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山东师范大学附属中学2024-2025学年高一下学期3月月考
数学试题
一、单选题
1．在 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．设 ， 为一组基底，已知向量 ， ， ，若 ， ， 三点共线，
则实数k的值是（ ）
A．2 B． C． D．
3．平面向量 与向量 满足 ,且 ， ,则向量 与 的夹角为
A． B． C． D．
4．已知 ， ，且 ， ，则 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．在 中， ，AC边上的中线 ， ，则AC的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．向量 在向量 方向上的投影向量的模为（ ）
A．2 B． C． D．
7．在200m高的山顶上，测得山下塔顶与塔底的俯角分别为30°和60°，则塔高为（ ）
A． m B． m
C． m D． m8．在 中，角 所对的边分别为 ，若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．若平面向量 ， ，其中 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则与 同向的单位向量为
C．若 ，且 与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围为
D．若 ，则 的最小值为
10．在 中，内角 所对的边分别为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．当 时， 最小值为
C．当 有两个解时， 的取值范围是
D．当 为锐角三角形时， 的取值范围是
11．对于△ ，其外心为 ，重心为 ，垂心为 ，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．C．向量 与 共线
D．过点 的直线 分别与 、 交于 、 两点，若 ， ，则
三、填空题
12．在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ， ， ，则 的面积为
．
13．在 中， 是线段 上的动点（与端点不重合），设 ，则 的
最小值是 ．
14．如图，在 中， ， ，D，E分别是直线 ， 上的点， ， ，
且 ，则 ．若P是线段 上的一个动点，则 的最小值为 ．
四、解答题
15．已知 ， 是两个单位向量，其夹角为60°， ， ．
(1)求 ， ；
(2)求 与 的夹角．16．如图，在四边形 中，已知 ， ， ， ， ．
(1)求BD的长；
(2)求CD的长．
17．如图，在 中，点 满足 ， 是线段 的中点，过点 的直线与边 ， 分别交于
点 ．
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ， ，求 的最小值．
18．在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， ．
(1)求 ；
(2)若 ．求 的取值范围．
19． 是直线 外一点，点 在直线 上（点 与点 任一点均不重合），我们称如下操作为“由
点对 施以视角运算”：若点 在线段 上，记 ；若点 在线段 外，记 .在 中，角 的对边分别是 ，点 在射线 上.
(1)若 是角 的平分线，且 ，由 点对 施以视角运算，求 的值；
(2)若 ，由 点对 施以视角运算， ，求 的周长；
(3)若 ， ，由 点对 施以视角运算， ，求 的最小值.参考答案
1．D
【详解】∵ 为 边上的中线，∴ ，
∵E为 的中点，∴ ，
∴ ，
故选：D.
2．C
【详解】 ， ，
，
又 ，且 ， ， 三点共线， ，
即 ，
， .
故选：C.
3．C
【详解】 ，则
又
，解得
设向量 与 的夹角为 ，则 ，即
解得
，
，
故选
4．C
【详解】设 ，由 ， 得 ，
所以 .
故选：C
5．B
【详解】因为 ，
所以 ，
又 ， ， ，
则 ，所以 ，即 .
故选： .
6．B
【详解】由已知可得 ， ，
向量 在向量 方向上的投影向量为 ，
所以向量 在向量 方向上的投影向量的模为 .
故选： .7．C
【详解】依题意可得图象如图所示,从塔顶向山体引一条垂线 ,垂足为 .
则 ,则 ，
,
塔高 ,
故选：C.
8．D
【详解】因为 ，则由正弦定理得 ，
又 ，
所以 ，
则 ，
又 ， ，则
所以 或 ，即 或 （舍去），
则 ，
所以 ，解得 ，则 ，
所以，
所以 的取值范围是 ．
故选：D．
9．BD
【详解】由 ， ，
A选项： ，
则 ，解得 ，则 ， ，
所以不存在 ，使 ，即 ， 不共线，A选项错误；
B选项： ，则 ，解得 ，
即 ， ， ，
所以与 同向的单位向量为 ，B选项正确；
C选项： 时， ，
又 与 的夹角为锐角，
则 ，解得 ，且 ，
即 ，C选项错误；
D选项：由 ，得 ，即 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，D选项正确；故选：BD.
10．BD
【详解】 中，内角 所对的边分别为 ，
若 ，则 ，A选项错误；
当 时，
，
当 时等号成立，所以 最小值为 ，B选项正确；
由正弦定理 ， ，当 有两个解时，
且 ， 的取值范围是 ，C选项错误；
， ，当 为锐角三角形时， ，
解得 ，则 ， ，
，所以 的取值范围是 ，D选项正确.
故选：BD.
11．BCD
【详解】A： 为外心，则 ，仅当 时才有
，错误；
B：由 ，又 ，故 ，正确；C：
，即 与 垂直，又 ，
所以 与 共线，正确；
D： ，又 三点共线，则 ，故
，正确.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：综合应用外心、垂心、重心的性质，结合平面向量数量积的运算律、
几何含义以及平面向量基本定理判断各选项正误.
12． /
【详解】因为 ， ， ，
由余弦定理 可得 ，
所以 ，所以 的面积为 .故答案为： .
13．
【详解】
因为 ，所以 ，因为 ，
所以 ，且 三点共线，
则 ， ，
则 ，
当且仅当 时，即 时，等号成立，
所以 的最小值是 .
故答案为：
14．
【详解】∵ ， ，∴ ， ，
∵ ，
∴，
解得 ，
∵ ，∴ ．
设 ， ，
∴
，
∴当 时， 有最小值，为 ．
故答案为： ； ．
15．(1) ， ；
(2) .
【详解】（1）因为 ， 是两个单位向量，其夹角为60°，
则 ， ， ,
又 ，
所以 ，
同理 ，所以 ；
（2）由题得， ，
设 与 的夹角为θ，
则 ，
因为θ∈[0,π]，所以 ，
则向量 与 的夹角为 ．
16．(1)
(2)
【详解】（1）解：在 中，设 ，
由余弦定理
，整理得
解得 或 （舍去），
线段 的长等于8；
（2）解：因为 ， ，所以 ，
所以 ，
在 中由正弦定理 ，得
17．(1)
(2)
【详解】（1）因为 ，
所以 ，因为 是线段 的中点，所以 ，
又因为 ，设 ，则有 ，
因为 三点共线，所以 ，解得 ，即 ，
所以 ．
（2）因为 ， ，
由（1）可知， ，所以 ，
因为 三点共线，所以 ，即 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，
所以 的最小值为 ．
18．(1)
(2)
【详解】（1） ， ，
， ，
， ， ，
；
（2） ， ，
由余弦定理得， ，即 ，， ，
，当且仅当 时等号成立，
又 ， ，
的取值范围是 .
19．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为 是角 的平分线，所以 且 在线段 上，
所以 ，
又 ，所以 ；
（2）因为点 在射线 上， ，且 ，所以 在线段 外，且
，
所以 ，
所以 ，
在 中，由余弦定理可得 ，
即 ，解得 （负值已舍去），
所以 ，所以 的周长为 .
（3）因为 ，所以 ，则 ，
因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立，
所以 的最小值为 .
