分
! ! !
又:94平面%1:"&15平面%1:"
! ! !
所以&13平面%1:!……………………………………………………………………-分
! !
!%#解)取%&的中点7"连接17":7!
因为%1’&1’+"%&’!/"所以176%&"且17’槡+%(-%’
槡!!!…………………………………………………………3分
**)
以7为坐标原点"71的方向为"轴的正方向建立如图所示的空
间直角坐标系"
则7!/"/"/#":!/"/"-#"1!槡!!"/"/#"%!/"(-"/#"……"分
**) **)
所以%:’!/"-"-#"%1’!槡!!"-"/#!……………………………………………………,分
设平面%1:的法向量为!’!""#"A#"
**)
1!’%:’-#$-A’/"
则0
**)
……………………………………………………………!/分
2!’%1’槡!!"$-#’/"
令"’-"得!’!-"(槡!!"槡!!#!………………………………………………………!!分
**)
易知平面%%:的一个法向量为"’71’!槡!!"/"/#!………………………………!%分
!
!’" -槡!! -槡*3
<=>.!""/’ ’ ’ !……………………………………………!)分
#!##"# 槡*37槡!! *3
由图可知"二面角1;%:;% 为钝角"
!
-槡*3
所以二面角1;%:;% 的余弦值为( ! …………………………………………!-分
! *3
评分细则)
,!-第!!#问还可以先证明平面&713平面%1:"再证明&13平面%1:"阅卷时"请按
! ! ! !
照步骤给分!
!高三数学"参考答案!第!!!!*页#共"页$% !!"’()"
!"#$%%$&
{#{QQABTQaEggggApAAABgCEwEYCEIQkBECAYgGxAAAoAAAgBFABAA=}#},%-第!%#问中"两个平面的法向量均不唯一"只要与对应法向量共线即可!
,)-第!%#问还可以用这样的方法求解)
取%&的中点7"连接17":7!依题意可得四边形%7:% 为正方形!…………………+分
!
因为%1’&1’+"%&’!/"所以176%&"………………………………………………3分
且17’槡+%(-%’槡!!! …………………………………………………………………"分
在直三棱柱%&1;%&1 中"%%6底面%&1"则%%617!…………………………,分
! ! ! ! !
因为%&(%%’%"所以176平面%&&%!…………………………………………!/分
! ! !
取%:的中点)"连接7)"1)"则7)6%:!………………!!分
易证%:61)" ………………………………………………!%分
所以/7)1为二面角1;%:;% 的补角!…………………!)分
!
-槡% 槡*37槡%
因为7)’ "所以1)’槡17%$7)%’ "<=>/7)1’
% %
7) -槡*3
’ " …………………………………………………!*分
1) *3
-槡*3
所以二面角1;%:;% 的余弦值为( ! …………………………………………!-分
! *3
!3!!解析"本题考查解三角形与平面向量#考查数学运算与逻辑推理的核心素养!
解)!!#因为+$’’)"+%$’%’-"所以!+$’#%’+%$’%$%+’’-$%+’’,"
所以+’’%!…………………………………………………………………………………!分
**) ! **) **)
因为:为&1的中点"所以%:’ !%&$%1#"…………………………………………%分
%
**) ! **) **) **) ! **) **) **) **) !
则%:%’ !%&$%1#%"即#%:#%’ !#%&#%$%%&’%1$#%1#%#’ !’%$%+’<=>%$
* * *
+%#……………………………………………………………………………………………*分
! & ! !#( **)
’ 7 -$*7 ( ’!"则%:’#%:#’!!…………………………………………-分
* *
槡+, 槡+,
!%#因为>&6%<=>1’ ">&6!%(1#’>&6%<=>1(<=>%>&61’ "……………+分
!+ %*
槡+,
所以<=>%>&61’ "……………………………………………………………………3分
*"
槡+,
则>&6&’>&6!%$1#’>&6%<=>1$<=>%>&61’ " ………………………………"分
!%
>&6%<=>1 (<=>1 )
则 ’ ’ "………………………………………………………………,分
>&6& + *
(%$+%(’% ) !
即(’ ’ +"得(%(’%’ +%!
%(+ * %
!
又+%$’%’-"所以(%’-( +%!…………………………………………………………!/分
%
槡!/ 槡!/
因为!&+& "所以 &’&%"所以+&’"则&&1"&为锐角" …………………!!分
% %
!高三数学"参考答案!第!!!!-页#共"页$% !!"’()"
!"#$%%$&
{#{QQABTQaEggggApAAABgCEwEYCEIQkBECAYgGxAAAoAAAgBFABAA=}#}!槡+,#% -槡)
所以<=>&’槡!( ’ "………………………………………………………!%分
!% !%
!
