文档内容
2025 届高三年级摸底考试
数 学
本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟.
注意事项：
1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位
号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上.
2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；
如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域
内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改
液.不按以上要求作答的答案无效.
4. 考生必须保持答题卡的整洁.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 若复数 ， 在复平面内对应的点关于x轴对称，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 已知平面向量 ， 满足 ，且 ， ，则向量 与 夹角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知a，b，c为 内角A，B，C的对边，且a，b，c成等比数列， ，则 （
）
A. B. C. D.
5. 三名篮球运动员甲、乙、丙进行传球训练（不能传给自己），由丙开始传，经过5次传递后，球又被传
回给丙，则不同的传球方式共有（ ）
学科网（北京）股份有限公司A. 6种 B. 10种 C. 11种 D. 12种
6. 函数 的所有零点之和为（ ）
A. 6 B. 7.5 C. 9 D. 12
7. 数列 中， ， ，记 ， ，则
（ ）
A. B. C. D.
8. 设 ， 分别为椭圆C： 的左右焦点，过 作直线交椭圆C于A，B两点，已
知 ， ，则椭圆C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 给出下列命题，其中正确命题为（ ）
A. 随机变量 ，若 ， ，则
B. 随机变量X服从正态分布 ， ，则
C. 一组数据 的线性回归方程为 ，若 ，则
D. 对于独立性检验，随机变量 的观测值k值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大
10. 如图，矩形ABCD中，M为BC的中点，将 沿直线AM翻折成 ，连接 ，N为
的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A. 不存在某个位置，使得
B. 翻折过程中，CN的长是定值
C. 若 ，则
D. 若 ，当三棱锥 的体积最大时，其外接球的表面积是
11. 对勾函数 的图象可以由焦点在坐标轴上的双曲线绕原点旋转得到，因此
对勾函数即为双曲线.已知O为坐标原点，下列关于函数 的说法正确的是（ ）
A. 渐近线方程为 和
B. 的对称轴方程为 和
C. M，N是函数 图象上两动点，P为MN的中点，则直线MN，OP的斜率之积为定值
D. Q是函数 图象上任意一点，过点Q作切线交渐近线于A，B两点，则 的面积为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知正四棱台的上底边长为4，下底边长为8，侧棱长为 ，则其体积为______.
13. 已知函数 ，点P为曲线 在点 处的切线l上的一点，点
Q在曲线 上，则 的最小值为______.
14. 已知点 ， ， ，直线 将 分割为面积相等的两部分，
则b的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）如图，在四边形ABCD中， ， ， .
学科网（北京）股份有限公司（1）求 的正弦值；
（2）若 ，且 的面积是 面积的4倍，求AB的长.
16.（15分）已知数列 的前n项和 满足 ， .
（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）记 ，若数列 为递增数列，求 的取值范围.
17.（15分）如图，弧AEC是半径为a的半圆，AC为直径，点E为弧AC的中点，点B和点C为线段AD
的三等分点，平面AEC外一点F满足 ， .
（1）证明： ；
（2）已知点Q，R为线段FE，FB上的点，使得 ， ，求当RD最短时，平面BDE
和平面RQD所成二面角的正弦值.
18.（17分）已知双曲线C： 过点 ，且右焦点为 .
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点F的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，交y轴于点P，若 ， ，求
证： 为定值.
（3）在（2）的条件下，若点Q是点P关于原点O的对称点，求证： 的面积 .
19.（17分）已知函数 ， .
（1）当 时， 恒成立，求实数a的取值范围；
（2）证明：当 ， 时，曲线 与曲线 总存在两条公切线；
学科网（北京）股份有限公司（3）若直线 ， 是曲线 与 的两条公切线，且 ， 的斜率之积为1，求a，b的关系
式.
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