-( +%$-(+%(+%
(%$’%(+% % -槡)
所以<=>&’ ’ ’ "………………………………!)分
%(’ ! ! # !%
%槡-( +% !-(+%#
%
!)
整理得!-+%(%)#!+%(%#’/"解得+%’%或+%’ "……………………………………!*分
-
槡!/
又!&+& "所以+’槡%!………………………………………………………………!-分
%
评分细则)
,!-第!!#问中"得到0+’’%1后"还可以这样解答)
由余弦定理得(’槡+%$’%(%+’<=>%’槡+! ……………………………………………%分
因为+$’’)"+’’%"所以+’!"’’%或+’%"’’!! ……………………………………)分
!槡+#% 槡+ !槡+#%$%%(!%
不妨假设+’!"’’%"则%:%’%%$ (%7%7 7 ’!"
% % %槡+7%
则%:’!!……………………………………………………………………………………-分
! !
,%-第!%#问中"未得到0(%’-( +%1"但得到0(%(’%’ +%1"不扣分!
% %
!"!!解析"本题考查相互独立事件的概率$条件概率$全概率#考查应用意识与数据分析$逻辑推
理的核心素养!
解)不妨设提出的问题的)个选项依次为!"%")"且设正确选项为!"人作答时能排除的选项
为)"记1 为人第一次答题时选择的是第B个选项": 为机器第一次答题时选择的是第B!B
B B
’!"%")#个选项"记9’测试者重复提问")’测试者误判"C’机器改变选项!
!!#!位测试者在图灵测试中不需要重复提问的概率为/!9#’/!1:$1:$1:#’
! % ! ) % !
! ! ! ! ! ! !
7 $ 7 $ 7 ’ !……………………………………………………………+分
% ) % ) % ) %
!%#当机器重复回答问题改变选项时"测试者误判的情况有三种)
#若第一次答题时人和机器都选择!"则当重复提问时"人选择%"机器选择%或)"且测试者
! ! ! ! % !
随机判断机器为人"则/!1:)C#’ 7 7 7 7 ’ *………………………,分
! ! % ) % % ) )+
$若第一次答题时人和机器都选择%"则当重复提问时"机器和人都选择!且测试者随机判
断机器为人"或人选择%且机器选择!"或人选择%"机器选择)且测试者随机判断机器为
! ! !! ! ! ! ! ! ! !# % !
人"则/!1:)C#’ 7 7 7 7 $ 7 $ 7 7 7 ’ * ……!%分
% % % ) % % % % % % % % ) !"
%若第一次答题时人选择%"机器选择)"则当重复提问时"人和机器都选择!且测试者随机
判断机器为人"或人选择%"机器选择!"或人选择%"机器选择%且测试者随机判断机器
为人"
! ! !! ! ! ! ! ! ! !# % !
则/!1:)C#’ 7 7 7 7 $ 7 $ 7 7 7 ’ !…………!-分
% ) % ) % % % % % % % % ) !"
!高三数学"参考答案!第!!!!+页#共"页$% !!"’()"
!"#$%%$&
{#{QQABTQaEggggApAAABgCEwEYCEIQkBECAYgGxAAAoAAAgBFABAA=}#}!
又/!9C#’ "
)
/!1:)C$1:)C$1:)C# -
所以/!)#9C#’ ! ! % % % ) ’ !……………………………!3分
/!9C# !%
评分细则)
,!-未写0不妨设提出的问题的)个选项依次为!"%")"且设正确选项为!"人作答时能排除
的选项为)"记1 为人第一次答题时选择的是第B个选项": 为机器第一次答题时选择的
B B
是第B个选项"记9’测试者重复提问")’测试者误判"C’机器改变选项1"但是每一问的
步骤都正确"不扣分!
! ! ! ! ! ! !
第!!#问中"0/!9#’/!1:$1:$1:#’ 7 $ 7 $ 7 ’ 1写为0/!9#
! % ! ) % ! % ) % ) % ) %
! ! !
’/!1:$1:$1:#’ 7 7)’ 1"不扣分!
! % ! ) % ! % ) %
,%-本题还可以这样解答)
! !
!!#由题意可知"第一次提问时人回答正确的概率为 "机器回答正确的概率为 " …%分
% )
设0!位测试者在图灵测试中不需要重复提问1为事件%"
! ! !# ! !# ! !
则/!%#’ 7 !( $ !( 7 ’ !……………………………………………+分
% ) % ) %
!%#设0第一次提问机器和人均回答正确"测试者重复提问且机器改变选项1为事件&"
0第一次提问机器和人均回答错误"测试者重复提问且机器改变选项1为事件1"0测试者误
判1为事件:"0测试者重复提问且机器改变选项1为事件9"&与1互斥"且9’&$1!
! ! % ! ! !
/!&:#’ 7 7 7 7 ’ "………………………………………………………,分
% ) ) % % )+
! !# ! !# % !! ! ! ! ! ! ! !# !
/!1:#’ !( 7 !( 7 7 7 7 $ 7 $ 7 7 ’ "……!%分
% ) ) % % % % % % % % ,
! !# !
/!9#’&!(/!%#(7 !( ’ "……………………………………………………!-分
) )
! !
$
/!:9# /!&:#$/!1:# )+ , -
则/!:#9#’ ’ ’ ’ "
/!9# /!9# ! !%
)
-
所以在测试者重复提问且机器改变选项的前提下"测试者误判的概率为 !…………!3分
!%
!,!!解析"本题考查新定义与导数$零点$等差数列的综合#考查数学抽象$数学运算与逻辑推理
的核心素养!
!!% %!) %!)
解)!!#原式’ () $% ………………………………………………!分
)!! )!! !!%
’!(+()7!%(,#$%7!*()#’!"!……………………………………………………%分
%"!% %!" %!"
!%#5!"#’"$" () $
)!" )!" %"!%
!高三数学"参考答案!第!!!!3页#共"页$% !!"’()"
!"#$%%$&
{#{QQABTQaEggggApAAABgCEwEYCEIQkBECAYgGxAAAoAAAgBFABAA=}#}’"$"!%"%(+#()!%"()"#$*(%"%’%")(%"%(%"$*! …………………………)分
!8!"#’+"%(*"(%!
! !
当"&( 或"$!时"56!"#$/*当( &"&!时"56!"#&/! ………………………*分
) )
! !# ! ! #
所以5!"#在 (1"( 和!!"$1#上是增函数"在 ( "! 上是减函数"
) )
!
所以5!"#的极大值点为( "极小值点为!!……………………………………………-分
)
因为5!"#的极值点恰为等差数列$(%的前两项"且$(%的公差大于/"
* *
!
所以(’( "(’!"………………………………………………………………………+分
! ) %
! !# * ! * **(-
则公差D’!( ( ’ "(’( $ !*(!#’ " ……………………………3分
) ) * ) ) )
)(*$! **(! !($( #!**(!# !"*(!#!**(!#
所以 7( ’7( ’ % ** ’ !…………………………"分
B$! B$! % )
B’! B’!
& ! #
!&&#证明)因为5!!#’%"5!(!#’%"5!(%#’(!+"所以5!"#在 ( "$1 上无零点"在
)
! !#
(1"( 上存在唯一零点""且""!(%"(!#!…………………………………!/分
) / /
令>!"#’56!"#!"("#(5!"#"5E!"#为56!"#的导函数"
/
则>6!"#’5E!"#!"("#’!!%"(*#!"("#!
/ /
当""!(%""#时">6!"#$/">!"#单调递增*当""!""(!#时">6!"#&/">!"#单调递减!
/ /
…………………………………………………………………………………………!!分
所以>!(#&>!"#’(5!"#’/" ………………………………………………………!%分
/ /
而>!(#’56!(#!(("#(5!(#’F!(#"所以F!(#&/! ………………………………!)分
/
令G!"#’56!"#!"("#(5!"#"则G6!"#’56!"#(56!"#!
/ / /
因为56!"#’+"%(*"(%在!(%"(!#上单调递减"所以当""!(%""#时"56!"#&
/ /
56!"#"即G6!"#&/"G!"#单调递减"当""!""(!#时"56!"#$56!"#"即G6!"#$/"
/ /
G!"#单调递增"……………………………………………………………………………!-分
所以G!(#$G!"#’(5!"#’/"
/ /
而G!(#’56!"#!(("#(5!(#’F!"#"所以F!"#$/!……………………………!+分
/ / / /
综上"F!(#F!"#&/!………………………………………………………………………!3分
/
评分细则)
)(*$! )%*%(!%*$!! )% !#
,!-第!%#问!&#中"7( 最后化简的结果也可以写为 或 *%(**$ !
B$! ) ) )
B’!
,%-第!%#问!&&#中"只写""!(%"(!#"未说明5!"#零点的唯一性"扣!分!
/
!高三数学"参考答案!第!!!!"页#共"页$% !!"’()"
!"#$%%$&
{#{QQABTQaEggggApAAABgCEwEYCEIQkBECAYgGxAAAoAAAgBFABAA=}#}
